[002-1a] 
欽定四庫全書
益古演段卷中 元 李冶 撰
第二十三問
今有圓方田各為叚共計積一千三百七步半只云方
面大如圓徑一十步圓依密率問面徑各多少
答曰方面三十一步 圓徑二十一步
法曰立天元一為圓徑加一十步得□丨為方面以
自之得□○/二丨為方田積以十四之得下式□□□
[002-1b]
為十四叚方田積於頭又立天元
圓徑以自乗為冪又以十一之得
太/○□便為十四叚圓田積依密率/合以徑
自乗又十一之如十四而一今以/十一乗不受除故就為十四分母
也/以併入頭位得□□□為十四叚如積寄左然後
列真積一千三百七步半就分十四之得一萬八千
三百五步與左相消得□□□開平方除之得二十
一步為密率徑也加不及步為方田也
[002-2a]
依條叚求之十四之積步於上内減十四叚不及步
冪為實二十八之不及步為從二十五步常法
義曰将此十四箇方冪之式
只作一箇方冪求之自見隅
從也
第二十四問
今有方圓田合一叚共計積一千四百六十七步只云
方面與圓徑相穿得五十四步問面徑各多少
[002-2b]
答曰方面一十二步 圓徑四十二步
法曰立天元一為圓徑減穿步五十
四步得□丨為方田面以自増乗得
下式□□丨為方田積於頭位再立
天元圓徑以自之又三之四而一得
元/○□為圓田積也併入頭位得□□□為一叚如積
寄左然後列真積一千四百六十七步與左相消得
□□□倒積倒從開平方得四十二步為圓田徑也
[002-3a]
以減穿步即方面
按法内所言倒積倒從即飜積法也盖初商積常
減原積此獨以原積減初商積倍㢘常減従步此
獨以従步減倍㢘乃平方中之一變也古法多用
之今依數布算于後以存其式
法列積一千四百四十九步為實以一百零八步為
長與一濶又七分半之和即從數求
濶初商四十步以一濶七分半乗之
[002-3b]
得七十步以減和數餘三十八步以
初商乗之得一千五百二十步為初
商積大扵原積反減之餘實七十一
步乃二因一濶七分半所乗初商之
數得一百四十步大扵和數反減之
餘三十二步為次商㢘次商二步以
一濶七分半乗之得三步半為次商
隅凡和數㢘隅相減此反相加得三
[002-4a]
十五步半以次商乗之得七十一步為次商積與餘
積相減恰盡開得濶四十二步
依條叚求之穿步冪内減田積為實倍穿步為従一
步七分半虚常法
義曰二之従步内元減了七分半
又疊了一步計虚却一步七分半
也
第二十五問
[002-4b]
今有方圓田各一叚共計積一千三百七步半只云方
周大如圓周五十八步問方圓各多少圓依/密率
答曰方周一百二十四步 圓周六十六步
法曰立天元一為圓周加周差五十
八步得□丨為方田周以自増乗得
下式□□丨為方周冪便是十六箇
方田積又就密率分母一十一之得
□□□為一百七十六叚方田積於頭又立天元圓
[002-5a]
周以自之為冪又就分一十四之得元/○□為一百七
十六叚圓田積依密率周上求積合以周自乗又以/七乗之如八十八而一為一叚田積
也今又周宻上更以十四乗之則合用/一百七十六而一故就分便為此數以添入頭位
得□□□共為一百七十六叚如積寄左然後列真
積一千三百七步半就分以一百六十七乗之得二
十三萬一百二十步與左相消得□□□開平方得
六十六步為圓田周也加多步見方周
依條叚求之一百七十六之積内減一十一叚多步
[002-5b]
冪為實二十二之多步為從二十五步常法
義曰一百七十六之積步内
有一十一箇方周方一十四
箇圓周方也今畫此式其一
十四箇圓周方與一十一箇圓周方大小俱同者止
為欲見差步權作此式其實合作一十二叚圓式求
之其實自見也按十一方周冪十四圓周冪共積内/減去十一不及冪餘不及步乗圓周
長方二十二圓周冪二十五故以二/十二不及步為従二十五為隅也
[002-6a]
第二十六問
今有方圓田各一叚共計一千四百五十六步只云方
周大如圓周方圓周共相和得二百步問二周各多少
答曰方周一百二十八步 圓周七十二步
法曰立天元一為圓周減於相和二
百步得□丨為方周以自乗得□□
丨為方周冪是十六箇/方積也就分三之得
□□□為四十八叚方田積扵頭再
[002-6b]
立天元圓周以自之又就分四之得元/○□亦為四十
八叚圓田積併入頭位得□□□為四十八叚如積
數寄左然後列真積一千四百五十六步就分四十
八之得六萬九千八百八十八步與左相消得□
□□開平方得七十二步為圓田徑也減共步則方
周
依條叚求之三叚和步冪内減四十八之田積為實
六之和步為従七益隅
[002-7a]
義曰減時減過一箇方六之従步内又欠六箇方共
虚了七步故以為益隅
第二十七問
今有方圓田各一叚共計積二千二百八十六步只云
方面不及圓徑一十二步圓依密率問面徑各多少
[002-7b]
答曰方面三十步 圓徑四十二步
法曰立天元一為方面加不及一十
二步得□丨為圓徑以自之得□□
丨為圓徑冪以一十一之得下式□
□□便為十四箇圓積於頭再立天
元方面以自之又就分一十四之得元/○□為十四箇
方積也併又頭位得□□□為十四叚如積數寄左
然後列真積二千二百八十六步就分一十四之得
[002-8a]
三萬二千四步與左相消得下式□□□平方開之
得三十步即方面也加不及一十二步即圓徑也
依條叚求之十四之真積内減一十一叚差步冪為
實二十二之差步為従差步即不及步二十五歩常
法
義曰十四之積步内有一十
一箇圓徑方與一十四箇方
面方此式與第二十五問畧
[002-8b]
同其一十一箇圓徑冪有十一箇方正當十一叚之
其數自見也
第二十八問
今有方圓田各一叚共計積二千二百八十六步只云
方周不及圓周一十二步問周各若干圓依/密率
答曰方周一百二十步 圓周一百三十二步
法曰立天元一為方周加不及步一十二得太/□丨為
圓周以自之得□□丨又以一十四乗之得□□□
[002-9a]
為一百七十六叚密率積扵頭再立
天元方周以自之為方積一十六叚
又就分一十一之得元/○□便為一百
七十六叚方田積併入頭位得下式
□□□為一百七十六叚如積數寄左然後列真積
二千二百八十六步就分以一百七十六乗之得四
十萬二千三百三十六步與左相消得□□□開平
方得一百二十步為方周加不及步即圓周也
[002-9b]
依條叚求之一百七十六之真積内減十四叚差步
冪為方實二十八之差步為従二十五常法
義曰所減數乃十四叚不及
步冪也
第二十九問
今有方圓田各一叚共計積一千四百四十三步只云
圓周大如方周方圓周併得一百九十八步問二周
[002-10a]
各多少
答曰方周九十六步 圓周一百二步
法曰立天元一為方周減共步一百
九十八得□丨為圓周以自増乗得
□□丨為十二叚圓田積四之得下
□□□為四十八叚圓田積扵頭再
立天元方周以自之為十六叚方田積又就分三之得元/○□
便為四十八叚方田積併入頭位得□□□為四十八叚如積
[002-10b]
寄左然後列真積一千四百四十三步就分母以四十
八乗之得六萬九千二百六十四與左相消得□□□
開平方得九十六步為方周也減於併數見圓周也
依條叚求之四叚共步冪内減四十八之積為實八
之共步為従七益隅
[002-11a]
義曰八之從内合虚八箇方今見有一箇方外只虚
了七步方也
第三十問
今有圓田二叚一叚依圓三徑一/率一叚依密率共積六百六十一步
只云二徑共相和得四十步問二徑各數
答曰密徑一十四步 古徑二十六步
法曰立天元一為密徑以減相和四十步得□丨為
古徑以自之得下□□丨為古徑冪以三因之得□
[002-11b]
□□合以四約之又就分母七之得
□□□為二十八叚古圓積於頭再
立天元密圓徑以自之又二十二之
得元/○□為二十八叚密圓積也併入
頭位得□□□為二十八叚如積寄左然後列真積
六百六十一步就分二十八乗之得一萬八千五百
八步與左相消得□□□平方開之得一十四步為
密圓徑以減和步即古徑也
[002-12a]
依條叚求之二十一叚和步冪内減二十八之田積
為實四十二之和步為從四十三步虚常法
義曰其二十八之田積内有古
積二十一叚密積二十二叚元初
減時減過一叚又併從步内合
除之數計虚却四十三箇方也
第三十一問
今有直田一叚中心有圓池水占之外計地三千九百
[002-12b]
二十四步只云從外田角斜通内池徑七十一步外
田闊不及長九十四步問三事各多少
答曰圓池徑一十二步 田長一百二十六步
闊三十二步
法曰立天元一為内圓徑以減倍通
步一百四十二步得□丨為直田斜
以自乗得□□丨為兩叚直田並一
叚較冪扵頭再置闊不及長九十四
[002-13a]
步自之得八千八百三十六步以減頭位得□□丨
為兩叚直積數寄左再立天元圓徑以自之為圓徑
冪三之二而一得元/○□為兩箇池積數加入二之見
積七千八百四十八步得□○□亦為二叚真積與
寄左相消得□□□平方開之得一十二步為圓徑
也
依條叚求之倍通步為冪内減二之見積一箇較冪
為實四之通步為從半步常法
[002-13b]
義曰従步内少一箇圓徑冪其
漏下底二箇圓池共一步半今
将一步補了従步合除之數外
猶剰半步故以為常法
第三十二問
今有圓田一叚中心直池水占之外計地五千三百二
十四步只云併内池長闊與外圓徑等内池闊不及
長三十六步問三事各多少
[002-14a]
答曰外田徑一百步 内池長六十八步 濶三
十二步
法曰立天元一為外圓徑以自乗
三因四而一得元/○□為圓積内減
了見積五千三百二十四步餘得
□○□為水池直積也以四之得
□○□為四叚水池直積寄左再立天元圓徑命為
直積和步以自之得元/○丨為四積一較冪内減了池
[002-14b]
較冪一千二百九十六步得□○丨亦為四叚池積
與左相消得□○□平方開之得一百步為外圓徑
也闊不及長減圓徑餘折半見闊却以不及步加之
即長也
依條叚求之四積内減較冪為實從空二步常法
義曰四之
圓積内有
四箇水池
[002-15a]
又扵見積内減了一箇池較冪相併恰是一箇和冪
也今来池和與圓等共和冪恰是一箇圓徑冪也除
外有兩箇方
第三十三問
今有圓田一叚中心有直池水占之外計地七千三百
步只云併内池長濶少田徑五十五步闊不及長三
十五步問三事各多少
答曰田徑一百步 内池長四十步 闊五步
[002-15b]
法曰立天元一為外圓徑自之
得數又三之四而一得元/○□為
外圓田積也減見積七千三百
步得□○□為内池積也以四
之得□○□為四叚池積寄左再立天元圓徑内減
少徑步五十五得□丨為池和也以自之得□□丨
為四池一較冪内減池較冪一千二百二十五步得
□□丨亦為四池積也與左相消得□□□平方開
[002-16a]
之得一百步為圓徑也内減少徑即水池和步内加
一差即為二長若減一差即為二闊也
依條叚求之四之積步内減池較冪却加入少徑冪
為實二之少徑為從二步常法
義曰四池并所減
底箇較冪恰是一
箇和自之
舊術下積步四之於頭位又以少徑步自乗加頭位
[002-16b]
内却減闊不及長冪餘折半為實用少徑為従一步
常法
第三十四問
今有圓田一叚内有直池水占之外計地六千步只云
従内池四角斜至田楞各一十七步半其池闊不及
長三十五步問三事各若干
答曰圓田徑一百步 池長六十步 濶二十五
步
[002-17a]
法曰立天元一為外徑内減倍
至步三十五步得□丨為池斜
以自之得□□丨為二積一較
冪於頭又列闊不及長三十五
步以自之得□減頭位得○□□為四池積寄左又
立天元圓徑以自之又三之便為四叚圓積内減四
之見積二萬四千步得下式□○□亦為四箇池積
也與左相消得□□丨平方開得一百步為外田圓
[002-17b]
徑也圓徑自之又三之四而一内減見積餘為内池
積也又用差步為従開方見池闊也
依條叚求之四之見積内加八叚至步冪却減兩叚
闊不及長冪為實八之至步為従一步常法
義曰四箇圓積内
有四箇虚直池於
積内又減了兩叚
闊不及長冪合成兩箇池斜冪也八箇従步内貼入
[002-18a]
八箇斜至步冪其數與圓徑正相應也外恰有一步
方
第三十五問
今有圓田一叚中心有直池水占之外計地五千七百
六十步只云從外田東南楞至内池西北角通斜一
百一十三步其内池闊不及長三十四步問三事各
多少
答曰外圓田徑一百二十步 池長九十步 闊
[002-18b]
五十六步
法曰立天元一為角斜加通步
得□丨為圓徑以自之得□□
丨為圓徑冪又三之得□□□
為四叚圓田積也内減了四之
見積二萬三千四十步得□□□為四叚内直池寄
左再立天元角斜以減通步為池斜以自之得□□
丨為池斜冪於頭又列長平按平/即闊較三十四步以自
[002-19a]
之得一千一百五十六步以減頭位餘□□丨為二
池積也又倍之得□□□亦為四直池與左相消得
□□丨開平方得七步為角斜也
依條叚求之四之積步内減兩叚闊不及長冪又減
一叚通步冪為實十之通步為従一步隅法
義曰兩箇較冪併
四箇池積該兩箇
斜冪也於四箇圓
[002-19b]
積内減此兩箇斜冪外更減了一箇通步冪恰是十
之從外有一步常法也
第三十六問
今有圓田一叚中心有直池水占之外計地六千步只
云従内池四角斜至田楞各一十七步半其内池長
闊共相和得八十五步問三事各多少
答曰外田徑一百步 池長六十步 闊二十五
步
[002-20a]
法曰立天元一為内池斜加入
倍至步三十五得□丨為外圓
徑以自之又三之得□□□為
四叚圓積也内減四之見積二
萬四千步得下□□□為四箇池積寄左乃置内池
和八十五步以自之得□為四積一較冪於頭再立
天元内池斜以自之得元/○丨為二池積一較冪以減
於頭位得□○丨為二池積也又倍之得□○□亦
[002-20b]
為四池積與左相消得□□□平方開得六十五步
為内池斜加倍至步即圓徑也徑自之又三之四而一
内減去田積餘實以和步為從一虚隅開平方見闊也
依條叚求之四之積步内加兩叚和步冪却減十二
叚至步冪為實十二之至步為從五步常法
義曰所加兩箇和
冪該八積二較冪
數内元有四虚池
[002-21a]
外有四積二較冪其實只是添了兩箇池斜冪也於
四圓積内除従步占外元有三箇方今又加入兩箇
池斜冪共得五步故五為常法
第三十七問
今有圓田一叚中心有直池水占之外計地九千一百
二十步只云従外田楞通内池斜一百一十六步半
其内池長闊共相和得一百二十七步問三事各多
少
[002-21b]
答曰圓田徑一百二十步池長一百一十二步
闊一十五步
法曰立天元一為角斜加通步
一百一十六步半□步丨為圓
徑以自之得□□丨為圓徑冪
以三之得□□□為四叚圓田
也内減四之見積三萬六千四百八十步得□步□
□為四叚内池積寄左再立天元角斜以減通步得
[002-22a]
□步丨為内池斜以自乗得□步□丨為二積一較
冪於頭又列池和步以自乗得□内減頭位餘得□
元/□丨為二池積也倍之得下□步□□亦為四池
積與左相消得□步□□平方開之得三步半為角
斜也加通步為圓徑
依條叚求之四之積步内加兩叚和步冪却減
五箇通步冪餘為實二之通步為從五步為常
法
[002-22b]
義曰兩箇和冪内虚了四池只是兩箇池斜冪今将
兩箇池斜冪減於兩箇通步冪止有二甲二乙所占
之地今又将二甲二乙及三叚通步冪併以減於四
之見積外實在兩箇通步從五箇方也
第三十八問
[002-23a]
今有水旱田各一叚共計積二千六百二十五步只云
水田長闊共一百步其旱地闊不及長三十五步而
不及水地闊十步問水旱地長闊各若干
答曰水地長七十五步 闊二十五步 旱地長
五十步 闊一十五步
法曰立天元一為旱地闊加旱
闊不及水闊一十步得□丨為
水地闊以減水田長闊共一百
[002-23b]
步得□丨為水田長也以水田長闊相乗得□□丨
為水田積扵頭再置天元旱地闊加不及三十五步
得□兀/丨為旱田長也以天元乗之得太/○□丨為旱田
積也加入頭位得□□為一叚如積寄左然後列真
積二千六百二十五步與左相消得□□下法上實
如法得一十五步為旱田闊也加闊不及長三十五
步為旱田長也又扵旱闊内加不及水地闊一十步
為水地闊也以水地闊減於水田長闊一百步餘為
[002-24a]
水田長也
依條叚求之以水田共步乗二闊差於頭位以二闊
差冪減頭位得數復以減於田積為實列水田共步
加入旱地長闊差内却減兩箇二闊差為法
義曰其水田闊二十五步為法内元多一箇水旱二
[002-24b]
闊差數又積步内減了一叚旱闊為長二闊差為平
底直積是又虚了一箇水旱二闊差數故於法内減
去兩箇闊差也
按此條圗與義不合盖𫝊寫之誤也今仍存舊式
另擬圖義扵後以明之
義曰水田長闊共步乗二闊差
内減差冪即附水田周一磬折
積也以減共積餘同旱闊之兩
[002-25a]
長方共積為實其水田長闊比原數各減一闊差
扵此長闊和内加旱田長闊較即兩長方之共長
故為法即得旱田闊也
第三十九問
今有直田一叚内有圓池水占之外計地三十九畆一
分半只云従田兩頭至池各一百五步兩畔至池各
九步問三事各多少
答曰田長二百三十四步 闊四十二步 池徑
[002-25b]
二十四步
法曰立天元一為内池徑加二之邊
至一十八步得□丨為田闊又置天
元池徑加二之頭至二百一十步得
□丨為田長長闊相乗得下式□□
丨為直田積於頭再置天元徑以自之又三之四而
一得○□為内池積以減頭位得□□□為一叚如
積數寄左然後列真積三十九畝一分半以畝法通
[002-26a]
之得九千三百九十六步與左相消得□□□開平
方得二十四步為内池徑也加二之邉至步為田闊
若加二之頭至步即田長
依條叚求之倍頭至步與倍邊步相乗以減田積為
實併一頭一邊步又倍之為從二分半常法
義曰此問與第一問條叚頗同但所減
者為四箇小池積按池當/作隅
[002-26b]
第四十問
今有直田一叚中心有圓池水占之外計地四畝五十
三步只云外田長平和得七十六步太半步従田四
角去池楞各一十八步問外田水池徑各多少
答曰田長五十步 闊二十六步太 池徑二十
步太
法曰立天元一為内池徑加倍角至步三十六得□
丨為直田斜以自之得□□丨為田斜冪便是二積/一較冪也
[002-27a]
又九之得下式□□□為十八積九
較冪也寄左列和步七十六步太按/太
即三分/步之二通分内子得□以自之得五
萬二千九百步為九叚和冪於頭為/九
叚和冪者元帶三分母以自之得九也此/九叚和冪該三十六直積九箇較冪也又置天元
圓徑以自之又三之四而一得元/○□為一叚圓積也
加入見積一千一十三步得□○□共為直積一叚
又十八之得□○□為十八叚直積以減頭位得□
[002-27b]
○□亦為九叚田斜冪與左相消得□□□合以平
方開之今不可開按不可開者謂㢘隅數/多而得數又不能盡也先以隅法
二十二步半乗實二萬三千單二步得五十一萬七
千五百四十五步正為實元従六百四十八負依舊
為従一益隅平方開之得四百六十五步以元隅二
十二步半約之得二十步三分之二為内池徑也加
倍至步為田斜以自之為二積一較冪又二之於頭
位以和步冪減頭位餘以平方開之即田較也加入
[002-28a]
和步折半為長若減於和步折半為闊也
依條叚求之列相和步自乗為冪内減倍積及四叚
至步冪為實四之至步為從二步半常法
義曰和步冪内減了二直積只
有一叚斜冪也減二直積時漏
下兩箇圓池該一步半又正有
一步共計二步半常法也 求
較者先置池徑二十步太□帶三分母便為三箇徑
[002-28b]
也加入六之至步一百八步得□便為三箇田斜也
以自之得□為九叚斜冪便是十八箇直/積九箇較冪倍之得□
為三十六叚田積一十八叚較冪於頭再置和步七
十六步太□亦帶三分母便為三箇和也以自之得
□為九叚和冪便是三十六直/積九較冪也以減頭位餘□為九
叚較冪也平方開之得七十步以三約之得二十三
步三分步之一為田較也欲見田長闊及斜者准此
法求之 又法求圓池徑者立天元一為三箇内池
[002-29a]
徑以自之得元/○丨為九叚池徑冪便是十二叚圓積
也加十二叚見積得□○丨為十二叚直積又身外
加五得□○□為十八叚直田積扵頭又列和步七
十六步太通分内子得二百三十自之得□為和冪
九叚便是直積三十六/叚較冪九叚也内減頭位得下式□○□為
九叚斜冪數寄左再置天元圓徑加六之角至步一
百八步得□丨為三箇田斜以自之得□□丨亦為
九叚斜冪也與左相消得□□□開平方得六十二
[002-29b]
步為三箇圓池徑也以三約之得一箇圓徑二十步
三分之二此名之分天元一術前法乃連枝同體術
也按分天元一術即天元一内帶分求之得數而後/約之連枝同體術即通分開方得數而後約之皆
兼通分/之法也
第四十一問
今有直田一叚中心有圓池水占之外計地三千九百
二十四步只云従外田角斜通池徑七十一步外田
長闊相和得一百五十八步問三事各多少
[002-30a]
答曰圓徑十二步 田長一百二十六步 闊三十二步
法曰立天元一為内圓徑以減倍通
步一百四十二步得□丨為田斜以
自之得□□丨為二積一較冪於頭
又立和步一百五十八步以自之得
□為四積一較冪以減頭位得□□丨為二直積寄
左又立天元池徑以自之又三之二而一得元/○□為
兩箇池積也加入二之見積七千八百四十八步得
[002-30b]
□○□亦為一叚直積與左相消得□□□平方開
之得一十二步為内池徑也
依條叚求之二之積步内加四叚通步冪却減一叚
和步冪為實四之通步為従二步半虚常法
義曰減一和步冪是減四積一
較冪也四之通步冪内減了一
箇斜冪却又減過二箇直積故
二之積步加之従内欠一箇方
[002-31a]
減二積時漏下二箇圓池又該欠一箇半方共欠二
步半虛常法也
第四十二問
今有直田一叚中心有圓池水占之外計地一萬八百
步只云從外田角至水池楞六十五步其外田闊不
及長七十步問二事各多少
答曰田長一百五十步 闊八十步 圓池徑四
十步
[002-31b]
法曰立天元一為内池徑加倍至一
百三十步得□丨為田斜以自之得
□□丨為田斜冪於頭又置田較七
十步以自之得□為較冪以減頭位
得□□丨為二田積寄左再立天元池徑以自之身
外加五得元/○□為兩箇池積也加二之見積二萬一
千六百步□○□亦為二直積與左相消得□□□
開平方得四十步即池徑也以徑自之三之四而一
[002-32a]
加入見積為實以闊不及長為従開方得田闊
依條叚求之二之田積内加較冪却減四叚至步冪
為實四之至步為従半步虚常法
義曰二積内加一箇較冪恰補
就一箇斜冪也其二積内有兩
箇圓池是元虚了一步半方也
扵積内却實有一步除外止虚了半步也
[002-32b]
益古演段卷中
欽定四庫全書
益古演段卷中 元 李冶 撰
第二十三問
今有圓方田各為叚共計積一千三百七步半只云方
面大如圓徑一十步圓依密率問面徑各多少
答曰方面三十一步 圓徑二十一步
法曰立天元一為圓徑加一十步得□丨為方面以
自之得□○/二丨為方田積以十四之得下式□□□
[002-1b]
為十四叚方田積於頭又立天元
圓徑以自乗為冪又以十一之得
太/○□便為十四叚圓田積依密率/合以徑
自乗又十一之如十四而一今以/十一乗不受除故就為十四分母
也/以併入頭位得□□□為十四叚如積寄左然後
列真積一千三百七步半就分十四之得一萬八千
三百五步與左相消得□□□開平方除之得二十
一步為密率徑也加不及步為方田也
[002-2a]
依條叚求之十四之積步於上内減十四叚不及步
冪為實二十八之不及步為從二十五步常法
義曰将此十四箇方冪之式
只作一箇方冪求之自見隅
從也
第二十四問
今有方圓田合一叚共計積一千四百六十七步只云
方面與圓徑相穿得五十四步問面徑各多少
[002-2b]
答曰方面一十二步 圓徑四十二步
法曰立天元一為圓徑減穿步五十
四步得□丨為方田面以自増乗得
下式□□丨為方田積於頭位再立
天元圓徑以自之又三之四而一得
元/○□為圓田積也併入頭位得□□□為一叚如積
寄左然後列真積一千四百六十七步與左相消得
□□□倒積倒從開平方得四十二步為圓田徑也
[002-3a]
以減穿步即方面
按法内所言倒積倒從即飜積法也盖初商積常
減原積此獨以原積減初商積倍㢘常減従步此
獨以従步減倍㢘乃平方中之一變也古法多用
之今依數布算于後以存其式
法列積一千四百四十九步為實以一百零八步為
長與一濶又七分半之和即從數求
濶初商四十步以一濶七分半乗之
[002-3b]
得七十步以減和數餘三十八步以
初商乗之得一千五百二十步為初
商積大扵原積反減之餘實七十一
步乃二因一濶七分半所乗初商之
數得一百四十步大扵和數反減之
餘三十二步為次商㢘次商二步以
一濶七分半乗之得三步半為次商
隅凡和數㢘隅相減此反相加得三
[002-4a]
十五步半以次商乗之得七十一步為次商積與餘
積相減恰盡開得濶四十二步
依條叚求之穿步冪内減田積為實倍穿步為従一
步七分半虚常法
義曰二之従步内元減了七分半
又疊了一步計虚却一步七分半
也
第二十五問
[002-4b]
今有方圓田各一叚共計積一千三百七步半只云方
周大如圓周五十八步問方圓各多少圓依/密率
答曰方周一百二十四步 圓周六十六步
法曰立天元一為圓周加周差五十
八步得□丨為方田周以自増乗得
下式□□丨為方周冪便是十六箇
方田積又就密率分母一十一之得
□□□為一百七十六叚方田積於頭又立天元圓
[002-5a]
周以自之為冪又就分一十四之得元/○□為一百七
十六叚圓田積依密率周上求積合以周自乗又以/七乗之如八十八而一為一叚田積
也今又周宻上更以十四乗之則合用/一百七十六而一故就分便為此數以添入頭位
得□□□共為一百七十六叚如積寄左然後列真
積一千三百七步半就分以一百六十七乗之得二
十三萬一百二十步與左相消得□□□開平方得
六十六步為圓田周也加多步見方周
依條叚求之一百七十六之積内減一十一叚多步
[002-5b]
冪為實二十二之多步為從二十五步常法
義曰一百七十六之積步内
有一十一箇方周方一十四
箇圓周方也今畫此式其一
十四箇圓周方與一十一箇圓周方大小俱同者止
為欲見差步權作此式其實合作一十二叚圓式求
之其實自見也按十一方周冪十四圓周冪共積内/減去十一不及冪餘不及步乗圓周
長方二十二圓周冪二十五故以二/十二不及步為従二十五為隅也
[002-6a]
第二十六問
今有方圓田各一叚共計一千四百五十六步只云方
周大如圓周方圓周共相和得二百步問二周各多少
答曰方周一百二十八步 圓周七十二步
法曰立天元一為圓周減於相和二
百步得□丨為方周以自乗得□□
丨為方周冪是十六箇/方積也就分三之得
□□□為四十八叚方田積扵頭再
[002-6b]
立天元圓周以自之又就分四之得元/○□亦為四十
八叚圓田積併入頭位得□□□為四十八叚如積
數寄左然後列真積一千四百五十六步就分四十
八之得六萬九千八百八十八步與左相消得□
□□開平方得七十二步為圓田徑也減共步則方
周
依條叚求之三叚和步冪内減四十八之田積為實
六之和步為従七益隅
[002-7a]
義曰減時減過一箇方六之従步内又欠六箇方共
虚了七步故以為益隅
第二十七問
今有方圓田各一叚共計積二千二百八十六步只云
方面不及圓徑一十二步圓依密率問面徑各多少
[002-7b]
答曰方面三十步 圓徑四十二步
法曰立天元一為方面加不及一十
二步得□丨為圓徑以自之得□□
丨為圓徑冪以一十一之得下式□
□□便為十四箇圓積於頭再立天
元方面以自之又就分一十四之得元/○□為十四箇
方積也併又頭位得□□□為十四叚如積數寄左
然後列真積二千二百八十六步就分一十四之得
[002-8a]
三萬二千四步與左相消得下式□□□平方開之
得三十步即方面也加不及一十二步即圓徑也
依條叚求之十四之真積内減一十一叚差步冪為
實二十二之差步為従差步即不及步二十五歩常
法
義曰十四之積步内有一十
一箇圓徑方與一十四箇方
面方此式與第二十五問畧
[002-8b]
同其一十一箇圓徑冪有十一箇方正當十一叚之
其數自見也
第二十八問
今有方圓田各一叚共計積二千二百八十六步只云
方周不及圓周一十二步問周各若干圓依/密率
答曰方周一百二十步 圓周一百三十二步
法曰立天元一為方周加不及步一十二得太/□丨為
圓周以自之得□□丨又以一十四乗之得□□□
[002-9a]
為一百七十六叚密率積扵頭再立
天元方周以自之為方積一十六叚
又就分一十一之得元/○□便為一百
七十六叚方田積併入頭位得下式
□□□為一百七十六叚如積數寄左然後列真積
二千二百八十六步就分以一百七十六乗之得四
十萬二千三百三十六步與左相消得□□□開平
方得一百二十步為方周加不及步即圓周也
[002-9b]
依條叚求之一百七十六之真積内減十四叚差步
冪為方實二十八之差步為従二十五常法
義曰所減數乃十四叚不及
步冪也
第二十九問
今有方圓田各一叚共計積一千四百四十三步只云
圓周大如方周方圓周併得一百九十八步問二周
[002-10a]
各多少
答曰方周九十六步 圓周一百二步
法曰立天元一為方周減共步一百
九十八得□丨為圓周以自増乗得
□□丨為十二叚圓田積四之得下
□□□為四十八叚圓田積扵頭再
立天元方周以自之為十六叚方田積又就分三之得元/○□
便為四十八叚方田積併入頭位得□□□為四十八叚如積
[002-10b]
寄左然後列真積一千四百四十三步就分母以四十
八乗之得六萬九千二百六十四與左相消得□□□
開平方得九十六步為方周也減於併數見圓周也
依條叚求之四叚共步冪内減四十八之積為實八
之共步為従七益隅
[002-11a]
義曰八之從内合虚八箇方今見有一箇方外只虚
了七步方也
第三十問
今有圓田二叚一叚依圓三徑一/率一叚依密率共積六百六十一步
只云二徑共相和得四十步問二徑各數
答曰密徑一十四步 古徑二十六步
法曰立天元一為密徑以減相和四十步得□丨為
古徑以自之得下□□丨為古徑冪以三因之得□
[002-11b]
□□合以四約之又就分母七之得
□□□為二十八叚古圓積於頭再
立天元密圓徑以自之又二十二之
得元/○□為二十八叚密圓積也併入
頭位得□□□為二十八叚如積寄左然後列真積
六百六十一步就分二十八乗之得一萬八千五百
八步與左相消得□□□平方開之得一十四步為
密圓徑以減和步即古徑也
[002-12a]
依條叚求之二十一叚和步冪内減二十八之田積
為實四十二之和步為從四十三步虚常法
義曰其二十八之田積内有古
積二十一叚密積二十二叚元初
減時減過一叚又併從步内合
除之數計虚却四十三箇方也
第三十一問
今有直田一叚中心有圓池水占之外計地三千九百
[002-12b]
二十四步只云從外田角斜通内池徑七十一步外
田闊不及長九十四步問三事各多少
答曰圓池徑一十二步 田長一百二十六步
闊三十二步
法曰立天元一為内圓徑以減倍通
步一百四十二步得□丨為直田斜
以自乗得□□丨為兩叚直田並一
叚較冪扵頭再置闊不及長九十四
[002-13a]
步自之得八千八百三十六步以減頭位得□□丨
為兩叚直積數寄左再立天元圓徑以自之為圓徑
冪三之二而一得元/○□為兩箇池積數加入二之見
積七千八百四十八步得□○□亦為二叚真積與
寄左相消得□□□平方開之得一十二步為圓徑
也
依條叚求之倍通步為冪内減二之見積一箇較冪
為實四之通步為從半步常法
[002-13b]
義曰従步内少一箇圓徑冪其
漏下底二箇圓池共一步半今
将一步補了従步合除之數外
猶剰半步故以為常法
第三十二問
今有圓田一叚中心直池水占之外計地五千三百二
十四步只云併内池長闊與外圓徑等内池闊不及
長三十六步問三事各多少
[002-14a]
答曰外田徑一百步 内池長六十八步 濶三
十二步
法曰立天元一為外圓徑以自乗
三因四而一得元/○□為圓積内減
了見積五千三百二十四步餘得
□○□為水池直積也以四之得
□○□為四叚水池直積寄左再立天元圓徑命為
直積和步以自之得元/○丨為四積一較冪内減了池
[002-14b]
較冪一千二百九十六步得□○丨亦為四叚池積
與左相消得□○□平方開之得一百步為外圓徑
也闊不及長減圓徑餘折半見闊却以不及步加之
即長也
依條叚求之四積内減較冪為實從空二步常法
義曰四之
圓積内有
四箇水池
[002-15a]
又扵見積内減了一箇池較冪相併恰是一箇和冪
也今来池和與圓等共和冪恰是一箇圓徑冪也除
外有兩箇方
第三十三問
今有圓田一叚中心有直池水占之外計地七千三百
步只云併内池長濶少田徑五十五步闊不及長三
十五步問三事各多少
答曰田徑一百步 内池長四十步 闊五步
[002-15b]
法曰立天元一為外圓徑自之
得數又三之四而一得元/○□為
外圓田積也減見積七千三百
步得□○□為内池積也以四
之得□○□為四叚池積寄左再立天元圓徑内減
少徑步五十五得□丨為池和也以自之得□□丨
為四池一較冪内減池較冪一千二百二十五步得
□□丨亦為四池積也與左相消得□□□平方開
[002-16a]
之得一百步為圓徑也内減少徑即水池和步内加
一差即為二長若減一差即為二闊也
依條叚求之四之積步内減池較冪却加入少徑冪
為實二之少徑為從二步常法
義曰四池并所減
底箇較冪恰是一
箇和自之
舊術下積步四之於頭位又以少徑步自乗加頭位
[002-16b]
内却減闊不及長冪餘折半為實用少徑為従一步
常法
第三十四問
今有圓田一叚内有直池水占之外計地六千步只云
従内池四角斜至田楞各一十七步半其池闊不及
長三十五步問三事各若干
答曰圓田徑一百步 池長六十步 濶二十五
步
[002-17a]
法曰立天元一為外徑内減倍
至步三十五步得□丨為池斜
以自之得□□丨為二積一較
冪於頭又列闊不及長三十五
步以自之得□減頭位得○□□為四池積寄左又
立天元圓徑以自之又三之便為四叚圓積内減四
之見積二萬四千步得下式□○□亦為四箇池積
也與左相消得□□丨平方開得一百步為外田圓
[002-17b]
徑也圓徑自之又三之四而一内減見積餘為内池
積也又用差步為従開方見池闊也
依條叚求之四之見積内加八叚至步冪却減兩叚
闊不及長冪為實八之至步為従一步常法
義曰四箇圓積内
有四箇虚直池於
積内又減了兩叚
闊不及長冪合成兩箇池斜冪也八箇従步内貼入
[002-18a]
八箇斜至步冪其數與圓徑正相應也外恰有一步
方
第三十五問
今有圓田一叚中心有直池水占之外計地五千七百
六十步只云從外田東南楞至内池西北角通斜一
百一十三步其内池闊不及長三十四步問三事各
多少
答曰外圓田徑一百二十步 池長九十步 闊
[002-18b]
五十六步
法曰立天元一為角斜加通步
得□丨為圓徑以自之得□□
丨為圓徑冪又三之得□□□
為四叚圓田積也内減了四之
見積二萬三千四十步得□□□為四叚内直池寄
左再立天元角斜以減通步為池斜以自之得□□
丨為池斜冪於頭又列長平按平/即闊較三十四步以自
[002-19a]
之得一千一百五十六步以減頭位餘□□丨為二
池積也又倍之得□□□亦為四直池與左相消得
□□丨開平方得七步為角斜也
依條叚求之四之積步内減兩叚闊不及長冪又減
一叚通步冪為實十之通步為従一步隅法
義曰兩箇較冪併
四箇池積該兩箇
斜冪也於四箇圓
[002-19b]
積内減此兩箇斜冪外更減了一箇通步冪恰是十
之從外有一步常法也
第三十六問
今有圓田一叚中心有直池水占之外計地六千步只
云従内池四角斜至田楞各一十七步半其内池長
闊共相和得八十五步問三事各多少
答曰外田徑一百步 池長六十步 闊二十五
步
[002-20a]
法曰立天元一為内池斜加入
倍至步三十五得□丨為外圓
徑以自之又三之得□□□為
四叚圓積也内減四之見積二
萬四千步得下□□□為四箇池積寄左乃置内池
和八十五步以自之得□為四積一較冪於頭再立
天元内池斜以自之得元/○丨為二池積一較冪以減
於頭位得□○丨為二池積也又倍之得□○□亦
[002-20b]
為四池積與左相消得□□□平方開得六十五步
為内池斜加倍至步即圓徑也徑自之又三之四而一
内減去田積餘實以和步為從一虚隅開平方見闊也
依條叚求之四之積步内加兩叚和步冪却減十二
叚至步冪為實十二之至步為從五步常法
義曰所加兩箇和
冪該八積二較冪
數内元有四虚池
[002-21a]
外有四積二較冪其實只是添了兩箇池斜冪也於
四圓積内除従步占外元有三箇方今又加入兩箇
池斜冪共得五步故五為常法
第三十七問
今有圓田一叚中心有直池水占之外計地九千一百
二十步只云従外田楞通内池斜一百一十六步半
其内池長闊共相和得一百二十七步問三事各多
少
[002-21b]
答曰圓田徑一百二十步池長一百一十二步
闊一十五步
法曰立天元一為角斜加通步
一百一十六步半□步丨為圓
徑以自之得□□丨為圓徑冪
以三之得□□□為四叚圓田
也内減四之見積三萬六千四百八十步得□步□
□為四叚内池積寄左再立天元角斜以減通步得
[002-22a]
□步丨為内池斜以自乗得□步□丨為二積一較
冪於頭又列池和步以自乗得□内減頭位餘得□
元/□丨為二池積也倍之得下□步□□亦為四池
積與左相消得□步□□平方開之得三步半為角
斜也加通步為圓徑
依條叚求之四之積步内加兩叚和步冪却減
五箇通步冪餘為實二之通步為從五步為常
法
[002-22b]
義曰兩箇和冪内虚了四池只是兩箇池斜冪今将
兩箇池斜冪減於兩箇通步冪止有二甲二乙所占
之地今又将二甲二乙及三叚通步冪併以減於四
之見積外實在兩箇通步從五箇方也
第三十八問
[002-23a]
今有水旱田各一叚共計積二千六百二十五步只云
水田長闊共一百步其旱地闊不及長三十五步而
不及水地闊十步問水旱地長闊各若干
答曰水地長七十五步 闊二十五步 旱地長
五十步 闊一十五步
法曰立天元一為旱地闊加旱
闊不及水闊一十步得□丨為
水地闊以減水田長闊共一百
[002-23b]
步得□丨為水田長也以水田長闊相乗得□□丨
為水田積扵頭再置天元旱地闊加不及三十五步
得□兀/丨為旱田長也以天元乗之得太/○□丨為旱田
積也加入頭位得□□為一叚如積寄左然後列真
積二千六百二十五步與左相消得□□下法上實
如法得一十五步為旱田闊也加闊不及長三十五
步為旱田長也又扵旱闊内加不及水地闊一十步
為水地闊也以水地闊減於水田長闊一百步餘為
[002-24a]
水田長也
依條叚求之以水田共步乗二闊差於頭位以二闊
差冪減頭位得數復以減於田積為實列水田共步
加入旱地長闊差内却減兩箇二闊差為法
義曰其水田闊二十五步為法内元多一箇水旱二
[002-24b]
闊差數又積步内減了一叚旱闊為長二闊差為平
底直積是又虚了一箇水旱二闊差數故於法内減
去兩箇闊差也
按此條圗與義不合盖𫝊寫之誤也今仍存舊式
另擬圖義扵後以明之
義曰水田長闊共步乗二闊差
内減差冪即附水田周一磬折
積也以減共積餘同旱闊之兩
[002-25a]
長方共積為實其水田長闊比原數各減一闊差
扵此長闊和内加旱田長闊較即兩長方之共長
故為法即得旱田闊也
第三十九問
今有直田一叚内有圓池水占之外計地三十九畆一
分半只云従田兩頭至池各一百五步兩畔至池各
九步問三事各多少
答曰田長二百三十四步 闊四十二步 池徑
[002-25b]
二十四步
法曰立天元一為内池徑加二之邊
至一十八步得□丨為田闊又置天
元池徑加二之頭至二百一十步得
□丨為田長長闊相乗得下式□□
丨為直田積於頭再置天元徑以自之又三之四而
一得○□為内池積以減頭位得□□□為一叚如
積數寄左然後列真積三十九畝一分半以畝法通
[002-26a]
之得九千三百九十六步與左相消得□□□開平
方得二十四步為内池徑也加二之邉至步為田闊
若加二之頭至步即田長
依條叚求之倍頭至步與倍邊步相乗以減田積為
實併一頭一邊步又倍之為從二分半常法
義曰此問與第一問條叚頗同但所減
者為四箇小池積按池當/作隅
[002-26b]
第四十問
今有直田一叚中心有圓池水占之外計地四畝五十
三步只云外田長平和得七十六步太半步従田四
角去池楞各一十八步問外田水池徑各多少
答曰田長五十步 闊二十六步太 池徑二十
步太
法曰立天元一為内池徑加倍角至步三十六得□
丨為直田斜以自之得□□丨為田斜冪便是二積/一較冪也
[002-27a]
又九之得下式□□□為十八積九
較冪也寄左列和步七十六步太按/太
即三分/步之二通分内子得□以自之得五
萬二千九百步為九叚和冪於頭為/九
叚和冪者元帶三分母以自之得九也此/九叚和冪該三十六直積九箇較冪也又置天元
圓徑以自之又三之四而一得元/○□為一叚圓積也
加入見積一千一十三步得□○□共為直積一叚
又十八之得□○□為十八叚直積以減頭位得□
[002-27b]
○□亦為九叚田斜冪與左相消得□□□合以平
方開之今不可開按不可開者謂㢘隅數/多而得數又不能盡也先以隅法
二十二步半乗實二萬三千單二步得五十一萬七
千五百四十五步正為實元従六百四十八負依舊
為従一益隅平方開之得四百六十五步以元隅二
十二步半約之得二十步三分之二為内池徑也加
倍至步為田斜以自之為二積一較冪又二之於頭
位以和步冪減頭位餘以平方開之即田較也加入
[002-28a]
和步折半為長若減於和步折半為闊也
依條叚求之列相和步自乗為冪内減倍積及四叚
至步冪為實四之至步為從二步半常法
義曰和步冪内減了二直積只
有一叚斜冪也減二直積時漏
下兩箇圓池該一步半又正有
一步共計二步半常法也 求
較者先置池徑二十步太□帶三分母便為三箇徑
[002-28b]
也加入六之至步一百八步得□便為三箇田斜也
以自之得□為九叚斜冪便是十八箇直/積九箇較冪倍之得□
為三十六叚田積一十八叚較冪於頭再置和步七
十六步太□亦帶三分母便為三箇和也以自之得
□為九叚和冪便是三十六直/積九較冪也以減頭位餘□為九
叚較冪也平方開之得七十步以三約之得二十三
步三分步之一為田較也欲見田長闊及斜者准此
法求之 又法求圓池徑者立天元一為三箇内池
[002-29a]
徑以自之得元/○丨為九叚池徑冪便是十二叚圓積
也加十二叚見積得□○丨為十二叚直積又身外
加五得□○□為十八叚直田積扵頭又列和步七
十六步太通分内子得二百三十自之得□為和冪
九叚便是直積三十六/叚較冪九叚也内減頭位得下式□○□為
九叚斜冪數寄左再置天元圓徑加六之角至步一
百八步得□丨為三箇田斜以自之得□□丨亦為
九叚斜冪也與左相消得□□□開平方得六十二
[002-29b]
步為三箇圓池徑也以三約之得一箇圓徑二十步
三分之二此名之分天元一術前法乃連枝同體術
也按分天元一術即天元一内帶分求之得數而後/約之連枝同體術即通分開方得數而後約之皆
兼通分/之法也
第四十一問
今有直田一叚中心有圓池水占之外計地三千九百
二十四步只云従外田角斜通池徑七十一步外田
長闊相和得一百五十八步問三事各多少
[002-30a]
答曰圓徑十二步 田長一百二十六步 闊三十二步
法曰立天元一為内圓徑以減倍通
步一百四十二步得□丨為田斜以
自之得□□丨為二積一較冪於頭
又立和步一百五十八步以自之得
□為四積一較冪以減頭位得□□丨為二直積寄
左又立天元池徑以自之又三之二而一得元/○□為
兩箇池積也加入二之見積七千八百四十八步得
[002-30b]
□○□亦為一叚直積與左相消得□□□平方開
之得一十二步為内池徑也
依條叚求之二之積步内加四叚通步冪却減一叚
和步冪為實四之通步為従二步半虚常法
義曰減一和步冪是減四積一
較冪也四之通步冪内減了一
箇斜冪却又減過二箇直積故
二之積步加之従内欠一箇方
[002-31a]
減二積時漏下二箇圓池又該欠一箇半方共欠二
步半虛常法也
第四十二問
今有直田一叚中心有圓池水占之外計地一萬八百
步只云從外田角至水池楞六十五步其外田闊不
及長七十步問二事各多少
答曰田長一百五十步 闊八十步 圓池徑四
十步
[002-31b]
法曰立天元一為内池徑加倍至一
百三十步得□丨為田斜以自之得
□□丨為田斜冪於頭又置田較七
十步以自之得□為較冪以減頭位
得□□丨為二田積寄左再立天元池徑以自之身
外加五得元/○□為兩箇池積也加二之見積二萬一
千六百步□○□亦為二直積與左相消得□□□
開平方得四十步即池徑也以徑自之三之四而一
[002-32a]
加入見積為實以闊不及長為従開方得田闊
依條叚求之二之田積内加較冪却減四叚至步冪
為實四之至步為従半步虚常法
義曰二積内加一箇較冪恰補
就一箇斜冪也其二積内有兩
箇圓池是元虚了一步半方也
扵積内却實有一步除外止虚了半步也
[002-32b]
益古演段卷中