[074-1a] 
欽定四庫全書
厯算全書卷六十
宣城梅文鼎撰
壍堵測量二
總論
塹堵測量者句股法也以西術言之則立三角法也古
九章以立方斜剖成塹堵其兩端皆句股再剖之則成
錐體而四面皆句股矣任以錐體之一面平寘為底則
[074-1b]
其鋭上指環而視之皆成立面之句股而各有三角三
邊故謂之立三角也
立三角之法以測體積方圓斜側靡所不通其測渾圓
之弧度則有二理其一用視法如弧三角所詮用三角
三弧之正弦切線移於平面謂渾圓立/剖之平面即成三層句股
相似之比例今謂之渾圓容立三角也其一不用視法
而用實數如句股錐形等法用三弧三角之割線餘弦
各於其平面自成相似之句股以為比例三弧直剖至/渾圓之心即
[074-2a]
各成句股/形之面今謂之塹堵測量也渾圓内容之立三角亦/塹堵之分形而塹堵測
量所測亦渾圓之度因書匪一時所為而/意各有屬其名遂别二而一一而二者也
以上通論立三角及塹堵測量命名之意并其同
異之處因立三角有塹堵之名因渾圓内三層句/股生塹堵之用故存此二者以為塹堵測
量基/本
凡數之可算者皆可作圖以明之故渾圓可變為平圓
如古者葢天之圖是也數之可算可圖者皆可製器以
象之故渾圓可剖為錐體塹堵測量之儀器是也
[074-2b]
凡測算之器至今日大備且益精益簡古者渾儀經緯
相結為儀三重至郭太史之簡儀立運儀則一環而已
足今則更省之為象限儀是益簡益精之效也至於渾
象無與於測而有資於算所以證理也西法之簡平渾
葢以平寫渾亦可謂工巧之至獨未有器以證八線夫
用句股以算渾圓其法莫便於八線然八線之在平圓
者可以圖明在渾圓者難以筆顯鼎/葢嘗深思其故而
見渾圓中諸線犁然有合於古人塹堵之法乃以堅楮肖
[074-3a]
之為徑寸之儀而三弧三角各線所成之句股了了分
明省筆舌之煩以象相告於作圓布算不無小補而又
非若渾象之難成因名之曰塹堵測量從其質也
塹堵形析渾象之一體亦如象限儀割渾儀之一隅環
而測之則象限即渾儀之全周也周徧析之則塹堵即
渾象之全體也是故塹堵形可析為兩可合為一其析
者一為句股錐亦曰立/三角儀則起二分訖二至一為句股方
錐亦曰方/直儀則起二至訖二分起二分者西率起二至者
[074-3b]
古率也是兩者九十度中皆可為之自分訖至九十度/並可為句股錐自
至訖分九十度並/可為句股方錐然至半象以上割切三線太長溢出
於方塹堵之外故又有互用之法也其合者近分度用
句股錐近至度用句股方錐以黄道四十七度赤道四
十五度為限過此者互用其餘如是則兩錐形合之成
方塹堵矣
方塹堵内又成圓塹堵二其一下為赤道圓象限而一
為撱形之象限距度之割切二線所成也其一下為撱
[074-4a]
形象限而上為黄道之圓象限距度正弦黄道半徑所
成也兩圓塹堵之用已/括於兩錐形内兩圓塹堵内又以黄道正弦距
度正弦成小方塹堵之象則郭太史圓容方直本法也
於是又有圓容方直儀簡法而立三角之儀遂有三式
一句股錐其形四鋭一方直儀其底長方/一圓容方直簡法儀其底為渾圓幂之分
之三者或兼用割切或專用正弦而並不用角合渾圓
内三層句股觀之可以明立法之根
以上論塹堵測量儀器句股錐形及句股方錐形/二種為塹堵測量正用而
[074-4b]
圓容方直形專用正弦成小塹堵尤正用中之正/用也此小塹堵在兩重圓塹堵内故兼論之又此
小塹堵足闡授時弧矢/之祕因遂以郭法附焉
問八線生於角用八線而不用角何也曰角與弧相應
故用角即用弧也用弧即用角也明於斯理而後可以
用角渾圓内三層句股是也明於斯理而後可以不用
角塹堵三儀是也用角者西法也而用角即用弧則通
於古法也不用角者古法也而用弧即用角則通於西
法也于是而古法西法可以觀其㑹通息其煩喙矣
[074-5a]
以上論角即弧解之理
[074-6a]
立三角法序
立三角者量體之法也西學以幾何原本言度數而所
譯六卷之書止於測面其測體法則未之及葢難之也
余嘗以句股法釋幾何而稍為推廣其用謂之幾何補
編亦曰立三角法本為體積而設然其中義類頗有與
渾圓弧度之法相通者故摘録之以明塹堵測量之理
[074-7a]
立三角法摘録
總論
一立三角為有法之形
立三角之面皆平三角也平三角不拘斜正皆為有
法之形故立三角亦不拘斜正而皆為有法之形
一立三角為量體之宻率
[074-7b]
凡量體者必析之析之成立三角形則可以知其容
積可得而量矣若不可以立三角析者則為無法之
形不可以量
一立三角即錐體
立三角任以一面平安如底則餘三面皆斜立亦有/一面
正立/者而鋭必在上即成三角立錐
一各種錐體皆立三角之合形
凡錐體必上尖下濶任取其一面觀之皆斜立之平
[074-8a]
三角也凡錐形自其尖切至底則其中剖之立面亦
平三角也錐體之底或四邊五邊以至多邊若以對
角綫分其底又即皆成平三角也故四稜錐可分為
兩五稜錐可分為三六稜以上無不可分分之皆立
三角形故知一切錐體皆立三角之合形也
底之邊多至于三百六十又析之為分為秒以此為
[074-8b]
底皆可成錐體再析之至于無數即成平員底可作
員錐要之皆小平三角面無數以成之者也
一各種有法之形亦皆立三角之合形
如立方體依其稜剖至心成立分體皆扁方錐其斜
面輳心皆成立三角長方體亦然
四等面體從其稜剖至心成四分體八等面則成八
[074-9a]
分體二十等面成二十分體皆立三角錐
十二等面依稜剖至心成十二分體皆五稜錐其立
面五皆立三角
渾員形以渾員面冪為底半徑為髙作大員錐而成
[074-9b]
渾積凖前論皆無數立三角所成然則渾員亦立三
角也
渾員既為立三角所成則半之而為半渾員一平員/面一半
渾員面如/員𤓰中剖或再分之而為一象限或更小於象限之
渾員細分弧面自象限以内至于一度内若干/分秒如剖橘瓤並一弧面兩半平員面以渾
員之理通之皆立三角所成
一無法之形有面有稜即皆為立三角所成
凖前論各依其楞線割之至底或依對角線斜剖之
[074-10a]
即皆成立三角而無法之形皆可為有法之形
一立三角體之形不一而皆有三角三邊
非四面不能成體故立三角必四面非三角三邊不
能成面故立三角體之面皆三角三邊
約舉其類有四面相等者即四等面形也其面冪等/其稜之長
短亦/等
有三面相等而一面不等者其不等之一面必三邊
俱等餘三稜則自相等
[074-10b]
以上皆形也四等面任以一面為底其雉尖正立居/中三等面形以等邊之一面為底錐尖亦正立居中
有二面兩兩相等者
有二面相等餘二面不等者
有四面各不相等者
[074-11a]
有三面非句股而一面成句股者有兩面成句股者
其句股或/等或否
有四面並句股者句股立錐也
以上不皆正形而/皆為有法之形
一立三角形有實體有虛體
實者如臺如墖如堤虛者如井如池又如隔水測物
皆自其物之平面角作直線至人目即成虛立錐體
以人目為其頂鋭而所測平面則其底也所作直線
[074-11b]
皆為其稜若所測平面為四邊五邊以上皆可作對
角線分為立三角錐形虛體實體/並同一法
立三角又有三平面一弧面者如自地心作三直線
至星宿所居之度則此三星之相距皆弧度也三弧
度為邊即成弧三角形以為之底其三直綫皆大員
半徑以為之稜而合于地心以為之頂鋭亦立三角
之虛形即弧三/角錐體
若于渾球體作三大圏相交成弧三角形從三角作
[074-12a]
直線至員心依此析之即成實體與上法並同一理
一立三角形有立有眠有倒有倚立者以底平安則其
鋭尖上指如人之立
眠者以底側立如堵牆而錐形反横如人之眠此惟
正形之錐則有之既定一面為底則底在/下者為立在旁者為眠如虛形則
不拘正斜皆以所測為底
又如弧三角錐以渾員面上所成之弧三角為底以
三直線輳于渾體之心為其頂鋭則四面八方皆可
[074-12b]
為底而鋭常在心不特能眠能立亦且能倒能欹亦/惟
有底有鋭之正形則然若/他形底無定名隨人所置眠體倒體以及他形之欹
側不同而皆為有法之形者三角故也
一古法有壍堵陽馬鱉臑芻甍等法皆可以立三角處
之壍堵一/作塹堵
凡立方體從其面之一稜依對角斜線剖至其底相
[074-13a]
對之一稜則其積平分而成壍堵形
甲乙為頂有袤無廣丙丁戊己為方底或長/方則丙丁同巳戊為袤丁己仝丙戊為廣乙
丙同甲丁為其髙甲丁乙丙為立面甲乙戊/己為斜面皆長方乙丙戊同甲丁巳為兩端
立面皆句股形/而相對相等
壍堵形有如屋者甲乙頂袤如屋脊甲乙丙/丁及甲乙戊巳兩長方皆斜面而相等丙丁
戊己為底乙丙戊與甲巳丁兩圭形相對而/等而以乙辛為其髙其辛丙及辛戊俱平分
而/等
又或甲乙頂袤不居正中而近一邊然甲乙/與丁丙及巳戊俱平行而等其甲丁乙丙及
[074-13b]
甲巳乙戊兩斜面雖有大小而並為長方形/乙辛垂線不能分丙辛及辛戊為平分而必
與丙戊底為十字正/角則乙辛為正髙
以上三者皆壍堵之正形並以髙乘底折半見積何
也皆立方之半體其兩端皆立三角形也第一形兩/端為句股
第二第三皆以乙/辛中剖成兩句股
凡壍堵形亦可立可眠立者以甲乙為頂長丙丁戊
己為底眠者以戊己為頂長反以甲乙丙丁為底如
隔水測懸崖之類
[074-14a]
又有斜壍堵形其各綫不必平行底不必正/方但俱直線則底與兩斜面皆可作對角綫
以分為三角形而諸數可測實體/虛體並有之于測量之用尤多
斜壍堵本為無法之形而亦能為有法之形者可析
之成三角也
凡壍堵形從頂上一角依對角線斜剖之為兩則成
一立方錐一句股錐
塹堵形從乙角作乙巳乙丁两/對角線依線剖之則成两形
[074-14b]
立方錐一/ 句股錐一/
名陽馬/ 名鱉臑/
陽馬形以丙丁戊己方形為底以乙為頂鋭而偏居/一角故乙丙直立如垂線以為之髙其四立
面皆成句股形故/又名句股立方錐
論曰陽馬形從壍堵第一正形而分故其髙線直立
于一隅乃立方之楞線四面句股形因此而成是為
句股方錐之正體若斜壍堵等形之分形則但可為
斜立方錐而不得為句股方錐亦非陽馬
[074-15a]
斜立方錐者其頂不居正中然又不能正/立一隅故非句股立錐而但為斜立方錐
如上二形頂既偏側底亦非方亦斜立錐/形也然其立面皆三角故亦為有法之形
斜立方錐亦可立可眠皆可以立三角/法御之但不如句股立方錐之有一定
比/例
鱉臑形以甲乙為上袤而無廣以丁巳為/下廣而無袤故稱鱉臑象形也其
各面或句股或不為句股/而皆三角故又名三角錐
句股立錐形其上有袤而無廣下有廣而/無袤並同鱉臑所異者甲角
正方故乙甲丁立面乙甲巳斜面並成句/股又丁角正方故甲丁已平面乙丁巳斜
[074-15b]
面並成句股又丁角正方故甲丁巳平面/乙丁巳斜面並成句股是四面皆句股也
故謂之句股方錐/而不得僅名鱉臑
論曰鱉臑中有句股立錐猶斜立方錐中之有句股
方雉也立三角皆有法之形而此二者尤可以明測
量比例之理
又論曰立三角所以為有法形者謂其可施八線也
而八線原為句股之比例此二者既通體皆句股所
成故在有法形中尤為有法矣
[074-16a]
又論曰若于句股方錐再剖之即又成二句股錐而
皆等積故陽馬為立方三之一句股錐則為六之一
皆立方之分體也
又論曰句股方錐及句股錐皆生于塹堵故塹堵形
為測量之綱要
芻薨形亦如屋而兩端漸殺故頂窄而底寛其丙/丁戊己底或正方或長方甲乙頂小于丙丁或居
正中或稍偏然皆與/丙丁及戊己平行
芻甍葢取草屋之象乃壍堵形之一種亦可分為三鱉臑
[074-16b]
又有芻童者形如方臺皆立方之變體方臺面與底俱正
方蒭童則長方而面小底大則同亦皆可分為立三角
[074-17a]
凖前論方臺作對角線並可為兩芻甍即可再分為
六鱉臑即皆立三角錐也
論曰量面者必始于三角量體者必始于鱉臑皆有
法之形也量面者析之至三角而止再析之仍三角
耳量體者析之至鱉臑而止再析之仍鱉臑耳面之
可以析為三角者即為有法之面體之可以析之為
鱉臑者即為有法之體葢鱉臑即立三角之異名也
量體者必以立三角非是則不可得而量
[074-17b]
算法
凡算立三角體須求其正髙以正髙乘底以三而一見
積其法有三其一頂居一角其稜直立即用為正髙其
二頂鋭不居一角而在三角之間其三頂斜出底三邊
之外並以法求其垂線為正髙
假如巳甲乙丙立三角體甲乙丙為底已為
頂鋭正居丙角之上巳丙如垂線為髙先以
乙丙五十六尺甲乙邊六十/一尺甲丙邊七十/五尺求
[074-18a]
其羃積一千六百/三十尺以乘已丙髙四十/尺得六萬七千/二百尺為
實以三為法除之得二萬二千/四百尺為立三角錐體若欲
知已乙甲已兩斜弦依句股求弦即得已丙既直立/則恒為股以
股自乘冪加乙丙句冪為弦冪開方得已乙弦/又以股冪加甲丙句冪為弦冪開方得甲乙弦
若已頂不居一角而在三角之中則已丙
非正髙乃斜稜也法當分為兩形其法依
丙已稜直剖至底
以上二形乃中剖為二之象其中剖之立
[074-18b]
面亦成丁已丙三角形如平三角法求得已戊垂線
即為正髙如上法先求甲乙丙羃以乘已戊髙得數
為實三除見積
又法不必剖形但于形外任依一楞如丙
已于庚作垂線至丙以法取庚㸃與已頂
平行即庚丙為正髙與己戊等或量得庚/已横距為
句以己丙為弦求其股/即得庚丙正髙亦同
立三角之頂有斜出者或在底外則于已
[074-19a]
頂作垂線至庚與甲乙丙底平行乃任用
相近一稜如己乙為弦量庚乙之距為句
依法求其股得己庚為其正髙以乘底三
除見積
問己頂既居形外己庚何以得為正髙也曰此易知
也但補作甲庚虛線成四邊形為底則為四稜立錐
而己庚為其正髙甲乙丙底乃其底之分也亦必以
己庚為正髙矣
[074-19b]
假如乙庚丙甲為底丙甲與乙庚等丙乙
與甲庚等或斜方或正方其己庚一稜正
立如垂則即為正髙正髙乘方底三除之
即體積也若從甲乙對角線分其底為均
半又依甲己甲乙二稜從頂直剖之至底則分為兩
三角形而各得其積之半矣底既平分為兩則/其積亦平分為兩其己
庚乙甲形與己甲乙丙形既皆半積則相等而庚乙
甲底與甲乙丙底又等則其髙亦等而己庚乙甲形
[074-20a]
既以己庚為髙矣則己甲乙丙形之髙非己庚而何
又論曰量體積者必先知面猶量面冪者必先知綫
也然則量體者亦先知線矣是故量體之法可轉用
之以求線也量體者有先知之面冪有求而得之面/冪夫求之而得面者必先求其面冪之
界界即線也故量體之/法可用之以求線也何謂以量體之法求綫曰測
量是也前論立三角有虛體為測量之用夫虛體者
無體者無體而有線如實體之有稜故可以量體之
法求之也如所測之物有三㸃即成三邊三角當以
[074-20b]
三直線測之則立三角錐形矣所測有四㸃當以四
直線測之則四稜立錐形矣兩測則又為塹堵形矣
故測量之法可以求線也
又論曰用立三角以量體者所用者仍平三角也而
用三角以量面者所用者仍句股也吾㠯是而知聖
人立法之精深廣大
[074-21a]
渾圜内容立三角體法
全形為塹堵
分形為鼈臑即立三角體又為句股
立錐西法所用
若内切小塹堵則為圜容方直形即
郭太史弧矢法
先解全形 塹堵體
亢戊乙夘為塹堵斜面 其形長方
[074-21b]
夘乙為渾圜半徑夘為渾/圜之心亢戊為四十五度切線與
夘乙同度同為横邊 亢夘為乙角割線與戊乙同
度同為直邊
亢氐戊丁為塹堵立面 其形横長方
亢氐者乙角切線也與戊丁同度以為之髙 亢戊
及氐丁皆四十五度切線與半徑同度以為之濶
亢氐夘戊丁乙皆塹堵兩和之牆 其形皆立句股
氐夘同丁乙皆半徑為句 亢氐同戊丁皆乙角切
[074-22a]
線為股 亢夘同戊乙皆乙角割線為弦
夘乙丁氐為塹堵之底 其形正方
夘乙及夘氐皆渾圜半徑其對邊悉同
法曰先為立方體以容渾球使北極在上南極在下皆
正切于立方底葢之中心則赤道平安而赤道之二分
二至亦皆在立方四面之中心矣
次依赤道横剖方體為均半而用其上半為半立方容
半渾圜形則二分二至皆在半立方之底線各中心而
[074-22b]
赤道全圈居其底
次依二分二至從北極十字剖之又成四小立方各得
原立方八之一而小立方内各容渾圜分體八之一
此小立方有一角之楞直立為北極之軸上為北極下
即渾圜心夘角也其立方根皆渾圜半徑
次依黄赤道大距取切線為髙作横線于小立方夏至
之一邊即亢戊線
次依亢戊横線斜剖至對邊之足則成塹堵矣對邊之/足即夘
[074-23a]
乙也本為黄赤道半徑今在小/立方體為方底之邊故云足也
塹堵體有五面 其一斜面亢戊乙/夘長方 其三立面一亢/氐戊
丁長方二亢氐夘戊/丁乙相等兩句股 其一方底夘乙氐/丁平方
[074-23b]
塹堵形面 有赤道象弧在方底 有黄赤大距弧在
立句股邊 即兩和之牆
底形 底形正方 其夘角即黄赤道心
氐甲乙為赤道一象限 乙為春分
氐為夏至赤道 夘氐及夘乙皆
赤道半徑 其對邊氐丁及乙丁皆
四十五度切線
[074-24a]
立句股面形一 立句股之面有二一亢氐夘/一戊丁乙皆同角
同邊 亢氐夘形内有氐癸弧為夏
至黄赤大距二十三度半强 氐夘
為赤道半徑 癸夘為黄道半徑
夘角為黄赤大距角氐癸弧/之角 亢氐
者氐癸弧之切線亦即夘/角切線 亢夘者
氐癸弧之割線亦即夘/角割線
[074-24b]
癸弧之割線亦即夘/角割線
立句股面形二 戊乙丁形即前圖亢氐夘形之對面
戊丁髙同亢氐切線如/股 戊乙斜
線同亢夘割線如/弦 丁乙横線同氐
夘如/句 乙角同夘角
[074-25a]
又有黄道象弧在斜面
斜面形 斜面形長方其斜立之/勢依黄道 其夘角為
黄道心即赤/道心 乙丙癸為黄道一象
限 乙為春分與赤道/同用 癸為黄道
夏至 夘癸及夘乙皆黄道半徑内/夘
乙與赤/道同用 亢夘為二十三度半强之
割線夏至黄赤/大距割線 其相對戊乙邊與亢夘割線同度
亢戊邊與夘乙半徑相對同度乃四十五度之切線與/底
[074-25b]
上切線氐/丁相應
立面形 立面形亦長方其勢直立 亢戊及
氐丁二邊為其濶皆四十五度切線
與半徑同度 亢氐及戊丁為其高
皆二十三度半之切線夏至黄赤/大距切線
以亢戊邊庋起斜面之亢戊邊而成
角體仍以氐丁邊聯于方底之氐丁
邊則其形直立矣
[074-26a]
次解分形 立三角體古謂鼈臑/即句股錐
内含乙甲丙弧三角形及乙甲丙夘弧三角錐
夘為渾圜心黄赤/同用 夘乙渾圜半徑黄赤/同用 乙丙弧為
黄道經度 丙夘為黄道半徑 乙甲弧為赤道經度
甲夘為赤道半徑 丙甲弧為黄赤距緯 乙為春
[074-26b]
分㸃 酉乙未角為春分角二十三度半與二至大距
之緯度相應此角不動 丙為所設黄道度距春分後
之㸃此㸃移則丙之交角變而諸數皆從之而變
法曰于前圖全形塹堵斜面黄道象弧内尋所設黄道
經度自春分乙/起數設度至丙從丙向圜心夘作丙夘
半徑遂依半徑引長至塹堵之邊酉/成酉夘直線依酉
夘直線直剖至底未夘線為底/酉未線為邊成酉未乙夘立三角體
此立三角體有四面而皆句股故又曰句股立錐
[074-27a]
立句股之錐尖為酉
其斜面為酉乙夘句股形乙正角句乙酉為股弦/乙夘為 酉夘為
其立面二
一為酉未乙句股形未正角句酉未垂線為股/未乙為 酉乙為弦
一為酉未夘句股形未正角句酉未垂線為股/未夘為 酉夘為弦
其底為未乙夘句股形乙正角句未乙為股弦/乙夘為 未夘為
以上四句股面凡楞線六
夘乙半徑也酉乙黄道丙乙弧之切線也而酉夘則其
[074-27b]
割線也未乙赤道乙甲弧之切線也而未夘則其割線
也惟酉未垂線於八線無當今名之曰錐尖垂線亦曰
錐尖柱亦曰外線以其離於渾圜之體也
句股面有四而用者一酉未乙也以其能與乙角之大
句股為比例也
楞線六而用者二酉乙及未乙也以其為二道之切線
為八線中有定數可為比例也
第一層句股比例圖
[074-28a]
酉未乙句股形以黄道切線酉/乙赤道切線
未/乙相連于乙角成鋭/角則酉乙為弦未乙為
句而戊丁乙及牛昴乙二句股形同在一
立面又同用乙角故可以相為比例
術為以赤道半徑丁/乙比乙角之割線戊/乙若
赤道切線未/乙與黄道切線酉/乙也此為以/句求弦
又以黄道半徑牛/乙比乙角之餘弦昴/乙若黄
道切線酉/乙與赤道切線未/乙也此為以/弦求句
[074-28b]
解曰丁乙與氐昴同大則皆赤道半徑也戊乙與亢夘
同大則皆乙角割線也牛乙與癸卯同大皆黄道半徑
昴乙與己夘同大皆乙角餘弦也 從乙窺夘則成一
㸃而乙角夘角合為一角其角之割線餘弦盡移于塹
堵之第一層而同在一立面為句若弦觀總圖/自明
以赤道求黄道 以黄道求赤道
一 赤道半徑 一 黄道半徑
二 乙角割線 二 乙角餘弦
[074-29a]
三 赤道切線 三 黄道切線
四 黄道切線 四 赤道切線
若求角者反用其率 又法
四 乙角割線 四 乙角餘弦
第二層句股比例圖
[074-29b]
子甲丑句股形以黄赤距度之切線子/甲赤
道之正弦甲/丑相連于甲成正角則子甲為
股甲丑為句而與坎震丑及女婁丑二句
股形同在一立面又同丑角故可相求
術為以赤道半徑震/丑比乙角之切線坎/震若
赤道正弦甲/丑與距度之切線子/甲也是為以/句求股
又為以乙角之正弦女/婁與乙角餘弦婁/丑若
距度之切線子/甲與赤道之正弦甲/丑也是為/以股
[074-30a]
求/句
解曰震丑即氐夘赤道半徑也坎震即亢氐乙角之切
線也女婁即癸己而婁丑即己夘乙角之正弦餘弦也
從乙窺夘則乙丑夘成一㸃而合為一角其角之切
線正弦餘弦盡移于塹堵第二層立面為句與股
以赤道求距度 以距度求赤道 又法
一 半徑 一乙角正弦 一乙角切線 半徑
二 乙角切線 二乙角餘弦 二半徑 乙角/餘切
[074-30b]
三 赤道正弦 三距度切線 三 距度切線
四 距度切線 四赤道正弦 四 赤道正弦
若求角則反用其率 又法
一 距道切線 半徑 一 赤道正弦 半徑
二 赤道正弦 二 距度切線
三 半徑 距度/餘切 三 半徑 赤道/餘割
四 乙角餘切 四 乙角切線
第三層句股比例圖
[074-31a]
丙辛壬句股形以距度正弦丙/辛黄道正弦
丙/壬相連于丙而成鋭角則丙壬為弦丙辛
為股而與乾艮壬及奎胃壬二句股同在
一立面同用壬角故可相求
術為以黄道半徑奎/壬比乙角之正弦奎/胃若
黄道正弦丙/壬與距度之正弦丙/辛也是為以/弦求股
又為以乙角之切線乾/艮比乙角之割線乾/壬
若距度之正弦丙/辛與黄道正弦丙/壬也是為以/股求弦
[074-31b]
解曰奎壬即癸夘黄道半徑也奎胃即癸己距度正弦
也乾艮即亢氐而乾壬即亢夘則乙角之切線割線也
從乙窺夘則乙丑壬夘半徑因直視成一㸃而合為
為一角其角之正弦切割線盡移于塹堵之第三層立
面以為弦為股
以黄道求距度 以距度求黄道 又法
一 半徑 一 乙角切線 一 乙角正弦 半徑
二 乙角正弦 二 乙角割線 二 半徑 乙角/餘割
[074-32a]
三 黄道正弦 三 距度正弦 三 距度正弦
四 距度正弦 四 黄道正弦 四 黄道正弦
若求角則反用其率 又法
一 距度正弦 半徑 一 黄道正弦 半徑
二 黄道正弦 二 距度正弦
三 半徑 距度/餘割 三 半徑 黄道/餘割
四 乙角正割 四 乙角正弦
弧三角錐體即割渾圜/體之一分
[074-32b]
法曰依前論從丙㸃對夘直割至底則截黄道于丙截
赤道于甲得丙乙及甲乙二弧所剖渾圜之跡又成丙
甲弧為兩道/距緯三弧相湊成丙甲乙弧三角面 丙夘甲
夘乙夘同為半徑三半徑為楞輳于夘心夘為三角之
[074-33a]
尖乙甲丙弧三角面為底成乙甲丙夘弧三角錐體為
割渾圜體之一分也
此弧三角錐體含于句股立錐體内凖前論可以明之
因此弧三角錐與句股錐同鋭夘/尖異底一以弧三角面/為底一以句股
平面/為底故以弧三角變為句股以求其比例而有三法即/前
條所論三/層句股
其一為酉未乙句股形
用酉乙弦為黄道丙/乙弧切線未乙句為赤道乙/甲弧切線以當乙角之
[074-33b]
弦與句
其一為子甲丑句股形
用子甲股為距度丙/甲弧切線甲丑句為赤道乙/甲弧正弦以當乙角之
股與句
其一為丙辛壬句股形
用丙辛股為距度丙/甲弧在弦丙壬弦為黄道丙/乙弧正弦以當乙角之
股與弦
問兩弧求一弧非句股錐乎與此所用同耶異耶曰形
[074-34a]
不異也乃法異耳何言乎法異曰句股錐一也而有用
角不用角之殊此用角度其句股在錐形之底以夘心/為錐形
之鋭則三層句/股皆為其底而遙對渾體之心以視法成比例兩弧
求一弧不用角度其句股同在錐形之一面無假視法
自成比例所以不同然其為句股之比例一而已矣
然則兩弧求一弧惟用割線餘弦此所用者惟正弦切
線又何不同若是耶曰角之句股在心如夘亢氐等形/皆依極至交圏
平剖渾圜成平面其象/始著是在渾圜之心與為比例之句股在面如酉未/乙等形
[074-34b]
皆以一角連/於渾圜之面二者相離以視法相叠如一平面然惟正
弦切線能與之平行從凸面平視則設度之正弦切線/皆與渾圜中割之平面諸線平行
若割線餘弦皆非平行因視法而躋縮失其本象或斜/對則
長線成短線或對/視則直線成一㸃不能為比例無所用之矣若兩弧求
一弧則其句股自相垜疊於一平面平立斜三面各具/三句股而如相垜
疊並以一大句/股横截成三皆以本數自相為比例全不闗于視法
故無躋縮而其算皆割線餘弦所成于正弦切線反無
所取所以不同 若以量體之法言之割線餘弦為量
[074-35a]
立楞斜楞之法正弦切線則量底之法也兩弧求一弧/法見二卷
如圖 以卯為句股立
錐之頂卯乙為直立之
楞如渾圓半徑夘未夘
酉為斜面之楞並如割
線酉乙未乙兩底線並如
切線若依底線平截之成
大小三形則比例見矣
[074-35b]
剖渾圜用餘度法
乙丙黄道弧在四十五
度以上求甲乙赤道弧
即同/升度
依前法 半徑癸卯亦/即庚乙
與乙角春/分之餘弦乙壬/亦即
卯/己若乙丙黄/道之切線尾/乙
與乙甲赤/道之切線箕/乙
[074-36a]
此法無誤但如此則兩切線大于塹堵須引之于形外
是以小比例例大比例也若至八十度切線太大不可
作圖矣
今改用餘度 法自卯渾圜心遇黄道設弧丙作線至
酉剖至/底
以乙丙黄道之餘弧癸丙取其切線于斜面如癸斗
又以乙甲赤道之餘弧甲氐取其切線于底如氐
未即以氐未移至斜面之楞如亢酉變立句股尾箕/乙
[074-36b]
為平斜句股酉亢卯及斗癸/卯兩形皆相似 法為半徑癸/卯與乙角
之正割線乙角即卯角其割/線戊乙亦即卯亢若乙丙黄道之餘切線
癸/斗與乙甲赤道之餘切線也亢酉亦/即氐未
按此法從亢戊邊剖塹堵成句股方錐之眠體
其剖形以亢氐酉未長方形為底以卯為錐尖以斜
面之卯亢酉句股形及平面之卯氐未句股形為相
對之二邊又以卯氐亢之立面句股形及卯未酉之
斜立面句股形為相對之二邊其四面皆句股其底
[074-37a]
長方而以卯為尖故曰眠形
不直曰方錐者以面皆句股而卯氐線正立故不得
僅云陽馬謂之句股方錐可也亦如句股錐立三角
不得僅謂鼈臑
[074-38a]
塹堵測量二
句股錐形序即兩弧/求一弧
正弧三角之法即郭太史側視圖也郭法以側視取立
句股又以平視取平句股故有圓容方直之法而不須
用角西法専以側視之圖為用故必用角用角即用弧
也惟其用角故所用者皆側立之句股也余此法則兼
用平立斜三種句股而其大小句股之比例並在一平
面尤為明白易見而不更言角既與授時之法相通其
[074-38b]
兼用割線起算春分又西厯之理也葢義取適用原無
中外之殊笇不違天自有源流之合敬存此稿以質方
來其授時厯側視平視之圖詳具别卷
[074-39a]
正弧三邉形以兩弧求一弧法句股錐形之理/
用割線餘弦以弧度求弧度而不言角其理與郭法
相通
丙甲乙三角弧形 甲為正角
卯為渾員心丙乙為黄道距春分之
一弧甲乙為赤道同升之弧丙甲為
黄赤距度即過極圈/之一弧丙卯為黄道半
徑甲卯為赤道半徑卯乙為黄赤兩
[074-39b]
道之半徑壬卯為丙乙黄道之餘弦以丙壬為/其正弦故丑卯為
甲乙赤道之餘弦以甲丑為/其正弦故辛卯為丙甲距度之餘弦
以丙辛為/其正弦故子卯為丙甲割線以子甲為/切線知之酉卯為丙乙割
線以酉乙為/切線如之未卯為甲乙割線以未乙為/切線知之
斜面酉乙卯及子丑卯及丙壬卯皆句股形乙丑壬皆
正角又同用卯角角之弧為丙乙黄道 平面未乙卯
及甲丑卯及辛壬卯皆句股形乙丑壬皆正角又同用
卯角角之弧為甲乙赤道 立面酉未卯及子甲卯及
[074-40a]
丙辛卯皆句股形未甲辛皆正角又同用卯角角之弧
為丙甲距度其又一立面酉未乙及子甲丑及丙辛/壬三句股形為切線正弦所作兹不論
論曰因諸線成平面句股形為底兩立面句股形為牆
斜面句股形為面則四面皆句股形矣而酉未聯線及
子甲切線丙辛正弦皆直立上對天頂下指地心故謂
之句股錐形也既成句股則其相等之比例可以相求
用法
半徑與赤道之餘弦若黄道之割線與距度之割線
[074-40b]
反之則赤道餘弦與半徑若距度割線與黄道割線
一 甲乙餘弦 丑卯小句 二 半徑 乙卯大句
三 丙甲割線 子卯小弦 四 丙乙割線 酉卯大弦
又更之則黄道割線與半徑若距度割線與赤道餘弦
[074-41a]
一 丙乙割線 酉卯大弦 二 半徑 乙卯大句
三 丙甲割線 子卯小弦 四 甲乙餘弦 丑卯小句
右取斜面酉乙卯子丑卯兩句股形以乙卯半徑為
比例偕一餘弦兩割線而成四率
半徑與距度之割線若黄道之餘弦與赤道之餘弦
一 半徑 丙卯小弦 二 丙甲割線 子卯大弦
三 丙乙餘弦 壬卯小句 四 甲乙餘弦 丑卯大句
反之則距度割線與半徑若赤道餘弦與黄道餘弦
[074-41b]
一 丙甲割線 子卯大弦 二 半徑 丙卯小弦
三 甲乙餘弦 丑卯大句 四 丙乙餘弦 壬卯小句
又更之則黄道餘弦與半徑若赤道餘弦與距度割線
一 丙乙餘弦 壬卯小句 二 半徑 丙卯小弦
三 甲乙餘弦 丑卯大句 四 丙甲割線 子卯大弦
右取斜面丙壬卯子丑卯二句股形以丙卯半徑偕
一割線兩餘弦而成四率
半徑與赤道割線若距度割線與黄道割線
[074-42a]
更之則赤道割線與半徑若黄道割線與距度割線
一 甲乙割線 未卯大句 二 半徑 甲卯小句
三 丙乙割線 酉卯大弦 四 丙甲割線 子卯小弦
又更之則距度割線與半徑若黄道割線與赤道割線
[074-42b]
一 丙甲割線 子卯小弦 二 半徑 甲卯小句
三 丙乙割線 酉卯大弦 四 甲乙割線 未卯大句
右取立面酉未卯子甲卯二句股形以甲卯半徑偕
三割線而成四率
半徑與黄道餘弦若赤道割線與距弧餘弦
一 半徑 乙卯大句 二 丙乙餘弦 壬卯小句
三 甲乙割線 未卯大弦 四 丙甲餘弦 辛卯小弦
更之則黄道餘弦與半徑若距弧餘弦與赤道割線
[074-43a]
一 丙乙餘弦 壬卯小句 二 半徑 乙卯大句
三 丙甲餘弦 辛卯小弦 四 甲乙割線 未卯大弦
又更之則赤道割線與半徑若距弧餘弦與黄道餘弦
一 甲乙割線 未卯大弦 二 半徑 乙卯大句
三 丙甲餘弦 辛卯小弦 四 丙乙餘弦 壬卯小句
右取平面未乙卯辛壬卯二句股形以乙卯半徑偕
兩餘弦一割線而成四率
半徑與距度餘弦若赤道餘弦與黄道餘弦
[074-43b]
更之則距度餘弦與半徑若黄道餘弦與赤道餘弦
一 丙甲餘弦 辛卯小弦 二 半徑 甲卯大弦
三 丙乙餘弦 壬卯小句 四 甲乙餘弦 丑卯大句
又更之則赤道餘弦與半徑若黄道餘弦與距度餘弦
[074-44a]
一 甲乙餘弦 丑卯大句 二 半徑 甲卯大弦
三 丙乙餘弦 壬卯小句 四 丙甲餘弦 辛卯小弦
右取平面甲丑卯/辛壬卯二句股以甲卯半徑偕三餘弦而成四率
半徑與黄道割線若距弧餘弦與赤道割線
[074-44b]
更之則黄道割線與半徑若赤道割線與距弧餘弦
一 丙乙割線 酉卯大弦 二 半徑 丙卯小弦
三 甲乙割線 未卯大句 四 丙甲餘弦 辛卯小句
又更之則距弧餘弦與半徑若赤道割線與黄道割線
一 丙甲餘弦 辛卯小句 二 半徑 丙卯小弦
三 甲乙割線 未卯大句 四 丙乙割線 酉卯大弦
右取立面酉未卯丙辛卯二句股形以丙卯半徑偕
兩割線一餘弦而成四率
[074-45a]
作立三角儀法即句股錐形/
法以堅楮依各線畫成句股而摺輳之則各線之在渾
員者具可覩矣 任取黄道之一弧為例則各弧並同
底上甲乙弧赤道同升度
也赤道各線俱在平面為
底面上丙乙弧黄道度也
黄道各線俱在斜面立面
丙甲弧度黄赤距緯也距
[074-45b]
緯各線俱在立面 外立面為黄赤兩切線之界
論曰此即郭若思太史員容方直之理也太史法從二
至起算先求大立句股依距至黄道度取其正半弦為
界直切至赤道平面截黄赤道兩半徑成小立句股以
此為法求得平面大句股則赤道之正半弦也其直切
兩端下垂之跡在二至半徑者既成小立句股其在所
求本度者又成斜立句股此斜立句股之股則本度黄
赤距度之正半弦也于是直切之跡有黄道正半弦為
[074-46a]
其上下之横長有黄赤距度之正半弦為兩端之直濶
成直立之長方形而在渾體之中故曰弧容直濶也此
側立長方之四角各有黄赤道之徑為其楞以直湊渾
體之心成眠體之句股方錐句股方錐者底雖方而錐
尖偏在一楞則其四面皆成句股此郭太史之法也今
用八線之法以句股御渾體其意略同但其法主於用
角故從二分起算遂成立句股錐形立句股錐形亦可
以卯心為錐尖是為眠體錐形如此則兩錐形之尖皆
[074-46b]
在員心一郭法/一今法而可通為一法是故用郭太史法則以
句股方錐為主而句股錐形其餘度所成之餘形今以
句股錐形為主則員容直濶所成句股方錐又為餘度
餘形矣然則此兩法者不惟不相違而且足以相法古
人可作固有相視而笑莫逆於心者矣余竊怪夫世之
學者入主出奴不能得古人之深而輕肆詆訶者皆是
也吾安得好學深思其人與之上下其議哉
[074-47a]
句股方錐序
塹堵虚形以測渾員原有二法一為句股錐形一為句
股方錐其句股錐之法嚮有
法方錐之法亦略見於
諸篇而未暢厥㫖故復著之其法以弧求弧而不求角
與句股錐同而起算二至則郭太史本法矣方錐與錐
形互相為正餘故亦可以算距分之度也
[074-48a]
筭黄赤道及其距緯以兩弧求一弧又法用句股方錐形/亦塹堵形之分
以八綫法立筭起數二至本郭法史員容方直之理
而稍廣其用亦不言角
如圖癸為二至黄道癸丙為
距至黄道之一弧如所/設氐為
二至赤道氐甲為距至赤道
之一弧與癸丙黄/道相應癸氐為二
至黄赤大距弧二十三/度半强丙甲
[074-48b]
為所設各度之黄赤距緯即過極圈/之一弧卯為渾圓心
黄道癸丙之正弦丙張餘弦張卯正矢癸張切綫癸斗
割綫斗卯
赤道氐甲之正弦甲庚餘弦庚卯正矢氐庚切線氐室
割綫室卯
大距度癸氐之正弦癸己餘弦己卯正矢氐己切綫氐
亢割綫亢卯
距緯丙甲之正弦丙辛餘弦辛卯正矢甲辛切綫甲子
[074-49a]
割綫子卯
論曰因諸綫成各句股形為句股方錐之面其鋭尖皆
㑹於卯心又成方直形以為之底遂成句股方錐之眠
體
一斜平面有黄道弧諸綫成句股形二一丙張卯/一斗癸卯又有
相應之赤道諸綫亦成句股形二一壁亢卯/一子房卯四者皆
形相似而比例等
一平面有赤道弧諸綫成句股二一甲庚卯/一室氐卯又有相應
[074-49b]
之黄道諸綫亦成句股二一辛井卯/一亥己卯四者皆形相似
而比例等
一立面有大距弧諸綫成句股二一癸己卯/一亢氐卯又有相對
之距緯諸綫亦成句股二一張井卯/一房庚卯四者皆形相似
而比例等
一斜立面有黄赤距度諸綫成句股二一丙辛卯/一子甲卯又有
相對之大距度諸綫亦成句股二一斗亥卯/一壁室卯四者皆
形相似而比例等
[074-50a]
論曰斜平面平面立面斜立面各具四句股而並為相
似之形者皆以一大句股截之成四也其股與弦並原
綫而所截之句又平行其比例不得不等
一内外兩方直形一在渾員形内即郭法所用乃黄道/及距緯兩正弦所成一在渾員形外
乃赤道及大距/兩切線所成有平立諸綫為各相似相連句股形
之句亦即為相似兩方錐之底而比例等
一不内不外兩方直形一跨黄道内外乃赤道正弦及/距緯切綫所成一跨赤道内外
乃黄道切綫及/大距正弦所成有平立諸綫為各相似相連句股形
[074-50b]
之句亦即為相似兩方錐之底而比例等
論曰方錐眠體以平行之底横截之即四種方直形/皆方錐之底成
大小四方錐其錐體之頂鋭卯/與其四棱皆不動所截
之底又平行故其比例相似而等
又論曰黄道在斜平面赤道在平面而其綫互居者以
方直形故也大距度在立面距緯度在斜立面而其綫
畢具者亦以方直形故也葢形既方直則横綫直綫兩
兩相對而等
[074-51a]
用法
斜平面比例
黄道半徑與黄道正弦若距緯割綫與赤道正弦
更之黄道正弦與黄道半徑若赤道正弦與距緯割
[074-51b]
綫
一丙張小股 二丙卯小弦 三子房大股 四子卯大弦
又更之距緯割綫與黄道半徑若赤道正弦與黄道正
弦
一子卯大弦 二丙卯小弦 三子房大股 四丙張小股
右取斜平面張丙卯房子卯二句股形以丙卯半徑
偕一割綫兩正弦而成四率
黄道半徑與黄道切綫若大距割綫與赤道切綫
[074-52a]
更之黄道切綫與黄道半徑若赤道切綫與大距割綫
一癸斗小股 二癸卯小句 三亢壁大股 四亢卯大句
又更之大距割綫與黄道半徑若赤道切綫與黄道切綫
一亢卯大句 二癸卯小句 三亢壁大股 四癸斗小股
[074-52b]
右取斜平面斗癸卯壁亢卯二句股形以癸卯半徑
偕一割綫兩切綫而成四率
平面比例
赤道半徑與赤道正弦若距緯餘弦與黄道正弦
[074-53a]
更之赤道正弦與赤道半徑若黄道正弦與距緯餘弦
一甲庚大股 二甲卯大弦 三辛井小股 四辛卯小弦
又更之距緯餘弦與赤道半徑若黄道正弦與赤道正
弦
一辛卯小弦 二甲卯大弦 三辛井小股 四庚甲大股
右取平面井辛卯庚甲卯二句股形以甲卯半徑偕
一餘弦兩正弦而成四率
赤道半徑與赤道切綫若大距餘弦與黄道切綫
[074-53b]
更之赤道切綫與赤道半徑若黄道切線與大距餘弦
一氐室大股 二氐卯大句 三己亥小股 四己卯小句
又更之大距餘弦與赤道半徑若黄道切與赤赤道切綫
一己卯小句 二氐卯大句 三己亥小股 四氐室大股
[074-54a]
右取平面亥己卯室氐卯二句股形以氐卯半徑偕
一餘弦兩切綫而成四率
立面比例
黄道半徑與大距正弦若黄道餘弦與距緯正弦
[074-54b]
更之大距正弦與黄道半徑若距緯正弦與黄道餘弦
一癸己大股 二癸卯大弦 三張井小股 四張卯小弦
又更之黄道餘弦與黄道半徑若距緯正弦與大距正
弦
一張卯小弦 二癸卯大弦 三張井小股 四癸己大股
右取立面己癸卯井張卯二句股形以癸卯半徑偕
一餘弦兩正弦而成四率
赤道半徑與大距切綫若赤道餘弦與距緯切綫
[074-55a]
更之大距切綫與赤道半徑若距緯切線與赤道餘弦
一氐亢大股 二氐卯大句三庚房小股 四庚卯小句
又更之赤道餘弦與赤道半徑若距緯切綫與大距切線
一庚卯小句 二氐卯大句三庚房小股 四氐亢大股
[074-55b]
右取立面房庚卯亢氐卯二句股形以氐卯半徑偕
一餘弦兩切線而成四率
斜立面比例
黄道半徑與距緯正弦若黄道割綫與大距正弦
[074-56a]
更之距緯正弦與黄道半徑若大距正弦與黄道割綫
一丙辛小股 二丙卯小弦 三斗亥大股 四斗卯大弦
又更之黄道割線與黄道半徑若大距正弦與距緯正
弦
一斗卯大弦 二丙卯小弦 三斗亥大股 四丙辛小股
右取斜立面辛丙卯亥斗卯二句股形以丙卯半徑
偕一割線兩正弦而成四率
赤道半徑與距緯切線若赤道割綫與大距切線
[074-56b]
更之距緯切線與赤道半徑若大距切線與赤道割線
一甲子小股 二甲卯小句 三室壁大股 四室卯大句
又更之赤道割綫與赤道半徑若大距切綫與距緯切
線
[074-57a]
一室卯大句 二甲卯小句 三室壁大股 四甲子小股
右取斜立面子甲卯壁室卯二句股形以甲卯半徑偕
一割線兩切綫而成四率
以上方錐形之四面每面有大小四句股形即各
成四率比例者六合之則二十有四並以兩弧求
一弧而不言角
方直形比例
黄道正弦與距緯正弦若赤道切線與大距切綫
[074-57b]
更之距緯正弦與黄道正弦若大距切線與赤道切線
一張井小股 二井辛小句 三亢氐大股 四氐室大句
又更之赤道切線與大距切線若黄道正弦與距緯正
弦
[074-58a]
一氐室大句 二亢氐大股 三井辛小句 四張井小股
再更之大距切綫與赤道切綫若距緯正弦與黄道正
弦
一亢氐大股 二氐室大句 三張井小股 四井辛小句
右取渾體内所容方直形上黄道及距緯兩正弦偕
渾體外所作方直形上赤道及大距兩切綫而成四
率
赤道正弦與距緯切綫若黄道切綫與大距正弦
[074-58b]
更之距綫切綫與赤道正弦若大距正弦與黄道切綫
一房庚小股 二庚甲小句 三癸己大股 四己亥大股
又更之黄道切綫與大距正弦若赤道正弦與距緯切
綫
[074-59a]
一己亥大句 二癸己大股 三庚甲小句 四房庚小股
再更之大距正弦與黄道切綫若距緯切綫與赤道正弦
一癸己大股 二己亥大句 三房庚小股 四庚甲小句
右取方直形上黄道切綫大距正弦偕又一方直形
上赤道正弦距緯切線而成四率
以上大小方錐形之底各成方直形而兩兩相偕
即各成四率比例者四合之則八並以三弧求一
弧而不言角
[074-59b]
凡句股方錐形所成之四率比例共三十有二皆不
言角内四率中有半徑者二十四並兩弧求一弧四
率中無半徑者八以三弧求一弧其不言角則同
問各面之句股形並以形相似而成比例若方直形所
用皆各形之大小句然不同居一面又非相似之形何
以得相為比例曰句股形一居平面一居立面而能相
比例者以有稜線為之作合也何以言之如亢卯割綫
為方錐形之一棱而此綫既為斜平面句股形壁亢/卯之
[074-60a]
股又即為立面句股形氐亢/卯之弦故其比例在斜平面
為亢卯與張卯若亢壁與張丙也而在立面為亢卯與
張卯若亢氐與張井也合而言之則亢壁與張丙亦若
亢氐卯與張井餘倣此
問此以方直相比非句股本法矣曰亦句股也試平置
方錐以方底著地使卯鋭直指天/頂而卯氐棱綫正立如垂而從其卯頂俯視之
則卯井庚己氐棱綫上分段之界因對視而成一㸃亢
卯稜線與亢氐線相疉室卯綫與室氐相叠皆脗合為
[074-60b]
一惟亢壁室氐直 形因平視而得正形其壁卯棱綫
則成壁氐而斜界於對角分直方形為兩句股形矣又
其分截之三方直形亦以平視得正形亦各以棱綫分
為兩句股而大小相疉成相似之形而比例等矣
如圖亢氐室壁長方以壁氐
綫成兩句股而張井辛丙長
方即張氐/辛丙亦以丙卯綫即丙/井亦
即丙/氐成兩句股並形相似則
[074-61a]
亢壁與張丙若亢氐與張井張井即/張氐
又癸己亥斗長方即癸氐/亥斗以斗卯綫即斗己又/即斗氐成兩句
股而房庚甲子長方即房氐/甲子亦以子卯綫即子庚又/即子氐成
兩句股而形相似則癸斗與房子若癸己與房庚癸己/與房
庚即癸氐/與房氐
[074-61b]
展形展之成四句股/面一方直底 合形合之則成/句股方錐
[074-62a]
作方直儀法即句股/立方錐
法以堅楮依黄赤大距二十三度半畫成立面再任設
赤道距至度畫成平面再依法畫距緯斜立面及黄道
距至度斜平面并方直底然後依棱摺輳即渾員上各
綫相為比例之故了然共見
任指黄道或赤道之距至一弧為式即各弧可知其所
用距至弧或在至前或在至後或冬至或夏至並同一
理
[074-63a]
方塹堵内容員塹堵法
先解方塹堵
塹堵以正方為底氐卯丁/乙形其上有
赤道象限氐乾乙弧乙/春分氐夏至以長方為
斜面亢卯戊/乙形其上有黄道象限癸/巽
乙弧乙春/分巽夏至底與而一邉相連卯乙/邉為
底與斜面所同用故相/連乃黄赤道之半徑一邉相離
氐丁邉在底與赤道平行亢戊邉/在斜面故相離其距為亢氐為戊
[074-63b]
丁皆大距度癸/氐弧之切線其形似斧
從斜面作戊卯對角線切至底戊丁卯對/角線于底分塹堵為兩
則赤道為兩平分赤道平分于乾乾乙距春分/乾氐距夏至各得四十五度而黄道
為不平分黄道分於巽則巽乙距春分四十七度二十强/九分弱而巽癸距夏至四十二度三十一分
於是黄道切線戊/乙與大距度割線亢/卯等而方塹堵之形
以成亢卯為大距二十三度三十一分半之割線其數/一○九○六五戊乙為黄道四十七度二十九分
之切線其數亦一○九○六五兩數/既同故能作長方斜面而成塹堵乃黄道求赤道用
兩切線之所賴也若赤道求黄道/則反用其率
[074-64a]
法曰自黄道四十七度二十九分以前用正切是立面
句股比例戊丁乙句股比例即亢氐卯或用癸巳/卯皆大句股也其酉未乙則為小句股
右黄道求赤道為以弦求句
一 赤道半徑氐卯 大句
[074-64b]
二 大距割線亢卯 大弦
三 赤道切線未乙甲乙/赤道 小句
四 黄道切線酉乙丙乙/黄道 小弦
右赤道轉求黄道為以句求弦
自黄道四十七度二十九分以後用餘切是斜平面句
股比例斜面亢虚卯為大句股癸斗卯為小句股在/平面則為氐危卯大句股己心卯小句股
一 黄道半徑癸卯 小股
二 大距割線亢卯 大股
[074-65a]
三 黄道餘切癸斗 小句 牛乙黄道其/餘弧牛癸
四 赤道餘切亢虚 大句 女乙赤道其/餘弧女氐
右黄道求赤道為以股求句
一 赤道半徑氐卯 大股
二 大距餘弦己卯 小股
三 赤道餘切危氐即亢/虚 大句 女氐即女乙/赤道之餘
四 黄道餘切心己即癸/斗 小句 牛癸即牛乙/黄道之餘
右以赤道轉求黄道亦為以股求句
[074-65b]
論曰赤道求黄道用句股于赤道平面即郭太史員容
方直之理但郭法起二至則此所謂餘弧乃郭法之正
弧又郭法只用正弦而此用切線為差别耳
又論曰正切線法亦可用于半象限以上餘切線亦可
用于半象限以下此因方塹堵之底正方則所用切線
至方角而止故各用其所宜云半象限者主赤道而言/若黄道以四十七度二十
九分為斷一平一斜/故其比例如弦與句
又論曰正切線法即句股錐形也餘切線法即句股方
[074-66a]
錐也以對角斜線分塹堵為兩成此二種錐形遂兼兩
法
[074-67a]
次解員塹堵
方塹堵内容割渾員之分體以癸牛丙乙黄道為其斜
面之界以氐女甲乙赤道為其底之界而以癸氐大距
弧及牛女丙甲等逐度距弧為其髙髙之勢曲抱如渾
員之分斜面平面皆為平員四之一其髙自癸氐大距/漸殺至春分乙角
而合為/一㸃
員塹堵者雖亦在方塹堵之内然又在所容割渾員分
體之外與割渾員體同底亦以赤道為界而不同面其
[074-67b]
面自乙春分過子過奎至亢其形卯乙短而亢卯長如
割平撱員面四之一其撱員邉之距心皆以逐度距緯
如丙甲/牛女等之割線所至為其界如卯子為丙甲距弧割線/卯奎為牛女距弧割線之
類/而以逐度距緯之切線為其髙如子甲為丙甲距弧/切線奎女為牛女距
弧切線/之類
法以赤道為圍作員柱置渾員在員柱之内對赤道横
剖之則所剖員柱之平員底即赤道平面也又自夏至
依大距二十三度三十分半之切線為髙斜對春秋分
[074-68a]
剖至心則黄道半周在所剖之斜面矣
然黄道半周雖在所剖斜面而黄道自為半平員所剖
斜面則為半撱員黄道平員在撱員内兩端同而中廣
異兩端是二分如乙為平撱同用之㸃中廣是/夏至如黄道癸在撱面亢之内其距為癸亢此員塹
堵之全體也
於是又從亢癸對卯心直剖到底則成員塹堵之半體
即方塹堵所容也此員塹堵斜面之髙俱為其所當距
緯弧之切線渾員上弧三角法以距緯切線與赤道平
[074-68b]
面之正弦相連為句股而生比例是此形體中所具之
理
此塹堵體與前圖同惟多一亢奎子乙撱弧以此為撱
員界立剖至底令各度俱至赤道而去其外方則成
員塹堵真體
此員塹堵為用子甲丑句股形之所頼子甲為距弧切
線甲丑為赤道正弦也又子甲如股甲丑如句法為子
甲與甲丑若亢氐與氐卯
[074-69a]
[074-69b]
前圖為從心眎邉此為從邉眎心盖因欲顯圓塹堵
内方直形故為右觀之象與前圖一理惟多一己庚
辛乙撱弧前圖亢奎子乙撱弧在黄道斜面/此圖己庚辛乙撱弧在赤道平面
員塹堵有二
若自斜面之黄道象限各度直剖至赤道平面亦成員
塹堵象限然又在剖渾員體分之内其體以斜面為正
象限但斜立耳其底在赤道者轉成撱員
此撱員形在赤道象限之内惟乙點相連此即簡平儀
[074-70a]
之理
其撱之法則以卯乙半徑為大徑癸氐距弧之餘弦卯
巳為小徑小徑當二至大徑當二分與前法正相反然
其比例等何也割線與全數若全數與餘弦也
此員塹堵以撱形為底象限為斜面以距度逐度之正
弦為其髙乃黄道距緯相求用兩正弦之所頼也
此員塹堵内又容小方塹堵乃郭太史所用員容方直
也
[074-70b]
渾員因斜剖作角而生比例成方員塹堵形其角自○
度一分以至九十度凡五千四百則方員塹堵亦五千
四百矣乙角以春分為例則其度二十三度半强其實/自一分至九十度並得為乙角合計之則五千
四/百
每一塹堵依度對心剖之成立句股錐及方句股錐之
眠體自○度一分至大距止亦五千四百
以五千四百自乗凡二千九百一十六萬而渾員之體
之勢乃盡得其比例烏呼至矣
[074-71a]
每度分有方塹堵方塹堵内函赤道所生撱體赤道撱
體内又函黄道所生撱體黄道撱體内又函小方塹堵每
度分有此四者則一象限内為五千四百者四共二萬
一千六百以乙角五四○○乗之則/一一六六四○○○○
每度有正有餘對心斜分則正度成句股錐餘度成方
底句股錐之眠體一象限凡四萬三千二百以五四○/○乘之則
二三三二八/○○○○
[074-72a]
員容方直簡法序
古未有預立算數以盡句股之變者有之自西洋八綫
表始古未有作為儀器以寫渾員内句股之形者自愚
所撰立三角始立三角之儀分之曰句股錐形曰句股
方錐形合之則成塹堵形其稱名也小其取類也大徑
寸之物以狀渾員而弧三角之理如指諸掌即古法之
通於弧三角者亦如指諸掌矣雖然猶無解於古法之
不用割切也故復作此簡法以互徵之而授時厯三圖
[074-72b]
附焉盖理得數而彰數得圖而顯圖得器而真草野無
諸儀象藉兹以自釋其疑不敢自私故以公之同好云
爾句股錐形是以西法通國法句鈠方錐形是以郭法/通西法今此簡法是専解郭法而兩法相同之故自
具其/中
[074-73a]
員容方直儀簡法即句股方錐之方直儀而不用割切/線祗以各弧正弦矢度相求其用己
足亦不/須用角
立面中有句股形二其一大句股形癸巳/乙以黄道半徑
[074-73b]
癸/乙為弦大距度正弦癸/巳為股大距度餘弦巳/乙為句其一
小句股形壬戊/乙以黄道餘弦壬/乙為弦距緯正弦壬/戊為股
楞線戊/乙為句
[074-74a]
平面中亦有句股形二其一小句股形庚戊/乙以距緯丙
甲之餘弦庚/乙為弦以黄道正弦戊/庚為股楞綫戊/乙為句其
一大句股形甲辛/乙以赤道半徑甲/乙為弦以赤道正弦甲/辛
為股赤道餘弦辛/乙為句戊乙線于弧度無取然平立二/形並得此補成句股謂之楞線
黄道正弦本在斜平面而能移于平面者有
相望兩立線丙庚/壬戊為之限也距度正弦本在
斜立面而能移於立面者有上下兩横線丙/壬
庚/戊為之限也此四線兩立/兩横相得成長方其立
[074-74b]
如堵故又曰弧容直濶也
[074-75a]
有大距有黄道而求距緯 更之可求大距 反之可求黄道
一 半徑 癸乙 一 黄道餘弦 一 大距正弦
二 大距正弦 癸己 二 距緯正弦 二 半徑
三 黄道餘弦 壬乙 三 半徑 三 距緯正弦
四 距緯正弦 壬戊 四 大距正弦 四 黄道餘弦
有赤道有距緯而求黄道 更之可求赤道 反之可求距緯
一 半徑 甲乙 一 距緯餘弦 一 赤道正弦
二 赤道正弦 甲辛 二 黄道正弦 二 半徑
[074-75b]
三 距緯餘弦 庚乙 三 半徑 三 黄道正弦
四 黄道正弦 庚戊 四 赤道正弦 四 距緯餘弦
[074-76a]
郭太史本法
弧矢割員圖見授時厯/草下並同
凡渾員中割成平員任割平
員之一分成弧矢形皆有弧
背有弧弦有矢割弧背之形
而半之則有半弧背有半弧
弦有矢 因弧矢生句股形
以半弧弦為句即正/弦矢減半
[074-76b]
徑之餘為股即餘/弦半徑則常為弦 句股内又成小句
股則有小句小股小弦而大小可以互求或立或平可
以互用平視側視二/圖皆從此出
[074-77a]
側視之圖
横者為赤道赤道一規因旁/視如一直線黄
道/同
斜者為黄道
因二至黄赤之距成大句股
即外/圈
因各度黄赤之距成小句股
[074-77b]
平視之圖
外大員為赤道
内撱者黄道從兩極平視則/黄道在赤道内
而成/撱形
有赤道各度即各其有半弧
弦以生大句股
又各有其相當之黄道半弧
弦以生小句股此二者皆/可互求
[074-78a]
授時厯求黄赤内外度及黄赤道差法
置黄道矢本法用帶從三/乗方求各度矢去減周天半徑即立面黄/道半徑餘
為黄赤道小弦即黄道餘弦也半徑/為大弦故此為小弦置黄赤道小弦以
二至内外半弧弦即二至大距度正弦當時/實測為二十三度九十分乘之為實
黄赤大弦即周天半徑以其為立面/大句股之弦故稱大弦為法除之得黄赤
道内外半弧弦即各度黄赤距度正弦也原法以矢度/度半背弦差加入半弧弦得内外半弧
背今/省
又置黄赤道小弦以黄赤道大股即二至内外度餘弦/也在立面大句股形
[074-78b]
為大/股乗之為實黄赤道大弦為法除之解見/前得黄赤道
小股即立面平面兩小句股同用之楞/線在立面與大股相比故稱小股置黄道半弧弦
即黄道正弦也原法以黄道矢/求半背弦差減黄道度得之自乗為股冪黄赤小股
自乗為句冪即楞綫也先在立面為小句股形之股今/又為平面句股形之句故其冪稱句冪
兩冪並之為實開平方法除之為赤道小弦即各度黄/赤距度餘
弦也周天半徑為平面上大句股之弦/故稱大弦則此為小句股弦當稱小弦置黄道半弧弦
以周天半徑乗之為實赤道小弦為法除之得赤道半
弧弦即赤道正弦也原法求半背弦/差以加半弧弦得赤道今省
[074-79a]
論曰弧矢割員者平員法也以測渾員則有四用一曰
立弧矢勢如張弓以量黄赤道二至内外度即側立圖
也一曰平弧矢形如伏弩以量赤道即平視圖也一曰
斜弧矢與平弧矢同法而平面邉髙邉下其庋起處如
二至内外之度以量黄道即平視圖中小句股也一曰
斜立弧矢與立弧矢同法而其立稍偏以量黄赤道各
度之内外度即側立圖中小句股也自離二至一度起
至近二分一度止一象限中逐度皆有之但皆小於二
[074-79b]
至之距邢臺郭太史弧矢平立三圖中具此四法即弧
三角之理無不可通言簡而意盡包舉無窮好古者所
當珤愛而?翫也
又論曰割員之算始于魏劉徽至劉宋祖冲之父子尤
精其術唐宋以算學設科古書猶未盡亡邢臺葢有所
本厥後授時厯承用三百餘年未加修改測箕之講求
益稀學士大夫既視為不急之務而臺官株守成法鮮
諳厥故驟見西術羣相駭詫而不知舊法中理本相同
[074-80a]
也疇人子弟多不能自讀其書又忌人之讀而各私其
本久之而書亦不可問矣攷元史厯成之後所進之書
凡百有餘卷郭守敬傳有修改源流及測騐等書齊履/謙傳有經串演撰諸書明厯法之所以然
今其存軼並不可攷良可浩嘆然天下之人豈無有能
藏弆遺文以待後學者庶幾出以相證予於斯圖之義
類多通而深有望於同志矣
問元初有回回厯法與今西法大同小異邢臺葢㑹通
其説而為之故其法相通若是與曰九章句股作於𨽻
[074-80b]
首為測量之根本三代以上學有専家大司徒以三物
教民而數居六藝之一秦火以後吾中土失之而彼反
存之至於流逺𣲖分遂以各名其學而不知其本之同
也况東西共戴一天即同此句股測員之法當其心思
所極與理相符雖在數萬里不容不合亦其必然者矣
攷元初有西域人進萬年厯未經試用迨明洪武年間
始命詞臣吴伯宗西域大師馬沙亦黒等譯回回厯書
三卷然亦粗具筭法立成並不言立法之原究竟不知
[074-81a]
其所用何法或即今三角八綫或更有他法俱無可攷
雖其子孫莫能言之攷元史所載西域人晷影堂諸製
與郭法所用簡儀髙表諸器無一同者或測量之理觸
類増智容當有之然未見其有㑹通之處也徐文定公
言回回厯緯度凌犯稍為詳宻然無片言隻字言其立
法之故使後来入室無因更張無術盖以此也又據厯
書言新法之善係近數十年中所造則亦非元初之西
法矣而與郭圖之理反有相通豈非論其傳各有本末
[074-81b]
而精求其理本無異同耶且郭法用員容方直起算冬
至西法用三角起算春分郭用三乗方以先得矢西用
八綫故先得弦又西専用角而郭只用弧西兼用割切
而郭只用弦種種各别而不害其同有所以同者在耳
且夫數者所以合理也厯者所以順天也法有可采何
論東西理所當明何分新舊在善學者知其所以異又
知其所以同去中西之見以平心觀理則弧三角之詳
明郭圖之簡括皆足以資探索而啓深思務集衆長以
[074-82a]
觀其㑹通毋拘名相而取其精粹其於古聖人創法流
傳之意庶幾無負而羲和之學無難再見於今日矣
[074-83a]
角即弧解
問古法只用弧而西法用角有以異乎曰角之度在弧
故用角實用弧也何以明其然也假如辰
庚己三角形有庚鈍角有己庚辰庚二邉
欲求諸數依垂弧法于不知之辰角打線
線先補求辰辛及辛庚成辰辛庚三角虚
形此必用庚角以求之而庚角之度為丙
丁是用庚角者實用丙丁也其法庚丙九
[074-83b]
十度之正弦即半/徑與丙丁弧之正弧即庚角/正弦若庚辰正
弦與辰辛正弦是以大句股之例例小句股也又丙丁
弧之割線即庚角/割線與庚丁九十度之正弦亦即半徑凡/角度所當弧
其兩邊並/九十度若庚辰之切線與庚辛之切線亦是以大句
股之例例小句股也
既補成辰辛巳三角形可求巳角而巳角之度為乙甲
是求巳角者實求乙甲也其法辛己弧之正弦與辰辛
弧之切線若己甲象弧之正弦即半/徑與乙甲弧之切線
[074-84a]
即己角/切線是以小句股例大句股也
又如己辰庚形庚為鋭角當自不知之辰角打線分為
二形以求諸數其一辰辛庚分形先用庚
角而庚角之度為丙丁用庚角實用丙丁
也法為丙庚象弧之正弦即半/徑于丙丁弧
之正弦即庚角/正弦若辰庚之正弦與辰辛之
正弦又丙庚象弧之正弧即半/徑與丙丁弧之餘弦即庚/角餘
弦/若辰庚之切線與辛庚之切線是以大句股例小句
[074-84b]
股也
其一辰辛己分形以庚辛減己/庚得己辛有辰辛己辛二邉可求
己角而己角之度為乙甲求己角實求乙甲也法為己
辛之正弦與辰辛之切線若己甲象
之正弦即半/徑與
乙甲弧之切線即己角/切線是以小句股例大句股也
一系 用角求弧是以大句股比例比小句股用弧求
角是以小句股比例比大句股
厯算全書卷六十
欽定四庫全書
厯算全書卷六十
宣城梅文鼎撰
壍堵測量二
總論
塹堵測量者句股法也以西術言之則立三角法也古
九章以立方斜剖成塹堵其兩端皆句股再剖之則成
錐體而四面皆句股矣任以錐體之一面平寘為底則
[074-1b]
其鋭上指環而視之皆成立面之句股而各有三角三
邊故謂之立三角也
立三角之法以測體積方圓斜側靡所不通其測渾圓
之弧度則有二理其一用視法如弧三角所詮用三角
三弧之正弦切線移於平面謂渾圓立/剖之平面即成三層句股
相似之比例今謂之渾圓容立三角也其一不用視法
而用實數如句股錐形等法用三弧三角之割線餘弦
各於其平面自成相似之句股以為比例三弧直剖至/渾圓之心即
[074-2a]
各成句股/形之面今謂之塹堵測量也渾圓内容之立三角亦/塹堵之分形而塹堵測
量所測亦渾圓之度因書匪一時所為而/意各有屬其名遂别二而一一而二者也
以上通論立三角及塹堵測量命名之意并其同
異之處因立三角有塹堵之名因渾圓内三層句/股生塹堵之用故存此二者以為塹堵測
量基/本
凡數之可算者皆可作圖以明之故渾圓可變為平圓
如古者葢天之圖是也數之可算可圖者皆可製器以
象之故渾圓可剖為錐體塹堵測量之儀器是也
[074-2b]
凡測算之器至今日大備且益精益簡古者渾儀經緯
相結為儀三重至郭太史之簡儀立運儀則一環而已
足今則更省之為象限儀是益簡益精之效也至於渾
象無與於測而有資於算所以證理也西法之簡平渾
葢以平寫渾亦可謂工巧之至獨未有器以證八線夫
用句股以算渾圓其法莫便於八線然八線之在平圓
者可以圖明在渾圓者難以筆顯鼎/葢嘗深思其故而
見渾圓中諸線犁然有合於古人塹堵之法乃以堅楮肖
[074-3a]
之為徑寸之儀而三弧三角各線所成之句股了了分
明省筆舌之煩以象相告於作圓布算不無小補而又
非若渾象之難成因名之曰塹堵測量從其質也
塹堵形析渾象之一體亦如象限儀割渾儀之一隅環
而測之則象限即渾儀之全周也周徧析之則塹堵即
渾象之全體也是故塹堵形可析為兩可合為一其析
者一為句股錐亦曰立/三角儀則起二分訖二至一為句股方
錐亦曰方/直儀則起二至訖二分起二分者西率起二至者
[074-3b]
古率也是兩者九十度中皆可為之自分訖至九十度/並可為句股錐自
至訖分九十度並/可為句股方錐然至半象以上割切三線太長溢出
於方塹堵之外故又有互用之法也其合者近分度用
句股錐近至度用句股方錐以黄道四十七度赤道四
十五度為限過此者互用其餘如是則兩錐形合之成
方塹堵矣
方塹堵内又成圓塹堵二其一下為赤道圓象限而一
為撱形之象限距度之割切二線所成也其一下為撱
[074-4a]
形象限而上為黄道之圓象限距度正弦黄道半徑所
成也兩圓塹堵之用已/括於兩錐形内兩圓塹堵内又以黄道正弦距
度正弦成小方塹堵之象則郭太史圓容方直本法也
於是又有圓容方直儀簡法而立三角之儀遂有三式
一句股錐其形四鋭一方直儀其底長方/一圓容方直簡法儀其底為渾圓幂之分
之三者或兼用割切或專用正弦而並不用角合渾圓
内三層句股觀之可以明立法之根
以上論塹堵測量儀器句股錐形及句股方錐形/二種為塹堵測量正用而
[074-4b]
圓容方直形專用正弦成小塹堵尤正用中之正/用也此小塹堵在兩重圓塹堵内故兼論之又此
小塹堵足闡授時弧矢/之祕因遂以郭法附焉
問八線生於角用八線而不用角何也曰角與弧相應
故用角即用弧也用弧即用角也明於斯理而後可以
用角渾圓内三層句股是也明於斯理而後可以不用
角塹堵三儀是也用角者西法也而用角即用弧則通
於古法也不用角者古法也而用弧即用角則通於西
法也于是而古法西法可以觀其㑹通息其煩喙矣
[074-5a]
以上論角即弧解之理
[074-6a]
立三角法序
立三角者量體之法也西學以幾何原本言度數而所
譯六卷之書止於測面其測體法則未之及葢難之也
余嘗以句股法釋幾何而稍為推廣其用謂之幾何補
編亦曰立三角法本為體積而設然其中義類頗有與
渾圓弧度之法相通者故摘録之以明塹堵測量之理
[074-7a]
立三角法摘録
總論
一立三角為有法之形
立三角之面皆平三角也平三角不拘斜正皆為有
法之形故立三角亦不拘斜正而皆為有法之形
一立三角為量體之宻率
[074-7b]
凡量體者必析之析之成立三角形則可以知其容
積可得而量矣若不可以立三角析者則為無法之
形不可以量
一立三角即錐體
立三角任以一面平安如底則餘三面皆斜立亦有/一面
正立/者而鋭必在上即成三角立錐
一各種錐體皆立三角之合形
凡錐體必上尖下濶任取其一面觀之皆斜立之平
[074-8a]
三角也凡錐形自其尖切至底則其中剖之立面亦
平三角也錐體之底或四邊五邊以至多邊若以對
角綫分其底又即皆成平三角也故四稜錐可分為
兩五稜錐可分為三六稜以上無不可分分之皆立
三角形故知一切錐體皆立三角之合形也
底之邊多至于三百六十又析之為分為秒以此為
[074-8b]
底皆可成錐體再析之至于無數即成平員底可作
員錐要之皆小平三角面無數以成之者也
一各種有法之形亦皆立三角之合形
如立方體依其稜剖至心成立分體皆扁方錐其斜
面輳心皆成立三角長方體亦然
四等面體從其稜剖至心成四分體八等面則成八
[074-9a]
分體二十等面成二十分體皆立三角錐
十二等面依稜剖至心成十二分體皆五稜錐其立
面五皆立三角
渾員形以渾員面冪為底半徑為髙作大員錐而成
[074-9b]
渾積凖前論皆無數立三角所成然則渾員亦立三
角也
渾員既為立三角所成則半之而為半渾員一平員/面一半
渾員面如/員𤓰中剖或再分之而為一象限或更小於象限之
渾員細分弧面自象限以内至于一度内若干/分秒如剖橘瓤並一弧面兩半平員面以渾
員之理通之皆立三角所成
一無法之形有面有稜即皆為立三角所成
凖前論各依其楞線割之至底或依對角線斜剖之
[074-10a]
即皆成立三角而無法之形皆可為有法之形
一立三角體之形不一而皆有三角三邊
非四面不能成體故立三角必四面非三角三邊不
能成面故立三角體之面皆三角三邊
約舉其類有四面相等者即四等面形也其面冪等/其稜之長
短亦/等
有三面相等而一面不等者其不等之一面必三邊
俱等餘三稜則自相等
[074-10b]
以上皆形也四等面任以一面為底其雉尖正立居/中三等面形以等邊之一面為底錐尖亦正立居中
有二面兩兩相等者
有二面相等餘二面不等者
有四面各不相等者
[074-11a]
有三面非句股而一面成句股者有兩面成句股者
其句股或/等或否
有四面並句股者句股立錐也
以上不皆正形而/皆為有法之形
一立三角形有實體有虛體
實者如臺如墖如堤虛者如井如池又如隔水測物
皆自其物之平面角作直線至人目即成虛立錐體
以人目為其頂鋭而所測平面則其底也所作直線
[074-11b]
皆為其稜若所測平面為四邊五邊以上皆可作對
角線分為立三角錐形虛體實體/並同一法
立三角又有三平面一弧面者如自地心作三直線
至星宿所居之度則此三星之相距皆弧度也三弧
度為邊即成弧三角形以為之底其三直綫皆大員
半徑以為之稜而合于地心以為之頂鋭亦立三角
之虛形即弧三/角錐體
若于渾球體作三大圏相交成弧三角形從三角作
[074-12a]
直線至員心依此析之即成實體與上法並同一理
一立三角形有立有眠有倒有倚立者以底平安則其
鋭尖上指如人之立
眠者以底側立如堵牆而錐形反横如人之眠此惟
正形之錐則有之既定一面為底則底在/下者為立在旁者為眠如虛形則
不拘正斜皆以所測為底
又如弧三角錐以渾員面上所成之弧三角為底以
三直線輳于渾體之心為其頂鋭則四面八方皆可
[074-12b]
為底而鋭常在心不特能眠能立亦且能倒能欹亦/惟
有底有鋭之正形則然若/他形底無定名隨人所置眠體倒體以及他形之欹
側不同而皆為有法之形者三角故也
一古法有壍堵陽馬鱉臑芻甍等法皆可以立三角處
之壍堵一/作塹堵
凡立方體從其面之一稜依對角斜線剖至其底相
[074-13a]
對之一稜則其積平分而成壍堵形
甲乙為頂有袤無廣丙丁戊己為方底或長/方則丙丁同巳戊為袤丁己仝丙戊為廣乙
丙同甲丁為其髙甲丁乙丙為立面甲乙戊/己為斜面皆長方乙丙戊同甲丁巳為兩端
立面皆句股形/而相對相等
壍堵形有如屋者甲乙頂袤如屋脊甲乙丙/丁及甲乙戊巳兩長方皆斜面而相等丙丁
戊己為底乙丙戊與甲巳丁兩圭形相對而/等而以乙辛為其髙其辛丙及辛戊俱平分
而/等
又或甲乙頂袤不居正中而近一邊然甲乙/與丁丙及巳戊俱平行而等其甲丁乙丙及
[074-13b]
甲巳乙戊兩斜面雖有大小而並為長方形/乙辛垂線不能分丙辛及辛戊為平分而必
與丙戊底為十字正/角則乙辛為正髙
以上三者皆壍堵之正形並以髙乘底折半見積何
也皆立方之半體其兩端皆立三角形也第一形兩/端為句股
第二第三皆以乙/辛中剖成兩句股
凡壍堵形亦可立可眠立者以甲乙為頂長丙丁戊
己為底眠者以戊己為頂長反以甲乙丙丁為底如
隔水測懸崖之類
[074-14a]
又有斜壍堵形其各綫不必平行底不必正/方但俱直線則底與兩斜面皆可作對角綫
以分為三角形而諸數可測實體/虛體並有之于測量之用尤多
斜壍堵本為無法之形而亦能為有法之形者可析
之成三角也
凡壍堵形從頂上一角依對角線斜剖之為兩則成
一立方錐一句股錐
塹堵形從乙角作乙巳乙丁两/對角線依線剖之則成两形
[074-14b]
立方錐一/ 句股錐一/
名陽馬/ 名鱉臑/
陽馬形以丙丁戊己方形為底以乙為頂鋭而偏居/一角故乙丙直立如垂線以為之髙其四立
面皆成句股形故/又名句股立方錐
論曰陽馬形從壍堵第一正形而分故其髙線直立
于一隅乃立方之楞線四面句股形因此而成是為
句股方錐之正體若斜壍堵等形之分形則但可為
斜立方錐而不得為句股方錐亦非陽馬
[074-15a]
斜立方錐者其頂不居正中然又不能正/立一隅故非句股立錐而但為斜立方錐
如上二形頂既偏側底亦非方亦斜立錐/形也然其立面皆三角故亦為有法之形
斜立方錐亦可立可眠皆可以立三角/法御之但不如句股立方錐之有一定
比/例
鱉臑形以甲乙為上袤而無廣以丁巳為/下廣而無袤故稱鱉臑象形也其
各面或句股或不為句股/而皆三角故又名三角錐
句股立錐形其上有袤而無廣下有廣而/無袤並同鱉臑所異者甲角
正方故乙甲丁立面乙甲巳斜面並成句/股又丁角正方故甲丁已平面乙丁巳斜
[074-15b]
面並成句股又丁角正方故甲丁巳平面/乙丁巳斜面並成句股是四面皆句股也
故謂之句股方錐/而不得僅名鱉臑
論曰鱉臑中有句股立錐猶斜立方錐中之有句股
方雉也立三角皆有法之形而此二者尤可以明測
量比例之理
又論曰立三角所以為有法形者謂其可施八線也
而八線原為句股之比例此二者既通體皆句股所
成故在有法形中尤為有法矣
[074-16a]
又論曰若于句股方錐再剖之即又成二句股錐而
皆等積故陽馬為立方三之一句股錐則為六之一
皆立方之分體也
又論曰句股方錐及句股錐皆生于塹堵故塹堵形
為測量之綱要
芻薨形亦如屋而兩端漸殺故頂窄而底寛其丙/丁戊己底或正方或長方甲乙頂小于丙丁或居
正中或稍偏然皆與/丙丁及戊己平行
芻甍葢取草屋之象乃壍堵形之一種亦可分為三鱉臑
[074-16b]
又有芻童者形如方臺皆立方之變體方臺面與底俱正
方蒭童則長方而面小底大則同亦皆可分為立三角
[074-17a]
凖前論方臺作對角線並可為兩芻甍即可再分為
六鱉臑即皆立三角錐也
論曰量面者必始于三角量體者必始于鱉臑皆有
法之形也量面者析之至三角而止再析之仍三角
耳量體者析之至鱉臑而止再析之仍鱉臑耳面之
可以析為三角者即為有法之面體之可以析之為
鱉臑者即為有法之體葢鱉臑即立三角之異名也
量體者必以立三角非是則不可得而量
[074-17b]
算法
凡算立三角體須求其正髙以正髙乘底以三而一見
積其法有三其一頂居一角其稜直立即用為正髙其
二頂鋭不居一角而在三角之間其三頂斜出底三邊
之外並以法求其垂線為正髙
假如巳甲乙丙立三角體甲乙丙為底已為
頂鋭正居丙角之上巳丙如垂線為髙先以
乙丙五十六尺甲乙邊六十/一尺甲丙邊七十/五尺求
[074-18a]
其羃積一千六百/三十尺以乘已丙髙四十/尺得六萬七千/二百尺為
實以三為法除之得二萬二千/四百尺為立三角錐體若欲
知已乙甲已兩斜弦依句股求弦即得已丙既直立/則恒為股以
股自乘冪加乙丙句冪為弦冪開方得已乙弦/又以股冪加甲丙句冪為弦冪開方得甲乙弦
若已頂不居一角而在三角之中則已丙
非正髙乃斜稜也法當分為兩形其法依
丙已稜直剖至底
以上二形乃中剖為二之象其中剖之立
[074-18b]
面亦成丁已丙三角形如平三角法求得已戊垂線
即為正髙如上法先求甲乙丙羃以乘已戊髙得數
為實三除見積
又法不必剖形但于形外任依一楞如丙
已于庚作垂線至丙以法取庚㸃與已頂
平行即庚丙為正髙與己戊等或量得庚/已横距為
句以己丙為弦求其股/即得庚丙正髙亦同
立三角之頂有斜出者或在底外則于已
[074-19a]
頂作垂線至庚與甲乙丙底平行乃任用
相近一稜如己乙為弦量庚乙之距為句
依法求其股得己庚為其正髙以乘底三
除見積
問己頂既居形外己庚何以得為正髙也曰此易知
也但補作甲庚虛線成四邊形為底則為四稜立錐
而己庚為其正髙甲乙丙底乃其底之分也亦必以
己庚為正髙矣
[074-19b]
假如乙庚丙甲為底丙甲與乙庚等丙乙
與甲庚等或斜方或正方其己庚一稜正
立如垂則即為正髙正髙乘方底三除之
即體積也若從甲乙對角線分其底為均
半又依甲己甲乙二稜從頂直剖之至底則分為兩
三角形而各得其積之半矣底既平分為兩則/其積亦平分為兩其己
庚乙甲形與己甲乙丙形既皆半積則相等而庚乙
甲底與甲乙丙底又等則其髙亦等而己庚乙甲形
[074-20a]
既以己庚為髙矣則己甲乙丙形之髙非己庚而何
又論曰量體積者必先知面猶量面冪者必先知綫
也然則量體者亦先知線矣是故量體之法可轉用
之以求線也量體者有先知之面冪有求而得之面/冪夫求之而得面者必先求其面冪之
界界即線也故量體之/法可用之以求線也何謂以量體之法求綫曰測
量是也前論立三角有虛體為測量之用夫虛體者
無體者無體而有線如實體之有稜故可以量體之
法求之也如所測之物有三㸃即成三邊三角當以
[074-20b]
三直線測之則立三角錐形矣所測有四㸃當以四
直線測之則四稜立錐形矣兩測則又為塹堵形矣
故測量之法可以求線也
又論曰用立三角以量體者所用者仍平三角也而
用三角以量面者所用者仍句股也吾㠯是而知聖
人立法之精深廣大
[074-21a]
渾圜内容立三角體法
全形為塹堵
分形為鼈臑即立三角體又為句股
立錐西法所用
若内切小塹堵則為圜容方直形即
郭太史弧矢法
先解全形 塹堵體
亢戊乙夘為塹堵斜面 其形長方
[074-21b]
夘乙為渾圜半徑夘為渾/圜之心亢戊為四十五度切線與
夘乙同度同為横邊 亢夘為乙角割線與戊乙同
度同為直邊
亢氐戊丁為塹堵立面 其形横長方
亢氐者乙角切線也與戊丁同度以為之髙 亢戊
及氐丁皆四十五度切線與半徑同度以為之濶
亢氐夘戊丁乙皆塹堵兩和之牆 其形皆立句股
氐夘同丁乙皆半徑為句 亢氐同戊丁皆乙角切
[074-22a]
線為股 亢夘同戊乙皆乙角割線為弦
夘乙丁氐為塹堵之底 其形正方
夘乙及夘氐皆渾圜半徑其對邊悉同
法曰先為立方體以容渾球使北極在上南極在下皆
正切于立方底葢之中心則赤道平安而赤道之二分
二至亦皆在立方四面之中心矣
次依赤道横剖方體為均半而用其上半為半立方容
半渾圜形則二分二至皆在半立方之底線各中心而
[074-22b]
赤道全圈居其底
次依二分二至從北極十字剖之又成四小立方各得
原立方八之一而小立方内各容渾圜分體八之一
此小立方有一角之楞直立為北極之軸上為北極下
即渾圜心夘角也其立方根皆渾圜半徑
次依黄赤道大距取切線為髙作横線于小立方夏至
之一邊即亢戊線
次依亢戊横線斜剖至對邊之足則成塹堵矣對邊之/足即夘
[074-23a]
乙也本為黄赤道半徑今在小/立方體為方底之邊故云足也
塹堵體有五面 其一斜面亢戊乙/夘長方 其三立面一亢/氐戊
丁長方二亢氐夘戊/丁乙相等兩句股 其一方底夘乙氐/丁平方
[074-23b]
塹堵形面 有赤道象弧在方底 有黄赤大距弧在
立句股邊 即兩和之牆
底形 底形正方 其夘角即黄赤道心
氐甲乙為赤道一象限 乙為春分
氐為夏至赤道 夘氐及夘乙皆
赤道半徑 其對邊氐丁及乙丁皆
四十五度切線
[074-24a]
立句股面形一 立句股之面有二一亢氐夘/一戊丁乙皆同角
同邊 亢氐夘形内有氐癸弧為夏
至黄赤大距二十三度半强 氐夘
為赤道半徑 癸夘為黄道半徑
夘角為黄赤大距角氐癸弧/之角 亢氐
者氐癸弧之切線亦即夘/角切線 亢夘者
氐癸弧之割線亦即夘/角割線
[074-24b]
癸弧之割線亦即夘/角割線
立句股面形二 戊乙丁形即前圖亢氐夘形之對面
戊丁髙同亢氐切線如/股 戊乙斜
線同亢夘割線如/弦 丁乙横線同氐
夘如/句 乙角同夘角
[074-25a]
又有黄道象弧在斜面
斜面形 斜面形長方其斜立之/勢依黄道 其夘角為
黄道心即赤/道心 乙丙癸為黄道一象
限 乙為春分與赤道/同用 癸為黄道
夏至 夘癸及夘乙皆黄道半徑内/夘
乙與赤/道同用 亢夘為二十三度半强之
割線夏至黄赤/大距割線 其相對戊乙邊與亢夘割線同度
亢戊邊與夘乙半徑相對同度乃四十五度之切線與/底
[074-25b]
上切線氐/丁相應
立面形 立面形亦長方其勢直立 亢戊及
氐丁二邊為其濶皆四十五度切線
與半徑同度 亢氐及戊丁為其高
皆二十三度半之切線夏至黄赤/大距切線
以亢戊邊庋起斜面之亢戊邊而成
角體仍以氐丁邊聯于方底之氐丁
邊則其形直立矣
[074-26a]
次解分形 立三角體古謂鼈臑/即句股錐
内含乙甲丙弧三角形及乙甲丙夘弧三角錐
夘為渾圜心黄赤/同用 夘乙渾圜半徑黄赤/同用 乙丙弧為
黄道經度 丙夘為黄道半徑 乙甲弧為赤道經度
甲夘為赤道半徑 丙甲弧為黄赤距緯 乙為春
[074-26b]
分㸃 酉乙未角為春分角二十三度半與二至大距
之緯度相應此角不動 丙為所設黄道度距春分後
之㸃此㸃移則丙之交角變而諸數皆從之而變
法曰于前圖全形塹堵斜面黄道象弧内尋所設黄道
經度自春分乙/起數設度至丙從丙向圜心夘作丙夘
半徑遂依半徑引長至塹堵之邊酉/成酉夘直線依酉
夘直線直剖至底未夘線為底/酉未線為邊成酉未乙夘立三角體
此立三角體有四面而皆句股故又曰句股立錐
[074-27a]
立句股之錐尖為酉
其斜面為酉乙夘句股形乙正角句乙酉為股弦/乙夘為 酉夘為
其立面二
一為酉未乙句股形未正角句酉未垂線為股/未乙為 酉乙為弦
一為酉未夘句股形未正角句酉未垂線為股/未夘為 酉夘為弦
其底為未乙夘句股形乙正角句未乙為股弦/乙夘為 未夘為
以上四句股面凡楞線六
夘乙半徑也酉乙黄道丙乙弧之切線也而酉夘則其
[074-27b]
割線也未乙赤道乙甲弧之切線也而未夘則其割線
也惟酉未垂線於八線無當今名之曰錐尖垂線亦曰
錐尖柱亦曰外線以其離於渾圜之體也
句股面有四而用者一酉未乙也以其能與乙角之大
句股為比例也
楞線六而用者二酉乙及未乙也以其為二道之切線
為八線中有定數可為比例也
第一層句股比例圖
[074-28a]
酉未乙句股形以黄道切線酉/乙赤道切線
未/乙相連于乙角成鋭/角則酉乙為弦未乙為
句而戊丁乙及牛昴乙二句股形同在一
立面又同用乙角故可以相為比例
術為以赤道半徑丁/乙比乙角之割線戊/乙若
赤道切線未/乙與黄道切線酉/乙也此為以/句求弦
又以黄道半徑牛/乙比乙角之餘弦昴/乙若黄
道切線酉/乙與赤道切線未/乙也此為以/弦求句
[074-28b]
解曰丁乙與氐昴同大則皆赤道半徑也戊乙與亢夘
同大則皆乙角割線也牛乙與癸卯同大皆黄道半徑
昴乙與己夘同大皆乙角餘弦也 從乙窺夘則成一
㸃而乙角夘角合為一角其角之割線餘弦盡移于塹
堵之第一層而同在一立面為句若弦觀總圖/自明
以赤道求黄道 以黄道求赤道
一 赤道半徑 一 黄道半徑
二 乙角割線 二 乙角餘弦
[074-29a]
三 赤道切線 三 黄道切線
四 黄道切線 四 赤道切線
若求角者反用其率 又法
四 乙角割線 四 乙角餘弦
第二層句股比例圖
[074-29b]
子甲丑句股形以黄赤距度之切線子/甲赤
道之正弦甲/丑相連于甲成正角則子甲為
股甲丑為句而與坎震丑及女婁丑二句
股形同在一立面又同丑角故可相求
術為以赤道半徑震/丑比乙角之切線坎/震若
赤道正弦甲/丑與距度之切線子/甲也是為以/句求股
又為以乙角之正弦女/婁與乙角餘弦婁/丑若
距度之切線子/甲與赤道之正弦甲/丑也是為/以股
[074-30a]
求/句
解曰震丑即氐夘赤道半徑也坎震即亢氐乙角之切
線也女婁即癸己而婁丑即己夘乙角之正弦餘弦也
從乙窺夘則乙丑夘成一㸃而合為一角其角之切
線正弦餘弦盡移于塹堵第二層立面為句與股
以赤道求距度 以距度求赤道 又法
一 半徑 一乙角正弦 一乙角切線 半徑
二 乙角切線 二乙角餘弦 二半徑 乙角/餘切
[074-30b]
三 赤道正弦 三距度切線 三 距度切線
四 距度切線 四赤道正弦 四 赤道正弦
若求角則反用其率 又法
一 距道切線 半徑 一 赤道正弦 半徑
二 赤道正弦 二 距度切線
三 半徑 距度/餘切 三 半徑 赤道/餘割
四 乙角餘切 四 乙角切線
第三層句股比例圖
[074-31a]
丙辛壬句股形以距度正弦丙/辛黄道正弦
丙/壬相連于丙而成鋭角則丙壬為弦丙辛
為股而與乾艮壬及奎胃壬二句股同在
一立面同用壬角故可相求
術為以黄道半徑奎/壬比乙角之正弦奎/胃若
黄道正弦丙/壬與距度之正弦丙/辛也是為以/弦求股
又為以乙角之切線乾/艮比乙角之割線乾/壬
若距度之正弦丙/辛與黄道正弦丙/壬也是為以/股求弦
[074-31b]
解曰奎壬即癸夘黄道半徑也奎胃即癸己距度正弦
也乾艮即亢氐而乾壬即亢夘則乙角之切線割線也
從乙窺夘則乙丑壬夘半徑因直視成一㸃而合為
為一角其角之正弦切割線盡移于塹堵之第三層立
面以為弦為股
以黄道求距度 以距度求黄道 又法
一 半徑 一 乙角切線 一 乙角正弦 半徑
二 乙角正弦 二 乙角割線 二 半徑 乙角/餘割
[074-32a]
三 黄道正弦 三 距度正弦 三 距度正弦
四 距度正弦 四 黄道正弦 四 黄道正弦
若求角則反用其率 又法
一 距度正弦 半徑 一 黄道正弦 半徑
二 黄道正弦 二 距度正弦
三 半徑 距度/餘割 三 半徑 黄道/餘割
四 乙角正割 四 乙角正弦
弧三角錐體即割渾圜/體之一分
[074-32b]
法曰依前論從丙㸃對夘直割至底則截黄道于丙截
赤道于甲得丙乙及甲乙二弧所剖渾圜之跡又成丙
甲弧為兩道/距緯三弧相湊成丙甲乙弧三角面 丙夘甲
夘乙夘同為半徑三半徑為楞輳于夘心夘為三角之
[074-33a]
尖乙甲丙弧三角面為底成乙甲丙夘弧三角錐體為
割渾圜體之一分也
此弧三角錐體含于句股立錐體内凖前論可以明之
因此弧三角錐與句股錐同鋭夘/尖異底一以弧三角面/為底一以句股
平面/為底故以弧三角變為句股以求其比例而有三法即/前
條所論三/層句股
其一為酉未乙句股形
用酉乙弦為黄道丙/乙弧切線未乙句為赤道乙/甲弧切線以當乙角之
[074-33b]
弦與句
其一為子甲丑句股形
用子甲股為距度丙/甲弧切線甲丑句為赤道乙/甲弧正弦以當乙角之
股與句
其一為丙辛壬句股形
用丙辛股為距度丙/甲弧在弦丙壬弦為黄道丙/乙弧正弦以當乙角之
股與弦
問兩弧求一弧非句股錐乎與此所用同耶異耶曰形
[074-34a]
不異也乃法異耳何言乎法異曰句股錐一也而有用
角不用角之殊此用角度其句股在錐形之底以夘心/為錐形
之鋭則三層句/股皆為其底而遙對渾體之心以視法成比例兩弧
求一弧不用角度其句股同在錐形之一面無假視法
自成比例所以不同然其為句股之比例一而已矣
然則兩弧求一弧惟用割線餘弦此所用者惟正弦切
線又何不同若是耶曰角之句股在心如夘亢氐等形/皆依極至交圏
平剖渾圜成平面其象/始著是在渾圜之心與為比例之句股在面如酉未/乙等形
[074-34b]
皆以一角連/於渾圜之面二者相離以視法相叠如一平面然惟正
弦切線能與之平行從凸面平視則設度之正弦切線/皆與渾圜中割之平面諸線平行
若割線餘弦皆非平行因視法而躋縮失其本象或斜/對則
長線成短線或對/視則直線成一㸃不能為比例無所用之矣若兩弧求
一弧則其句股自相垜疊於一平面平立斜三面各具/三句股而如相垜
疊並以一大句/股横截成三皆以本數自相為比例全不闗于視法
故無躋縮而其算皆割線餘弦所成于正弦切線反無
所取所以不同 若以量體之法言之割線餘弦為量
[074-35a]
立楞斜楞之法正弦切線則量底之法也兩弧求一弧/法見二卷
如圖 以卯為句股立
錐之頂卯乙為直立之
楞如渾圓半徑夘未夘
酉為斜面之楞並如割
線酉乙未乙兩底線並如
切線若依底線平截之成
大小三形則比例見矣
[074-35b]
剖渾圜用餘度法
乙丙黄道弧在四十五
度以上求甲乙赤道弧
即同/升度
依前法 半徑癸卯亦/即庚乙
與乙角春/分之餘弦乙壬/亦即
卯/己若乙丙黄/道之切線尾/乙
與乙甲赤/道之切線箕/乙
[074-36a]
此法無誤但如此則兩切線大于塹堵須引之于形外
是以小比例例大比例也若至八十度切線太大不可
作圖矣
今改用餘度 法自卯渾圜心遇黄道設弧丙作線至
酉剖至/底
以乙丙黄道之餘弧癸丙取其切線于斜面如癸斗
又以乙甲赤道之餘弧甲氐取其切線于底如氐
未即以氐未移至斜面之楞如亢酉變立句股尾箕/乙
[074-36b]
為平斜句股酉亢卯及斗癸/卯兩形皆相似 法為半徑癸/卯與乙角
之正割線乙角即卯角其割/線戊乙亦即卯亢若乙丙黄道之餘切線
癸/斗與乙甲赤道之餘切線也亢酉亦/即氐未
按此法從亢戊邊剖塹堵成句股方錐之眠體
其剖形以亢氐酉未長方形為底以卯為錐尖以斜
面之卯亢酉句股形及平面之卯氐未句股形為相
對之二邊又以卯氐亢之立面句股形及卯未酉之
斜立面句股形為相對之二邊其四面皆句股其底
[074-37a]
長方而以卯為尖故曰眠形
不直曰方錐者以面皆句股而卯氐線正立故不得
僅云陽馬謂之句股方錐可也亦如句股錐立三角
不得僅謂鼈臑
[074-38a]
塹堵測量二
句股錐形序即兩弧/求一弧
正弧三角之法即郭太史側視圖也郭法以側視取立
句股又以平視取平句股故有圓容方直之法而不須
用角西法専以側視之圖為用故必用角用角即用弧
也惟其用角故所用者皆側立之句股也余此法則兼
用平立斜三種句股而其大小句股之比例並在一平
面尤為明白易見而不更言角既與授時之法相通其
[074-38b]
兼用割線起算春分又西厯之理也葢義取適用原無
中外之殊笇不違天自有源流之合敬存此稿以質方
來其授時厯側視平視之圖詳具别卷
[074-39a]
正弧三邉形以兩弧求一弧法句股錐形之理/
用割線餘弦以弧度求弧度而不言角其理與郭法
相通
丙甲乙三角弧形 甲為正角
卯為渾員心丙乙為黄道距春分之
一弧甲乙為赤道同升之弧丙甲為
黄赤距度即過極圈/之一弧丙卯為黄道半
徑甲卯為赤道半徑卯乙為黄赤兩
[074-39b]
道之半徑壬卯為丙乙黄道之餘弦以丙壬為/其正弦故丑卯為
甲乙赤道之餘弦以甲丑為/其正弦故辛卯為丙甲距度之餘弦
以丙辛為/其正弦故子卯為丙甲割線以子甲為/切線知之酉卯為丙乙割
線以酉乙為/切線如之未卯為甲乙割線以未乙為/切線知之
斜面酉乙卯及子丑卯及丙壬卯皆句股形乙丑壬皆
正角又同用卯角角之弧為丙乙黄道 平面未乙卯
及甲丑卯及辛壬卯皆句股形乙丑壬皆正角又同用
卯角角之弧為甲乙赤道 立面酉未卯及子甲卯及
[074-40a]
丙辛卯皆句股形未甲辛皆正角又同用卯角角之弧
為丙甲距度其又一立面酉未乙及子甲丑及丙辛/壬三句股形為切線正弦所作兹不論
論曰因諸線成平面句股形為底兩立面句股形為牆
斜面句股形為面則四面皆句股形矣而酉未聯線及
子甲切線丙辛正弦皆直立上對天頂下指地心故謂
之句股錐形也既成句股則其相等之比例可以相求
用法
半徑與赤道之餘弦若黄道之割線與距度之割線
[074-40b]
反之則赤道餘弦與半徑若距度割線與黄道割線
一 甲乙餘弦 丑卯小句 二 半徑 乙卯大句
三 丙甲割線 子卯小弦 四 丙乙割線 酉卯大弦
又更之則黄道割線與半徑若距度割線與赤道餘弦
[074-41a]
一 丙乙割線 酉卯大弦 二 半徑 乙卯大句
三 丙甲割線 子卯小弦 四 甲乙餘弦 丑卯小句
右取斜面酉乙卯子丑卯兩句股形以乙卯半徑為
比例偕一餘弦兩割線而成四率
半徑與距度之割線若黄道之餘弦與赤道之餘弦
一 半徑 丙卯小弦 二 丙甲割線 子卯大弦
三 丙乙餘弦 壬卯小句 四 甲乙餘弦 丑卯大句
反之則距度割線與半徑若赤道餘弦與黄道餘弦
[074-41b]
一 丙甲割線 子卯大弦 二 半徑 丙卯小弦
三 甲乙餘弦 丑卯大句 四 丙乙餘弦 壬卯小句
又更之則黄道餘弦與半徑若赤道餘弦與距度割線
一 丙乙餘弦 壬卯小句 二 半徑 丙卯小弦
三 甲乙餘弦 丑卯大句 四 丙甲割線 子卯大弦
右取斜面丙壬卯子丑卯二句股形以丙卯半徑偕
一割線兩餘弦而成四率
半徑與赤道割線若距度割線與黄道割線
[074-42a]
更之則赤道割線與半徑若黄道割線與距度割線
一 甲乙割線 未卯大句 二 半徑 甲卯小句
三 丙乙割線 酉卯大弦 四 丙甲割線 子卯小弦
又更之則距度割線與半徑若黄道割線與赤道割線
[074-42b]
一 丙甲割線 子卯小弦 二 半徑 甲卯小句
三 丙乙割線 酉卯大弦 四 甲乙割線 未卯大句
右取立面酉未卯子甲卯二句股形以甲卯半徑偕
三割線而成四率
半徑與黄道餘弦若赤道割線與距弧餘弦
一 半徑 乙卯大句 二 丙乙餘弦 壬卯小句
三 甲乙割線 未卯大弦 四 丙甲餘弦 辛卯小弦
更之則黄道餘弦與半徑若距弧餘弦與赤道割線
[074-43a]
一 丙乙餘弦 壬卯小句 二 半徑 乙卯大句
三 丙甲餘弦 辛卯小弦 四 甲乙割線 未卯大弦
又更之則赤道割線與半徑若距弧餘弦與黄道餘弦
一 甲乙割線 未卯大弦 二 半徑 乙卯大句
三 丙甲餘弦 辛卯小弦 四 丙乙餘弦 壬卯小句
右取平面未乙卯辛壬卯二句股形以乙卯半徑偕
兩餘弦一割線而成四率
半徑與距度餘弦若赤道餘弦與黄道餘弦
[074-43b]
更之則距度餘弦與半徑若黄道餘弦與赤道餘弦
一 丙甲餘弦 辛卯小弦 二 半徑 甲卯大弦
三 丙乙餘弦 壬卯小句 四 甲乙餘弦 丑卯大句
又更之則赤道餘弦與半徑若黄道餘弦與距度餘弦
[074-44a]
一 甲乙餘弦 丑卯大句 二 半徑 甲卯大弦
三 丙乙餘弦 壬卯小句 四 丙甲餘弦 辛卯小弦
右取平面甲丑卯/辛壬卯二句股以甲卯半徑偕三餘弦而成四率
半徑與黄道割線若距弧餘弦與赤道割線
[074-44b]
更之則黄道割線與半徑若赤道割線與距弧餘弦
一 丙乙割線 酉卯大弦 二 半徑 丙卯小弦
三 甲乙割線 未卯大句 四 丙甲餘弦 辛卯小句
又更之則距弧餘弦與半徑若赤道割線與黄道割線
一 丙甲餘弦 辛卯小句 二 半徑 丙卯小弦
三 甲乙割線 未卯大句 四 丙乙割線 酉卯大弦
右取立面酉未卯丙辛卯二句股形以丙卯半徑偕
兩割線一餘弦而成四率
[074-45a]
作立三角儀法即句股錐形/
法以堅楮依各線畫成句股而摺輳之則各線之在渾
員者具可覩矣 任取黄道之一弧為例則各弧並同
底上甲乙弧赤道同升度
也赤道各線俱在平面為
底面上丙乙弧黄道度也
黄道各線俱在斜面立面
丙甲弧度黄赤距緯也距
[074-45b]
緯各線俱在立面 外立面為黄赤兩切線之界
論曰此即郭若思太史員容方直之理也太史法從二
至起算先求大立句股依距至黄道度取其正半弦為
界直切至赤道平面截黄赤道兩半徑成小立句股以
此為法求得平面大句股則赤道之正半弦也其直切
兩端下垂之跡在二至半徑者既成小立句股其在所
求本度者又成斜立句股此斜立句股之股則本度黄
赤距度之正半弦也于是直切之跡有黄道正半弦為
[074-46a]
其上下之横長有黄赤距度之正半弦為兩端之直濶
成直立之長方形而在渾體之中故曰弧容直濶也此
側立長方之四角各有黄赤道之徑為其楞以直湊渾
體之心成眠體之句股方錐句股方錐者底雖方而錐
尖偏在一楞則其四面皆成句股此郭太史之法也今
用八線之法以句股御渾體其意略同但其法主於用
角故從二分起算遂成立句股錐形立句股錐形亦可
以卯心為錐尖是為眠體錐形如此則兩錐形之尖皆
[074-46b]
在員心一郭法/一今法而可通為一法是故用郭太史法則以
句股方錐為主而句股錐形其餘度所成之餘形今以
句股錐形為主則員容直濶所成句股方錐又為餘度
餘形矣然則此兩法者不惟不相違而且足以相法古
人可作固有相視而笑莫逆於心者矣余竊怪夫世之
學者入主出奴不能得古人之深而輕肆詆訶者皆是
也吾安得好學深思其人與之上下其議哉
[074-47a]
句股方錐序
塹堵虚形以測渾員原有二法一為句股錐形一為句
股方錐其句股錐之法嚮有
法方錐之法亦略見於諸篇而未暢厥㫖故復著之其法以弧求弧而不求角
與句股錐同而起算二至則郭太史本法矣方錐與錐
形互相為正餘故亦可以算距分之度也
[074-48a]
筭黄赤道及其距緯以兩弧求一弧又法用句股方錐形/亦塹堵形之分
以八綫法立筭起數二至本郭法史員容方直之理
而稍廣其用亦不言角
如圖癸為二至黄道癸丙為
距至黄道之一弧如所/設氐為
二至赤道氐甲為距至赤道
之一弧與癸丙黄/道相應癸氐為二
至黄赤大距弧二十三/度半强丙甲
[074-48b]
為所設各度之黄赤距緯即過極圈/之一弧卯為渾圓心
黄道癸丙之正弦丙張餘弦張卯正矢癸張切綫癸斗
割綫斗卯
赤道氐甲之正弦甲庚餘弦庚卯正矢氐庚切線氐室
割綫室卯
大距度癸氐之正弦癸己餘弦己卯正矢氐己切綫氐
亢割綫亢卯
距緯丙甲之正弦丙辛餘弦辛卯正矢甲辛切綫甲子
[074-49a]
割綫子卯
論曰因諸綫成各句股形為句股方錐之面其鋭尖皆
㑹於卯心又成方直形以為之底遂成句股方錐之眠
體
一斜平面有黄道弧諸綫成句股形二一丙張卯/一斗癸卯又有
相應之赤道諸綫亦成句股形二一壁亢卯/一子房卯四者皆
形相似而比例等
一平面有赤道弧諸綫成句股二一甲庚卯/一室氐卯又有相應
[074-49b]
之黄道諸綫亦成句股二一辛井卯/一亥己卯四者皆形相似
而比例等
一立面有大距弧諸綫成句股二一癸己卯/一亢氐卯又有相對
之距緯諸綫亦成句股二一張井卯/一房庚卯四者皆形相似
而比例等
一斜立面有黄赤距度諸綫成句股二一丙辛卯/一子甲卯又有
相對之大距度諸綫亦成句股二一斗亥卯/一壁室卯四者皆
形相似而比例等
[074-50a]
論曰斜平面平面立面斜立面各具四句股而並為相
似之形者皆以一大句股截之成四也其股與弦並原
綫而所截之句又平行其比例不得不等
一内外兩方直形一在渾員形内即郭法所用乃黄道/及距緯兩正弦所成一在渾員形外
乃赤道及大距/兩切線所成有平立諸綫為各相似相連句股形
之句亦即為相似兩方錐之底而比例等
一不内不外兩方直形一跨黄道内外乃赤道正弦及/距緯切綫所成一跨赤道内外
乃黄道切綫及/大距正弦所成有平立諸綫為各相似相連句股形
[074-50b]
之句亦即為相似兩方錐之底而比例等
論曰方錐眠體以平行之底横截之即四種方直形/皆方錐之底成
大小四方錐其錐體之頂鋭卯/與其四棱皆不動所截
之底又平行故其比例相似而等
又論曰黄道在斜平面赤道在平面而其綫互居者以
方直形故也大距度在立面距緯度在斜立面而其綫
畢具者亦以方直形故也葢形既方直則横綫直綫兩
兩相對而等
[074-51a]
用法
斜平面比例
黄道半徑與黄道正弦若距緯割綫與赤道正弦
更之黄道正弦與黄道半徑若赤道正弦與距緯割
[074-51b]
綫
一丙張小股 二丙卯小弦 三子房大股 四子卯大弦
又更之距緯割綫與黄道半徑若赤道正弦與黄道正
弦
一子卯大弦 二丙卯小弦 三子房大股 四丙張小股
右取斜平面張丙卯房子卯二句股形以丙卯半徑
偕一割綫兩正弦而成四率
黄道半徑與黄道切綫若大距割綫與赤道切綫
[074-52a]
更之黄道切綫與黄道半徑若赤道切綫與大距割綫
一癸斗小股 二癸卯小句 三亢壁大股 四亢卯大句
又更之大距割綫與黄道半徑若赤道切綫與黄道切綫
一亢卯大句 二癸卯小句 三亢壁大股 四癸斗小股
[074-52b]
右取斜平面斗癸卯壁亢卯二句股形以癸卯半徑
偕一割綫兩切綫而成四率
平面比例
赤道半徑與赤道正弦若距緯餘弦與黄道正弦
[074-53a]
更之赤道正弦與赤道半徑若黄道正弦與距緯餘弦
一甲庚大股 二甲卯大弦 三辛井小股 四辛卯小弦
又更之距緯餘弦與赤道半徑若黄道正弦與赤道正
弦
一辛卯小弦 二甲卯大弦 三辛井小股 四庚甲大股
右取平面井辛卯庚甲卯二句股形以甲卯半徑偕
一餘弦兩正弦而成四率
赤道半徑與赤道切綫若大距餘弦與黄道切綫
[074-53b]
更之赤道切綫與赤道半徑若黄道切線與大距餘弦
一氐室大股 二氐卯大句 三己亥小股 四己卯小句
又更之大距餘弦與赤道半徑若黄道切與赤赤道切綫
一己卯小句 二氐卯大句 三己亥小股 四氐室大股
[074-54a]
右取平面亥己卯室氐卯二句股形以氐卯半徑偕
一餘弦兩切綫而成四率
立面比例
黄道半徑與大距正弦若黄道餘弦與距緯正弦
[074-54b]
更之大距正弦與黄道半徑若距緯正弦與黄道餘弦
一癸己大股 二癸卯大弦 三張井小股 四張卯小弦
又更之黄道餘弦與黄道半徑若距緯正弦與大距正
弦
一張卯小弦 二癸卯大弦 三張井小股 四癸己大股
右取立面己癸卯井張卯二句股形以癸卯半徑偕
一餘弦兩正弦而成四率
赤道半徑與大距切綫若赤道餘弦與距緯切綫
[074-55a]
更之大距切綫與赤道半徑若距緯切線與赤道餘弦
一氐亢大股 二氐卯大句三庚房小股 四庚卯小句
又更之赤道餘弦與赤道半徑若距緯切綫與大距切線
一庚卯小句 二氐卯大句三庚房小股 四氐亢大股
[074-55b]
右取立面房庚卯亢氐卯二句股形以氐卯半徑偕
一餘弦兩切線而成四率
斜立面比例
黄道半徑與距緯正弦若黄道割綫與大距正弦
[074-56a]
更之距緯正弦與黄道半徑若大距正弦與黄道割綫
一丙辛小股 二丙卯小弦 三斗亥大股 四斗卯大弦
又更之黄道割線與黄道半徑若大距正弦與距緯正
弦
一斗卯大弦 二丙卯小弦 三斗亥大股 四丙辛小股
右取斜立面辛丙卯亥斗卯二句股形以丙卯半徑
偕一割線兩正弦而成四率
赤道半徑與距緯切線若赤道割綫與大距切線
[074-56b]
更之距緯切線與赤道半徑若大距切線與赤道割線
一甲子小股 二甲卯小句 三室壁大股 四室卯大句
又更之赤道割綫與赤道半徑若大距切綫與距緯切
線
[074-57a]
一室卯大句 二甲卯小句 三室壁大股 四甲子小股
右取斜立面子甲卯壁室卯二句股形以甲卯半徑偕
一割線兩切綫而成四率
以上方錐形之四面每面有大小四句股形即各
成四率比例者六合之則二十有四並以兩弧求
一弧而不言角
方直形比例
黄道正弦與距緯正弦若赤道切線與大距切綫
[074-57b]
更之距緯正弦與黄道正弦若大距切線與赤道切線
一張井小股 二井辛小句 三亢氐大股 四氐室大句
又更之赤道切線與大距切線若黄道正弦與距緯正
弦
[074-58a]
一氐室大句 二亢氐大股 三井辛小句 四張井小股
再更之大距切綫與赤道切綫若距緯正弦與黄道正
弦
一亢氐大股 二氐室大句 三張井小股 四井辛小句
右取渾體内所容方直形上黄道及距緯兩正弦偕
渾體外所作方直形上赤道及大距兩切綫而成四
率
赤道正弦與距緯切綫若黄道切綫與大距正弦
[074-58b]
更之距綫切綫與赤道正弦若大距正弦與黄道切綫
一房庚小股 二庚甲小句 三癸己大股 四己亥大股
又更之黄道切綫與大距正弦若赤道正弦與距緯切
綫
[074-59a]
一己亥大句 二癸己大股 三庚甲小句 四房庚小股
再更之大距正弦與黄道切綫若距緯切綫與赤道正弦
一癸己大股 二己亥大句 三房庚小股 四庚甲小句
右取方直形上黄道切綫大距正弦偕又一方直形
上赤道正弦距緯切線而成四率
以上大小方錐形之底各成方直形而兩兩相偕
即各成四率比例者四合之則八並以三弧求一
弧而不言角
[074-59b]
凡句股方錐形所成之四率比例共三十有二皆不
言角内四率中有半徑者二十四並兩弧求一弧四
率中無半徑者八以三弧求一弧其不言角則同
問各面之句股形並以形相似而成比例若方直形所
用皆各形之大小句然不同居一面又非相似之形何
以得相為比例曰句股形一居平面一居立面而能相
比例者以有稜線為之作合也何以言之如亢卯割綫
為方錐形之一棱而此綫既為斜平面句股形壁亢/卯之
[074-60a]
股又即為立面句股形氐亢/卯之弦故其比例在斜平面
為亢卯與張卯若亢壁與張丙也而在立面為亢卯與
張卯若亢氐與張井也合而言之則亢壁與張丙亦若
亢氐卯與張井餘倣此
問此以方直相比非句股本法矣曰亦句股也試平置
方錐以方底著地使卯鋭直指天/頂而卯氐棱綫正立如垂而從其卯頂俯視之
則卯井庚己氐棱綫上分段之界因對視而成一㸃亢
卯稜線與亢氐線相疉室卯綫與室氐相叠皆脗合為
[074-60b]
一惟亢壁室氐直 形因平視而得正形其壁卯棱綫
則成壁氐而斜界於對角分直方形為兩句股形矣又
其分截之三方直形亦以平視得正形亦各以棱綫分
為兩句股而大小相疉成相似之形而比例等矣
如圖亢氐室壁長方以壁氐
綫成兩句股而張井辛丙長
方即張氐/辛丙亦以丙卯綫即丙/井亦
即丙/氐成兩句股並形相似則
[074-61a]
亢壁與張丙若亢氐與張井張井即/張氐
又癸己亥斗長方即癸氐/亥斗以斗卯綫即斗己又/即斗氐成兩句
股而房庚甲子長方即房氐/甲子亦以子卯綫即子庚又/即子氐成
兩句股而形相似則癸斗與房子若癸己與房庚癸己/與房
庚即癸氐/與房氐
[074-61b]
展形展之成四句股/面一方直底 合形合之則成/句股方錐
[074-62a]
作方直儀法即句股/立方錐
法以堅楮依黄赤大距二十三度半畫成立面再任設
赤道距至度畫成平面再依法畫距緯斜立面及黄道
距至度斜平面并方直底然後依棱摺輳即渾員上各
綫相為比例之故了然共見
任指黄道或赤道之距至一弧為式即各弧可知其所
用距至弧或在至前或在至後或冬至或夏至並同一
理
[074-63a]
方塹堵内容員塹堵法
先解方塹堵
塹堵以正方為底氐卯丁/乙形其上有
赤道象限氐乾乙弧乙/春分氐夏至以長方為
斜面亢卯戊/乙形其上有黄道象限癸/巽
乙弧乙春/分巽夏至底與而一邉相連卯乙/邉為
底與斜面所同用故相/連乃黄赤道之半徑一邉相離
氐丁邉在底與赤道平行亢戊邉/在斜面故相離其距為亢氐為戊
[074-63b]
丁皆大距度癸/氐弧之切線其形似斧
從斜面作戊卯對角線切至底戊丁卯對/角線于底分塹堵為兩
則赤道為兩平分赤道平分于乾乾乙距春分/乾氐距夏至各得四十五度而黄道
為不平分黄道分於巽則巽乙距春分四十七度二十强/九分弱而巽癸距夏至四十二度三十一分
於是黄道切線戊/乙與大距度割線亢/卯等而方塹堵之形
以成亢卯為大距二十三度三十一分半之割線其數/一○九○六五戊乙為黄道四十七度二十九分
之切線其數亦一○九○六五兩數/既同故能作長方斜面而成塹堵乃黄道求赤道用
兩切線之所賴也若赤道求黄道/則反用其率
[074-64a]
法曰自黄道四十七度二十九分以前用正切是立面
句股比例戊丁乙句股比例即亢氐卯或用癸巳/卯皆大句股也其酉未乙則為小句股
右黄道求赤道為以弦求句
一 赤道半徑氐卯 大句
[074-64b]
二 大距割線亢卯 大弦
三 赤道切線未乙甲乙/赤道 小句
四 黄道切線酉乙丙乙/黄道 小弦
右赤道轉求黄道為以句求弦
自黄道四十七度二十九分以後用餘切是斜平面句
股比例斜面亢虚卯為大句股癸斗卯為小句股在/平面則為氐危卯大句股己心卯小句股
一 黄道半徑癸卯 小股
二 大距割線亢卯 大股
[074-65a]
三 黄道餘切癸斗 小句 牛乙黄道其/餘弧牛癸
四 赤道餘切亢虚 大句 女乙赤道其/餘弧女氐
右黄道求赤道為以股求句
一 赤道半徑氐卯 大股
二 大距餘弦己卯 小股
三 赤道餘切危氐即亢/虚 大句 女氐即女乙/赤道之餘
四 黄道餘切心己即癸/斗 小句 牛癸即牛乙/黄道之餘
右以赤道轉求黄道亦為以股求句
[074-65b]
論曰赤道求黄道用句股于赤道平面即郭太史員容
方直之理但郭法起二至則此所謂餘弧乃郭法之正
弧又郭法只用正弦而此用切線為差别耳
又論曰正切線法亦可用于半象限以上餘切線亦可
用于半象限以下此因方塹堵之底正方則所用切線
至方角而止故各用其所宜云半象限者主赤道而言/若黄道以四十七度二十
九分為斷一平一斜/故其比例如弦與句
又論曰正切線法即句股錐形也餘切線法即句股方
[074-66a]
錐也以對角斜線分塹堵為兩成此二種錐形遂兼兩
法
[074-67a]
次解員塹堵
方塹堵内容割渾員之分體以癸牛丙乙黄道為其斜
面之界以氐女甲乙赤道為其底之界而以癸氐大距
弧及牛女丙甲等逐度距弧為其髙髙之勢曲抱如渾
員之分斜面平面皆為平員四之一其髙自癸氐大距/漸殺至春分乙角
而合為/一㸃
員塹堵者雖亦在方塹堵之内然又在所容割渾員分
體之外與割渾員體同底亦以赤道為界而不同面其
[074-67b]
面自乙春分過子過奎至亢其形卯乙短而亢卯長如
割平撱員面四之一其撱員邉之距心皆以逐度距緯
如丙甲/牛女等之割線所至為其界如卯子為丙甲距弧割線/卯奎為牛女距弧割線之
類/而以逐度距緯之切線為其髙如子甲為丙甲距弧/切線奎女為牛女距
弧切線/之類
法以赤道為圍作員柱置渾員在員柱之内對赤道横
剖之則所剖員柱之平員底即赤道平面也又自夏至
依大距二十三度三十分半之切線為髙斜對春秋分
[074-68a]
剖至心則黄道半周在所剖之斜面矣
然黄道半周雖在所剖斜面而黄道自為半平員所剖
斜面則為半撱員黄道平員在撱員内兩端同而中廣
異兩端是二分如乙為平撱同用之㸃中廣是/夏至如黄道癸在撱面亢之内其距為癸亢此員塹
堵之全體也
於是又從亢癸對卯心直剖到底則成員塹堵之半體
即方塹堵所容也此員塹堵斜面之髙俱為其所當距
緯弧之切線渾員上弧三角法以距緯切線與赤道平
[074-68b]
面之正弦相連為句股而生比例是此形體中所具之
理
此塹堵體與前圖同惟多一亢奎子乙撱弧以此為撱
員界立剖至底令各度俱至赤道而去其外方則成
員塹堵真體
此員塹堵為用子甲丑句股形之所頼子甲為距弧切
線甲丑為赤道正弦也又子甲如股甲丑如句法為子
甲與甲丑若亢氐與氐卯
[074-69a]
[074-69b]
前圖為從心眎邉此為從邉眎心盖因欲顯圓塹堵
内方直形故為右觀之象與前圖一理惟多一己庚
辛乙撱弧前圖亢奎子乙撱弧在黄道斜面/此圖己庚辛乙撱弧在赤道平面
員塹堵有二
若自斜面之黄道象限各度直剖至赤道平面亦成員
塹堵象限然又在剖渾員體分之内其體以斜面為正
象限但斜立耳其底在赤道者轉成撱員
此撱員形在赤道象限之内惟乙點相連此即簡平儀
[074-70a]
之理
其撱之法則以卯乙半徑為大徑癸氐距弧之餘弦卯
巳為小徑小徑當二至大徑當二分與前法正相反然
其比例等何也割線與全數若全數與餘弦也
此員塹堵以撱形為底象限為斜面以距度逐度之正
弦為其髙乃黄道距緯相求用兩正弦之所頼也
此員塹堵内又容小方塹堵乃郭太史所用員容方直
也
[074-70b]
渾員因斜剖作角而生比例成方員塹堵形其角自○
度一分以至九十度凡五千四百則方員塹堵亦五千
四百矣乙角以春分為例則其度二十三度半强其實/自一分至九十度並得為乙角合計之則五千
四/百
每一塹堵依度對心剖之成立句股錐及方句股錐之
眠體自○度一分至大距止亦五千四百
以五千四百自乗凡二千九百一十六萬而渾員之體
之勢乃盡得其比例烏呼至矣
[074-71a]
每度分有方塹堵方塹堵内函赤道所生撱體赤道撱
體内又函黄道所生撱體黄道撱體内又函小方塹堵每
度分有此四者則一象限内為五千四百者四共二萬
一千六百以乙角五四○○乗之則/一一六六四○○○○
每度有正有餘對心斜分則正度成句股錐餘度成方
底句股錐之眠體一象限凡四萬三千二百以五四○/○乘之則
二三三二八/○○○○
[074-72a]
員容方直簡法序
古未有預立算數以盡句股之變者有之自西洋八綫
表始古未有作為儀器以寫渾員内句股之形者自愚
所撰立三角始立三角之儀分之曰句股錐形曰句股
方錐形合之則成塹堵形其稱名也小其取類也大徑
寸之物以狀渾員而弧三角之理如指諸掌即古法之
通於弧三角者亦如指諸掌矣雖然猶無解於古法之
不用割切也故復作此簡法以互徵之而授時厯三圖
[074-72b]
附焉盖理得數而彰數得圖而顯圖得器而真草野無
諸儀象藉兹以自釋其疑不敢自私故以公之同好云
爾句股錐形是以西法通國法句鈠方錐形是以郭法/通西法今此簡法是専解郭法而兩法相同之故自
具其/中
[074-73a]
員容方直儀簡法即句股方錐之方直儀而不用割切/線祗以各弧正弦矢度相求其用己
足亦不/須用角
立面中有句股形二其一大句股形癸巳/乙以黄道半徑
[074-73b]
癸/乙為弦大距度正弦癸/巳為股大距度餘弦巳/乙為句其一
小句股形壬戊/乙以黄道餘弦壬/乙為弦距緯正弦壬/戊為股
楞線戊/乙為句
[074-74a]
平面中亦有句股形二其一小句股形庚戊/乙以距緯丙
甲之餘弦庚/乙為弦以黄道正弦戊/庚為股楞綫戊/乙為句其
一大句股形甲辛/乙以赤道半徑甲/乙為弦以赤道正弦甲/辛
為股赤道餘弦辛/乙為句戊乙線于弧度無取然平立二/形並得此補成句股謂之楞線
黄道正弦本在斜平面而能移于平面者有
相望兩立線丙庚/壬戊為之限也距度正弦本在
斜立面而能移於立面者有上下兩横線丙/壬
庚/戊為之限也此四線兩立/兩横相得成長方其立
[074-74b]
如堵故又曰弧容直濶也
[074-75a]
有大距有黄道而求距緯 更之可求大距 反之可求黄道
一 半徑 癸乙 一 黄道餘弦 一 大距正弦
二 大距正弦 癸己 二 距緯正弦 二 半徑
三 黄道餘弦 壬乙 三 半徑 三 距緯正弦
四 距緯正弦 壬戊 四 大距正弦 四 黄道餘弦
有赤道有距緯而求黄道 更之可求赤道 反之可求距緯
一 半徑 甲乙 一 距緯餘弦 一 赤道正弦
二 赤道正弦 甲辛 二 黄道正弦 二 半徑
[074-75b]
三 距緯餘弦 庚乙 三 半徑 三 黄道正弦
四 黄道正弦 庚戊 四 赤道正弦 四 距緯餘弦
[074-76a]
郭太史本法
弧矢割員圖見授時厯/草下並同
凡渾員中割成平員任割平
員之一分成弧矢形皆有弧
背有弧弦有矢割弧背之形
而半之則有半弧背有半弧
弦有矢 因弧矢生句股形
以半弧弦為句即正/弦矢減半
[074-76b]
徑之餘為股即餘/弦半徑則常為弦 句股内又成小句
股則有小句小股小弦而大小可以互求或立或平可
以互用平視側視二/圖皆從此出
[074-77a]
側視之圖
横者為赤道赤道一規因旁/視如一直線黄
道/同
斜者為黄道
因二至黄赤之距成大句股
即外/圈
因各度黄赤之距成小句股
[074-77b]
平視之圖
外大員為赤道
内撱者黄道從兩極平視則/黄道在赤道内
而成/撱形
有赤道各度即各其有半弧
弦以生大句股
又各有其相當之黄道半弧
弦以生小句股此二者皆/可互求
[074-78a]
授時厯求黄赤内外度及黄赤道差法
置黄道矢本法用帶從三/乗方求各度矢去減周天半徑即立面黄/道半徑餘
為黄赤道小弦即黄道餘弦也半徑/為大弦故此為小弦置黄赤道小弦以
二至内外半弧弦即二至大距度正弦當時/實測為二十三度九十分乘之為實
黄赤大弦即周天半徑以其為立面/大句股之弦故稱大弦為法除之得黄赤
道内外半弧弦即各度黄赤距度正弦也原法以矢度/度半背弦差加入半弧弦得内外半弧
背今/省
又置黄赤道小弦以黄赤道大股即二至内外度餘弦/也在立面大句股形
[074-78b]
為大/股乗之為實黄赤道大弦為法除之解見/前得黄赤道
小股即立面平面兩小句股同用之楞/線在立面與大股相比故稱小股置黄道半弧弦
即黄道正弦也原法以黄道矢/求半背弦差減黄道度得之自乗為股冪黄赤小股
自乗為句冪即楞綫也先在立面為小句股形之股今/又為平面句股形之句故其冪稱句冪
兩冪並之為實開平方法除之為赤道小弦即各度黄/赤距度餘
弦也周天半徑為平面上大句股之弦/故稱大弦則此為小句股弦當稱小弦置黄道半弧弦
以周天半徑乗之為實赤道小弦為法除之得赤道半
弧弦即赤道正弦也原法求半背弦/差以加半弧弦得赤道今省
[074-79a]
論曰弧矢割員者平員法也以測渾員則有四用一曰
立弧矢勢如張弓以量黄赤道二至内外度即側立圖
也一曰平弧矢形如伏弩以量赤道即平視圖也一曰
斜弧矢與平弧矢同法而平面邉髙邉下其庋起處如
二至内外之度以量黄道即平視圖中小句股也一曰
斜立弧矢與立弧矢同法而其立稍偏以量黄赤道各
度之内外度即側立圖中小句股也自離二至一度起
至近二分一度止一象限中逐度皆有之但皆小於二
[074-79b]
至之距邢臺郭太史弧矢平立三圖中具此四法即弧
三角之理無不可通言簡而意盡包舉無窮好古者所
當珤愛而?翫也
又論曰割員之算始于魏劉徽至劉宋祖冲之父子尤
精其術唐宋以算學設科古書猶未盡亡邢臺葢有所
本厥後授時厯承用三百餘年未加修改測箕之講求
益稀學士大夫既視為不急之務而臺官株守成法鮮
諳厥故驟見西術羣相駭詫而不知舊法中理本相同
[074-80a]
也疇人子弟多不能自讀其書又忌人之讀而各私其
本久之而書亦不可問矣攷元史厯成之後所進之書
凡百有餘卷郭守敬傳有修改源流及測騐等書齊履/謙傳有經串演撰諸書明厯法之所以然
今其存軼並不可攷良可浩嘆然天下之人豈無有能
藏弆遺文以待後學者庶幾出以相證予於斯圖之義
類多通而深有望於同志矣
問元初有回回厯法與今西法大同小異邢臺葢㑹通
其説而為之故其法相通若是與曰九章句股作於𨽻
[074-80b]
首為測量之根本三代以上學有専家大司徒以三物
教民而數居六藝之一秦火以後吾中土失之而彼反
存之至於流逺𣲖分遂以各名其學而不知其本之同
也况東西共戴一天即同此句股測員之法當其心思
所極與理相符雖在數萬里不容不合亦其必然者矣
攷元初有西域人進萬年厯未經試用迨明洪武年間
始命詞臣吴伯宗西域大師馬沙亦黒等譯回回厯書
三卷然亦粗具筭法立成並不言立法之原究竟不知
[074-81a]
其所用何法或即今三角八綫或更有他法俱無可攷
雖其子孫莫能言之攷元史所載西域人晷影堂諸製
與郭法所用簡儀髙表諸器無一同者或測量之理觸
類増智容當有之然未見其有㑹通之處也徐文定公
言回回厯緯度凌犯稍為詳宻然無片言隻字言其立
法之故使後来入室無因更張無術盖以此也又據厯
書言新法之善係近數十年中所造則亦非元初之西
法矣而與郭圖之理反有相通豈非論其傳各有本末
[074-81b]
而精求其理本無異同耶且郭法用員容方直起算冬
至西法用三角起算春分郭用三乗方以先得矢西用
八綫故先得弦又西専用角而郭只用弧西兼用割切
而郭只用弦種種各别而不害其同有所以同者在耳
且夫數者所以合理也厯者所以順天也法有可采何
論東西理所當明何分新舊在善學者知其所以異又
知其所以同去中西之見以平心觀理則弧三角之詳
明郭圖之簡括皆足以資探索而啓深思務集衆長以
[074-82a]
觀其㑹通毋拘名相而取其精粹其於古聖人創法流
傳之意庶幾無負而羲和之學無難再見於今日矣
[074-83a]
角即弧解
問古法只用弧而西法用角有以異乎曰角之度在弧
故用角實用弧也何以明其然也假如辰
庚己三角形有庚鈍角有己庚辰庚二邉
欲求諸數依垂弧法于不知之辰角打線
線先補求辰辛及辛庚成辰辛庚三角虚
形此必用庚角以求之而庚角之度為丙
丁是用庚角者實用丙丁也其法庚丙九
[074-83b]
十度之正弦即半/徑與丙丁弧之正弧即庚角/正弦若庚辰正
弦與辰辛正弦是以大句股之例例小句股也又丙丁
弧之割線即庚角/割線與庚丁九十度之正弦亦即半徑凡/角度所當弧
其兩邊並/九十度若庚辰之切線與庚辛之切線亦是以大句
股之例例小句股也
既補成辰辛巳三角形可求巳角而巳角之度為乙甲
是求巳角者實求乙甲也其法辛己弧之正弦與辰辛
弧之切線若己甲象弧之正弦即半/徑與乙甲弧之切線
[074-84a]
即己角/切線是以小句股例大句股也
又如己辰庚形庚為鋭角當自不知之辰角打線分為
二形以求諸數其一辰辛庚分形先用庚
角而庚角之度為丙丁用庚角實用丙丁
也法為丙庚象弧之正弦即半/徑于丙丁弧
之正弦即庚角/正弦若辰庚之正弦與辰辛之
正弦又丙庚象弧之正弧即半/徑與丙丁弧之餘弦即庚/角餘
弦/若辰庚之切線與辛庚之切線是以大句股例小句
[074-84b]
股也
其一辰辛己分形以庚辛減己/庚得己辛有辰辛己辛二邉可求
己角而己角之度為乙甲求己角實求乙甲也法為己
辛之正弦與辰辛之切線若己甲象
之正弦即半/徑與乙甲弧之切線即己角/切線是以小句股例大句股也
一系 用角求弧是以大句股比例比小句股用弧求
角是以小句股比例比大句股
厯算全書卷六十