[073-1a] 
欽定四庫全書
厯算全書卷五十九
宣城梅文鼎撰
少廣拾遺
開方求亷率作法本原圖
自開平方至開八乗方
古圖附説
[073-2a]
圖最上書一者本數也本數者即大方也大方無隅無
乘除之可言而數從此起也次並列一/一者方邉也西法
謂之根數即一十一也左一即本數因有次商而進位
成一十為初商之根右單一為次商之根既有根數即
有平冪故第三層 者幂積也西法謂之面即一百二
十一也左一百為初商自乗之幂即大方積也右單一
為次商自乗之幂即隅積也小平方也中二十則兩亷
積也並長方也
[073-2b]
如圖大小兩方幂以
一角相聫必得兩亷
以輔之而其方始全
故平方亷積二也
第四層 者立方積也西法謂之體積即一千三百三十
一也左一千初商再乗之積大立方也右單一為次商
再乗之積隅積也小立方也中三百三十皆亷積也三
百為三平亷積扁立方也三十為三長亷積長立方也
[073-3a]
[073-3b]
如圖析觀之則初商大立方體與次商隅積小立方體
相連於一角必得三平亷之扁立方體補於大立方之三
面又有三長亷之長立方體補於小立方之三面及三
平亷之隙而方體始全故立方之亷積有二等而其數
各三也
第五層 者三乘方也即一萬四千六百四十一也左
一萬者大三乗方也初商方積也右單一者小三乗方
也次商隅積也大方積既以三乗之故而積陞至萬小
[073-4a]
隅雖三乘仍單一也其相隔已三位故必有第一亷舊/名
方/法為千數第二亷舊名/上亷為百數第三亷舊名/下亷為十數以
補之其數始足其理亦如平方立方也三乘方以上不
可為圖諸書有强為之圖者非也然其理則有可言者
焉以其相生之序言之則皆加一筭法也初商次商如
十與一而其幂則如百與一故于一/一之下各加一/一即成
如十一之自乘也此平方率也又以十一乗之成
即立方率也又以一十乗之成 即三乗方率四乗以
[073-4b]
上凖此加之皆加一法也曰若是則諸乗方皆以十一
逓乗而得非十一者何以處之曰根非十一而其理皆
如十與一何則凡増一乗積陞一等而亦増一亷亷與
亷之積亦皆如十與一也
冪音覓周禮冪人掌共巾冪説文覆也開平方四邉/俱等中函縱横之積亦如覆物之巾有經緯縷文
故謂之冪/亦謂之面幂同上省文也見張参五經/文字算書或小寫作□
[073-5a]
[073-5b]
亷率立成附説
凡開方一位除盡者無亷隅也亷隅皆生於次商次商
之根必小于初商一等而其小隅之體𫝑必與初商之
大方同狀如再乗之隅即小立方三/乘方之隅即小三乘方此可借初商表而
降等求之不必更立隅法也亷法則不然每増一乗則
亷増一等如平方但有亷立方則有平亷長亷三乗方/則有三種亷四乘方則有四種亷其亷之等
並與其乘/數同増而亷亦加多如平方只二亷立方則平亷長/亷各三三乗方則三種亷共有
十四乗以上則更/増而多如圖所列此亷率所由立也
[073-6a]
問亷既有等如平方亷為十立方/亷為十為百之類而今亷率只作單數
用何也曰此亷之數也非亷之積也亷積有等則既於
其次序分之矣挨次乗之其等自見如第一亷必小于/初商大方一等第
二亷又小一等其最末之亷必/大于小隅一等各乗方皆如是若同一等中應各有若
干亷必先知之而後可用故立成中所列皆單數
問古圖以右為隅法其序自左而右今亷率之序自右
而左何也曰既皆作單數用則左右一也今依筆算自
右而左便於取用故也亷法相生之序左右同數如立/方平亷三長亷亦三也三乗方
[073-6b]
第一亷四第三亷亦四也其近大方有若干亷則其近/小隅亦有若干亷故左右並同可以左為初商大方右
為小隅亦可以右為大方而左/為小隅此亦見古圖之妙也
問舊有方法亷法之目今㮣曰亷法何也曰開方法有
方有亷有隅其初商自乗即方也次商自乗即隅也方
與隅之間次商初商相乗而得者皆亷也舊以立方之
平亷有似扁方故名之方法而三乗方因之遂又有上
亷下亷之目故不如一切去之但以一二三四為序較
畫一耳
[073-7a]
問平方之亷皆平幂也立方之平亷長亷皆體積也不
知三乗方以上之亷積亦能與方隅並狀乎曰凡諸乗
方之亷積無不與方隅之乗數等也試以三乗方言之
其第一亷有四皆初商之再乗積而又以次商根乗之
是三乗也其第二亷有六皆初商自乗之平幂也而又
以次商之平幂乗之第三亷有四皆初商之根數而又
以次商之立積乗之皆三乗也又以四乗方言之其第
一亷有五皆初商三乗積也又乗次商根是四乗也其
[073-7b]
第二亷有十皆初商再乗積也又以乗次商幂亦四乗
也其第三亷亦十皆初商幂積也又以乗次商再乗積
其第四㢘有五皆初商根也又以乗次商之三乗積皆
四乗也五乗方以上俱如是觀後算例自明
[073-8a]
[073-9a]
[073-10a]
[073-10b]
諸乗方根同而積不同本易知也惟根之一者積同
為一似乎無别矣然有幂積之一有體積之一有三
乗以上諸乗方之一雖曰積同為一其實不同也今
以方根之為单一為一十為一百者為例如右
[073-11a]
[073-12a]
[073-12b]
因有續商故方根以十數見例方積以尾○定位無
次商者去尾○用之則方根只為單數
[073-13a]
多如第一亷用初商立積二亷則初商/幂逓減以至三亷則初商只用根近小隅者次
[073-13b]
商乗之遍數多如第一亷只用次商根第二亷則次/商亦用幂三亷則逓加而用次商立
積/各乗方皆如是
[073-14a]
開諸乗方大法
諸乗方法惟平方為用最多因有専法今自平方立方
推之三乗以上至於多乗而通為一法是為大法諸乗/方大
法可以開平方而平方/専法不可以開諸乗方
總法 凡諸乗方皆先列實 次作㸃分段 次查表
以定初商 次求亷隅以定續商
列實之法 依勿菴筆算作平行兩直線以設積紀于
右直線之右皆自上而下至單數止無單數者作○存
[073-14b]
其位
作㸃分段之法 皆于原積末位單數作一㸃起凡減/隅積
必至單位故分段之法以此為/宗同文算指但言起末位殊混依各乗方宜以若干位
為一段即隔若干位㸃之或作實㸃丶或作虚㸃□俱可/然虚㸃尤便以減商積時有借
上位之㸃/免凌雜也如平方以每兩位為一段則隔一位㸃之立
方以三位為一段則隔兩位㸃之乃至十二乗方以十
三位為一段則隔十二位㸃之並同一法
謹案作㸃分段其用有二一以定開方有若干次也如
[073-15a]
有一㸃則只開一次有兩㸃則開二次三㸃則開三次
之類一以定開方所得為何等數也如只有一㸃則初
商即單數二㸃則初商是十數三㸃則初商是百數之
類是故初商減積必至於最上㸃而止也次商減積必
至于次㸃而止也每開一次必減積一次而所減之數
必各盡于其作㸃之位亦可以驗開方之無誤也又最上
㸃以上初商實也次㸃以上次商實也每商皆以㸃位
截實此法於初商尤為扼要
[073-15b]
又案開方分段古人舊法之精錢塘吴信民九章比類
山隂周述學厯宗算㑹悉著其説而同文算指西鏡錄
本其意以作㸃定之施於筆算為極善也鼎于三十年/前見同文算
指作㸃之法驚嘆其竒後讀諸書/始知其有所祖述非西人創也
初商之法 皆以最上一㸃截原積若干位為初商實
乃查初商表視本乗方下數有與實相同或較小於
實者錄之紀于左線之左皆以表數末位對右線/上原實最上㸃紀之是為
初商應減之積 即于本表旁行查方根紀于左線之
[073-16a]
右皆對所紀表數首/位進一位紀之是為初商數
以初商應減之積左行/所紀與初商實右行最上㸃/所截原實對位相
減皆以左減右須依筆算從小數減起如左行減數大/右行實數反小而不及減則作㸃于上一位借十數
減/之減不盡者為餘實以待續商
凡原實有二㸃則初商為十數而有次商有三㸃初商
為百數而有次商及三商以上倣論如實只一㸃則初
商即是單數無續商
次商之法 皆以第二㸃截餘實為次商實
[073-16b]
凡初商皆為方積次商以後則有亷積隅積
先求亷率 查亷率立成本乗方亷率有若干等等有
若干數平列之為若干行謂之定率如平方只一種亷/其定率二立方有
二種亷曰平亷曰長亷其定率並三若三乗方則有三/種亷曰一亷曰二亷曰三亷其定率曰四四六曰四詳
後/式每増一乗即亷増一等而定率増一行有亷之等有/亷之數如平
方有二亷立方有三平亷三長亷此亷之數也平方之/兩亷同積共為一等立方之三平亷同積為一等三長
亷同積為一等共為二等此/亷之等也亷率中兼此二義
求亷汎積 以各亷定率乗初商應有各數各依本乗
[073-17a]
方減小一等用之亷多者又遞減挨次乗之至根數止
是為汎積有初商數即各帶有自乗冪積二乗立積乃/至三乗以上各積是為應有各數也今求汎
積當依本乗方減小一等用之如平方只用根數立方/用初商冪積乃至十二乗方用初商十一乗此為減小
一等也至第二亷則立方用初商根三乗方用初商再/乗乃至十二乗方用初商十乗此為亷多者二亷以上
又逓減挨次乗之也逓減至初商根/則為末後一亷矣故曰至根數止
求㳄商數以汎積約餘實得之
求亷定積 以各亷汎積乗次商數亷多者逓増一等
挨次乗之至本乗方減小一等止是為定積凡第一亷/汎積皆乗
[073-17b]
次商根而得定積有第二亷則以次商自乗積乗之有/三亷則以次商立方積乗之是為逓増一等也然增不
得至本乗方但增至本乗方減/小一等數即為末後一亷矣
求隅積 以次商數查初商表各依本乗方取之以次/商對
横行根數以本乗方對/直行縱横相遇得之列于亷積之後一行是為隅積
小隅體勢並同初商大方如平方則隅即小平方立方/則隅即小立方三乗方之隅亦為小三乗方四乗以上
並同故可借/初商表用之
求亷隅共積 以所得各亷定積及隅積用併法併之
即得
[073-18a]
求次商定數 以所得亷隅共積紀左線之左又在表/數之左
以末位對第二㸃紀/之為次商應減之數與次商實右行第二/㸃所截對位相減以/左
減/右減不盡者又為餘實以待三商遂紀次商數于初商
之下為次商定數 如亷隅共積大于次商實不及減
則改次商至及減而止乃為次商定數
三商以後並同上法
不論三商四商乃至多商其亷定率不變但求汎積時
三商則並初商次商兩位商數合而用之四商則併前
[073-18b]
三次商數皆取其應有各數以乗定率而得汎積亦如
上法之用初商 其求定積則三商即用三商之數四
商即用四商之數以乗汎積而得定積亦如上法之用
次商 餘法並同次商
審○位之法 凡亷汎積大於餘實或僅相等而無隅
不能商一數是次商為○位也即紀○位於先商之次
而併下一㸃餘實為續商餘實
次商單一之法 凡汎積與實僅同而有隅一是商得
[073-19a]
一數也即以汎積為定積不必更乗次商惟單一則然/若商得一十
一百一千仍/須如法乗之
[073-20a]
開平方即一乗方/
設平方積三千三百四十四萬三千○八十九問方
根若干
答曰五千七百八十三
列實法先作兩直綫次以方積/三三四四三○八九列
右綫/之右 作㸃法於實末位單數/作一㸃起逆上每
隔一位㸃之有四㸃/宜商四次初商是千初商法曰
用最上一㸃截原實兩位三三/為初商實查表有小於實三三
[073-20b]
者是二五其方根五即以五為初商對實首上一位/書于左綫之右却以表數二五對實三三書左綫之
左與原實對減先於實次位減五實係三不足減作/㸃借上一數為十三減去五餘八改書八于實三之
右次於實首減二原實是三因借下去一只得二減/盡乃作綫抹去三三存八以待次商亦于左作綫抹
去減數/二五
求次商 用第二㸃上餘實八四四為次商實
隅 次商自乗 四九○○○○
[073-21a]
亷隅共積 併 得 七四九○○○○
次商法曰置亷率立成内定率二乗初商五千得一/萬為汎積乃約實作七百定為次商即以
汎積乗之得定積七百萬再用次商自乗為隅其積/四十九萬併定積成七百四十九萬即亷隅共積也
俱如式列之于是將次商七續書初商五之下又將/共積七四九對實八四四書左綫之左以減實餘九
五乃作綫抹去八四四亦/于左作綫抹去七四九
求三商 用第三㸃上餘實九五三○為三商實
[073-21b]
隅 三商自乗 六四○○
亷隅共亷 併 得 九一八四○○
三商法曰復置定率二以乗初商次商合數五千七/百得一萬一千四百為汎積乃約實作八
十為三商即以泛積乗之得定積九十一萬二千三/商亦自乗為隅得積六千四百以併定積成九十一
萬八千四百為亷隅共積俱如式列之再將三商八/十挨書次商七百之下而以其亷隅積九一八四對
實九五三○書于左綫之左去減實餘三四六即改/書之以待四商作綫抹去九五三○左亦作綫抺去
九一/八四
求四商 用第四㸃上餘實三四六八九為四商實
[073-22a]
隅 四商自乗 九
亷隅共積 併 得 三四六八九
四商法曰用定率二乗初商次商三商合數五千七/百八十得一萬一千五百六十為泛積乃
約實可商三定為四商即以泛積乗之得定積三萬四/千六百八十四商三自乘得九為隅積併定積成三
萬四千六百八十九是為亷隅共積各如式列訖再/將四商三挨書于三商八十之下而以其亷隅積三
四六八九對第四㸃實書于左綫之左就以減/四商實恰盡乃作綫抹去之左減數亦抺去
[073-22b]
初商五千 有四㸃故初商是千位
次商七百
三商八十
四商單三
凡開得平方根五七千百八十三
還原法 置方根五千七百八十三自乗得積三千
三百四十四萬三千○八十九合原積
[073-23a]
開立方即再乗方/
設立方積一千○○七萬七千六百九十六尺問每
面方若干
答曰二百一十六尺
依法列實 作㸃自末位單數/作一㸃起逆
上每隔兩位㸃之/有三㸃宜商三次
求初商用最上一㸃截原實兩/位一○為初商實查初
商表有小于一○者是○八其/方根二即以二定為初商對實
[073-23b]
首上一位書左綫之右而以其積數○八對實一○/書左綫之左對減初商實餘二改書之以待次商
初商二百尺有三㸃初/商是百
求次商 用第二㸃上餘實二○七七為次商實
依法求得次商一十尺書于初商二百之下而以其/亷隅共積一百二十六萬一
[073-24a]
千減㳄商實餘八一/六改書之以待三商
求三商 用第三㸃上餘實八一六六九六為三商
實
隅 三 商 再 乗 二一六
亷隅共積 併 得 八一六六九六
依法求得三商六尺續書次商一十之下而以亷隅/共積八十一萬六千六百九十
[073-24b]
六減三商/實恰盡
凡開得立方根二百一十六尺
還原 置方根二百一/十六尺自之得四萬六千六/百五十六尺為平幂
又置平幂以方根乗之得一千○○七萬七千六百
九十六合原數
[073-25a]
開三乗方
設三乗方積一億三千六百○四萬八千八百九十
六問方根若干
答曰一百○八
依法列實 作㸃自末位單/數作一㸃
起逆上每隔/三位㸃之
求初商 用最上一㸃截實
首位一為初商實
[073-25b]
凡積一者其根亦一不必查表竟以一為初商其積/與實
對減/恰盡
初商一百有三㸃初/商是百
求次商 用第二㸃餘實三六○四為次商實
隅 次 商 三 乗 一○○○○
[073-26a]
亷隅共積 併 得 四六四一○○○○
依法求得亷隅共積四千六百四十一萬為次商一
十之積大於次商實不及減是無次商也法于初商
一百下書○
求三商 用第三㸃合上第二㸃餘實三六○四八
八九六共八位為三商實三商減積至末位第三/㸃故合八位為其實
凡求三商當合初商次商兩數乗定率以求泛積今
次商 故只用初商數
[073-26b]
隅 三 商 自 乗 三 次 四○九六
亷隅共積 併 得 三六○四八八九六
依法求得三商八續書次商○之下而以其亷隅共/積三千六百○四萬八千八百九
十六與餘實/相減恰盡
凡開得三乗方根一百○八
[073-27a]
還原 置方根一○/八自乗得一一六/六四為平幂平幂又
自乗得一億三千六百○四萬八千八百九十六合
原積
或以方根一百○八自乗三次亦同
開方簡法 置三乗方積一三六○四/八八九六以平方法開
之得一一六/六四再置一一六/六四以平方開之得方根一百
○八合問
[073-28a]
開四乗方
設四乗方積一十三億五千○一十二萬五千一百
○七問方根若干
答曰六十七
依法列實 作㸃自末位單/數作一㸃
起逆上每隔四位㸃/之共兩㸃宜商兩次
求初商 用最上一㸃截原
實一三五○一為初商實查表/有七
[073-28b]
七七六小于實其根六即以六為初商而以其積七/七七六對減初商實餘五七二五改書之以待次商
初商六十有兩㸃初/商是十
求次商 用第二㸃上餘實五七二五二五一○七
為次商實
[073-29a]
隅 次 商 四 乗 一八六○七
亷隅共積 併 得 五七二五二五一○七
依法求得次商七書于初商六十之下而以亷隅共/積五億七千二百五十二萬五千
一百○七減/次商實恰盡 凡開得四乗方根六十七
還原 置方根六十/七自乗四次得積一十三億五千
○一十二萬五千一百○七合原數
[073-30a]
開五乗方
設五乗方積一兆七千五百九十六萬二千八百七
十八億○一百萬問方根若干
答曰五百一十
列實數以/單位
為根今原/積尾位是
百萬故補/六○列之
作㸃自末/單位
[073-30b]
○上作一㸃起逆/上每隔五位㸃之 求初商用最上一㸃截原實五/位一七五九六為初商
實入表得五為初商對實首上一位錄左綫右即以/其積數對實列左綫左相減餘一九七一改書之以
待次/商 初商求到五百有三㸃故/初商是百
求次商用第二㸃上餘實一九七一/二八七八○一為次商實
[073-31a]
隅 次 商 五 乗 一○○○○○○
[073-31b]
亷隅共積 併 得 一九七一二八七八○一○○○○○○
依法求得次商一十書初商五百之下再將亷隅共/積一千九百七十一萬二千七
百七十八億○一百/萬去減次商實恰盡
原實三㸃宜有三商而次商已減實盡無可商作○
于次商下
凡開得五乗方根五百一十○
還原 置方根五百一/十○自乗五次復得一兆七千五
百九十六萬二千八百七十八億○一百萬合原積
[073-32a]
開六乗方
設六乗方積三百四十三億五千九百七十三萬八
千三百六十八問方根若干
答曰三十二
依法列實 作㸃自末位/單數作
㸃起逆上每隔六位㸃/之共兩㸃宜商兩次
求初商 用最上㸃截原
實三四三五為初商實查/表
[073-32b]
得三為初商書左綫右而以其積數二一八七書左綫/之左對減初商實餘一二四八改書以待續續商
初商三十有兩㸃故/初商是十
求次商 用第二㸃上餘實一二四八九七/三八三六八為次商實
[073-33a]
隅 次 商 六 乗 一二八
亷隅共積 併 得 一二四八九七三八三六八
依法求得次商二書初商三十之下再以亷隅/共積與次商實對減恰盡
凡開得六乗方根三十二
還原 置方根三十/二自乗六次得積三四三五九七/三八三六八
合原數
[073-34a]
開七乗方
設七乗方積一千一百○○億七千五百三十一萬
四千一百七十六問方根若干
答曰二十四
依法列實 作㸃自末/位單
數作㸃起逆上每/隔七位再作一㸃
求初商 用最上㸃截
原實一一○○為初商
[073-34b]
實查表得二為初商即以二書左綫之右而以其積/二五六書左綫之左對減初商實餘八四四改書
之以待/續商
初商二十有兩㸃初/商是十
求次商 用第二㸃上餘實八四四七五三/一四一七六為次商
實
[073-35a]
亷隅共積 併 得 八四四七五三一四一七六
依法求得次商四書初商二十之下再將亷隅共積/八四四七五三一四一七六與次
商實對/減恰盡
[073-35b]
凡開得七乗方根二十四
還原 置方根二十/四自乗七次復得一一○○七五/三一四一七六
合原數
或以根二十/四自乗得五百七/十六為平幂平幂又自乗得
三十三萬一千/七百七十六為三乗方積三乗方積又自乗得一/一
○○七五三/一四一七六亦合原數
開方簡法 置設積一一○○七五/三一四一七六以平方法開之
得三三一/七七六又置為實以三乗方法開之得方根二十
[073-36a]
四
或置設積一一○○七五/三一四一七六用平方法連開三次亦得
方根二十四
[073-37a]
開八乗方
設八乗方積一千六百二十八萬四千一百三十五
億九千七百九十一萬○四百四十九問方根
答曰四十九
列實法同/前
作㸃自末位/單數作
㸃起逆上每/隔八位㸃之
求初商用最/上一
[073-37b]
㸃截原實一六二八四一三為初商實查表得八乗綫/方積二六二一四四其根四即以四定為初商書左
右而以其積數書左綫左對減初商/實餘一三六六二六九以待次商
初商四十有兩㸃初/商是十
求次商 用第二㸃上餘實一三六六二六九五/九七九一○四四九為
次商實
[073-38a]
[073-38b]
隅 次 商 八 乗 三八七四二○四八九
亷隅共積 併 得 一三六六二六九五九七九一○四四九
[073-39a]
依法求得次商九書初商四十之下再將亷/隅共積對減次商實恰盡
凡開得八乗方根四十九
還原 置方根四十/四自乗八次復得一六二八四一/三五九七九一
○四/四九合原積
[073-40a]
開九乗方
設九乗方積八十三兆九千二百九十九萬三千六
百五十八億六千八百三十四萬○二百二十四問
方根若干
答曰六十二
列實法同/前
作㸃自末位/單數作
㸃起逆上每/隔九位㸃之
[073-40b]
求初商如法用最上一㸃原積八位截為初商實查/表得九乗方根六即以六為初商而以其積
數六○四六六一七六減初商實餘二/三四六三七六○待續商各如法書之
初商六十冇兩㸃初/商是十
求次商 用第二㸃上餘實二三四六三七六○五
八六八三四○二二四為次商實
[073-41a]
[073-41b]
隅 次商九乗 一○二四
[073-42a]
亷隅共積 併得 二三四六三七六○五八六八三四○二二四
依法求到次商二書于初商六十之下乃以其亷隅/共積二十三兆四千六百三十七
萬六千○五十八億六千八百三十/四萬○二百二十四減次商實恰盡
凡開得九乗方根六十二
又法 置九乗方積八三九二九九三六五/八六八三四○二二四以平方
法開之得九一六一三/二八三二為四乗方積 再以四乗方
法開之得方根六十/二
或置九乗方積八三九二九九三六五/八六八三四○二二四以四乗方開
[073-42b]
之得八三/四四再以平方開之得方根六十/二並同
還原 以方根六十/二自乗九次得原積
或以原根六十/二自乗四次得九一六一三/二八三二為四乗方
積再以四乗積四乗得原積亦同
[073-43a]
開十乗方
設十乗方積七千四百三十○億○八百三十七萬○
六百八十八問方根
答曰一十二
依法列實 作㸃自末/位單
數作一㸃起逆上每/隔十位再作一㸃
求初商用最上㸃截實/首位七為初商
實查表得十乗方根一/定為初商即以其積一
[073-43b]
減初商實七餘六/改書之以待續商
初商一十有二㸃初/商是十
求次商 用第二㸃上餘實六四三○○八三七○
六八八為實
[073-44a]
[073-45a]
隅 次 商 十 乗 二○四八
亷隅共積 併 得 六四三○○八三七○六八八
依法求得次商二書初商一十之下再將亷/隅共積減次商實恰盡
還原 置方根一十/二自乗十次復得七千四百三十
○億○八百三十七萬○六百八十八合原積
又法 置方根一十/二自乗一四/四為平幂平幂自乗二/○
七三/六為三乗方積三乗方又自乗得四二九九八/一六九六為
七乗方積再以根再乗之立積一七/二八乗之得十乗方
[073-45b]
積
[073-46a]
開十一乗方
設十一乗方積七千三百五十五萬八千二百七十
五億一千一百三十八萬六千六百四十一問方根
若干
答曰二十一
列實法同/前
作㸃自末位單/數作㸃起
逆上每隔十/一位㸃之
[073-46b]
求初商 用最上一㸃截實七三五五為初商實查
表得十一乗方根二定為初商以其積四○九六對/減初商實餘三二五
九以俟續商皆/各如法書之
初商二十有二㸃初/商是十
求初商 用第二㸃上餘實三二五九八二七五/一一三八六六四一為
次商實
[073-47a]
[073-47b]
亷隅共積 併 得 三二五九八二七五一一三八六六四一
依法求得次商一書初商二十之下其亷隅共積三/千二百五十九萬八千二百七十
五億一千一百三十八萬六/千六百四十一減餘實恰盡
凡開得十一乗方根二十一
還原 用方根二十/一自乗十一次復得原積
又法 置方根自乗再乗得九二/六一為立方積立方積
[073-48a]
自乗得八五七六/六一二一為五乗方積五乗方積又自乗得
十一乗方原積
開方簡法 置設積七三五五八二七五/一一三八六六四一以平方法
開之得五乗方積八五七六/六一二一又置為實以五乗方法
開之得根二十一
[073-49a]
開十二乗方
設十二乗方積一十五兆四千四百七十二萬三千
七百七十七億三千九百一十一萬九千四百六十
一問方根若干
[073-49b]
依法列實 作㸃自末位單數作㸃起/逆上隔十二位㸃之
求初商 用最上一㸃截原實一五四四七為初商
實查表得十二乗積八一/九二其方根二即以二定為初
商其積數與實對減餘/七二五五再俟續商
求初商 用第二㸃上餘實七二五五三三七七七
三九一一九四六一為次商實
[073-50a]
[073-50b]
亷隅共積 併 得 七二五五二三七七七三九一一九四六一
依法求得次商一書于初商二十之下再將亷隅共/積七兆二千五百五十二萬三千
七百七十七億三千九百一十一萬/九千四百有六十一以減餘實恰盡
凡開得十二乗方根二十一
還原 置方根二十一自乗十二次復得原積
[073-51a]
或以方根二十/一自乗得四四/一再乗得九二/六一三乗得一/九
四四/八一為三乗方積即以三乗方積自乗得三七八二/二八五九
三六/一再自乗得七三五五八二七五/一一三八六六四一為十一乗方積
又置為實而以方根二十/一乗之得十二乗原積
又法 以方根自乗再乗得九二/六一為立方積就以立
方積自乗三次得七三五五八二七五/一一三八六六四一為十一乗方
積如前再以方根乗之亦得原積
又法 以根二十/一自乗之平方四四/一為法自乗四次
[073-51b]
得九乗方積一六六七九八八/○九七八二○一再以根二十/一再乗之
立方九二/六一乗之得十二乗原積並同
[073-52a]
論諸乗方簡法
凡開平方二次即三乗方也是為方之方開平方立方
各一次五乗方也可名為立方之平方亦可名為平方
之立方
開平方三次七乗方也或三乗方平方各開一次亦同
可名為平方之三乗亦可名為三乗方之平方
開立方二次八乗方也可名為立方之立方
開四乗方平方各一次九乗方也可名為四乗方之平
[073-52b]
方
開平方二次立方一次十一乗方也或三乗方立方各
一次亦同可名為三乗方之立方亦可名為立方之三
乗方
按惟四乗方六乗方十乗方不能借用他法同文算
指謂四乗方開二次為六乗方又謂四乗方開三次
為十乗方非也且四乗方平方各一次已為九乗方
矣安得有開四乗方二次而反為六乗開四乗方三
[073-53a]
次而止為十乗乎必不然矣
[073-54a]
演諸乗方逓増通法
平方積自乗為三乗方 立方積自乗為五乗方 三
乗方積自乗為七乗方 四乗方積自乗為九乗方
五乗方積自乗為十一乗方 六乗方積自乗為十三
乗方 七乗方積自乗為十五乗方 八乗方積自乗
為十七乗方 九乗方積自乗為十九乗方 十乗方
積自乗為二十一乗方 十一乗方積自乗為二十三
乗方 十二乗方積自乗為二十五乗方 十三乗方
[073-54b]
積自乗為二十七乗方 十四乗方積自乗為二十九
乗方 十五乗方積自乗為三十一乗方以上並/超兩位
平方積再自乗為五乗方 立方積再乗為八乗方
三乗方積再乗為十一乗方 四乗方積再乗為十四
乗方 五乗方積再乗為十七乗方 六乗方積再乗
為二十乗方 七乗方積再乗為二十三乗方 八乗
方積再乗為二十六乗方 九乗方積再乗為二十九
乗 十乗方積再乗為三十二乗方以上並/超三位
[073-55a]
平方積自乗三次為七乗方 立方積自乗三次為十
一乗方 三乗方積自乗三次為十五乗方 四乗方
積自乗三次為十九乗方 五乗方積自乗三次為二
十三乗方 六乗方積自乗三次為二十七乗方 七
乗方積自乗三次為三十一乗方以上並/超四位
平方積四乗為九乗方 立方積四乗為十四乗方
三乗方積四乗為十九乗方 四乗方積四乗為二十
四乗方 五乗方積四乗為二十九乗方以上並/超五位
[073-55b]
平方積五乗為十一乗方 立方積五乗為十七乗方
三乗方積五乗為二十三乗方 四乗方積五乗為
五十九乗方以上並/超六位
平方積六乗為十三乗方 立方積六乗為二十乗方
三乗方積六乗為二十七乗方 四乗方積六乗為
三十四乗方以上並/超七位
平方積七乗為十五乗方 立方積七乗為二十三乗
方 三乗方積七乗為三十一乗方以上並/超八位
[073-56a]
平方積八乗為十七乗方 立方積八乗為二十六乗
方 三乗方積八乗為三十五乗方以上並/超九位
平方積九乗為十九乗方 立方積九乗為二十九乗
方以上並/超十位
[073-57a]
平方至十二乗方已有初商表其十三乗以後不及/詳列推以根之為二為三者演之至三十二乗以見
其/意
根二至三十二乗/則有十位 根三至三十二乗/則有十六位
十三/乗 一六三八四 四七八二九六九
十四/乗 三二七六八 一四三四八九○七
十五/乗 六五五三六 四三○四六七二一
十六/乗 一三一○七二 一二九一四○一六三
十七/乗 二六二一四四 三八七四二○四八九
[073-57b]
十八/乗 五二四二八八 一一六二二六一四六七
十九/乗 一○四八五七六 三四八六七八四四○一
二十/乗 二○九七一五二 一○四六○三五三二○三
二十一/乗 四一九四三○四 三一三八一○五九六○九
二十二/乗 八三八八六○八 九四一四三一七八八二七
二十三/乗 一六七七七二一六 二八二四二九五三六四八一
二十四/乗 三三五五四四三二 八四七二八八六○九四四三
二十五/乗 六七一○八八六四 二五四一八六五八二八三二九
[073-58a]
二十六/乗 一三四二一七七二八 七六二五五九七四八四九八七
二十七/乗 二六八四三五四五六 二二八七六七九二四五四九六一
二十八/乗 五三六八七○九一二 六八六三○三七七三六四八八三
二十九/乗 一○七三七四一八二四 二○五八九一一三二○九四六四九
三十/乗 二一四七四八三六四八 六一七六七三三九六二八三九四七
三十一/乗 四二九四九六七二九六 一八五三○二○一八八八五一八四一
三十二/乗 八五八九九三四五九二 五五五九○六○五六六五五五五二三
[073-59a]
附開多乗方求次商㨗法
列實作㸃截實求初商如常法既得初商減一等自乗
為亷積加五乗方/則用四乗又以本乗方數加一為亷數如五乗/方則用
六/亷數乗亷積得數為法以除餘實為次商遂合初商
次商數依本乗方數乗之如五乗方亦/自乗五次得積合原數定
所得為方根如原積數少不及減/則改次商及減而止
假如三乗方積五百七十六萬四千八百○一問方根
若干
[073-59b]
答曰四十九
如法於初商表取三乗方積二五六
減原實定初商為四十餘實三二○/四八○
一/為次商實 法置初商四○自乗
再乗得六四○/○○為亷積本方三乗故亷積/用再乗為減一等又以四為
亷數三乗方故用四為/亷數為加一數亷數乗亷積得二五六/○○○為法
以除次商實得九為次商得數可進一十因欲存第/二亷以下亷隅積數不得
滿除只商作/九數待酌遂合初商次商共四十九依法自乗得
[073-60a]
二四/○一又以二四/○一自乗得五七六四/八○一以較原實相同減
盡即定四十九為三乗方根
[073-60b]
厯算全書卷五十九
欽定四庫全書
厯算全書卷五十九
宣城梅文鼎撰
少廣拾遺
開方求亷率作法本原圖
自開平方至開八乗方
古圖附説
[073-2a]
圖最上書一者本數也本數者即大方也大方無隅無
乘除之可言而數從此起也次並列一/一者方邉也西法
謂之根數即一十一也左一即本數因有次商而進位
成一十為初商之根右單一為次商之根既有根數即
有平冪故第三層 者幂積也西法謂之面即一百二
十一也左一百為初商自乗之幂即大方積也右單一
為次商自乗之幂即隅積也小平方也中二十則兩亷
積也並長方也
[073-2b]
如圖大小兩方幂以
一角相聫必得兩亷
以輔之而其方始全
故平方亷積二也
第四層 者立方積也西法謂之體積即一千三百三十
一也左一千初商再乗之積大立方也右單一為次商
再乗之積隅積也小立方也中三百三十皆亷積也三
百為三平亷積扁立方也三十為三長亷積長立方也
[073-3a]
[073-3b]
如圖析觀之則初商大立方體與次商隅積小立方體
相連於一角必得三平亷之扁立方體補於大立方之三
面又有三長亷之長立方體補於小立方之三面及三
平亷之隙而方體始全故立方之亷積有二等而其數
各三也
第五層 者三乘方也即一萬四千六百四十一也左
一萬者大三乗方也初商方積也右單一者小三乗方
也次商隅積也大方積既以三乗之故而積陞至萬小
[073-4a]
隅雖三乘仍單一也其相隔已三位故必有第一亷舊/名
方/法為千數第二亷舊名/上亷為百數第三亷舊名/下亷為十數以
補之其數始足其理亦如平方立方也三乘方以上不
可為圖諸書有强為之圖者非也然其理則有可言者
焉以其相生之序言之則皆加一筭法也初商次商如
十與一而其幂則如百與一故于一/一之下各加一/一即成
如十一之自乘也此平方率也又以十一乗之成
即立方率也又以一十乗之成 即三乗方率四乗以
[073-4b]
上凖此加之皆加一法也曰若是則諸乗方皆以十一
逓乗而得非十一者何以處之曰根非十一而其理皆
如十與一何則凡増一乗積陞一等而亦増一亷亷與
亷之積亦皆如十與一也
冪音覓周禮冪人掌共巾冪説文覆也開平方四邉/俱等中函縱横之積亦如覆物之巾有經緯縷文
故謂之冪/亦謂之面幂同上省文也見張参五經/文字算書或小寫作□
[073-5a]
[073-5b]
亷率立成附説
凡開方一位除盡者無亷隅也亷隅皆生於次商次商
之根必小于初商一等而其小隅之體𫝑必與初商之
大方同狀如再乗之隅即小立方三/乘方之隅即小三乘方此可借初商表而
降等求之不必更立隅法也亷法則不然每増一乗則
亷増一等如平方但有亷立方則有平亷長亷三乗方/則有三種亷四乘方則有四種亷其亷之等
並與其乘/數同増而亷亦加多如平方只二亷立方則平亷長/亷各三三乗方則三種亷共有
十四乗以上則更/増而多如圖所列此亷率所由立也
[073-6a]
問亷既有等如平方亷為十立方/亷為十為百之類而今亷率只作單數
用何也曰此亷之數也非亷之積也亷積有等則既於
其次序分之矣挨次乗之其等自見如第一亷必小于/初商大方一等第
二亷又小一等其最末之亷必/大于小隅一等各乗方皆如是若同一等中應各有若
干亷必先知之而後可用故立成中所列皆單數
問古圖以右為隅法其序自左而右今亷率之序自右
而左何也曰既皆作單數用則左右一也今依筆算自
右而左便於取用故也亷法相生之序左右同數如立/方平亷三長亷亦三也三乗方
[073-6b]
第一亷四第三亷亦四也其近大方有若干亷則其近/小隅亦有若干亷故左右並同可以左為初商大方右
為小隅亦可以右為大方而左/為小隅此亦見古圖之妙也
問舊有方法亷法之目今㮣曰亷法何也曰開方法有
方有亷有隅其初商自乗即方也次商自乗即隅也方
與隅之間次商初商相乗而得者皆亷也舊以立方之
平亷有似扁方故名之方法而三乗方因之遂又有上
亷下亷之目故不如一切去之但以一二三四為序較
畫一耳
[073-7a]
問平方之亷皆平幂也立方之平亷長亷皆體積也不
知三乗方以上之亷積亦能與方隅並狀乎曰凡諸乗
方之亷積無不與方隅之乗數等也試以三乗方言之
其第一亷有四皆初商之再乗積而又以次商根乗之
是三乗也其第二亷有六皆初商自乗之平幂也而又
以次商之平幂乗之第三亷有四皆初商之根數而又
以次商之立積乗之皆三乗也又以四乗方言之其第
一亷有五皆初商三乗積也又乗次商根是四乗也其
[073-7b]
第二亷有十皆初商再乗積也又以乗次商幂亦四乗
也其第三亷亦十皆初商幂積也又以乗次商再乗積
其第四㢘有五皆初商根也又以乗次商之三乗積皆
四乗也五乗方以上俱如是觀後算例自明
[073-8a]
[073-9a]
[073-10a]
[073-10b]
諸乗方根同而積不同本易知也惟根之一者積同
為一似乎無别矣然有幂積之一有體積之一有三
乗以上諸乗方之一雖曰積同為一其實不同也今
以方根之為单一為一十為一百者為例如右
[073-11a]
[073-12a]
[073-12b]
因有續商故方根以十數見例方積以尾○定位無
次商者去尾○用之則方根只為單數
[073-13a]
多如第一亷用初商立積二亷則初商/幂逓減以至三亷則初商只用根近小隅者次
[073-13b]
商乗之遍數多如第一亷只用次商根第二亷則次/商亦用幂三亷則逓加而用次商立
積/各乗方皆如是
[073-14a]
開諸乗方大法
諸乗方法惟平方為用最多因有専法今自平方立方
推之三乗以上至於多乗而通為一法是為大法諸乗/方大
法可以開平方而平方/専法不可以開諸乗方
總法 凡諸乗方皆先列實 次作㸃分段 次查表
以定初商 次求亷隅以定續商
列實之法 依勿菴筆算作平行兩直線以設積紀于
右直線之右皆自上而下至單數止無單數者作○存
[073-14b]
其位
作㸃分段之法 皆于原積末位單數作一㸃起凡減/隅積
必至單位故分段之法以此為/宗同文算指但言起末位殊混依各乗方宜以若干位
為一段即隔若干位㸃之或作實㸃丶或作虚㸃□俱可/然虚㸃尤便以減商積時有借
上位之㸃/免凌雜也如平方以每兩位為一段則隔一位㸃之立
方以三位為一段則隔兩位㸃之乃至十二乗方以十
三位為一段則隔十二位㸃之並同一法
謹案作㸃分段其用有二一以定開方有若干次也如
[073-15a]
有一㸃則只開一次有兩㸃則開二次三㸃則開三次
之類一以定開方所得為何等數也如只有一㸃則初
商即單數二㸃則初商是十數三㸃則初商是百數之
類是故初商減積必至於最上㸃而止也次商減積必
至于次㸃而止也每開一次必減積一次而所減之數
必各盡于其作㸃之位亦可以驗開方之無誤也又最上
㸃以上初商實也次㸃以上次商實也每商皆以㸃位
截實此法於初商尤為扼要
[073-15b]
又案開方分段古人舊法之精錢塘吴信民九章比類
山隂周述學厯宗算㑹悉著其説而同文算指西鏡錄
本其意以作㸃定之施於筆算為極善也鼎于三十年/前見同文算
指作㸃之法驚嘆其竒後讀諸書/始知其有所祖述非西人創也
初商之法 皆以最上一㸃截原積若干位為初商實
乃查初商表視本乗方下數有與實相同或較小於
實者錄之紀于左線之左皆以表數末位對右線/上原實最上㸃紀之是為
初商應減之積 即于本表旁行查方根紀于左線之
[073-16a]
右皆對所紀表數首/位進一位紀之是為初商數
以初商應減之積左行/所紀與初商實右行最上㸃/所截原實對位相
減皆以左減右須依筆算從小數減起如左行減數大/右行實數反小而不及減則作㸃于上一位借十數
減/之減不盡者為餘實以待續商
凡原實有二㸃則初商為十數而有次商有三㸃初商
為百數而有次商及三商以上倣論如實只一㸃則初
商即是單數無續商
次商之法 皆以第二㸃截餘實為次商實
[073-16b]
凡初商皆為方積次商以後則有亷積隅積
先求亷率 查亷率立成本乗方亷率有若干等等有
若干數平列之為若干行謂之定率如平方只一種亷/其定率二立方有
二種亷曰平亷曰長亷其定率並三若三乗方則有三/種亷曰一亷曰二亷曰三亷其定率曰四四六曰四詳
後/式每増一乗即亷増一等而定率増一行有亷之等有/亷之數如平
方有二亷立方有三平亷三長亷此亷之數也平方之/兩亷同積共為一等立方之三平亷同積為一等三長
亷同積為一等共為二等此/亷之等也亷率中兼此二義
求亷汎積 以各亷定率乗初商應有各數各依本乗
[073-17a]
方減小一等用之亷多者又遞減挨次乗之至根數止
是為汎積有初商數即各帶有自乗冪積二乗立積乃/至三乗以上各積是為應有各數也今求汎
積當依本乗方減小一等用之如平方只用根數立方/用初商冪積乃至十二乗方用初商十一乗此為減小
一等也至第二亷則立方用初商根三乗方用初商再/乗乃至十二乗方用初商十乗此為亷多者二亷以上
又逓減挨次乗之也逓減至初商根/則為末後一亷矣故曰至根數止
求㳄商數以汎積約餘實得之
求亷定積 以各亷汎積乗次商數亷多者逓増一等
挨次乗之至本乗方減小一等止是為定積凡第一亷/汎積皆乗
[073-17b]
次商根而得定積有第二亷則以次商自乗積乗之有/三亷則以次商立方積乗之是為逓増一等也然增不
得至本乗方但增至本乗方減/小一等數即為末後一亷矣
求隅積 以次商數查初商表各依本乗方取之以次/商對
横行根數以本乗方對/直行縱横相遇得之列于亷積之後一行是為隅積
小隅體勢並同初商大方如平方則隅即小平方立方/則隅即小立方三乗方之隅亦為小三乗方四乗以上
並同故可借/初商表用之
求亷隅共積 以所得各亷定積及隅積用併法併之
即得
[073-18a]
求次商定數 以所得亷隅共積紀左線之左又在表/數之左
以末位對第二㸃紀/之為次商應減之數與次商實右行第二/㸃所截對位相減以/左
減/右減不盡者又為餘實以待三商遂紀次商數于初商
之下為次商定數 如亷隅共積大于次商實不及減
則改次商至及減而止乃為次商定數
三商以後並同上法
不論三商四商乃至多商其亷定率不變但求汎積時
三商則並初商次商兩位商數合而用之四商則併前
[073-18b]
三次商數皆取其應有各數以乗定率而得汎積亦如
上法之用初商 其求定積則三商即用三商之數四
商即用四商之數以乗汎積而得定積亦如上法之用
次商 餘法並同次商
審○位之法 凡亷汎積大於餘實或僅相等而無隅
不能商一數是次商為○位也即紀○位於先商之次
而併下一㸃餘實為續商餘實
次商單一之法 凡汎積與實僅同而有隅一是商得
[073-19a]
一數也即以汎積為定積不必更乗次商惟單一則然/若商得一十
一百一千仍/須如法乗之
[073-20a]
開平方即一乗方/
設平方積三千三百四十四萬三千○八十九問方
根若干
答曰五千七百八十三
列實法先作兩直綫次以方積/三三四四三○八九列
右綫/之右 作㸃法於實末位單數/作一㸃起逆上每
隔一位㸃之有四㸃/宜商四次初商是千初商法曰
用最上一㸃截原實兩位三三/為初商實查表有小於實三三
[073-20b]
者是二五其方根五即以五為初商對實首上一位/書于左綫之右却以表數二五對實三三書左綫之
左與原實對減先於實次位減五實係三不足減作/㸃借上一數為十三減去五餘八改書八于實三之
右次於實首減二原實是三因借下去一只得二減/盡乃作綫抹去三三存八以待次商亦于左作綫抹
去減數/二五
求次商 用第二㸃上餘實八四四為次商實
隅 次商自乗 四九○○○○
[073-21a]
亷隅共積 併 得 七四九○○○○
次商法曰置亷率立成内定率二乗初商五千得一/萬為汎積乃約實作七百定為次商即以
汎積乗之得定積七百萬再用次商自乗為隅其積/四十九萬併定積成七百四十九萬即亷隅共積也
俱如式列之于是將次商七續書初商五之下又將/共積七四九對實八四四書左綫之左以減實餘九
五乃作綫抹去八四四亦/于左作綫抹去七四九
求三商 用第三㸃上餘實九五三○為三商實
[073-21b]
隅 三商自乗 六四○○
亷隅共亷 併 得 九一八四○○
三商法曰復置定率二以乗初商次商合數五千七/百得一萬一千四百為汎積乃約實作八
十為三商即以泛積乗之得定積九十一萬二千三/商亦自乗為隅得積六千四百以併定積成九十一
萬八千四百為亷隅共積俱如式列之再將三商八/十挨書次商七百之下而以其亷隅積九一八四對
實九五三○書于左綫之左去減實餘三四六即改/書之以待四商作綫抹去九五三○左亦作綫抺去
九一/八四
求四商 用第四㸃上餘實三四六八九為四商實
[073-22a]
隅 四商自乗 九
亷隅共積 併 得 三四六八九
四商法曰用定率二乗初商次商三商合數五千七/百八十得一萬一千五百六十為泛積乃
約實可商三定為四商即以泛積乗之得定積三萬四/千六百八十四商三自乘得九為隅積併定積成三
萬四千六百八十九是為亷隅共積各如式列訖再/將四商三挨書于三商八十之下而以其亷隅積三
四六八九對第四㸃實書于左綫之左就以減/四商實恰盡乃作綫抹去之左減數亦抺去
[073-22b]
初商五千 有四㸃故初商是千位
次商七百
三商八十
四商單三
凡開得平方根五七千百八十三
還原法 置方根五千七百八十三自乗得積三千
三百四十四萬三千○八十九合原積
[073-23a]
開立方即再乗方/
設立方積一千○○七萬七千六百九十六尺問每
面方若干
答曰二百一十六尺
依法列實 作㸃自末位單數/作一㸃起逆
上每隔兩位㸃之/有三㸃宜商三次
求初商用最上一㸃截原實兩/位一○為初商實查初
商表有小于一○者是○八其/方根二即以二定為初商對實
[073-23b]
首上一位書左綫之右而以其積數○八對實一○/書左綫之左對減初商實餘二改書之以待次商
初商二百尺有三㸃初/商是百
求次商 用第二㸃上餘實二○七七為次商實
依法求得次商一十尺書于初商二百之下而以其/亷隅共積一百二十六萬一
[073-24a]
千減㳄商實餘八一/六改書之以待三商
求三商 用第三㸃上餘實八一六六九六為三商
實
隅 三 商 再 乗 二一六
亷隅共積 併 得 八一六六九六
依法求得三商六尺續書次商一十之下而以亷隅/共積八十一萬六千六百九十
[073-24b]
六減三商/實恰盡
凡開得立方根二百一十六尺
還原 置方根二百一/十六尺自之得四萬六千六/百五十六尺為平幂
又置平幂以方根乗之得一千○○七萬七千六百
九十六合原數
[073-25a]
開三乗方
設三乗方積一億三千六百○四萬八千八百九十
六問方根若干
答曰一百○八
依法列實 作㸃自末位單/數作一㸃
起逆上每隔/三位㸃之
求初商 用最上一㸃截實
首位一為初商實
[073-25b]
凡積一者其根亦一不必查表竟以一為初商其積/與實
對減/恰盡
初商一百有三㸃初/商是百
求次商 用第二㸃餘實三六○四為次商實
隅 次 商 三 乗 一○○○○
[073-26a]
亷隅共積 併 得 四六四一○○○○
依法求得亷隅共積四千六百四十一萬為次商一
十之積大於次商實不及減是無次商也法于初商
一百下書○
求三商 用第三㸃合上第二㸃餘實三六○四八
八九六共八位為三商實三商減積至末位第三/㸃故合八位為其實
凡求三商當合初商次商兩數乗定率以求泛積今
次商 故只用初商數
[073-26b]
隅 三 商 自 乗 三 次 四○九六
亷隅共積 併 得 三六○四八八九六
依法求得三商八續書次商○之下而以其亷隅共/積三千六百○四萬八千八百九
十六與餘實/相減恰盡
凡開得三乗方根一百○八
[073-27a]
還原 置方根一○/八自乗得一一六/六四為平幂平幂又
自乗得一億三千六百○四萬八千八百九十六合
原積
或以方根一百○八自乗三次亦同
開方簡法 置三乗方積一三六○四/八八九六以平方法開
之得一一六/六四再置一一六/六四以平方開之得方根一百
○八合問
[073-28a]
開四乗方
設四乗方積一十三億五千○一十二萬五千一百
○七問方根若干
答曰六十七
依法列實 作㸃自末位單/數作一㸃
起逆上每隔四位㸃/之共兩㸃宜商兩次
求初商 用最上一㸃截原
實一三五○一為初商實查表/有七
[073-28b]
七七六小于實其根六即以六為初商而以其積七/七七六對減初商實餘五七二五改書之以待次商
初商六十有兩㸃初/商是十
求次商 用第二㸃上餘實五七二五二五一○七
為次商實
[073-29a]
隅 次 商 四 乗 一八六○七
亷隅共積 併 得 五七二五二五一○七
依法求得次商七書于初商六十之下而以亷隅共/積五億七千二百五十二萬五千
一百○七減/次商實恰盡 凡開得四乗方根六十七
還原 置方根六十/七自乗四次得積一十三億五千
○一十二萬五千一百○七合原數
[073-30a]
開五乗方
設五乗方積一兆七千五百九十六萬二千八百七
十八億○一百萬問方根若干
答曰五百一十
列實數以/單位
為根今原/積尾位是
百萬故補/六○列之
作㸃自末/單位
[073-30b]
○上作一㸃起逆/上每隔五位㸃之 求初商用最上一㸃截原實五/位一七五九六為初商
實入表得五為初商對實首上一位錄左綫右即以/其積數對實列左綫左相減餘一九七一改書之以
待次/商 初商求到五百有三㸃故/初商是百
求次商用第二㸃上餘實一九七一/二八七八○一為次商實
[073-31a]
隅 次 商 五 乗 一○○○○○○
[073-31b]
亷隅共積 併 得 一九七一二八七八○一○○○○○○
依法求得次商一十書初商五百之下再將亷隅共/積一千九百七十一萬二千七
百七十八億○一百/萬去減次商實恰盡
原實三㸃宜有三商而次商已減實盡無可商作○
于次商下
凡開得五乗方根五百一十○
還原 置方根五百一/十○自乗五次復得一兆七千五
百九十六萬二千八百七十八億○一百萬合原積
[073-32a]
開六乗方
設六乗方積三百四十三億五千九百七十三萬八
千三百六十八問方根若干
答曰三十二
依法列實 作㸃自末位/單數作
㸃起逆上每隔六位㸃/之共兩㸃宜商兩次
求初商 用最上㸃截原
實三四三五為初商實查/表
[073-32b]
得三為初商書左綫右而以其積數二一八七書左綫/之左對減初商實餘一二四八改書以待續續商
初商三十有兩㸃故/初商是十
求次商 用第二㸃上餘實一二四八九七/三八三六八為次商實
[073-33a]
隅 次 商 六 乗 一二八
亷隅共積 併 得 一二四八九七三八三六八
依法求得次商二書初商三十之下再以亷隅/共積與次商實對減恰盡
凡開得六乗方根三十二
還原 置方根三十/二自乗六次得積三四三五九七/三八三六八
合原數
[073-34a]
開七乗方
設七乗方積一千一百○○億七千五百三十一萬
四千一百七十六問方根若干
答曰二十四
依法列實 作㸃自末/位單
數作㸃起逆上每/隔七位再作一㸃
求初商 用最上㸃截
原實一一○○為初商
[073-34b]
實查表得二為初商即以二書左綫之右而以其積/二五六書左綫之左對減初商實餘八四四改書
之以待/續商
初商二十有兩㸃初/商是十
求次商 用第二㸃上餘實八四四七五三/一四一七六為次商
實
[073-35a]
亷隅共積 併 得 八四四七五三一四一七六
依法求得次商四書初商二十之下再將亷隅共積/八四四七五三一四一七六與次
商實對/減恰盡
[073-35b]
凡開得七乗方根二十四
還原 置方根二十/四自乗七次復得一一○○七五/三一四一七六
合原數
或以根二十/四自乗得五百七/十六為平幂平幂又自乗得
三十三萬一千/七百七十六為三乗方積三乗方積又自乗得一/一
○○七五三/一四一七六亦合原數
開方簡法 置設積一一○○七五/三一四一七六以平方法開之
得三三一/七七六又置為實以三乗方法開之得方根二十
[073-36a]
四
或置設積一一○○七五/三一四一七六用平方法連開三次亦得
方根二十四
[073-37a]
開八乗方
設八乗方積一千六百二十八萬四千一百三十五
億九千七百九十一萬○四百四十九問方根
答曰四十九
列實法同/前
作㸃自末位/單數作
㸃起逆上每/隔八位㸃之
求初商用最/上一
[073-37b]
㸃截原實一六二八四一三為初商實查表得八乗綫/方積二六二一四四其根四即以四定為初商書左
右而以其積數書左綫左對減初商/實餘一三六六二六九以待次商
初商四十有兩㸃初/商是十
求次商 用第二㸃上餘實一三六六二六九五/九七九一○四四九為
次商實
[073-38a]
[073-38b]
隅 次 商 八 乗 三八七四二○四八九
亷隅共積 併 得 一三六六二六九五九七九一○四四九
[073-39a]
依法求得次商九書初商四十之下再將亷/隅共積對減次商實恰盡
凡開得八乗方根四十九
還原 置方根四十/四自乗八次復得一六二八四一/三五九七九一
○四/四九合原積
[073-40a]
開九乗方
設九乗方積八十三兆九千二百九十九萬三千六
百五十八億六千八百三十四萬○二百二十四問
方根若干
答曰六十二
列實法同/前
作㸃自末位/單數作
㸃起逆上每/隔九位㸃之
[073-40b]
求初商如法用最上一㸃原積八位截為初商實查/表得九乗方根六即以六為初商而以其積
數六○四六六一七六減初商實餘二/三四六三七六○待續商各如法書之
初商六十冇兩㸃初/商是十
求次商 用第二㸃上餘實二三四六三七六○五
八六八三四○二二四為次商實
[073-41a]
[073-41b]
隅 次商九乗 一○二四
[073-42a]
亷隅共積 併得 二三四六三七六○五八六八三四○二二四
依法求到次商二書于初商六十之下乃以其亷隅/共積二十三兆四千六百三十七
萬六千○五十八億六千八百三十/四萬○二百二十四減次商實恰盡
凡開得九乗方根六十二
又法 置九乗方積八三九二九九三六五/八六八三四○二二四以平方
法開之得九一六一三/二八三二為四乗方積 再以四乗方
法開之得方根六十/二
或置九乗方積八三九二九九三六五/八六八三四○二二四以四乗方開
[073-42b]
之得八三/四四再以平方開之得方根六十/二並同
還原 以方根六十/二自乗九次得原積
或以原根六十/二自乗四次得九一六一三/二八三二為四乗方
積再以四乗積四乗得原積亦同
[073-43a]
開十乗方
設十乗方積七千四百三十○億○八百三十七萬○
六百八十八問方根
答曰一十二
依法列實 作㸃自末/位單
數作一㸃起逆上每/隔十位再作一㸃
求初商用最上㸃截實/首位七為初商
實查表得十乗方根一/定為初商即以其積一
[073-43b]
減初商實七餘六/改書之以待續商
初商一十有二㸃初/商是十
求次商 用第二㸃上餘實六四三○○八三七○
六八八為實
[073-44a]
[073-45a]
隅 次 商 十 乗 二○四八
亷隅共積 併 得 六四三○○八三七○六八八
依法求得次商二書初商一十之下再將亷/隅共積減次商實恰盡
還原 置方根一十/二自乗十次復得七千四百三十
○億○八百三十七萬○六百八十八合原積
又法 置方根一十/二自乗一四/四為平幂平幂自乗二/○
七三/六為三乗方積三乗方又自乗得四二九九八/一六九六為
七乗方積再以根再乗之立積一七/二八乗之得十乗方
[073-45b]
積
[073-46a]
開十一乗方
設十一乗方積七千三百五十五萬八千二百七十
五億一千一百三十八萬六千六百四十一問方根
若干
答曰二十一
列實法同/前
作㸃自末位單/數作㸃起
逆上每隔十/一位㸃之
[073-46b]
求初商 用最上一㸃截實七三五五為初商實查
表得十一乗方根二定為初商以其積四○九六對/減初商實餘三二五
九以俟續商皆/各如法書之
初商二十有二㸃初/商是十
求初商 用第二㸃上餘實三二五九八二七五/一一三八六六四一為
次商實
[073-47a]
[073-47b]
亷隅共積 併 得 三二五九八二七五一一三八六六四一
依法求得次商一書初商二十之下其亷隅共積三/千二百五十九萬八千二百七十
五億一千一百三十八萬六/千六百四十一減餘實恰盡
凡開得十一乗方根二十一
還原 用方根二十/一自乗十一次復得原積
又法 置方根自乗再乗得九二/六一為立方積立方積
[073-48a]
自乗得八五七六/六一二一為五乗方積五乗方積又自乗得
十一乗方原積
開方簡法 置設積七三五五八二七五/一一三八六六四一以平方法
開之得五乗方積八五七六/六一二一又置為實以五乗方法
開之得根二十一
[073-49a]
開十二乗方
設十二乗方積一十五兆四千四百七十二萬三千
七百七十七億三千九百一十一萬九千四百六十
一問方根若干
[073-49b]
依法列實 作㸃自末位單數作㸃起/逆上隔十二位㸃之
求初商 用最上一㸃截原實一五四四七為初商
實查表得十二乗積八一/九二其方根二即以二定為初
商其積數與實對減餘/七二五五再俟續商
求初商 用第二㸃上餘實七二五五三三七七七
三九一一九四六一為次商實
[073-50a]
[073-50b]
亷隅共積 併 得 七二五五二三七七七三九一一九四六一
依法求得次商一書于初商二十之下再將亷隅共/積七兆二千五百五十二萬三千
七百七十七億三千九百一十一萬/九千四百有六十一以減餘實恰盡
凡開得十二乗方根二十一
還原 置方根二十一自乗十二次復得原積
[073-51a]
或以方根二十/一自乗得四四/一再乗得九二/六一三乗得一/九
四四/八一為三乗方積即以三乗方積自乗得三七八二/二八五九
三六/一再自乗得七三五五八二七五/一一三八六六四一為十一乗方積
又置為實而以方根二十/一乗之得十二乗原積
又法 以方根自乗再乗得九二/六一為立方積就以立
方積自乗三次得七三五五八二七五/一一三八六六四一為十一乗方
積如前再以方根乗之亦得原積
又法 以根二十/一自乗之平方四四/一為法自乗四次
[073-51b]
得九乗方積一六六七九八八/○九七八二○一再以根二十/一再乗之
立方九二/六一乗之得十二乗原積並同
[073-52a]
論諸乗方簡法
凡開平方二次即三乗方也是為方之方開平方立方
各一次五乗方也可名為立方之平方亦可名為平方
之立方
開平方三次七乗方也或三乗方平方各開一次亦同
可名為平方之三乗亦可名為三乗方之平方
開立方二次八乗方也可名為立方之立方
開四乗方平方各一次九乗方也可名為四乗方之平
[073-52b]
方
開平方二次立方一次十一乗方也或三乗方立方各
一次亦同可名為三乗方之立方亦可名為立方之三
乗方
按惟四乗方六乗方十乗方不能借用他法同文算
指謂四乗方開二次為六乗方又謂四乗方開三次
為十乗方非也且四乗方平方各一次已為九乗方
矣安得有開四乗方二次而反為六乗開四乗方三
[073-53a]
次而止為十乗乎必不然矣
[073-54a]
演諸乗方逓増通法
平方積自乗為三乗方 立方積自乗為五乗方 三
乗方積自乗為七乗方 四乗方積自乗為九乗方
五乗方積自乗為十一乗方 六乗方積自乗為十三
乗方 七乗方積自乗為十五乗方 八乗方積自乗
為十七乗方 九乗方積自乗為十九乗方 十乗方
積自乗為二十一乗方 十一乗方積自乗為二十三
乗方 十二乗方積自乗為二十五乗方 十三乗方
[073-54b]
積自乗為二十七乗方 十四乗方積自乗為二十九
乗方 十五乗方積自乗為三十一乗方以上並/超兩位
平方積再自乗為五乗方 立方積再乗為八乗方
三乗方積再乗為十一乗方 四乗方積再乗為十四
乗方 五乗方積再乗為十七乗方 六乗方積再乗
為二十乗方 七乗方積再乗為二十三乗方 八乗
方積再乗為二十六乗方 九乗方積再乗為二十九
乗 十乗方積再乗為三十二乗方以上並/超三位
[073-55a]
平方積自乗三次為七乗方 立方積自乗三次為十
一乗方 三乗方積自乗三次為十五乗方 四乗方
積自乗三次為十九乗方 五乗方積自乗三次為二
十三乗方 六乗方積自乗三次為二十七乗方 七
乗方積自乗三次為三十一乗方以上並/超四位
平方積四乗為九乗方 立方積四乗為十四乗方
三乗方積四乗為十九乗方 四乗方積四乗為二十
四乗方 五乗方積四乗為二十九乗方以上並/超五位
[073-55b]
平方積五乗為十一乗方 立方積五乗為十七乗方
三乗方積五乗為二十三乗方 四乗方積五乗為
五十九乗方以上並/超六位
平方積六乗為十三乗方 立方積六乗為二十乗方
三乗方積六乗為二十七乗方 四乗方積六乗為
三十四乗方以上並/超七位
平方積七乗為十五乗方 立方積七乗為二十三乗
方 三乗方積七乗為三十一乗方以上並/超八位
[073-56a]
平方積八乗為十七乗方 立方積八乗為二十六乗
方 三乗方積八乗為三十五乗方以上並/超九位
平方積九乗為十九乗方 立方積九乗為二十九乗
方以上並/超十位
[073-57a]
平方至十二乗方已有初商表其十三乗以後不及/詳列推以根之為二為三者演之至三十二乗以見
其/意
根二至三十二乗/則有十位 根三至三十二乗/則有十六位
十三/乗 一六三八四 四七八二九六九
十四/乗 三二七六八 一四三四八九○七
十五/乗 六五五三六 四三○四六七二一
十六/乗 一三一○七二 一二九一四○一六三
十七/乗 二六二一四四 三八七四二○四八九
[073-57b]
十八/乗 五二四二八八 一一六二二六一四六七
十九/乗 一○四八五七六 三四八六七八四四○一
二十/乗 二○九七一五二 一○四六○三五三二○三
二十一/乗 四一九四三○四 三一三八一○五九六○九
二十二/乗 八三八八六○八 九四一四三一七八八二七
二十三/乗 一六七七七二一六 二八二四二九五三六四八一
二十四/乗 三三五五四四三二 八四七二八八六○九四四三
二十五/乗 六七一○八八六四 二五四一八六五八二八三二九
[073-58a]
二十六/乗 一三四二一七七二八 七六二五五九七四八四九八七
二十七/乗 二六八四三五四五六 二二八七六七九二四五四九六一
二十八/乗 五三六八七○九一二 六八六三○三七七三六四八八三
二十九/乗 一○七三七四一八二四 二○五八九一一三二○九四六四九
三十/乗 二一四七四八三六四八 六一七六七三三九六二八三九四七
三十一/乗 四二九四九六七二九六 一八五三○二○一八八八五一八四一
三十二/乗 八五八九九三四五九二 五五五九○六○五六六五五五五二三
[073-59a]
附開多乗方求次商㨗法
列實作㸃截實求初商如常法既得初商減一等自乗
為亷積加五乗方/則用四乗又以本乗方數加一為亷數如五乗/方則用
六/亷數乗亷積得數為法以除餘實為次商遂合初商
次商數依本乗方數乗之如五乗方亦/自乗五次得積合原數定
所得為方根如原積數少不及減/則改次商及減而止
假如三乗方積五百七十六萬四千八百○一問方根
若干
[073-59b]
答曰四十九
如法於初商表取三乗方積二五六
減原實定初商為四十餘實三二○/四八○
一/為次商實 法置初商四○自乗
再乗得六四○/○○為亷積本方三乗故亷積/用再乗為減一等又以四為
亷數三乗方故用四為/亷數為加一數亷數乗亷積得二五六/○○○為法
以除次商實得九為次商得數可進一十因欲存第/二亷以下亷隅積數不得
滿除只商作/九數待酌遂合初商次商共四十九依法自乗得
[073-60a]
二四/○一又以二四/○一自乗得五七六四/八○一以較原實相同減
盡即定四十九為三乗方根
[073-60b]
厯算全書卷五十九