[069-1a] 
欽定四庫全書
歴算全書卷五十六
宣城梅文鼎撰
方圓冪積一卷
方圓冪積說
歴書周徑率至二十位然其入算仍用古率十一與十/四之比例
本祖冲之徑七周/二十二之宻率豈非以乗除之際難用多位歟今以
表列之取數殊易乃為之約法則徑與周之比例即方
[069-1b]
圓二冪之比例徑一則方周四圓周三一四一五九二/六五而徑上方冪與員冪亦若四與三
一四一五九二六五尾/數八位並以表為用亦即為立方立圓之比例同徑/之立
方與圓柱若四與二一四有竒則同徑/之立方與立員若六與三一四有竒殊為簡易直截
癸未歳匡山隠者毛心易乾乾偕其壻中州謝野臣惠
訪山居共論周徑之理因反覆推論方員相容相變諸
率庚寅在吴門又得錫山友人楊崑生定三方員訂註
圗說益覺精明甚矣學問貴相長也
方圎相容
[069-2a]
新法厯書曰割圓亦属古法盖人用圭表等測天天圎
而圭表直與圎為異類詎能合歟此所以有割圎之法
也新法名為八線表云
又云徑一圍三絶非相凖之率然徑七圍二十二則盈
徑五十圍百五十七則朒或詳繹之則徑一萬圍三萬
一四五九雖亦小有竒零不盡然用之頗為相近
今算得平方與同徑之平圓其比例若四○○與三一
四五九平方内容平員平員内復容平方則内方與外
[069-2b]
方内員與外員之冪皆加倍之比例
假如戊己庚辛平方内容甲乙丙丁
員員内又容甲乙丙丁小平方小方
内又容壬丑癸子小平員如此逓互
相容則其冪積皆如二與一也
假外大平方戊己/庚辛之積一百則内小平方之積甲丁/乙丙必
五十平員亦然
若求其徑則成方斜之比例大徑如斜小徑如方
[069-3a]
假如内小平方積一百以甲丁或丙乙為徑甲丙或丁/乙並同
開方求一百之根得徑一十其外大平方積二百以甲
乙或丁丙為徑或用戊庚或己辛或己/戊或辛庚為徑並同開方求二百之
根得徑一十四一四有竒
甲乙為甲丁方之斜故斜徑自乗之冪與其方冪若二
與一而其徑與斜徑若一十與一十四一四竒/也折半
則為五與七○七竒/故曰方五則斜七有竒也
三邉形内容平員平員内又容三邉則其冪之比例為
[069-3b]
四與一甲乙丙三邉形内容丁戊己
平員平員内又容丁戊己小三邉則
内小三邉形為外大三邉形四之一
内外兩平員之冪其比例亦為四與一
若有多層皆以此比例逓加
渾員内容立方立方内又容渾員如此逓互相容則外
員徑上冪與内員徑上冪為三倍之比例外立方與内
立方之徑冪亦然丙庚丁渾員内容丙甲丁乙立方丙
[069-4a]
戊及戊甲皆立方邊丙辛及甲辛並同丙/乙及甲丁等亦同丙戊甲辛為
立方面餘六面/並同丙甲為方面/斜線丙丁為立方體/内對角線即渾員徑乙/甲
同其辛壬及己戊皆/亦對角若作線亦同丙乙及甲丁等又皆為立楞戊壬及/辛己同
解曰立方面上斜徑之冪為方冪之倍句股/法也
斜為弦方為句又為股併句股實/成弦實故倍方冪即成斜徑之冪又以斜徑
為股立方之立楞為句求得立方體内両對
角之斜徑為弦此弦實内有股實即面上斜/徑之冪為
方冪/者二有句實即立楞之冪立楞原即方/邉故其冪即立方面冪共得方
[069-4b]
冪三而此丙對角斜徑即渾員之徑内小員徑又在立方體内
即以方徑為徑其徑之冪即立方面也故曰三倍比例也
立方内又容立員則内員徑即立方之徑
若求其徑則外徑大于内徑若一十七有竒與一十
内徑之冪百開方得一十為徑則外徑之冪三百開方得一
十七又三十五/之一十一為徑若有幾層互容皆以此比例逓加卽得
若求其體積則為五倍有竒之比例若有多層亦以/此比例逓加
假如内容立方積一千則外大立方積五千一百九十四有竒
[069-5a]
解曰立積一千則其徑冪一百而外大立積之徑冪三
百又以徑一十七又三十五/之一十一乗之得五千一百九十四
又七/之二 此言大方積又在圗上渾員之外
積之比例
立方同徑之立員其比例為六○○與三一四
立方同徑之員柱其比例為四○○與三一四
員柱與同徑之立員其比例為三與二
方圎周徑相求
[069-5b]
同積較徑 為方變員員變方之用
凡方圎同積則員徑大方徑小其比例若一一二八三
七九與一○○○○○○
解曰員徑一一二八三七九則方徑一○○○○○○也
法曰有員徑求其同積之方徑當以一○○○○○○乗
以一一二八三七九除
有方徑求其同積之員徑當以一一二八三七九乗以
一○○○○○○除
[069-6a]
凡方員同積則員徑上平方與方徑上平方其比例若
四○○○○○○○○與三一四一五九二六五
解曰員徑自乗四○○○○○○○○則方徑自乗三
一四一五九二六五
法曰有員徑求其同積之方徑當以三一四一五九二
六五乗之四○○○○○○○○除之得數平方開之
得方徑
有方徑求其同積之員徑當以四○○○○○○○○
[069-6b]
乗三一四一五九二六五除得數平方開之得員徑
凡方員同積則員徑與方徑若一○○○○○○與○
八八六二二六
解曰員徑一○○○○○○則方徑八八六二二六也
法曰有員徑求同積之方徑以八八六二二六乗員徑
一○○○○○○除之即得方徑
有方徑求同積之員徑以一○○○○○○乗方徑八
八六二二六除之即得員徑
[069-7a]
約法
以一一二八二七九乗方徑去末六位得同積之員徑
以○八八六二二六乗員徑去末六位得同積之方徑
同積較周
凡方員同積則員周小方周大其比例若一○○○○
○○與一一二八三七九亦若八八六二二六與一○
○○○○○
解曰員周一○○○○○○則方周一一二八三七九
[069-7b]
也
方周一○○○○○○則員周八八六二二六也
約法
以一一二八三七九乗員周去末六位得同積之方周
以○八八六二二六乗方周去末六位得同積之員周
凡方員同積則其徑與徑周與周為互相視之比例
解曰方周與員周之比例若員徑與方徑也
論曰凡同積之周方大而員小同積之徑則又方小而
[069-8a]
員大所以能互相為比例
約法
以方周乗方徑為實員周除之得員徑若以員徑除實
亦得員周
以員周乗員徑為實方周除之得方徑若以方徑除實
亦得方周 皆用異乗同除例如左
一 員周一○○○○○○ 一 方周一○○○○○○
二 方周一一二八三七九 二 員周○八八六二二六
[069-8b]
三 方徑○二八二○九四七五/ 三 員徑○二八二○九四七五/
四 員徑○三一八三○九八八/ 四 方徑○二五○○○○
積七九五七七四四八○○○/○○○ 積六二五○○○○○○○○
一 員徑一○○○○○○ 一 方徑一○○○○○○
二 方徑○八八六二二六 二 員徑一一二八三七九
三 方周三五四四九○四 三 員周三五四四九○四
四 員周三一四一五九二 四 方周四○○○○○○
積七八五三九八一六○○○/○○○ 積一○○○○○○○○○○○○
[069-9a]
第四率並與一率乗得四倍積四除之得本積
論曰以上皆方員周徑互相求乃同積之比例方員交
變用之即比例規變面線之理
同徑較積較周 即方内容員員外切方
凡方員同徑則方積大員積小周亦如之其比例若四
○○○○○○○○與三一四一五九二六五
方徑一○○○○周四○○○○ 積一○○○○○○○○
員徑一○○○○周三一四一五竒積○七八五三九八一六
[069-9b]
方徑二○○○○周四○○○○ 積四○○○○○○○○
員徑二○○○○周六二八三一竒積三一四一五九二六五
凡徑倍者周亦倍而其積為倍數之自乗亦謂之再加
比例授時厯謂之平差
徑二倍周亦二倍而其積則四倍徑三倍周亦三倍而
其積九倍乃至徑十倍周亦十倍而積百倍徑百倍周
亦百倍而積萬倍皆所加倍數之自乗數亦若平方謂
之再加也
[069-10a]
同周較積較徑
凡方員同周則員積大方積小徑亦如之其比例若四
○○○○○○○○與三一四一五九二六五
方周一○○○○○○徑○二五○○○○積六二五○○○○○○○○
員周一○○○○○○徑○三一八三○九八八積七九五七七四七○○○○
方周四○○○○○○徑一○○○○○○積一○○○○○○○○○○○○
員周四○○○○○○徑一二七三二三九五四積一二七三二三九五四○○○○
論曰周四則徑與積同數但其位皆陞皆視周數之位
[069-10b]
今用百萬為周則積陞六位成萬億矣故雖同而實不
同不惟不同而且懸絶定位之法所以當明也
問位既大陞而數不變何耶曰周徑相乗得積之四倍
於是四除其積即得所求平積此平冪之公法也兹方
員之周既為四則以乗其徑而復四除之即還本數矣
惟周數之四或十或百或千萬億無定而除法之四定
為單數故無改數而有進位也
又論曰周四倍之徑與周一之徑為四倍其積則十六
[069-11a]
倍所謂再加之比例
渾圎内容立方徑一萬寸求圎徑 法以方斜一萬四
千一百四十二寸為股自乗得二億為股實以方徑一
萬寸為句自乗得一億為勾實併勾股實為三億為弦
實開方得弦一萬七千三百二十○半寸命為渾圎之
徑
又以渾圎徑求圍得五萬四千四百十四寸弱 周徑
相乗得九億四千二百四十七萬六九九四寸為渾冪
[069-11b]
以四除渾冪得二億三千五百六十一萬九千二百四
十八寸竒為大平圎冪即立方一萬寸外切渾圎之腰
圍平冪也
圎柱積四萬○千八百十○億四三一八四九八四寸
以渾圎徑乗平圎冪得之
倍圎柱積以三除之得渾圎積二萬七千二百○六九
五四五六六五六寸
約法 立方徑一千尺其積一十尺 外切之渾圎徑
[069-12a]
一十七尺三二○五 渾圎積二千七百二十○尺六
九五四 約為二千七百二十一尺弱
試再用徑上立方求渾圎積法即立方内求/所容渾圎以渾圎徑
自乗再乗得渾圎徑上立方以圎率三一/四竒乗之得數六
除之得渾積並同
立方與員柱若四○○與三一四竒同徑之/員柱也
立方為六方角所成員柱為六員角所成其所容角體
並六而方與員異故其比例如同徑之周 此條為積
[069-12b]
之比例
員周上自乗之方與渾員面冪若三一四竒與一○○
渾員面冪與員徑上平方形亦若三一四竒與一○○
皆員周與徑之比例
渾員面冪與員徑上平員若四與一
員柱面冪與員徑上平員若六與一六員角之底皆/外向合成此數
平員並為一而員柱冪為其六倍渾員冪為其四倍渾
員為員柱三之二即此可徴積之比例如其面也以上
[069-13a]
四條並面冪之比例渾員體與員角體若四與一
渾員面既為平員之四倍從面至心皆成角體故體之
比例亦四倍
立方面與徑上平方若六與一六面/故也
立方體與渾員體若六○○與三一四竒
渾員面與徑上平方既若三一四竒與一○○而立方
面與徑上平方若六與一平方同為一○○而立方面
為其六倍渾員面為其三倍一四竒故立方之面與渾
[069-13b]
員之面亦若六○○與三一四竒也而體之比例同面
故亦為六○○與三一四竒
立員得員柱三之二
論曰凡員柱之面及底皆立員徑
上平員也旁周似員筩亦如截竹
周圍並以員徑為髙即員徑乗員
周冪也為徑上平員之四倍與渾
員面冪同積半徑乗半周得平員則全/徑乗全周必平員之四倍合面與底共得
[069-14a]
平員之六倍而渾員面冪原係平員之四倍是員柱冪
六而渾員冪四也而體積之比例凖此可知亦必為三
之二矣三之二即六/之四之半
問體積之比例何以得如面冪曰試於員柱心作員角
體至面至底成員角體二皆以半
徑為髙平員為底其餘則外如截
竹而内則上下並成虚員角于是
縱剖其一邉而令員筩伸直以其
[069-14b]
冪為底以半徑為髙成長方錐底/濶
如全徑直如員周髙/如半徑錐只一㸃此體即同四
員角或縱剖為四方錐亦同皆以/周四分之一為底濶以全徑
為底長以半徑為髙其體並同員/角何也以周四之一乗全徑與半
徑乗半周同故方底同員底/而其髙又同則方角同員角合面
底二員用共六員角矣而渾員體
原同四員角渾員面為底半徑為/髙作員錐即同四員
角/是員柱渾員二體之比例亦三
[069-15a]
與二也
員角體得員柱三之一 凡角體並同
凖前論員柱有六員角試從中腰平截為兩則有三員
角而員筩體原當四員角今截其半仍為二員角或面
或底原係一員角合之成三員角以為一扁員柱然則
員角非員柱三之一乎
若立方形各從方楞切至心則成六方角皆以方面為/底半徑為髙
從半徑平切之為扁立方則四周之四方角皆得一半
[069-15b]
成兩方角而或底或面原有一方角亦是三方角合成
一扁立方而方角體亦三之一矣
渾員體分為四則所分角體各所乗之渾冪皆與員徑
上平員冪等
甲戊丙丁渾員體 從丑乙辰乙癸乙子乙卯乙寅乙等各半
徑各自其渾冪透至乙心而以半徑旋行而割切之則成上
下兩員角體一甲卯辰丑乙以甲丑卯辰割渾員之面為/底乙為其銳此割員曲徑自
丑而甲而辰居/員周三之一一丙癸寅子乙以子丙寅癸渾員之割面為/底乙為其銳此割員曲徑亦
[069-16a]
三之一如三百六/十之一百二十此上下兩角體
相等皆居全渾體四之一中腰成
鼓形而上下兩面並穵空各成虚
員角其外則周遭皆凸面如丑戊/子及辰丁癸之割員状此割
員曲徑自辰而丁而癸居員周/六之一為三百六十之六十
此鼓形體倍大于上下兩角體居渾員全體之半若從
戊乙丁腰横截之為二則一如仰盂一如覆碗而其體
亦渾員四之一也
[069-16b]
如此四分渾體而其割員之面冪即各與員徑上之平
員冪等故曰渾員面冪與徑上平員若四與一也
問何以知中腰鼓體能倍大于上下兩角體曰試于子
丙乙癸角體從子寅癸横切之則成子未癸午小員面
為所切乙子寅癸小員角體之底
乃子寅小半徑乗子未癸小半周
所成也然則以子寅小半徑乗子
未癸小半周又以乙寅半半徑為
[069-17a]
髙乗之而取其三之一即小角體矣
試又于中腰鼓體從丑子及卯寅
及辰癸諸立線周遭直切之脫去
其外鼓凸形即成員柱體之外周
截竹形又從酉乙申横切之為兩
一仰盂/一覆碗則此覆碗體舉一式為例
可直切斷而伸之亦可成方角體
此體以乙寅半半徑乗子未癸午
[069-17b]
小員全周為底其形/長方又以小半徑
子寅子寅即/乙申為髙而乗之取三之
一為長方角體此長方角體必倍
大于小員角體何也兩法並以小
半徑及半半徑兩次連乗取三之
一成角體而所乗者一為小員全
周一為小員半周故倍大無疑
也
[069-18a]
又丙癸寅子亦可成角體與乙子
寅癸等覆碗體既倍大則兼此兩
角體矣
凖此而論仰盂體必能兼甲丑卯辰及乙辰卯丑兩角
體亦無疑也
又角體内既切去一小角體又穵
去一相同之小角體則所餘者為
丙癸寅子員底仰盂體
[069-18b]
鼓體内既穵去如截竹之體則所
餘者為内平如丑子/及辰癸外凸如子戊/丑及辰
丁/癸之空圈體而此體必倍大于員
底仰盂體何以知之盖兩體並以
半徑為平面丑子與癸/丙並同並以員周
六之一為凸面而腰鼓之平面以
半徑循員周行員底仰盂之平面則以半徑自心旋轉
周行者兩頭全用旋轉者在心之一頭不動而只用一
[069-19a]
頭則只得其半矣故决其為倍大也
凖此而甲丑卯辰亦為穵空之員覆碗體而只得鼓體
之半矣由是言之則上下角體各得中腰鼓體之半而
鼓體倍大于角形渾體平分為四夫復何疑
曰渾體四分如此真無纎芥之疑體既均分為四則其
渾體外冪亦勻分為四亦無可復疑但何以知此所分
四分之一必與徑上平員相等耶曰此易明也凡割渾
員一分而求其冪法皆從其所切平面員心作立線至凸
[069-19b]
面心而以其髙為股員面心至邉之半徑為勾勾股求
其斜弦用為半徑以作平員即與所割圎體之凸面等冪
假如前圗所論上下兩角體從丑夘辰横線切之則以甲夘
為股夘丑為句求得甲丑弦與半徑同以作平員與丑夘辰
甲凸面等然則此角體之凸面豈不與徑上平員等冪乎
甲亢半徑與甲丑同以作丑
亢平員與甲丑夘辰凸面等
冪
[069-20a]
試又作甲戊線為半徑之斜線甲乙與戊乙皆半/徑為句為股故也以為
半徑而作平員必倍大于半徑所作之平員而渾員半
冪與之等則渾員半冪不又為平員之倍乎
如圖甲丑為半徑作乙庚房平員/與丙戊甲平員等亦與甲辰夘丑
割員凸面等為/渾冪四之一也
甲戊為半徑作戊心亥平員與甲/丁乙戊半渾冪等而倍大于乙庚
房亦倍大于丙戊甲平員/則平員居渾冪四之一
如是宛轉相求無不脗合則平員為渾員冪四之一信矣
[069-20b]
取渾冪四之一法
當以半徑為通弦以一端抵圎徑之端為心旋而䂓之
則所割渾冪為四之一而其渾冪與圎徑上平員冪等
甲辰即丁/乙之自冪一百辰夘之自
乗冪七十/五如四與三則辰丑通弦
為徑以作平員亦丁戊全徑上平
員四分之三也大小兩平員各為
底以半徑為髙而作員角體其比
[069-21a]
例亦四與三也
今渾員徑上平員即下戊徑/上平員所作之員角體既為渾積
四之一則辰丑通弦徑所作之員角體即渾體十六之
三矣即甲丑夘辰角體及/乙丑夘辰角體之合若以丑辰通弦上平員為底
半半徑為髙而作角體即渾體三十二之三
分渾體為四又法
甲乙丙渾員體 從員周分為三一丑甲辰一辰癸丙/一丙子丑各得周三
之/一又從辰從丙從丑依各半徑辰乙丙乙/丑乙皆是至乙心旋而
[069-21b]
切之則成三角體者三各得渾體
四之一一辰甲丑乙一丑子丙/乙一丙癸辰乙說見前則
其所餘亦渾體四之一也此餘形/有三平
員面以辰丑丑丙辰丙為員徑而/並穵空至乙心如員錐之冪有兩
凸面以辰丑丑丙辰丙之員周為界/以乙為頂皆弧三角形三角並銳兩凸面各得渾員冪八之一
按辰丑即一百二十度通弦也凖前論以此通弦為圎
徑作平員為底半半徑為髙而成員角體此員角體積
即為渾員體積三十二分之三即先所論員/角體八之三
[069-22a]
若依此切渾員體成半平半凸之體其積為渾積三十
二之五即員角體/八之五
環堵形面冪 錐形面冪
有正方正員面欲於周作立圍之堵牆而冪積與之倍
法於方面取半徑為髙即得
甲乙丙平方於其周作立起之
方圍形如環堵取平方乙丙半
徑為髙則方圍面冪倍大於平方
[069-22b]
論曰從平方心乙對角分平方為四成四三角形並以
方根為底半徑為髙于是以此四三角形立起令乙銳
上指則皆以乙丙半徑為髙而各面皆半冪故求平方
以半徑乗周得冪也然則依方周作方牆而以半徑為
髙豈不倍大於平方冪乎
凖此論之凡六等邉八等邉以至六十四等邉雖至多
邉之面而從其各周作牆各以其半徑為髙則其冪皆倍
于各平冪矣然則平員者多邉之極也若於其周作立
[069-23a]
圈如環而以其半徑為髙則環形冪積亦必倍大於平員
有方錐員錐於其周作圍牆而冪積與之倍
法於錐形之各斜面取其至銳之中線如乙/丙以為環牆
之髙即得
方牆如環堵底用方周髙如乙
丙即斜面自銳至底之斜立中
線
解曰此以錐體之斜面較冪也
[069-23b]
論曰凡方錐皆有稜兩稜交于銳各成三角面而斜立
從此斜立之三角面自銳至根濶處平分之得中線乙/丙
于是自稜剖之成四三角面而植之則中線直指天頂
而各面皆圭形為半冪故凡錐體亦可以中線乗半周
得冪也然則于底周作方牆而以中線為髙四面補成
全冪豈不倍大乎
凖此論之凡五稜六稜以上至多稜多面之錐體盡然
矣而員錐者多稜多面之極也則以其斜立線為髙而
[069-24a]
自其根作員環則其員環之冪亦必倍大于員錐之冪
前條所論切渾員之算得此益明盖員仰盂員覆碗及
穵空之鼓形其體皆一凸面一平面相合而成其凸面
弧徑皆割渾員圈六之一其平面之濶皆半徑然而不
同者其内面穵空之平冪一為錐形仰盂覆碗之/内空如笠一為
環形也鼓體之内/空如截竹准前論穵空之環冪必倍大於錐形
之冪則其所負之割渾員體亦必環形所負倍大於錐
形而穵空之鼓體必能兼員覆碗員仰盂之二體
[069-25a]
撱圎算法訂厯書之誤/
偶查撱圎求體法見其截小分之法有誤今以數考之
假如撱圎形長徑為一千四百尺短徑七百尺大分截
長徑一千○五十尺
甲己三百五十戊乙七百相并得
一千○五十 以此乗
己乙一千○五十尺 以此除
兩數相同
[069-25b]
右依厯書先求得庚壬甲圎角形為苐三率再用截大
分軸己乙為法為苐一率以截小分軸甲己并戊乙半
長徑為苐二率求得小分之容與圎角形等夫小分之
容形外為弧線圎角之容形外為直線小分必大于圎
角而今等是不合也况自此而截小分漸小則乙己大
分軸反大于甲己小軸及戊乙并之數而求小分之容
反將更小于圎角矣有是理哉小分漸小如辛癸甲則/其甲己小于己戊而己
乙者己戊與戊乙并也則其/數亦大于甲己與戊乙并矣
[069-26a]
又如截大分長七百二十分己乙
為其軸甲己為其小分軸六百八
十分
依厯書法甲己小分軸六百/八十為一率甲乙長徑一千/四百并
戊乙短徑七/百共二十/一百為二率求到庚壬乙圎角體為三
率則所得四率為大分之容者比圎角容大三倍有竒
亦恐無是理也何也圎角在圎柱形為三分之一而撱
形必小于柱形不宜有三倍之比例也雖壬庚畧小于/丙丁在中腰相
[069-26b]
近可以/不論今試求之用苐/一圗依勿庵改法
假如截己乙大分軸一千○五十尺求庚己壬平圎面
法先求庚己 依勿庵補法以己戊三百五/十尺自乗一十/二萬
二千五/百尺與甲戊七百/尺自乗四十九/萬尺相減餘三十六萬七/千五百尺
開方得己庚相當之原數 再以丙戊三百五/十尺乗之甲
戊七百/尺除之為己庚實數倍之為庚壬線
再以壬庚線上方變為平員今用簡法因長徑甲乙與/短徑丙丁原是
折半之比/例故也竟以減餘三十六萬七/千五百尺命為庚壬線上方以
[069-27a]
十一乗之得四百○四萬/二千五百尺又以十四除之得二十八萬/八千七百
五十/尺為庚壬線上所截撱體之平圎面
法以平圎面各乗其大分/小分之軸一千○五十尺/三百五十尺皆成圎
柱形乃三除之為大/小分内所容之大/小圎角形
再以長徑一千四/百尺乗大圎角為實小軸三百五/十尺除之為
所截撱形之大分
以長徑一千四/百尺乗小圎角為實大軸一千○/五十尺除之為所
截撱形之小分
[069-27b]
今用簡法 置平圎面三除之得九萬六千二/百五十尺以小分
軸三百/五十乗之得庚甲壬小圎角形三千三百六十八/萬七千五百尺
置小圎角四因三除之得四千四百九十一萬六千/六百六十六又三之二為
所截小圎分
又置圎面三除之積九六二/五○以大分軸一千○/五十尺乗之得
庚子乙大圎角形一億○一百○六/萬二千五百尺
置圎角形一○一○六/二五○○用四因之得四億○四百/二十五萬尺為所
截大圎分
[069-28a]
小圎分大圎分兩形并之共四億四千九百一/十六萬六六六六為撱形
全積
另求撱形全積
置短徑七/百自乗得四十/九萬以長徑一千/四百乗之得六億八千/六百萬
以十一因之二十一除之得三億五千九百三/十三萬三三三為真撱
圎全積
以真撱圎積與兩截形并相較其差為九十分之一而
弱
[069-28b]
若用厯書法 求得截小分二千三百六十八/萬七千五百尺與小圎
角同
截大分六億○六百三/十七萬五千為大圎角之六倍
相并得六億四千○○六/萬二千五百尺為撱圎全積 與撱圎真積
相較其差更甚
如是輾轉推求則知撱體大截分不可算今别立法
凡撱體皆先如法求其全積再如法求其小分截積以
小分截積減全積餘為大分截積此法無弊可存
[069-29a]
[069-29b]
厯算全書卷五十六
欽定四庫全書
歴算全書卷五十六
宣城梅文鼎撰
方圓冪積一卷
方圓冪積說
歴書周徑率至二十位然其入算仍用古率十一與十/四之比例
本祖冲之徑七周/二十二之宻率豈非以乗除之際難用多位歟今以
表列之取數殊易乃為之約法則徑與周之比例即方
[069-1b]
圓二冪之比例徑一則方周四圓周三一四一五九二/六五而徑上方冪與員冪亦若四與三
一四一五九二六五尾/數八位並以表為用亦即為立方立圓之比例同徑/之立
方與圓柱若四與二一四有竒則同徑/之立方與立員若六與三一四有竒殊為簡易直截
癸未歳匡山隠者毛心易乾乾偕其壻中州謝野臣惠
訪山居共論周徑之理因反覆推論方員相容相變諸
率庚寅在吴門又得錫山友人楊崑生定三方員訂註
圗說益覺精明甚矣學問貴相長也
方圎相容
[069-2a]
新法厯書曰割圓亦属古法盖人用圭表等測天天圎
而圭表直與圎為異類詎能合歟此所以有割圎之法
也新法名為八線表云
又云徑一圍三絶非相凖之率然徑七圍二十二則盈
徑五十圍百五十七則朒或詳繹之則徑一萬圍三萬
一四五九雖亦小有竒零不盡然用之頗為相近
今算得平方與同徑之平圓其比例若四○○與三一
四五九平方内容平員平員内復容平方則内方與外
[069-2b]
方内員與外員之冪皆加倍之比例
假如戊己庚辛平方内容甲乙丙丁
員員内又容甲乙丙丁小平方小方
内又容壬丑癸子小平員如此逓互
相容則其冪積皆如二與一也
假外大平方戊己/庚辛之積一百則内小平方之積甲丁/乙丙必
五十平員亦然
若求其徑則成方斜之比例大徑如斜小徑如方
[069-3a]
假如内小平方積一百以甲丁或丙乙為徑甲丙或丁/乙並同
開方求一百之根得徑一十其外大平方積二百以甲
乙或丁丙為徑或用戊庚或己辛或己/戊或辛庚為徑並同開方求二百之
根得徑一十四一四有竒
甲乙為甲丁方之斜故斜徑自乗之冪與其方冪若二
與一而其徑與斜徑若一十與一十四一四竒/也折半
則為五與七○七竒/故曰方五則斜七有竒也
三邉形内容平員平員内又容三邉則其冪之比例為
[069-3b]
四與一甲乙丙三邉形内容丁戊己
平員平員内又容丁戊己小三邉則
内小三邉形為外大三邉形四之一
内外兩平員之冪其比例亦為四與一
若有多層皆以此比例逓加
渾員内容立方立方内又容渾員如此逓互相容則外
員徑上冪與内員徑上冪為三倍之比例外立方與内
立方之徑冪亦然丙庚丁渾員内容丙甲丁乙立方丙
[069-4a]
戊及戊甲皆立方邊丙辛及甲辛並同丙/乙及甲丁等亦同丙戊甲辛為
立方面餘六面/並同丙甲為方面/斜線丙丁為立方體/内對角線即渾員徑乙/甲
同其辛壬及己戊皆/亦對角若作線亦同丙乙及甲丁等又皆為立楞戊壬及/辛己同
解曰立方面上斜徑之冪為方冪之倍句股/法也
斜為弦方為句又為股併句股實/成弦實故倍方冪即成斜徑之冪又以斜徑
為股立方之立楞為句求得立方體内両對
角之斜徑為弦此弦實内有股實即面上斜/徑之冪為
方冪/者二有句實即立楞之冪立楞原即方/邉故其冪即立方面冪共得方
[069-4b]
冪三而此丙對角斜徑即渾員之徑内小員徑又在立方體内
即以方徑為徑其徑之冪即立方面也故曰三倍比例也
立方内又容立員則内員徑即立方之徑
若求其徑則外徑大于内徑若一十七有竒與一十
内徑之冪百開方得一十為徑則外徑之冪三百開方得一
十七又三十五/之一十一為徑若有幾層互容皆以此比例逓加卽得
若求其體積則為五倍有竒之比例若有多層亦以/此比例逓加
假如内容立方積一千則外大立方積五千一百九十四有竒
[069-5a]
解曰立積一千則其徑冪一百而外大立積之徑冪三
百又以徑一十七又三十五/之一十一乗之得五千一百九十四
又七/之二 此言大方積又在圗上渾員之外
積之比例
立方同徑之立員其比例為六○○與三一四
立方同徑之員柱其比例為四○○與三一四
員柱與同徑之立員其比例為三與二
方圎周徑相求
[069-5b]
同積較徑 為方變員員變方之用
凡方圎同積則員徑大方徑小其比例若一一二八三
七九與一○○○○○○
解曰員徑一一二八三七九則方徑一○○○○○○也
法曰有員徑求其同積之方徑當以一○○○○○○乗
以一一二八三七九除
有方徑求其同積之員徑當以一一二八三七九乗以
一○○○○○○除
[069-6a]
凡方員同積則員徑上平方與方徑上平方其比例若
四○○○○○○○○與三一四一五九二六五
解曰員徑自乗四○○○○○○○○則方徑自乗三
一四一五九二六五
法曰有員徑求其同積之方徑當以三一四一五九二
六五乗之四○○○○○○○○除之得數平方開之
得方徑
有方徑求其同積之員徑當以四○○○○○○○○
[069-6b]
乗三一四一五九二六五除得數平方開之得員徑
凡方員同積則員徑與方徑若一○○○○○○與○
八八六二二六
解曰員徑一○○○○○○則方徑八八六二二六也
法曰有員徑求同積之方徑以八八六二二六乗員徑
一○○○○○○除之即得方徑
有方徑求同積之員徑以一○○○○○○乗方徑八
八六二二六除之即得員徑
[069-7a]
約法
以一一二八二七九乗方徑去末六位得同積之員徑
以○八八六二二六乗員徑去末六位得同積之方徑
同積較周
凡方員同積則員周小方周大其比例若一○○○○
○○與一一二八三七九亦若八八六二二六與一○
○○○○○
解曰員周一○○○○○○則方周一一二八三七九
[069-7b]
也
方周一○○○○○○則員周八八六二二六也
約法
以一一二八三七九乗員周去末六位得同積之方周
以○八八六二二六乗方周去末六位得同積之員周
凡方員同積則其徑與徑周與周為互相視之比例
解曰方周與員周之比例若員徑與方徑也
論曰凡同積之周方大而員小同積之徑則又方小而
[069-8a]
員大所以能互相為比例
約法
以方周乗方徑為實員周除之得員徑若以員徑除實
亦得員周
以員周乗員徑為實方周除之得方徑若以方徑除實
亦得方周 皆用異乗同除例如左
一 員周一○○○○○○ 一 方周一○○○○○○
二 方周一一二八三七九 二 員周○八八六二二六
[069-8b]
三 方徑○二八二○九四七五/ 三 員徑○二八二○九四七五/
四 員徑○三一八三○九八八/ 四 方徑○二五○○○○
積七九五七七四四八○○○/○○○ 積六二五○○○○○○○○
一 員徑一○○○○○○ 一 方徑一○○○○○○
二 方徑○八八六二二六 二 員徑一一二八三七九
三 方周三五四四九○四 三 員周三五四四九○四
四 員周三一四一五九二 四 方周四○○○○○○
積七八五三九八一六○○○/○○○ 積一○○○○○○○○○○○○
[069-9a]
第四率並與一率乗得四倍積四除之得本積
論曰以上皆方員周徑互相求乃同積之比例方員交
變用之即比例規變面線之理
同徑較積較周 即方内容員員外切方
凡方員同徑則方積大員積小周亦如之其比例若四
○○○○○○○○與三一四一五九二六五
方徑一○○○○周四○○○○ 積一○○○○○○○○
員徑一○○○○周三一四一五竒積○七八五三九八一六
[069-9b]
方徑二○○○○周四○○○○ 積四○○○○○○○○
員徑二○○○○周六二八三一竒積三一四一五九二六五
凡徑倍者周亦倍而其積為倍數之自乗亦謂之再加
比例授時厯謂之平差
徑二倍周亦二倍而其積則四倍徑三倍周亦三倍而
其積九倍乃至徑十倍周亦十倍而積百倍徑百倍周
亦百倍而積萬倍皆所加倍數之自乗數亦若平方謂
之再加也
[069-10a]
同周較積較徑
凡方員同周則員積大方積小徑亦如之其比例若四
○○○○○○○○與三一四一五九二六五
方周一○○○○○○徑○二五○○○○積六二五○○○○○○○○
員周一○○○○○○徑○三一八三○九八八積七九五七七四七○○○○
方周四○○○○○○徑一○○○○○○積一○○○○○○○○○○○○
員周四○○○○○○徑一二七三二三九五四積一二七三二三九五四○○○○
論曰周四則徑與積同數但其位皆陞皆視周數之位
[069-10b]
今用百萬為周則積陞六位成萬億矣故雖同而實不
同不惟不同而且懸絶定位之法所以當明也
問位既大陞而數不變何耶曰周徑相乗得積之四倍
於是四除其積即得所求平積此平冪之公法也兹方
員之周既為四則以乗其徑而復四除之即還本數矣
惟周數之四或十或百或千萬億無定而除法之四定
為單數故無改數而有進位也
又論曰周四倍之徑與周一之徑為四倍其積則十六
[069-11a]
倍所謂再加之比例
渾圎内容立方徑一萬寸求圎徑 法以方斜一萬四
千一百四十二寸為股自乗得二億為股實以方徑一
萬寸為句自乗得一億為勾實併勾股實為三億為弦
實開方得弦一萬七千三百二十○半寸命為渾圎之
徑
又以渾圎徑求圍得五萬四千四百十四寸弱 周徑
相乗得九億四千二百四十七萬六九九四寸為渾冪
[069-11b]
以四除渾冪得二億三千五百六十一萬九千二百四
十八寸竒為大平圎冪即立方一萬寸外切渾圎之腰
圍平冪也
圎柱積四萬○千八百十○億四三一八四九八四寸
以渾圎徑乗平圎冪得之
倍圎柱積以三除之得渾圎積二萬七千二百○六九
五四五六六五六寸
約法 立方徑一千尺其積一十尺 外切之渾圎徑
[069-12a]
一十七尺三二○五 渾圎積二千七百二十○尺六
九五四 約為二千七百二十一尺弱
試再用徑上立方求渾圎積法即立方内求/所容渾圎以渾圎徑
自乗再乗得渾圎徑上立方以圎率三一/四竒乗之得數六
除之得渾積並同
立方與員柱若四○○與三一四竒同徑之/員柱也
立方為六方角所成員柱為六員角所成其所容角體
並六而方與員異故其比例如同徑之周 此條為積
[069-12b]
之比例
員周上自乗之方與渾員面冪若三一四竒與一○○
渾員面冪與員徑上平方形亦若三一四竒與一○○
皆員周與徑之比例
渾員面冪與員徑上平員若四與一
員柱面冪與員徑上平員若六與一六員角之底皆/外向合成此數
平員並為一而員柱冪為其六倍渾員冪為其四倍渾
員為員柱三之二即此可徴積之比例如其面也以上
[069-13a]
四條並面冪之比例渾員體與員角體若四與一
渾員面既為平員之四倍從面至心皆成角體故體之
比例亦四倍
立方面與徑上平方若六與一六面/故也
立方體與渾員體若六○○與三一四竒
渾員面與徑上平方既若三一四竒與一○○而立方
面與徑上平方若六與一平方同為一○○而立方面
為其六倍渾員面為其三倍一四竒故立方之面與渾
[069-13b]
員之面亦若六○○與三一四竒也而體之比例同面
故亦為六○○與三一四竒
立員得員柱三之二
論曰凡員柱之面及底皆立員徑
上平員也旁周似員筩亦如截竹
周圍並以員徑為髙即員徑乗員
周冪也為徑上平員之四倍與渾
員面冪同積半徑乗半周得平員則全/徑乗全周必平員之四倍合面與底共得
[069-14a]
平員之六倍而渾員面冪原係平員之四倍是員柱冪
六而渾員冪四也而體積之比例凖此可知亦必為三
之二矣三之二即六/之四之半
問體積之比例何以得如面冪曰試於員柱心作員角
體至面至底成員角體二皆以半
徑為髙平員為底其餘則外如截
竹而内則上下並成虚員角于是
縱剖其一邉而令員筩伸直以其
[069-14b]
冪為底以半徑為髙成長方錐底/濶
如全徑直如員周髙/如半徑錐只一㸃此體即同四
員角或縱剖為四方錐亦同皆以/周四分之一為底濶以全徑
為底長以半徑為髙其體並同員/角何也以周四之一乗全徑與半
徑乗半周同故方底同員底/而其髙又同則方角同員角合面
底二員用共六員角矣而渾員體
原同四員角渾員面為底半徑為/髙作員錐即同四員
角/是員柱渾員二體之比例亦三
[069-15a]
與二也
員角體得員柱三之一 凡角體並同
凖前論員柱有六員角試從中腰平截為兩則有三員
角而員筩體原當四員角今截其半仍為二員角或面
或底原係一員角合之成三員角以為一扁員柱然則
員角非員柱三之一乎
若立方形各從方楞切至心則成六方角皆以方面為/底半徑為髙
從半徑平切之為扁立方則四周之四方角皆得一半
[069-15b]
成兩方角而或底或面原有一方角亦是三方角合成
一扁立方而方角體亦三之一矣
渾員體分為四則所分角體各所乗之渾冪皆與員徑
上平員冪等
甲戊丙丁渾員體 從丑乙辰乙癸乙子乙卯乙寅乙等各半
徑各自其渾冪透至乙心而以半徑旋行而割切之則成上
下兩員角體一甲卯辰丑乙以甲丑卯辰割渾員之面為/底乙為其銳此割員曲徑自
丑而甲而辰居/員周三之一一丙癸寅子乙以子丙寅癸渾員之割面為/底乙為其銳此割員曲徑亦
[069-16a]
三之一如三百六/十之一百二十此上下兩角體
相等皆居全渾體四之一中腰成
鼓形而上下兩面並穵空各成虚
員角其外則周遭皆凸面如丑戊/子及辰丁癸之割員状此割
員曲徑自辰而丁而癸居員周/六之一為三百六十之六十
此鼓形體倍大于上下兩角體居渾員全體之半若從
戊乙丁腰横截之為二則一如仰盂一如覆碗而其體
亦渾員四之一也
[069-16b]
如此四分渾體而其割員之面冪即各與員徑上之平
員冪等故曰渾員面冪與徑上平員若四與一也
問何以知中腰鼓體能倍大于上下兩角體曰試于子
丙乙癸角體從子寅癸横切之則成子未癸午小員面
為所切乙子寅癸小員角體之底
乃子寅小半徑乗子未癸小半周
所成也然則以子寅小半徑乗子
未癸小半周又以乙寅半半徑為
[069-17a]
髙乗之而取其三之一即小角體矣
試又于中腰鼓體從丑子及卯寅
及辰癸諸立線周遭直切之脫去
其外鼓凸形即成員柱體之外周
截竹形又從酉乙申横切之為兩
一仰盂/一覆碗則此覆碗體舉一式為例
可直切斷而伸之亦可成方角體
此體以乙寅半半徑乗子未癸午
[069-17b]
小員全周為底其形/長方又以小半徑
子寅子寅即/乙申為髙而乗之取三之
一為長方角體此長方角體必倍
大于小員角體何也兩法並以小
半徑及半半徑兩次連乗取三之
一成角體而所乗者一為小員全
周一為小員半周故倍大無疑
也
[069-18a]
又丙癸寅子亦可成角體與乙子
寅癸等覆碗體既倍大則兼此兩
角體矣
凖此而論仰盂體必能兼甲丑卯辰及乙辰卯丑兩角
體亦無疑也
又角體内既切去一小角體又穵
去一相同之小角體則所餘者為
丙癸寅子員底仰盂體
[069-18b]
鼓體内既穵去如截竹之體則所
餘者為内平如丑子/及辰癸外凸如子戊/丑及辰
丁/癸之空圈體而此體必倍大于員
底仰盂體何以知之盖兩體並以
半徑為平面丑子與癸/丙並同並以員周
六之一為凸面而腰鼓之平面以
半徑循員周行員底仰盂之平面則以半徑自心旋轉
周行者兩頭全用旋轉者在心之一頭不動而只用一
[069-19a]
頭則只得其半矣故决其為倍大也
凖此而甲丑卯辰亦為穵空之員覆碗體而只得鼓體
之半矣由是言之則上下角體各得中腰鼓體之半而
鼓體倍大于角形渾體平分為四夫復何疑
曰渾體四分如此真無纎芥之疑體既均分為四則其
渾體外冪亦勻分為四亦無可復疑但何以知此所分
四分之一必與徑上平員相等耶曰此易明也凡割渾
員一分而求其冪法皆從其所切平面員心作立線至凸
[069-19b]
面心而以其髙為股員面心至邉之半徑為勾勾股求
其斜弦用為半徑以作平員即與所割圎體之凸面等冪
假如前圗所論上下兩角體從丑夘辰横線切之則以甲夘
為股夘丑為句求得甲丑弦與半徑同以作平員與丑夘辰
甲凸面等然則此角體之凸面豈不與徑上平員等冪乎
甲亢半徑與甲丑同以作丑
亢平員與甲丑夘辰凸面等
冪
[069-20a]
試又作甲戊線為半徑之斜線甲乙與戊乙皆半/徑為句為股故也以為
半徑而作平員必倍大于半徑所作之平員而渾員半
冪與之等則渾員半冪不又為平員之倍乎
如圖甲丑為半徑作乙庚房平員/與丙戊甲平員等亦與甲辰夘丑
割員凸面等為/渾冪四之一也
甲戊為半徑作戊心亥平員與甲/丁乙戊半渾冪等而倍大于乙庚
房亦倍大于丙戊甲平員/則平員居渾冪四之一
如是宛轉相求無不脗合則平員為渾員冪四之一信矣
[069-20b]
取渾冪四之一法
當以半徑為通弦以一端抵圎徑之端為心旋而䂓之
則所割渾冪為四之一而其渾冪與圎徑上平員冪等
甲辰即丁/乙之自冪一百辰夘之自
乗冪七十/五如四與三則辰丑通弦
為徑以作平員亦丁戊全徑上平
員四分之三也大小兩平員各為
底以半徑為髙而作員角體其比
[069-21a]
例亦四與三也
今渾員徑上平員即下戊徑/上平員所作之員角體既為渾積
四之一則辰丑通弦徑所作之員角體即渾體十六之
三矣即甲丑夘辰角體及/乙丑夘辰角體之合若以丑辰通弦上平員為底
半半徑為髙而作角體即渾體三十二之三
分渾體為四又法
甲乙丙渾員體 從員周分為三一丑甲辰一辰癸丙/一丙子丑各得周三
之/一又從辰從丙從丑依各半徑辰乙丙乙/丑乙皆是至乙心旋而
[069-21b]
切之則成三角體者三各得渾體
四之一一辰甲丑乙一丑子丙/乙一丙癸辰乙說見前則
其所餘亦渾體四之一也此餘形/有三平
員面以辰丑丑丙辰丙為員徑而/並穵空至乙心如員錐之冪有兩
凸面以辰丑丑丙辰丙之員周為界/以乙為頂皆弧三角形三角並銳兩凸面各得渾員冪八之一
按辰丑即一百二十度通弦也凖前論以此通弦為圎
徑作平員為底半半徑為髙而成員角體此員角體積
即為渾員體積三十二分之三即先所論員/角體八之三
[069-22a]
若依此切渾員體成半平半凸之體其積為渾積三十
二之五即員角體/八之五
環堵形面冪 錐形面冪
有正方正員面欲於周作立圍之堵牆而冪積與之倍
法於方面取半徑為髙即得
甲乙丙平方於其周作立起之
方圍形如環堵取平方乙丙半
徑為髙則方圍面冪倍大於平方
[069-22b]
論曰從平方心乙對角分平方為四成四三角形並以
方根為底半徑為髙于是以此四三角形立起令乙銳
上指則皆以乙丙半徑為髙而各面皆半冪故求平方
以半徑乗周得冪也然則依方周作方牆而以半徑為
髙豈不倍大於平方冪乎
凖此論之凡六等邉八等邉以至六十四等邉雖至多
邉之面而從其各周作牆各以其半徑為髙則其冪皆倍
于各平冪矣然則平員者多邉之極也若於其周作立
[069-23a]
圈如環而以其半徑為髙則環形冪積亦必倍大於平員
有方錐員錐於其周作圍牆而冪積與之倍
法於錐形之各斜面取其至銳之中線如乙/丙以為環牆
之髙即得
方牆如環堵底用方周髙如乙
丙即斜面自銳至底之斜立中
線
解曰此以錐體之斜面較冪也
[069-23b]
論曰凡方錐皆有稜兩稜交于銳各成三角面而斜立
從此斜立之三角面自銳至根濶處平分之得中線乙/丙
于是自稜剖之成四三角面而植之則中線直指天頂
而各面皆圭形為半冪故凡錐體亦可以中線乗半周
得冪也然則于底周作方牆而以中線為髙四面補成
全冪豈不倍大乎
凖此論之凡五稜六稜以上至多稜多面之錐體盡然
矣而員錐者多稜多面之極也則以其斜立線為髙而
[069-24a]
自其根作員環則其員環之冪亦必倍大于員錐之冪
前條所論切渾員之算得此益明盖員仰盂員覆碗及
穵空之鼓形其體皆一凸面一平面相合而成其凸面
弧徑皆割渾員圈六之一其平面之濶皆半徑然而不
同者其内面穵空之平冪一為錐形仰盂覆碗之/内空如笠一為
環形也鼓體之内/空如截竹准前論穵空之環冪必倍大於錐形
之冪則其所負之割渾員體亦必環形所負倍大於錐
形而穵空之鼓體必能兼員覆碗員仰盂之二體
[069-25a]
撱圎算法訂厯書之誤/
偶查撱圎求體法見其截小分之法有誤今以數考之
假如撱圎形長徑為一千四百尺短徑七百尺大分截
長徑一千○五十尺
甲己三百五十戊乙七百相并得
一千○五十 以此乗
己乙一千○五十尺 以此除
兩數相同
[069-25b]
右依厯書先求得庚壬甲圎角形為苐三率再用截大
分軸己乙為法為苐一率以截小分軸甲己并戊乙半
長徑為苐二率求得小分之容與圎角形等夫小分之
容形外為弧線圎角之容形外為直線小分必大于圎
角而今等是不合也况自此而截小分漸小則乙己大
分軸反大于甲己小軸及戊乙并之數而求小分之容
反將更小于圎角矣有是理哉小分漸小如辛癸甲則/其甲己小于己戊而己
乙者己戊與戊乙并也則其/數亦大于甲己與戊乙并矣
[069-26a]
又如截大分長七百二十分己乙
為其軸甲己為其小分軸六百八
十分
依厯書法甲己小分軸六百/八十為一率甲乙長徑一千/四百并
戊乙短徑七/百共二十/一百為二率求到庚壬乙圎角體為三
率則所得四率為大分之容者比圎角容大三倍有竒
亦恐無是理也何也圎角在圎柱形為三分之一而撱
形必小于柱形不宜有三倍之比例也雖壬庚畧小于/丙丁在中腰相
[069-26b]
近可以/不論今試求之用苐/一圗依勿庵改法
假如截己乙大分軸一千○五十尺求庚己壬平圎面
法先求庚己 依勿庵補法以己戊三百五/十尺自乗一十/二萬
二千五/百尺與甲戊七百/尺自乗四十九/萬尺相減餘三十六萬七/千五百尺
開方得己庚相當之原數 再以丙戊三百五/十尺乗之甲
戊七百/尺除之為己庚實數倍之為庚壬線
再以壬庚線上方變為平員今用簡法因長徑甲乙與/短徑丙丁原是
折半之比/例故也竟以減餘三十六萬七/千五百尺命為庚壬線上方以
[069-27a]
十一乗之得四百○四萬/二千五百尺又以十四除之得二十八萬/八千七百
五十/尺為庚壬線上所截撱體之平圎面
法以平圎面各乗其大分/小分之軸一千○五十尺/三百五十尺皆成圎
柱形乃三除之為大/小分内所容之大/小圎角形
再以長徑一千四/百尺乗大圎角為實小軸三百五/十尺除之為
所截撱形之大分
以長徑一千四/百尺乗小圎角為實大軸一千○/五十尺除之為所
截撱形之小分
[069-27b]
今用簡法 置平圎面三除之得九萬六千二/百五十尺以小分
軸三百/五十乗之得庚甲壬小圎角形三千三百六十八/萬七千五百尺
置小圎角四因三除之得四千四百九十一萬六千/六百六十六又三之二為
所截小圎分
又置圎面三除之積九六二/五○以大分軸一千○/五十尺乗之得
庚子乙大圎角形一億○一百○六/萬二千五百尺
置圎角形一○一○六/二五○○用四因之得四億○四百/二十五萬尺為所
截大圎分
[069-28a]
小圎分大圎分兩形并之共四億四千九百一/十六萬六六六六為撱形
全積
另求撱形全積
置短徑七/百自乗得四十/九萬以長徑一千/四百乗之得六億八千/六百萬
以十一因之二十一除之得三億五千九百三/十三萬三三三為真撱
圎全積
以真撱圎積與兩截形并相較其差為九十分之一而
弱
[069-28b]
若用厯書法 求得截小分二千三百六十八/萬七千五百尺與小圎
角同
截大分六億○六百三/十七萬五千為大圎角之六倍
相并得六億四千○○六/萬二千五百尺為撱圎全積 與撱圎真積
相較其差更甚
如是輾轉推求則知撱體大截分不可算今别立法
凡撱體皆先如法求其全積再如法求其小分截積以
小分截積減全積餘為大分截積此法無弊可存
[069-29a]
[069-29b]
厯算全書卷五十六