[063-1a] 
欽定四庫全書
厯算全書卷五十
宣城梅文鼎撰
三角形舉要法卷一
測算名義
古用句股有割員弧背弦矢諸名今用三角其類
稍廣不可以不知爰摘綱要列於首簡
㸃
[063-1b]
㸃如針芒無長短濶狹可論然算從此起譬如算日月
行度只論日月中心一點此㸃所到即為躔離真度
線
線有弧直二種皆有長短而無濶狹自一㸃引而長之
至又一㸃止則成線矣
[063-2a]
如測日月相距度皆自太陽心算至太隂心是為弧線
如測日月去人逺近皆自人目中一㸃算至太陽太隂
天是為直線
凡句股三角之法俱論線線兩端各一㸃故線以㸃為
其界
面
面有方員各種之形皆有長短有濶狹而無厚薄故謂
之冪冪者所以冒物如量田疇界域只論土面之大小
[063-2b]
面之方員各類皆以線限之故面以線為界面之線/亦曰邉
[063-3a]
惟員面是一線所成乃弧線也若直線必三線以上始能成形
體
體或方或員其形不一皆有長短有濶狹又有厚薄或/淺
深髙下/之類員體如球如柱方體如櫃如㪷或如員塔方塔
皆以面為界圖/後
[063-3b]
以上四者謂㸃線/面體略盡測量之事矣然其用皆在線如
論㸃則有距線論面則有邉線論體則有棱線面與面/相得則
成棱/線凡所謂長短濶狹厚薄淺深髙下皆以線得之三
角法者求線之法也
長短濶狹厚薄等類皆以量而得而量者必於一線正
[063-4a]
中若稍偏於兩旁則其度不真矣故凡測量所求者皆線也
三角形
欲明三角之法必詳三角之形
兩直線不能成形成形者必三線以上而三線相遇則
有三角故三角形者形之始也
[063-4b]
多線皆可成形析之皆可成三角至三角則無可析矣
故三角能盡諸形之理
凡可算者為有法之形不可算者為無法之形三角者
有法之形也不論長短斜正皆可以求其數故曰有法
若無法之形析之成三角則可量故三角者量法之宗也
[063-5a]
角
三角法異於句股者以用角也故先論角
兩線相遇則成角平行兩直線不能作角何也線既平/行則雖引而長之至於無窮終無相
遇之理角安從生是故作角/者必兩線相遇必不平行也
角有三類一正方角一銳角一鈍角
[063-5b]
如右圖以兩線十字縱横相遇皆為正方角亦曰直角/亦曰方角
如右圖以兩線斜相遇則一為銳角一為鈍角
凡銳角必小於正方角凡鈍角必大於正方角
正方角止一銳角鈍角則有多種而算法生焉
弧
[063-6a]
角在小形與在大形無以異也故無丈尺可言必量之
以對角之弧
法以角之端為員心用規作員員周分三百六十度乃
視本角所對之弧於全員三百六十度中得幾何度分
其弧分所對正得九十度者為正方角九十度者全員/四之一謂之象
限/若所對弧分不滿九十度者為銳角自八十九度以/至一度並銳角
也/所對弧分在九十度以上者為鈍角自九十一度至/百七十九度並
鈍角/也
[063-6b]
如圖丁為角即用為員心以作員形
其庚丁丙角凡論角度並以中一字/為所指之角此言庚丁
丙即丁/為角也所對者庚丙弧在全員為四
之一正得象限九十度是為正方角
若乙丁丙角所對者乙丙弧在象限庚丙弧之内小於
象限九十度是為銳角
又乙丁壬角所對乙庚壬弧過於壬庚弧壬庚亦象限/九十度弧故
庚丁壬/亦方角大於象限九十度是為鈍角
[063-7a]
角之度生於割員
割員弧矢
有弧則有矢弧矢者古人割員之法也
如圖以乙子直線割平員則成弧
矢形
所割乙丙子員分如弓之曲古謂
之弧背以弧背半之則為半弧背
如乙/丙
[063-7b]
通弦正弦
割員直線如弓之弦謂之通弦如乙/子
通弦半之古謂之半弧弦今曰正弦如乙/甲
矢線
正弦以十字截半徑成矢如丁丙横半徑為乙甲/正弦所截成甲丙矢謂之
正矢
以上二條/俱仍前圖
正弧餘弧正角餘角
[063-8a]
所用之弧度為正弧以正弧減象限
為餘弧如庚丙象限内减乙丙正/弧則其餘乙庚為餘弧
正弧所對為正角如正弧乙丙對乙/丁丙角則為正角
以正角減正方角為餘角如以乙丁丙正角去减庚丁/丙方角則其餘乙丁庚角為
餘/角
正弦餘弦正矢餘矢
[063-8b]
有正弧正角即有正弦如乙/甲有正矢
如甲/丙亦即有餘弦如乙/己有餘矢如己/庚
正弦正矢餘弦餘矢皆乙丙弧所有亦即乙丁丙角所
有
自一度至八十九度並得為乙丙並得為正弧即正餘
弦矢畢具
[063-9a]
若用乙庚為正弧則乙丙反為餘弧
角之正餘亦同
割線切線
每一弧一角各有正弦餘弦正矢餘矢己成四線於平
員内古人用句股割員即此法也/盖此四線己成倒順二句股
再引半徑透於平員之外與切員直線相遇為割線切
線而各有正餘復成四線正割正切餘割餘切/復成倒順二句股共為八
線故曰割員八線也
[063-9b]
如圖庚乙丙平員切戊丙直線於丙
又引乙丁半徑透出員周外使兩線相
遇於戊則戊丙為乙丙弧之正切線
亦即為乙丁丙角之正切線而戊丁
為乙丙弧之正割線亦即為乙丁丙角之正割線
又以平員切庚辛直線於庚與乙丁透出線相遇於辛
則庚辛為乙丙弧之餘切線亦即為乙丁丙角之餘切線
而辛丁為乙丙弧之餘割線亦即為乙丁丙角之餘割線
[063-10a]
割員八線
凡用一弧即對一角用一角亦對一弧故可互求
凡一弧即有八線正弦正矢正割正切/餘弦餘矢餘割餘切角亦然
凡一弧之八線即成倒順四句股角亦然
如圖庚丙象弧共九十度庚丁丙
為九十度十字正方角
任分乙丙為正弧乙丁丙為正角
則乙庚為餘弧乙丁庚為餘角
[063-10b]
正弦乙甲己/同丁 正矢甲丙/正切戊丙/ 正割戊丁/
餘弦乙己甲/同丁 餘矢庚己/餘切辛庚/ 餘割辛丁/
以上八線為乙丙弧所用亦即為乙丁丙角所用自一/度至
八十九/度並同若用乙庚弧亦同此八線但以餘為正以正為餘
乙甲丁句股形乙丁半/徑為弦乙甲正/弦為
股丁甲餘/弦為句 戊丙丁句股形戊丁
正/割為弦戊丙正/切為股丙丁半/徑為句
以上兩順句股形同用乙丁甲角故其
[063-11a]
比例等凡句股形一角/等則餘角並等
乙己丁倒句股形乙丁半/徑為弦己丁正/弦為
股乙己餘/弦為句 辛庚丁倒句股形辛丁
餘/割為弦丁庚半/徑為股辛庚餘/切為句 以上兩
倒句股形同用乙丁巳角故其比例亦等
乙甲丁句股形乙丁半/徑為弦乙甲正/弦為股甲
丁餘/弦為句 丁己乙倒句股形乙丁半/徑為
弦己丁正/弦為股乙己餘/弦為句 此倒順兩句股形等邉又等
[063-11b]
角倒形之丁角即順形丁角之餘/倒形之乙角即順形乙角之餘竟如一句股也凖此
論之則倒順四句股之比例亦無不等矣
角度
凡三角形併三角之度皆成兩象限共一百/八十度
假如乙甲丁句股形其丁角五十五
度當乙/丙弧則乙角必三十五度當乙庚/餘弧
兩角共一象限九十度其甲角正方
原係九十度合三角成一百八十度
[063-12a]
乙角何以必三十五度也試引乙丁弦過心至夘則夘
丁丑角與丁乙甲角等夘丁乙同為一線丁丑線又與/乙甲平行則所作之角必等
而夘丁丑固三十度也則乙角亦三十度矣
又假如丙乙丁三角形從乙角作乙
甲直線至丁丙邉分為兩句股形乙/甲
丁乙/甲丙凖前論乙甲丁句股形以乙分
角與丁角合之成一象限九十度又
乙甲丙句股形以乙分角與丙角合之成一象限九十
[063-12b]
度然則以乙全角即兩分/角之合與丁丙兩角合之必兩象限
一百八十度矣乙為鈍/角並同
以此推知三角形有兩角即知餘角併兩角以减半周/一百八十度得之
句股形有一角即知餘角句股原有正方角九十度則餘兩/角共九十度故得一可知其二
相似形
既知角可以論形有兩三角形其各角之度相等則為
相似形而兩形中各邉之比例相等謂此形中各邉自/相較之比例亦如
彼形中各邉自/相較之比例也
[063-13a]
比例
兩數相形則比例生比例者或相等或大若干或小若
干乃兩數相比之差數也有兩數於此又有兩數於此
數雖不同而其各兩數自相差之比例同謂之比例等
或兩小數相等又有兩大數相等是為相等之比例數
雖有大小其相等之比例均也或兩小數相差三倍又
有兩大數亦相差三倍是為三倍之比例或兩小數相
差為一倍有半又有兩大數相差亦一倍有半是為一
[063-13b]
倍有半之比例數雖有大小其為三倍之比例及一倍
有半之比例均也
論八線之比例有二
一為八線自相生之比例
乙甲丁小句股形與戊丙丁大句
股形相似見前/條故以半徑乙丁比
正弦乙甲若割線戊丁與切線戊
丙之比例也此為以小弦比小/股若大弦與大股股
[063-14a]
求弦亦同
又以半徑丙丁比正切戊丙若餘弦甲丁與正弦乙甲
之比例也此為以大句比大/股若小句比小股股求句亦同餘倣此
以故凡八線中但得一線則餘皆可求觀圖自明
一為八線算他形之比例
乙丁甲角所有八線為表中原設之數亢丁房句股形
為今所算之數
或先有丁角有亢丁弦而求房丁句則為以乙丁半徑
[063-14b]
比甲丁餘弦若亢丁弦與房丁句
也以角與句/求弦亦同以上是用八線以求
他形
或先有亢丁弦有亢房股而求丁
角則為以亢丁弦比亢房股若乙
丁半徑與丁角之正弦乙甲也得/乙
甲得丁/角矣或先有亢房股與房丁句
而求丁角則為以亢房股比房丁
[063-15a]
句若丁庚半徑與庚辛餘切也得庚辛亦/得丁角以上二者是
用他形轉求八線
總而言之皆以先有兩數之比例為後兩數之比例其
乗除之法皆依三率也
三率
三率算術古謂之異乗同除今以句股解之
丁戊大股十四/尺丙戊大句十一尺/二寸截丁乙小股十/尺問乙
甲截句
[063-15b]
答曰八尺
術以所截小股乗大句得數
為實以大股為法除之即得截句
[063-16a]
若先以原股十四/尺除原句十一尺/二寸得八寸為每一
尺之句再以截股十/尺乗之亦得八尺但先除後乗
多有不盡之數故改用先乗後除乃古九章中通
用之綱要也
先乗後除何以又謂之異乗同除曰今但有截股
而不知句故以原有之句乗之股與句異名故曰
異乗然後以原有之股除之股與股同名故曰同除
然則又何以謂之三率曰本是以原有之股與句
[063-16b]
比今截之股與句共四件也然見有者只三件原/有
之股與句及/今截之股故必以見有之三件相為乗除而得
所不知之第四件故曰三率
三率乗除圖式
一率 原有股十四尺 為法
二率 原有句十一尺二寸相乗/
三率 今截股十尺 為實/
四率 所求截句八尺 法除實得所求
[063-17a]
術曰以原股比原句若截股與截句也
凡言以者為一率言比者為二率言若者為三率
言與者為四率
二率三率常相乗為實一率常為法法除實得四
率四率乃所求之數其三率者所以求之也
三率與異乗同除非有二理但以横列為異然數
既平列即可以四率為法除二三相乗之實而得
一率并可以一率四率相乗為實用二率為法除
[063-17b]
之而得三率或用三率為法除之亦得二率是故
一四二三之位可以互居四可為一/二可為三法實可以迭
用二與三可居一四之位/一與四可居二三之位變動不居惟用所適而
各有典常於異乗同除之理尤深切而著明者也
三率互用圖
反之 更之 又反之
一句八尺 一股十尺 一句十一尺二寸
二股十尺 二句八尺 二股十四尺
[063-18a]
三句十一尺二寸三股十四尺 三句八尺
四股十四尺 四句十一尺二寸四股十尺
右並以二率三率相乗為實一率為法除之而得
四率
八線表
八線為各弧各角之句股所成故八線表者即句股形
之立成數也古人用句股開方巳盡測量之理然句股
弦皆邉線耳邉之數無方放之則彌四逺近之則陳几
[063-18b]
案故所傳算術皆以一端示例而已不能備詳其數也
今變而用角則有弧度三百六十以限之而以象限盡
全周有合於舉一反三之㫖又析象限之度各六十分凡
為句股形二千七百角度五千四百九十度之分五千/四百而句股形並
有兩角故其形二千/七百而角數倍之為正弦為切線為割線共一萬六
千二百三項各五千四/百正餘互用也而句股之形略備用之殊便也
銳角分兩句股鈍角補成句股然惟有八線表中豫定
之句股故但得其角度則諸數厯然可於無句股中尋
[063-19a]
出句股矣
半徑全數
全數即半徑也不言半徑而言全數者省文也凡八線
生於角度而有角有弧則有半徑八線之數皆依半徑
而立也半徑常為一或五位則為一萬/或六位則為十萬則正弦常為半
徑之分正弦必小/於半徑而不得為全數惟半徑可稱全數也
割切二線皆依正弦而生/亦皆有畸零不得為全數
用全數為半徑有數善焉一立表時易於求數也一用
[063-19b]
表時便於乗除也三率中全數為除法則但降位可省/一除若全數為乗法則但升位可省
一/乗
厯書中多言全數或但/曰全以從省便今算例中直云半徑
以欲明比例之理故質言之
[063-20a]
補遺
正弦為八線之主
割圜之法皆作句股於圜内以先得正弦故古人祗用
正弦亦無不足今用割切諸線而皆生於正弦
平圜徑二尺即戊/壬半之一尺即戊/丙庚
丙/等為圜裏六孤之一面即乙/戊半徑
戊/丙為弦半面戊/丁為句句弦求股得
股丁/丙轉減半徑庚/丙得餘庚/丁為小句
[063-20b]
半面戊/丁又為小股句股求弦得小弦戊/庚是為割六弧成
十二弧之一面如是累析為二十四弧四十八弧至九
十六弧以上定為徑一尺周三尺一寸四分有竒
論曰九章算經載劉徽割圜術大畧如此其以半徑為
六弧之一面與八線理合半徑恒為一即全數半面為
股則正弦也
平方徑十寸其積百寸内作同徑之平圜平圜内又作
平方正得外方之半其積五十寸平方開之得七寸○
[063-21a]
七有竒即離震等四/等面之通弦乃自
四隅之旁増為八角曲圜
為第一次即八等/面通弦至第二
次則為曲十六即十六等/面通弦
第三次為曲三十二每次
加倍至十二次則為曲一
萬六千三百八十四於是方不復方漸變為圜矣其法
逐節以大小句股弦冪相求至十二次所得小弦以一
[063-21b]
萬六千三百八十四乗之得三十一寸四分一氂五毫
九絲二忽為徑十寸之圜周與祖冲之徑一百一十三
周三百五十五合
論曰元趙友欽革象新書所撰乾象周髀法大略如此
所得周徑與西術同其逐節所求皆通弦所用小股皆
正弦也
又論曰劉徽祖冲之以割六孤起數趙友欽以四角起
數今西術作割圜八線以六宗率則兼用之可見理之
[063-22a]
至者先後一揆法之精者中西合轍西人謂古人但知
徑一圍三未深攷也
又論曰中西割圜之法皆以句股法求通弦通弦半之
為正弦割圜諸率皆自此出總之為句股之比例而巳
鈍角正弦
鈍角不立正弦而即以外角之正弦為正弦
鈍角之正弦在形外即外角之正弦也故乙丙已鈍角
與乙丙甲外角同以乙丁為正弦以鈍角减半周得外/角假如鈍角一百二
[063-22b]
十度其所用者即/六十度之正弦乙丁線能為乙
丙甲角正弦又能為乙丙已鈍角
正弦八線表止於象限以此因鈍/角與
外角同正弦故表雖一象/限而實有半周之用
鈍角餘弦
鈍角既以外角之正弦為正弦即以外角之餘弦為餘弦
如前圖乙庚為外角乙丙/甲餘弦而即為鈍角乙丙/己
餘弦
[063-23a]
捷法以正角戊丙/巳減鈍角乙丙/巳得餘角戊丙/乙即得
餘弦
過弧
鈍角之弧為過弧
巳戊為象限弧而乙戊巳為乙丙
巳鈍角之弧是越象限弧而過之
也故曰過弧
[063-23b]
大矢
鈍角之矢為大矢
如前圖以乙丁辛弦分全圜即全徑亦分為二則
丁甲為小半圜乙甲/辛之徑謂之正矢丁巳為大半
圜乙已/辛之徑謂之大矢大矢者鈍角所用也 鈍
角與外角同用乙丁正弦乙庚餘弦所不同者惟
矢乙丙巳角用大矢丁已/乙丙甲角用正矢丁甲
捷法以乙庚即丁/丙餘弦加已丙半徑即得丁/巳大矢
[063-24a]
若以餘弦减半/徑亦得正矢
正角以半徑全數為正弦
八線起○度一分至八十九度五十九分並有正弦而
九十度無正弦非無正弦也盖即以半徑全數為其正
弦故凡算三角
有用半徑與正弦相為比例者皆正
角也其法與銳角形鈍角形用兩/正弦為比例同理並詳後卷
八十九度竒之正弦至九九九九九
[063-24b]
而極迨滿一象限始能成半徑全數是故半徑全數者
正角九十度之正弦也其數為一○○○○○
厯算全書卷五十
欽定四庫全書
厯算全書卷五十
宣城梅文鼎撰
三角形舉要法卷一
測算名義
古用句股有割員弧背弦矢諸名今用三角其類
稍廣不可以不知爰摘綱要列於首簡
㸃
[063-1b]
㸃如針芒無長短濶狹可論然算從此起譬如算日月
行度只論日月中心一點此㸃所到即為躔離真度
線
線有弧直二種皆有長短而無濶狹自一㸃引而長之
至又一㸃止則成線矣
[063-2a]
如測日月相距度皆自太陽心算至太隂心是為弧線
如測日月去人逺近皆自人目中一㸃算至太陽太隂
天是為直線
凡句股三角之法俱論線線兩端各一㸃故線以㸃為
其界
面
面有方員各種之形皆有長短有濶狹而無厚薄故謂
之冪冪者所以冒物如量田疇界域只論土面之大小
[063-2b]
面之方員各類皆以線限之故面以線為界面之線/亦曰邉
[063-3a]
惟員面是一線所成乃弧線也若直線必三線以上始能成形
體
體或方或員其形不一皆有長短有濶狹又有厚薄或/淺
深髙下/之類員體如球如柱方體如櫃如㪷或如員塔方塔
皆以面為界圖/後
[063-3b]
以上四者謂㸃線/面體略盡測量之事矣然其用皆在線如
論㸃則有距線論面則有邉線論體則有棱線面與面/相得則
成棱/線凡所謂長短濶狹厚薄淺深髙下皆以線得之三
角法者求線之法也
長短濶狹厚薄等類皆以量而得而量者必於一線正
[063-4a]
中若稍偏於兩旁則其度不真矣故凡測量所求者皆線也
三角形
欲明三角之法必詳三角之形
兩直線不能成形成形者必三線以上而三線相遇則
有三角故三角形者形之始也
[063-4b]
多線皆可成形析之皆可成三角至三角則無可析矣
故三角能盡諸形之理
凡可算者為有法之形不可算者為無法之形三角者
有法之形也不論長短斜正皆可以求其數故曰有法
若無法之形析之成三角則可量故三角者量法之宗也
[063-5a]
角
三角法異於句股者以用角也故先論角
兩線相遇則成角平行兩直線不能作角何也線既平/行則雖引而長之至於無窮終無相
遇之理角安從生是故作角/者必兩線相遇必不平行也
角有三類一正方角一銳角一鈍角
[063-5b]
如右圖以兩線十字縱横相遇皆為正方角亦曰直角/亦曰方角
如右圖以兩線斜相遇則一為銳角一為鈍角
凡銳角必小於正方角凡鈍角必大於正方角
正方角止一銳角鈍角則有多種而算法生焉
弧
[063-6a]
角在小形與在大形無以異也故無丈尺可言必量之
以對角之弧
法以角之端為員心用規作員員周分三百六十度乃
視本角所對之弧於全員三百六十度中得幾何度分
其弧分所對正得九十度者為正方角九十度者全員/四之一謂之象
限/若所對弧分不滿九十度者為銳角自八十九度以/至一度並銳角
也/所對弧分在九十度以上者為鈍角自九十一度至/百七十九度並
鈍角/也
[063-6b]
如圖丁為角即用為員心以作員形
其庚丁丙角凡論角度並以中一字/為所指之角此言庚丁
丙即丁/為角也所對者庚丙弧在全員為四
之一正得象限九十度是為正方角
若乙丁丙角所對者乙丙弧在象限庚丙弧之内小於
象限九十度是為銳角
又乙丁壬角所對乙庚壬弧過於壬庚弧壬庚亦象限/九十度弧故
庚丁壬/亦方角大於象限九十度是為鈍角
[063-7a]
角之度生於割員
割員弧矢
有弧則有矢弧矢者古人割員之法也
如圖以乙子直線割平員則成弧
矢形
所割乙丙子員分如弓之曲古謂
之弧背以弧背半之則為半弧背
如乙/丙
[063-7b]
通弦正弦
割員直線如弓之弦謂之通弦如乙/子
通弦半之古謂之半弧弦今曰正弦如乙/甲
矢線
正弦以十字截半徑成矢如丁丙横半徑為乙甲/正弦所截成甲丙矢謂之
正矢
以上二條/俱仍前圖
正弧餘弧正角餘角
[063-8a]
所用之弧度為正弧以正弧減象限
為餘弧如庚丙象限内减乙丙正/弧則其餘乙庚為餘弧
正弧所對為正角如正弧乙丙對乙/丁丙角則為正角
以正角減正方角為餘角如以乙丁丙正角去减庚丁/丙方角則其餘乙丁庚角為
餘/角
正弦餘弦正矢餘矢
[063-8b]
有正弧正角即有正弦如乙/甲有正矢
如甲/丙亦即有餘弦如乙/己有餘矢如己/庚
正弦正矢餘弦餘矢皆乙丙弧所有亦即乙丁丙角所
有
自一度至八十九度並得為乙丙並得為正弧即正餘
弦矢畢具
[063-9a]
若用乙庚為正弧則乙丙反為餘弧
角之正餘亦同
割線切線
每一弧一角各有正弦餘弦正矢餘矢己成四線於平
員内古人用句股割員即此法也/盖此四線己成倒順二句股
再引半徑透於平員之外與切員直線相遇為割線切
線而各有正餘復成四線正割正切餘割餘切/復成倒順二句股共為八
線故曰割員八線也
[063-9b]
如圖庚乙丙平員切戊丙直線於丙
又引乙丁半徑透出員周外使兩線相
遇於戊則戊丙為乙丙弧之正切線
亦即為乙丁丙角之正切線而戊丁
為乙丙弧之正割線亦即為乙丁丙角之正割線
又以平員切庚辛直線於庚與乙丁透出線相遇於辛
則庚辛為乙丙弧之餘切線亦即為乙丁丙角之餘切線
而辛丁為乙丙弧之餘割線亦即為乙丁丙角之餘割線
[063-10a]
割員八線
凡用一弧即對一角用一角亦對一弧故可互求
凡一弧即有八線正弦正矢正割正切/餘弦餘矢餘割餘切角亦然
凡一弧之八線即成倒順四句股角亦然
如圖庚丙象弧共九十度庚丁丙
為九十度十字正方角
任分乙丙為正弧乙丁丙為正角
則乙庚為餘弧乙丁庚為餘角
[063-10b]
正弦乙甲己/同丁 正矢甲丙/正切戊丙/ 正割戊丁/
餘弦乙己甲/同丁 餘矢庚己/餘切辛庚/ 餘割辛丁/
以上八線為乙丙弧所用亦即為乙丁丙角所用自一/度至
八十九/度並同若用乙庚弧亦同此八線但以餘為正以正為餘
乙甲丁句股形乙丁半/徑為弦乙甲正/弦為
股丁甲餘/弦為句 戊丙丁句股形戊丁
正/割為弦戊丙正/切為股丙丁半/徑為句
以上兩順句股形同用乙丁甲角故其
[063-11a]
比例等凡句股形一角/等則餘角並等
乙己丁倒句股形乙丁半/徑為弦己丁正/弦為
股乙己餘/弦為句 辛庚丁倒句股形辛丁
餘/割為弦丁庚半/徑為股辛庚餘/切為句 以上兩
倒句股形同用乙丁巳角故其比例亦等
乙甲丁句股形乙丁半/徑為弦乙甲正/弦為股甲
丁餘/弦為句 丁己乙倒句股形乙丁半/徑為
弦己丁正/弦為股乙己餘/弦為句 此倒順兩句股形等邉又等
[063-11b]
角倒形之丁角即順形丁角之餘/倒形之乙角即順形乙角之餘竟如一句股也凖此
論之則倒順四句股之比例亦無不等矣
角度
凡三角形併三角之度皆成兩象限共一百/八十度
假如乙甲丁句股形其丁角五十五
度當乙/丙弧則乙角必三十五度當乙庚/餘弧
兩角共一象限九十度其甲角正方
原係九十度合三角成一百八十度
[063-12a]
乙角何以必三十五度也試引乙丁弦過心至夘則夘
丁丑角與丁乙甲角等夘丁乙同為一線丁丑線又與/乙甲平行則所作之角必等
而夘丁丑固三十度也則乙角亦三十度矣
又假如丙乙丁三角形從乙角作乙
甲直線至丁丙邉分為兩句股形乙/甲
丁乙/甲丙凖前論乙甲丁句股形以乙分
角與丁角合之成一象限九十度又
乙甲丙句股形以乙分角與丙角合之成一象限九十
[063-12b]
度然則以乙全角即兩分/角之合與丁丙兩角合之必兩象限
一百八十度矣乙為鈍/角並同
以此推知三角形有兩角即知餘角併兩角以减半周/一百八十度得之
句股形有一角即知餘角句股原有正方角九十度則餘兩/角共九十度故得一可知其二
相似形
既知角可以論形有兩三角形其各角之度相等則為
相似形而兩形中各邉之比例相等謂此形中各邉自/相較之比例亦如
彼形中各邉自/相較之比例也
[063-13a]
比例
兩數相形則比例生比例者或相等或大若干或小若
干乃兩數相比之差數也有兩數於此又有兩數於此
數雖不同而其各兩數自相差之比例同謂之比例等
或兩小數相等又有兩大數相等是為相等之比例數
雖有大小其相等之比例均也或兩小數相差三倍又
有兩大數亦相差三倍是為三倍之比例或兩小數相
差為一倍有半又有兩大數相差亦一倍有半是為一
[063-13b]
倍有半之比例數雖有大小其為三倍之比例及一倍
有半之比例均也
論八線之比例有二
一為八線自相生之比例
乙甲丁小句股形與戊丙丁大句
股形相似見前/條故以半徑乙丁比
正弦乙甲若割線戊丁與切線戊
丙之比例也此為以小弦比小/股若大弦與大股股
[063-14a]
求弦亦同
又以半徑丙丁比正切戊丙若餘弦甲丁與正弦乙甲
之比例也此為以大句比大/股若小句比小股股求句亦同餘倣此
以故凡八線中但得一線則餘皆可求觀圖自明
一為八線算他形之比例
乙丁甲角所有八線為表中原設之數亢丁房句股形
為今所算之數
或先有丁角有亢丁弦而求房丁句則為以乙丁半徑
[063-14b]
比甲丁餘弦若亢丁弦與房丁句
也以角與句/求弦亦同以上是用八線以求
他形
或先有亢丁弦有亢房股而求丁
角則為以亢丁弦比亢房股若乙
丁半徑與丁角之正弦乙甲也得/乙
甲得丁/角矣或先有亢房股與房丁句
而求丁角則為以亢房股比房丁
[063-15a]
句若丁庚半徑與庚辛餘切也得庚辛亦/得丁角以上二者是
用他形轉求八線
總而言之皆以先有兩數之比例為後兩數之比例其
乗除之法皆依三率也
三率
三率算術古謂之異乗同除今以句股解之
丁戊大股十四/尺丙戊大句十一尺/二寸截丁乙小股十/尺問乙
甲截句
[063-15b]
答曰八尺
術以所截小股乗大句得數
為實以大股為法除之即得截句
[063-16a]
若先以原股十四/尺除原句十一尺/二寸得八寸為每一
尺之句再以截股十/尺乗之亦得八尺但先除後乗
多有不盡之數故改用先乗後除乃古九章中通
用之綱要也
先乗後除何以又謂之異乗同除曰今但有截股
而不知句故以原有之句乗之股與句異名故曰
異乗然後以原有之股除之股與股同名故曰同除
然則又何以謂之三率曰本是以原有之股與句
[063-16b]
比今截之股與句共四件也然見有者只三件原/有
之股與句及/今截之股故必以見有之三件相為乗除而得
所不知之第四件故曰三率
三率乗除圖式
一率 原有股十四尺 為法
二率 原有句十一尺二寸相乗/
三率 今截股十尺 為實/
四率 所求截句八尺 法除實得所求
[063-17a]
術曰以原股比原句若截股與截句也
凡言以者為一率言比者為二率言若者為三率
言與者為四率
二率三率常相乗為實一率常為法法除實得四
率四率乃所求之數其三率者所以求之也
三率與異乗同除非有二理但以横列為異然數
既平列即可以四率為法除二三相乗之實而得
一率并可以一率四率相乗為實用二率為法除
[063-17b]
之而得三率或用三率為法除之亦得二率是故
一四二三之位可以互居四可為一/二可為三法實可以迭
用二與三可居一四之位/一與四可居二三之位變動不居惟用所適而
各有典常於異乗同除之理尤深切而著明者也
三率互用圖
反之 更之 又反之
一句八尺 一股十尺 一句十一尺二寸
二股十尺 二句八尺 二股十四尺
[063-18a]
三句十一尺二寸三股十四尺 三句八尺
四股十四尺 四句十一尺二寸四股十尺
右並以二率三率相乗為實一率為法除之而得
四率
八線表
八線為各弧各角之句股所成故八線表者即句股形
之立成數也古人用句股開方巳盡測量之理然句股
弦皆邉線耳邉之數無方放之則彌四逺近之則陳几
[063-18b]
案故所傳算術皆以一端示例而已不能備詳其數也
今變而用角則有弧度三百六十以限之而以象限盡
全周有合於舉一反三之㫖又析象限之度各六十分凡
為句股形二千七百角度五千四百九十度之分五千/四百而句股形並
有兩角故其形二千/七百而角數倍之為正弦為切線為割線共一萬六
千二百三項各五千四/百正餘互用也而句股之形略備用之殊便也
銳角分兩句股鈍角補成句股然惟有八線表中豫定
之句股故但得其角度則諸數厯然可於無句股中尋
[063-19a]
出句股矣
半徑全數
全數即半徑也不言半徑而言全數者省文也凡八線
生於角度而有角有弧則有半徑八線之數皆依半徑
而立也半徑常為一或五位則為一萬/或六位則為十萬則正弦常為半
徑之分正弦必小/於半徑而不得為全數惟半徑可稱全數也
割切二線皆依正弦而生/亦皆有畸零不得為全數
用全數為半徑有數善焉一立表時易於求數也一用
[063-19b]
表時便於乗除也三率中全數為除法則但降位可省/一除若全數為乗法則但升位可省
一/乗
厯書中多言全數或但/曰全以從省便今算例中直云半徑
以欲明比例之理故質言之
[063-20a]
補遺
正弦為八線之主
割圜之法皆作句股於圜内以先得正弦故古人祗用
正弦亦無不足今用割切諸線而皆生於正弦
平圜徑二尺即戊/壬半之一尺即戊/丙庚
丙/等為圜裏六孤之一面即乙/戊半徑
戊/丙為弦半面戊/丁為句句弦求股得
股丁/丙轉減半徑庚/丙得餘庚/丁為小句
[063-20b]
半面戊/丁又為小股句股求弦得小弦戊/庚是為割六弧成
十二弧之一面如是累析為二十四弧四十八弧至九
十六弧以上定為徑一尺周三尺一寸四分有竒
論曰九章算經載劉徽割圜術大畧如此其以半徑為
六弧之一面與八線理合半徑恒為一即全數半面為
股則正弦也
平方徑十寸其積百寸内作同徑之平圜平圜内又作
平方正得外方之半其積五十寸平方開之得七寸○
[063-21a]
七有竒即離震等四/等面之通弦乃自
四隅之旁増為八角曲圜
為第一次即八等/面通弦至第二
次則為曲十六即十六等/面通弦
第三次為曲三十二每次
加倍至十二次則為曲一
萬六千三百八十四於是方不復方漸變為圜矣其法
逐節以大小句股弦冪相求至十二次所得小弦以一
[063-21b]
萬六千三百八十四乗之得三十一寸四分一氂五毫
九絲二忽為徑十寸之圜周與祖冲之徑一百一十三
周三百五十五合
論曰元趙友欽革象新書所撰乾象周髀法大略如此
所得周徑與西術同其逐節所求皆通弦所用小股皆
正弦也
又論曰劉徽祖冲之以割六孤起數趙友欽以四角起
數今西術作割圜八線以六宗率則兼用之可見理之
[063-22a]
至者先後一揆法之精者中西合轍西人謂古人但知
徑一圍三未深攷也
又論曰中西割圜之法皆以句股法求通弦通弦半之
為正弦割圜諸率皆自此出總之為句股之比例而巳
鈍角正弦
鈍角不立正弦而即以外角之正弦為正弦
鈍角之正弦在形外即外角之正弦也故乙丙已鈍角
與乙丙甲外角同以乙丁為正弦以鈍角减半周得外/角假如鈍角一百二
[063-22b]
十度其所用者即/六十度之正弦乙丁線能為乙
丙甲角正弦又能為乙丙已鈍角
正弦八線表止於象限以此因鈍/角與
外角同正弦故表雖一象/限而實有半周之用
鈍角餘弦
鈍角既以外角之正弦為正弦即以外角之餘弦為餘弦
如前圖乙庚為外角乙丙/甲餘弦而即為鈍角乙丙/己
餘弦
[063-23a]
捷法以正角戊丙/巳減鈍角乙丙/巳得餘角戊丙/乙即得
餘弦
過弧
鈍角之弧為過弧
巳戊為象限弧而乙戊巳為乙丙
巳鈍角之弧是越象限弧而過之
也故曰過弧
[063-23b]
大矢
鈍角之矢為大矢
如前圖以乙丁辛弦分全圜即全徑亦分為二則
丁甲為小半圜乙甲/辛之徑謂之正矢丁巳為大半
圜乙已/辛之徑謂之大矢大矢者鈍角所用也 鈍
角與外角同用乙丁正弦乙庚餘弦所不同者惟
矢乙丙巳角用大矢丁已/乙丙甲角用正矢丁甲
捷法以乙庚即丁/丙餘弦加已丙半徑即得丁/巳大矢
[063-24a]
若以餘弦减半/徑亦得正矢
正角以半徑全數為正弦
八線起○度一分至八十九度五十九分並有正弦而
九十度無正弦非無正弦也盖即以半徑全數為其正
弦故凡算三角
有用半徑與正弦相為比例者皆正
角也其法與銳角形鈍角形用兩/正弦為比例同理並詳後卷
八十九度竒之正弦至九九九九九
[063-24b]
而極迨滿一象限始能成半徑全數是故半徑全數者
正角九十度之正弦也其數為一○○○○○
厯算全書卷五十