[062-1a] 
欽定四庫全書
歴算全書卷四十九
宣城梅文鼎撰
句股闡微卷四
幾何増解
方斜較求原方幾何約論線第十四/條有用法今解其理
甲乙丙丁正方形 甲乙其對角線 戊乙為方斜之
較 於戊乙上作庚癸乙戊小方則丙庚與庚戊等
[062-1b]
論曰法於方之一角甲
作員而以丙甲方徑為
員之半徑則乙丙為切
員線乙辛為自員外割
員之全線乙戊較為割
員在外之餘線而兩線
皆出一㸃則乙戊乗乙
辛之矩形與乙丙切線方形等
[062-2a]
夫乙丙即原設方也今以同乙戊之癸乙為横乙辛為
直作乙已長方即乙戊乗/乙辛之矩又移切甲己長方為子甲長
方又移卯補午移辰補酉移丑補寅則復成乙丙甲丁
方形矣而丑卯午酉等斜剖半方形皆以乙戊較為半
方形之邊是庚戊及丙庚皆與乙戊等而亦自相等又
何疑焉
用法 有方斜之較乙戊求原方形之一邊法以乙戊
較作小方形取其斜乙庚再引長之截丙庚如乙戊得
[062-2b]
乙丙如所求
從此圖生一測員之法 假有員城八面開門正西門
如戊門外有塔如乙其距如乙戊西南門如丙距塔若
干歩如乙丙問城徑
法以乙丙之距自乗得數為實以乙戊之距為法法除
實得乙辛於乙辛内減去乙戊即員城之徑 㨗法但
倍乙丙即得城徑
有員城正西之門如戊西南之門如丙人立於庚可兩
[062-3a]
見之而庚丙與庚戊皆等問城徑
法以庚戊自乗成戊癸小方以方斜之法求其斜距為
乙庚以乙庚加庚丙為乙丙即城半徑
按此即幾何約之用法也
又以句股法解之
又論曰試於庚丙上作丙子較線上方引庚戊至丁則
丁庚又為丙子方之斜而丁戊與乙丙等從丁戊作丁
壬甲戊為元方如所求
[062-3b]
又論曰此即句弦和較相乗
開方得股也 乙甲丁甲皆
如弦 戊甲甲辛甲丙/甲壬皆如
句 乙戊如句弦較丁丙/同
乙辛如句弦和 和較相乗
成癸辛長方 開方得丁戊
股乙丙/同
[062-4a]
切線角與員周角交互相應幾何三卷三十/二三十三増題
乙丙丁三角形在員内有甲乙切員線則所作丙乙甲
角與丙丁乙角同大又丁乙戊
角與丁丙乙角同大所謂交互
相應也
論曰丁角以乙丙弧分論度而
丙乙甲角亦以乙丙弧分之度為度故丙乙甲角即丁
角也丙角以丁乙弧分為度而丁乙戊角亦以丁乙弧
[062-4b]
分為度故丁乙戊角即丙角也 凡用員周度為角度
皆以兩度為一度詳後第三増題
若丁為鈍角則丙乙甲亦鈍角兩鈍角同以丙辛乙弧
為度故也其丙銳角與丁乙戊銳角則同以丁乙弧為
度
又増題 員内三角形一角移
動則餘二角變而本角度分不
變交互相應之角度亦不變
[062-5a]
如上圖三圖/丁角移至辛則丙
角加大而相應之辛乙戊角亦
從之而大以辛丁乙弧大於丁
乙弧也辛乙戊大則辛乙丙小
矣其較皆為丁辛弧 若丁角雖移至辛而其度不變
相應之丙乙甲角亦不變以所用之丙乙弧不變也
又丙角移至壬則丁角加大相應之壬乙甲亦從之而
大以壬丙乙弧大於丙乙弧也壬乙甲大則壬乙丁小
[062-5b]
矣其較皆為丙壬弧 若丙角雖移至壬其度不變相
應之丁乙戊亦不變以所用之丁乙弧不變也
此圖同論但丁角移則丙角變
小丙角移亦然
[062-6a]
又増題 切員線作角與員周弧度相應圖
有子甲戊員有乾艮線相切於子從子㸃出線與切線
作角必割員周之度其大小皆相應但皆以員周兩度
當角之一度
如用子午正線則所作兩㫄子角皆正角百八十度分/兩正角各皆
九十/度而亦剖員為半周兩半員並/百八十度是兩度當一度
又如用子辛線作辛子艮鈍角四十/五度而本線割員周於
辛為九十度象限亦兩度當一度
[062-6b]
又如用子辛線作辛子乾鈍角形百三十/五度而線割辛午
乾員分為二百/七十度三象限亦兩度當一度
又如於員内任作辛子乙角形乙辛子角所乗之子甲
乙弧六十度乾子乙角同用子甲乙弧亦六十度然其
實度是坎寅弧實只三十度亦兩當一也
又子乙辛角乗子癸壬辛弧一象/限艮子辛角亦割子癸
壬辛弧一象/限然其實度為震酉弧只四十五度亦兩當
一也所以者何曰試作辛乙線移角於辛則所乗弧子/甲
[062-7a]
乙/六十度皆實度也今也
角在心是員周也非員心
也凡員周之角小於員心
一倍故也
論曰員周至員心正得員
徑之半故所作角為折半
比例試作乙丙線成辛乙
丙句股形又從心作心周
[062-7b]
線與辛乙平行則所作周心丙角與乙辛丙等而此心
周線平剖乙丙句亦平分乙周丙於周而正得其半矣
系句股形平分弦線作點從此作線與股平行即平分
句線為兩
又論曰查角度之法皆以切點為心作半員即見真度
此不論半員大小或作於員内或作於員外並同 作
於員外其度開明易於簡查
又論曰試於所切圈心作横徑線與切線平行如辛丙
[062-8a]
線引長之出員外而以查角度之線割員周而過之則
皆成大小句股形而所過横線上㸃皆即八線中之切
線為句股形之股角度斜線為横線所截處即八線中
割線常為弦而切點至員心之半徑常為句
如子辛角度線割横線於辛成辛心子句股形其所當
角度為酉中四十五度則辛心即四十五度之切線辛
子即四十五度之割線餘並同 其子心即半徑也
又論曰角度半員有大小而子心半徑常為句者以所
[062-8b]
作横線在員心欲用員度相較也若於半員之端如中/如外
作横線與切線平行其所作切線割線亦同比例而即
以各半員之半徑為句矣
不但此也即任於子心外直線上任作一横線其所作
句股並同但皆以十字交處距子㸃之度命為半徑此
八線割員之法所由以立也
[062-9a]
量無法四邊形㨗法
甲乙丙丁形求其容 先作
乙丁對角線分為兩三角形
次自丙作丙戊横線與乙
丁線相交於丑為十字正角
而取戊㸃與甲齊平則戊丑即甲庚也次以丙戊㸃折
半於己 次作壬癸線與乙丁平行而等 又作壬辛
癸子二線皆與己丙平行而等 得辛癸長方即原形
[062-9b]
之容
[062-10a]
取平行線簡法
法曰乙丙線欲於甲㸃作
線與之平行法於線外任
取巳㸃為心甲㸃為界作
辛甲丁庚圈分次以庚為
心取甲辛之度為界截員分得丁㸃末自丁作戊丁甲
線此線必與乙丙平行矣
論曰凡圈内兩直線相距之度等則其線必平行如丁/甲
[062-10b]
與庚/辛兩線俱在一圈之内而所距之甲/辛圈分與庚/丁圈分
等是相距之度等而其線平行也因讀數度衍得此法
似較他處為㨗
補測量全義斜坡用切線法係勿菴補/
斜三角形有一角兩邊求餘邊
法用切線分外角求得餘
角即以得邊可不用垂線
如甲乙己斜角形 有乙
[062-11a]
甲及己甲二邊 有甲角求乙己邊
法以己甲線引長之成乙甲丙角為原有甲角之外角
以元有甲角/减半周得次分外角之度而半之為半外角而求其
切線為三率併乙甲己甲二邊為首率又以二邊相較
為次率次率乗三率為實首率為法除之得半較角之
切線以查表得半較角之度以減半外角得己角末用
正弦法得己乙邊 法為己角正弦與乙甲若甲角正
弦與乙己
[062-11b]
三率法
一 兩線之和 己丙
二 兩線之較 己丁
三 半外角之切線 戊癸
四 半較角之切線 壬戊
用外角者乙己兩角之和度而較角者乙己兩角之較
度以用切線/故半之也
論曰又如後圖己甲引至丙而乙甲亦引至辛則乙甲
[062-12a]
丙及丁甲寅兩角皆原有甲角之外角再作甲戊線平
分外角則丁甲戊及寅甲戊皆半外角 又作甲壬線
與乙已平行則壬
甲癸角即同己角
壬甲辛角即同乙
角再於甲戊半徑
之端作癸戊辛十
字線切員於戊則
[062-12b]
戊癸及戊辛皆半外角之切線也再以壬甲癸角减壬
甲辛角其較為壬甲子角則壬甲戊即半較角而壬戊
其切線也
其比例為己丙二邊/和與己丁二邊/較若癸辛外角全切線/即乙己丁角
和度之/全切與壬子較角度之/全切線則亦若癸戊半外角/切線與壬戊
即半較角/之切線何也全與全若半與半也
[062-13a]
理分中末線
甲乙線求作理分中末線
法以甲乙全線折半於庚乃
作垂線於甲端為丙甲如半
線甲庚之度為句全線為
股次作丙乙線為弦
次以丙為心乙為界作乙丁圈界 次引丙甲句至丁
則丙丁即丙乙也 末以甲為心丁為界作丁戊己圈
[062-13b]
分則甲己為理分中末之大分己乙為小分其比例為
甲乙與甲己若甲己與己乙也
逓加法 借右圖以乙為心甲為界運規截丁已圈分
於戊自戊作線向甲成甲戊線與甲丁等乃自戊作戊
乙線與乙甲等成甲乙戊三角形
此形甲戊兩角悉倍於乙角乃平分戊角作戊辛線此
線與甲戊並大亦與乙辛同大成辛戊甲相似三角形
則甲乙與乙辛即戊/辛若乙辛與辛甲也又平分辛角作
[062-14a]
辛壬線與壬戊與辛甲
皆同大則成甲辛壬三
角形與辛戊甲相似則
乙辛即戊辛亦/即戊甲與辛甲
即辛壬/戊壬若辛甲與壬甲
也如此逓半則其角比例並同
一乙甲/ 二乙戊即戊/辛戊甲 三辛甲即辛/壬戊壬 四辛癸即壬/癸壬甲
五癸甲即癸/子壬子 六癸丑即丑/子子甲 七丑甲即丑/寅寅子 八丑卯即卯/寅寅甲
[062-14b]
九卯甲/ 若能知其數則以大分逓乗全數除之得細數
先得甲乙為大分而求乙己全分及
乙庚小分 用此圖亦為半圓内求
容方法則以乙巳全分加乙庚小分
折半於戊得戊己為半徑若先得戊
己則以戊己即戊/丁為弦作丁甲戊句股使戊甲句半於
丁甲股則丁甲即為戊己理分中末之大分
解曰甲庚即乙/己全數與丁甲大分/若丁甲大分即/甲乙與甲
[062-15a]
己小分即乙/庚也
以量分
甲乙線十數求作理分中末線
先依甲乙線作甲乙丁丙正
方形四面皆/十數 次任用一面
平分之如甲丙平分於壬甲/壬
及壬丙/皆五數甲乙之半數也甲丙/與甲
乙等其/分亦等 次自壬向乙角作乙壬斜線其數一十一一/八
[062-15b]
○三/三九 次自壬量甲壬或丙壬之度即甲乙/之一半移置於乙
壬線上截壬癸如甲壬則其餘癸乙即理分中末之大
分其數六一八○/三三九末以癸乙之度移置於甲乙線上如
乙戊則乙戊為大分戊甲為小分其數三八一九/六六○
簡法
作句股形 令甲壬句如甲乙股之
半乃以壬為心甲為界作虚線圓分
截乙壬弦於癸
[062-16a]
末以乙為心癸為界作圓分截甲乙線於戊
則乙戊為大分甲戊為小分
又簡法
以甲乙全線為半徑作半圓形則乙庚乙辛皆與甲乙等
次平分乙辛於己
次以己為心庚為界運規割甲乙
線於戊戊己之度/即同己庚
則乙戊為大分 甲戊為小分
[062-16b]
又簡法
作子寅丑卯十字線相交於乙
次以乙為心甲為界運規截十字
線於甲於庚於辛則乙庚乙辛皆
與設線甲乙等乃折半乙辛/於己
以己為心庚為界運規截甲乙於戊 則乙戊大分甲
戊小分皆得矣 此法可於平面圓器上求之
附長方變正方法
[062-17a]
甲乙丙丁長方形欲變正方以長方形之横邊乙/丙直邊
丙/丁二線取其中比例即所求
取中比例法以丙丁乙丙即/戊
丙/聯為一直線丁/戊而折半於
己以己為心丁若戊為界作
半圓次引乙丙横線至圓界
截圓界於庚成丙庚線即乙
丙及丙丁二線之中比例線
[062-17b]
次於丙庚線上作小方形其容與甲乙丙丁長方形等
如右圖丙庚線上方形為丙壬乃子壬癸句股形内之
容方也而甲丙長方形則子壬癸句股外之餘方也餘
方與容方等積
簡法
先引丁丙邊至午引乙丙邊至
未次以丙角為心乙為界作小
員界虚線截引長線於戊
[062-18a]
次以丁戊線折半於己次引乙丙至未次以己為心戊
為界運規作小圓界截引長線於庚 則丙庚即所變
方形之一邊 末依丙庚線作方形與甲乙丙丁長方
形等積 其法以丙為心庚為界運規截丙辛與丙庚
等
理分中末線用法
一用以分平圓為十平分
法為半徑與三十六度之分圓若全分與理分中末
[062-18b]
之大分也
一用以分平圓為五平分
歴書言以全分為股理分中末之大分為句求其弦
即半徑全數為股三十六度之分圓為句求得七十
二度之分圓為弦
一用以量十二等面體
法為立方邊與所容十二等面邊若理分中末之全
分與其小分也又十二等面體之邊與内容立方邊
[062-19a]
若理分中末之大分與其全分也又立方内容十二
等面體其内又容小立方則外立方與内立方若理
分中末之全與其大分也
一用以量二十等面體
法為立方邊與所容二十等面邊若理分中末之全
與其大分也
一用以量圓燈
法為圓燈邊與其自心至角線若理分中末之大分
[062-19b]
與其全分也此自心至角之線即為外切立方立圓
及十二等面二十等面之半徑又為内切八等面之
半徑圓燈為有法之形即此可見
用理分中末線説
言西學者以幾何為第一義而傳只六卷其有所秘耶
抑為義理淵深翻譯不易而姑有所待耶測量全義言
有法之體五其面其積皆等其大小相容相抱與球相
似幾何十一十二十三十四卷諸題極論此理又幾何
[062-20a]
六卷言理分中末線為用甚廣量體所必需幾何十三
卷諸題全頼之古人目為神分線又言理分中末線求
法見本卷三十題而與二卷十一題同理至二卷十一
題則但云無數可解詳見九卷其義皆引而未發故雖
有此線莫適所用疑之者十餘年辛未嵗養病山阿遊
心算學於量體諸法稍得窺其奧爰証厯書之誤數端
於十二等面二十等面得理分中末之用及諸體相容
之確數故以立方為主其内容十二等面邊得理分線
[062-20b]
之末二十等面邊得理分線之中反覆推求了無凝滯
始信幾何諸法可以理解而彼之秘為神授及吾之屏
為異學皆非得其平也其理與法詳幾何補編
[062-21a]
遥量平面法
甲乙庚辛為
所欲量之平
面而不能到
如仰視殿
上承塵而人
在殿外又如峭壁懸崖之上有碑若碣凡平面之物人
從地面斜視灼然可見而不能到
[062-21b]
或平面在下如田池之類人從臺上俯視可見或臨深
崖瞰谷底其理不異但倒用其圖即是
欲量甲乙庚辛平面而不能到可到者丙丁則先知丙
丁之距及丙丁所作各角即可以知之
先求甲乙線 法于丙于丁各安平圓儀各以指尺向
甲向乙又自相向各作角成甲丙丁甲丁乙乙丁丙
凡三角形者三依第一法用甲丙丁形此形有丙丁線
兩測/之距有丙角有丁角自有甲角可求甲丁線法為甲角
[062-22a]
之正弦與丙丁若丙角之正弦與甲丁也
次仍依第一法用乙丁丙形此形亦有丙丁線兩測/之距有
丙角有丁角自有乙角可求乙丁線
法為乙角之正弦與丙丁若丙角之正弦與乙丁也此/丙
角與前形之/丙角不同
次仍依第一法用甲丁乙形此形有甲丁乙丁兩線及
兩線間所作之丁角與前形丁/角不同可求甲乙線為所測之
一邊 法自甲角作甲戊垂線至戊分乙丁線為兩而
[062-22b]
甲丁乙三角形分為兩句股形 其一甲戊丁句股形
有丁角 有甲丁線為弦可求甲戊句戊丁股
法為全數與甲丁弦若丁角之正弦與甲戊句 又全
數與甲丁弦亦若丁角之餘弦與戊丁股也
其一甲戊乙句股形有甲戊句 有乙戊股戊丁减乙/丁得之
可求甲乙弦
法以甲戊句乙戊股各自乗而并之開方得甲乙即所
測平面之一邊
[062-23a]
第二求庚辛線 法亦于丙于丁各安平員儀即先所/安之元
處/各以指尺向庚向辛又自相向各作角成庚丙丁
庚丁辛 辛丙丁 凡三角形亦三
依第一法用庚丙丁形 此形有丙丁線兩測/之距有丙角
有丁角自有庚角可求庚丁線
法為庚角之正弦與丙丁若丙角之正弦與庚丁也此/丙
角與前兩/丙角不同
依上法用辛丙丁形 此形有丙角此丙角又/與上不同有丁角
[062-23b]
自有辛角 可求辛丁線丁角與/前不同
法為辛角之正弦與丙丁若丙角之正弦與辛丁也
仍依上法用庚丁辛形此形有庚丁辛丁兩線及兩線
間所作丁角此丁角/又不同可求庚辛線為所測之又一邊
法自庚角作庚己垂線至己分辛丁線為兩而庚丁辛
三角形分為兩句股形
其一庚己丁句股形有丁角有庚丁線為弦可求庚己
句己丁股
[062-24a]
法為全數與庚丁弦若丁角之正弦與庚己句亦若丁
角之餘弦與己丁股也
其一庚己辛句股形有庚己句有辛己股己丁减辛/丁得之可
求庚辛弦
法以庚己句辛己股各自乗而并之開方得庚辛為所
測平面之又一邊即甲乙/之對邉
第三求甲庚線
法于丁㸃側安平儀以指尺向甲向庚作甲丁庚角成
[062-24b]
甲丁庚形此形有甲丁庚丁兩線及兩線所作之丁角
此丁角在甲丁/庚丁兩線間可求甲庚線為所測形之側邊
法自庚角作甲丁之垂線至壬分甲丁線為兩而甲丁
庚三角形分為兩句股形
其一庚壬丁句股形 有庚丁線為弦有丁角可求庚
壬句壬丁股法同前用丁角/之正弦餘弦
其一庚壬甲句股形 有庚壬句甲壬股丁壬减甲/丁得甲壬依
句股法可求甲庚弦線為所測平面之側邊
[062-25a]
第四求乙辛線
法亦于丁㸃側安平儀指尺向乙向辛作乙丁辛角成
乙丁辛形 此形有乙丁辛丁兩線及兩線所作之丁
角此丁角在辛丁/乙丁兩線間可求乙辛線為所測形之又一側邊
法自辛角作乙丁之垂線至癸分乙丁線為兩而乙丁
辛三角形分為兩句股形
其一辛癸丁句股形有辛丁線為弦有丁角可求辛癸
句癸丁股法亦同前用丁/角之正弦餘弦
[062-25b]
其一辛癸乙句股形有辛癸句乙癸股癸丁减乙/丁得乙癸依句
股法可求乙辛弦線為所測平面之又一側邊
如此則所測形之四邊皆具乃用後法求其幂
第五求乙庚線
法仍于丁㸃斜立平儀以指尺向乙向庚作乙丁庚角
成乙丁庚形此形有庚丁乙丁兩線及兩線所作之丁
角此丁角又在乙/丁庚丁兩線間可求乙庚線為所測形内之對角斜
線
[062-26a]
乙庚丁角形内自庚角作乙丁之垂線至卯分乙丁線
為兩而乙庚丁三角形亦分為兩句股形
其一庚卯丁句股形 有庚丁線為弦有丁角可求庚
卯句卯丁股依上法用丁角/之正弦餘弦
其一庚卯乙句股形 有庚卯句有卯乙股卯丁减乙/丁得卯乙
依句股法可求乙庚弦線為所測平面形内對角之斜
線
既有乙庚線則所測甲乙辛庚平面形分為兩三角形
[062-26b]
可以求其幂積
其一乙甲庚形有乙庚底 有甲庚甲乙兩腰 法以
兩腰相減為較相併為和和乗較為實乙庚底為法除
之得乙午以減乙庚得午庚半之得子庚乃用句股法
以甲庚子庚各自乗相減為實開方得甲子垂線垂線
半之以乗乙庚底得乙甲庚形平積
其乙辛庚形有乙庚底 有乙辛辛庚兩腰如上法以
乙辛辛庚相減為較又相併為和和乗較為實乙庚底
[062-27a]
為法除之得乙辰為底較以減乙庚得辰庚半之得丑
庚乃用句股法以丑庚庚辛各自乗相減為實開方得
丑辛垂線垂線半之以乗乙庚底得乙辛庚形平積
末以兩三角形積併之為所測甲乙辛庚平面四不等
形之總積
右法可以不用丈量而遥知畝歩即有種種異態以
三角御之足矣新法厯書言測量詳矣然未著斯法
意者其在幾何後數卷中為未譯之書歟
[062-27b]
庚午蜡月既望晤逺西安先生談及算數云量田可
以不用履畝初聞之甚不以為然歸而思之得此法
然未知其所用者即此與否而此法固己足用矣
若用有縱衡細分之測器指尺一量即得無煩布算
矣
[062-28a]
[062-29a]
[062-30a]
測量用影差義疏
凡方形内從角剖成兩句股形必相似而等正方或長/方並同
方形内作對角斜線分為兩句股又於斜線上任取一
㸃作直線縱横相交如十字而悉與方邊平行分方形
為大小四句股形此四句股形各兩兩相似而等大形/丙與
[062-30b]
丁等小形/庚與辛等
則其四句股旁之兩餘方形雖不
相似而其容必等
解曰於原斜線所分相等句股内
各減去相等之大小兩句股則其餘亦等丙戊庚形内/減去大形丙
小形庚餘戊又於丁己辛形内減去大形丁小形辛餘/己原形既等所減又等則其餘必等故戊己兩長方雖
不相似而其/容必等也
句股測逺
[062-31a]
有甲乙之距人在戊立
表又立表於丁使戊丁
乙為一直線再於丙立
表使丙丁與乙戊如十字之半而與甲乙平行則丁戊
小股與丙丁小句若丙庚大股與甲庚大句也
法以丙丁小句為二率乙丁大股為三率即丙庚/相乗
為實戊丁小股為一率為法法除實得大句甲庚再以
庚乙加之得甲乙
[062-31b]
假如丙丁兩表相距三歩/人在戊窺丁到乙逺戊丁十/
二歩丁乙十八歩/欲求甲乙之距
法以丙丁三歩/乗乙丁十八歩/得五十四歩/為實戊丁
十二歩/為法除之得四十五歩/為甲庚加丙丁三歩即/
乙庚/共四十八歩為甲乙
解曰此以乙丙長方形變為丙癸也依前論乙丙實形
丙癸虚形不相似而容積等故也
重測法
[062-32a]
有巽乙甲井方池欲遥望測其甲乙之一面方并乙丁
之距
法立表於丁望測方池之東北角乙至東南角巽使丁
乙巽為一直線 再於丁横過立一表於丙使丙丁為
乙丁之横立正線丙丁横六歩四分/次從丁退而北行
[062-32b]
至戊/量得十二歩/ 從戊斜望池西北隅甲/不能當丙/
表而出其間如戌/又於戌立表戌丁/之距四歩/ 再退
而北行至己/從己/窺甲/正過丙/表己丙甲為一直線量
得己丁之距三十六歩/
法以丙丁六歩四分/為一率丁己三十六歩/為二率戊/
丁四歩/為三率 二三相乗得一百四十四歩/為實一
率六歩四分/為法除之得二十二歩半/為辛己於辛己
内減丁戊十二歩/餘十歩半/為壬己是為景差
[062-33a]
次以戌丁四歩/減丙丁六歩四分/餘丙戌二歩四分/以
戊丁十二歩/乗之得二十八歩八分/為句實 景差十/
歩半/為法除句實得二歩八分弱/為甲申大句之距加
丙丁六歩四分即申乙/得共九歩二分弱/為甲乙即方
池一面之濶
次以辛己二十二歩/半減丁己三十六歩/餘十三歩半/辛
丁為二率丁戊十二歩/為三率相乗得一百六十二歩/
為股實 景差十歩半/為法除之得十五歩八分半弱/
[062-33b]
為乙丁大股之距
解曰此以四表重測改為三表乃巧算也 若測髙則
重測本為前後二表者亦改用一表故當先知本法然
後明其所以然下文詳之
試先明四表本法
有甲乙之濶先立丁/表從戊測之戊人目/丁表/乙逺物/
之末端/三者參相直 次於丁/表横過與甲乙/平行作
戊丁乙直線之横直線此線上取戊立表人目從戊/過
[062-34a]
戌/表窺甲逺物之西端亦參相直但於戊丁乙線為斜
弦成句股形 量得戌丁兩表横距四歩/丁戊人目距/
東表/直距十二歩/
次於丁戊直線退而北行至己 又於西表戌作戌乾
癸直線與丁戊平行此平行線内取癸立西後表人目
從己/過癸/至甲參相直成己甲癸斜弦 亦從癸/横行
至丁己/線尋辛/立東後表此後兩表癸辛/之距為前表
戌丁/等四歩/ 又量得辛己/為東後表距人目之數辛/丁
[062-34b]
二十二歩半/次以丁戊十二/減辛己二十二半/得十歩/
半/為壬己景差 末以己辛二十二半/減己丁三十六/
餘十三歩半/為前後表間之距 以表横距四歩/乗之
得五十四歩/為表間積即丁癸長方/ 置表間積為實
以景差十歩半/為法除之得五歩一半弱/加表横距四/
歩/ 得共九歩二分弱/為所測逺物甲乙之濶
解曰前表測得成戊乙甲/句股形内有戌乙餘方與形
外戌坤餘方等積 後表測得己乙甲/句股形内有癸
[062-35a]
乙餘方與形外酉癸餘方等積 於癸乙/内減戌乙/於
酉癸/内減寅癸即丑戌/則所餘之癸丁/及酉辰/兩餘方
亦必等積也故以丁癸/變辰酉/而得辰寅/亦即甲庚/也
次明改用三表之理
用三表者於丙丁/兩表間増一戌/表其實則於戌丁/兩
表外増一丙/表也前増一表而無後表則無從而得景
差故以三率法求而得之其實癸辛/即後表也其理與
四表同
[062-35b]
然不用癸子/形而用戌子/形何也曰准前論辰酉/形與
丁癸/形等積而午癸/形與丁癸/形亦等積兩餘方在己/丙丁句股形
内外/故等則酉辰/與午癸/亦等積矣各減同用之卯未/則所
餘之酉卯/與卯癸/二形亦自相等積而卯癸/原與戌子/
等故用戌子/變為卯酉/而得卯寅/即得甲申/矣是故戌/
子/可名句實也
其以辛丁/乗戊丁/為股實何也曰此三率法也丁乙/外
加丁辛/前後兩測之表距故辛壬即戊丁/外亦加壬己/
[062-36a]
兩測之景差法為壬己與辛丁若戊丁與丁乙也
凖此測髙可用一表而成兩測即借前測逺之/圖而以横為直
假如有甲乙/髙立丙丁/表人目在戊/測之則表之端不
相值而參相直於表之若干度如戊/退若干歩至己/測
之正對表端丙/其法並同
因看數度衍中破勾測逺條疑其圖不真因作此以
證明其説
測量圖説
[062-36b]
一測股六十四尺
八寸壬丁/ 二測
句四十三尺二寸
丙丁/ 三大股三
千六百八十五尺
二寸乙丁即/丙午四大
句二千四百五十
六尺八寸甲/午加午/乙
[062-37a]
得二千五百尺為甲乙之髙
解曰癸丁長方形即古人所謂表間積也以景差壬辛
即丑/子除之變為寅子形是寅子與癸丁同積也 而申
癸形原與癸丁同積則寅子與申癸亦同積也 於内
各減同用之申子而寅未與未癸亦同積矣夫未癸即
氐己也是戊丁即亥己/乗丙己之積也故可命為句實
而以景差壬辛即申未/除之得甲午句也甲午即戌酉/
其取股實何也曰三率法也表在丁其景丁戊 後表
[062-37b]
在庚則其景庚壬後表之逺於前表者為庚丁故後景
之大於前景者為辛壬則其比例為辛壬與庚丁若丁
戊即庚辛/與丁乙也
試引癸庚至箕截庚箕如庚壬又截尾箕如壬辛於尾
於箕各作與庚乙平行線而於乙作垂弧為乙牛聯之
作長方形又作丁心線截之作箕乙線斜分之則其理
著矣
[062-38a]
三角形求外切圓法
設如銳角形有甲丙邊七十五尺甲乙邊六十一尺
乙丙邊五十六尺 問外切
圓徑若干 畣曰外切圓半
徑三十八尺一寸二分五氂
法先求得甲丁中長線六十
尺為一率甲乙邊六十一尺
為三率甲丙邊折半得戊甲三十七尺五寸為三率二
[062-38b]
率與三率相乗一率除之得四率三八一二五/為甲乙
圓半徑
解曰此甲丁乙三角形與甲己戊三角形同式故其線
為相比例率也若甲為鈍角其理亦同
以甲丙折半為三率故四率亦為半徑若以甲丙全線
為三率則四率必得甲辛為全徑矣葢甲辛丙形與甲
乙丁形同式也何以見甲乙丁形與甲辛丙形同式葢
兩形之乙角辛角同當甲庚丙弧分則二角必相等而
[062-39a]
丁丙又同為直角則兩甲角亦必等而為同式無疑矣
又界角比心角所當之弧大一倍今己心角所當甲庚
弧適當乙界角所對甲庚丙之一半則兩角為等可知
而戊為直角與丁角等則兩甲角必等故甲己戊與甲
乙丁亦為同式形也
三角舉要有量法未著算例因作此補之
又如甲乙丙鈍角形 求外切員徑甲/辛 半徑甲/己
法先求得中長線乙/丁得乙丁/丙句股形
[062-39b]
次作乙/辛線成甲乙/辛大句股
形
又甲乙半之於戊從員心
己/作直線過戊至庚又成
甲戊/己句股形
一率 乙丁股形内/垂線
三率 甲戊股即甲乙/之半
[062-40a]
四率 甲辛弦即外切/員徑 四率 甲己弦即切員/半徑
解曰三句股形皆相似故可以三率比例求之
問何以知其為相似形也曰原設形之丙角與甲乙辛
形之辛角所當者同為甲庚乙員分則兩角等而乙丁
丙形之丁角與甲乙辛大形之乙角又皆正角則餘角
亦等而為相似形
又甲己為甲辛之半甲戊為甲乙之半戊正角與大形
乙正角等又同用甲角則己戊亦乙辛之半而為相似
[062-40b]
形
一系凡三角形求得形内垂線為法 垂線左右兩原
邊相乗 為實 法除實得外切員徑 銳鈍同法
假如甲乙丙鈍角形求得中垂線乙丁六分為法 左
右兩斜邊甲乙十八分/乙丙十分相乗一百八/十分為實 法除實得
外切員徑甲辛三十分 即可借用前圖分寸畸零/稍為整頓
[062-41a]
[062-42a]
[062-43a]
[062-43b]
歴算全書卷四十九
欽定四庫全書
歴算全書卷四十九
宣城梅文鼎撰
句股闡微卷四
幾何増解
方斜較求原方幾何約論線第十四/條有用法今解其理
甲乙丙丁正方形 甲乙其對角線 戊乙為方斜之
較 於戊乙上作庚癸乙戊小方則丙庚與庚戊等
[062-1b]
論曰法於方之一角甲
作員而以丙甲方徑為
員之半徑則乙丙為切
員線乙辛為自員外割
員之全線乙戊較為割
員在外之餘線而兩線
皆出一㸃則乙戊乗乙
辛之矩形與乙丙切線方形等
[062-2a]
夫乙丙即原設方也今以同乙戊之癸乙為横乙辛為
直作乙已長方即乙戊乗/乙辛之矩又移切甲己長方為子甲長
方又移卯補午移辰補酉移丑補寅則復成乙丙甲丁
方形矣而丑卯午酉等斜剖半方形皆以乙戊較為半
方形之邊是庚戊及丙庚皆與乙戊等而亦自相等又
何疑焉
用法 有方斜之較乙戊求原方形之一邊法以乙戊
較作小方形取其斜乙庚再引長之截丙庚如乙戊得
[062-2b]
乙丙如所求
從此圖生一測員之法 假有員城八面開門正西門
如戊門外有塔如乙其距如乙戊西南門如丙距塔若
干歩如乙丙問城徑
法以乙丙之距自乗得數為實以乙戊之距為法法除
實得乙辛於乙辛内減去乙戊即員城之徑 㨗法但
倍乙丙即得城徑
有員城正西之門如戊西南之門如丙人立於庚可兩
[062-3a]
見之而庚丙與庚戊皆等問城徑
法以庚戊自乗成戊癸小方以方斜之法求其斜距為
乙庚以乙庚加庚丙為乙丙即城半徑
按此即幾何約之用法也
又以句股法解之
又論曰試於庚丙上作丙子較線上方引庚戊至丁則
丁庚又為丙子方之斜而丁戊與乙丙等從丁戊作丁
壬甲戊為元方如所求
[062-3b]
又論曰此即句弦和較相乗
開方得股也 乙甲丁甲皆
如弦 戊甲甲辛甲丙/甲壬皆如
句 乙戊如句弦較丁丙/同
乙辛如句弦和 和較相乗
成癸辛長方 開方得丁戊
股乙丙/同
[062-4a]
切線角與員周角交互相應幾何三卷三十/二三十三増題
乙丙丁三角形在員内有甲乙切員線則所作丙乙甲
角與丙丁乙角同大又丁乙戊
角與丁丙乙角同大所謂交互
相應也
論曰丁角以乙丙弧分論度而
丙乙甲角亦以乙丙弧分之度為度故丙乙甲角即丁
角也丙角以丁乙弧分為度而丁乙戊角亦以丁乙弧
[062-4b]
分為度故丁乙戊角即丙角也 凡用員周度為角度
皆以兩度為一度詳後第三増題
若丁為鈍角則丙乙甲亦鈍角兩鈍角同以丙辛乙弧
為度故也其丙銳角與丁乙戊銳角則同以丁乙弧為
度
又増題 員内三角形一角移
動則餘二角變而本角度分不
變交互相應之角度亦不變
[062-5a]
如上圖三圖/丁角移至辛則丙
角加大而相應之辛乙戊角亦
從之而大以辛丁乙弧大於丁
乙弧也辛乙戊大則辛乙丙小
矣其較皆為丁辛弧 若丁角雖移至辛而其度不變
相應之丙乙甲角亦不變以所用之丙乙弧不變也
又丙角移至壬則丁角加大相應之壬乙甲亦從之而
大以壬丙乙弧大於丙乙弧也壬乙甲大則壬乙丁小
[062-5b]
矣其較皆為丙壬弧 若丙角雖移至壬其度不變相
應之丁乙戊亦不變以所用之丁乙弧不變也
此圖同論但丁角移則丙角變
小丙角移亦然
[062-6a]
又増題 切員線作角與員周弧度相應圖
有子甲戊員有乾艮線相切於子從子㸃出線與切線
作角必割員周之度其大小皆相應但皆以員周兩度
當角之一度
如用子午正線則所作兩㫄子角皆正角百八十度分/兩正角各皆
九十/度而亦剖員為半周兩半員並/百八十度是兩度當一度
又如用子辛線作辛子艮鈍角四十/五度而本線割員周於
辛為九十度象限亦兩度當一度
[062-6b]
又如用子辛線作辛子乾鈍角形百三十/五度而線割辛午
乾員分為二百/七十度三象限亦兩度當一度
又如於員内任作辛子乙角形乙辛子角所乗之子甲
乙弧六十度乾子乙角同用子甲乙弧亦六十度然其
實度是坎寅弧實只三十度亦兩當一也
又子乙辛角乗子癸壬辛弧一象/限艮子辛角亦割子癸
壬辛弧一象/限然其實度為震酉弧只四十五度亦兩當
一也所以者何曰試作辛乙線移角於辛則所乗弧子/甲
[062-7a]
乙/六十度皆實度也今也
角在心是員周也非員心
也凡員周之角小於員心
一倍故也
論曰員周至員心正得員
徑之半故所作角為折半
比例試作乙丙線成辛乙
丙句股形又從心作心周
[062-7b]
線與辛乙平行則所作周心丙角與乙辛丙等而此心
周線平剖乙丙句亦平分乙周丙於周而正得其半矣
系句股形平分弦線作點從此作線與股平行即平分
句線為兩
又論曰查角度之法皆以切點為心作半員即見真度
此不論半員大小或作於員内或作於員外並同 作
於員外其度開明易於簡查
又論曰試於所切圈心作横徑線與切線平行如辛丙
[062-8a]
線引長之出員外而以查角度之線割員周而過之則
皆成大小句股形而所過横線上㸃皆即八線中之切
線為句股形之股角度斜線為横線所截處即八線中
割線常為弦而切點至員心之半徑常為句
如子辛角度線割横線於辛成辛心子句股形其所當
角度為酉中四十五度則辛心即四十五度之切線辛
子即四十五度之割線餘並同 其子心即半徑也
又論曰角度半員有大小而子心半徑常為句者以所
[062-8b]
作横線在員心欲用員度相較也若於半員之端如中/如外
作横線與切線平行其所作切線割線亦同比例而即
以各半員之半徑為句矣
不但此也即任於子心外直線上任作一横線其所作
句股並同但皆以十字交處距子㸃之度命為半徑此
八線割員之法所由以立也
[062-9a]
量無法四邊形㨗法
甲乙丙丁形求其容 先作
乙丁對角線分為兩三角形
次自丙作丙戊横線與乙
丁線相交於丑為十字正角
而取戊㸃與甲齊平則戊丑即甲庚也次以丙戊㸃折
半於己 次作壬癸線與乙丁平行而等 又作壬辛
癸子二線皆與己丙平行而等 得辛癸長方即原形
[062-9b]
之容
[062-10a]
取平行線簡法
法曰乙丙線欲於甲㸃作
線與之平行法於線外任
取巳㸃為心甲㸃為界作
辛甲丁庚圈分次以庚為
心取甲辛之度為界截員分得丁㸃末自丁作戊丁甲
線此線必與乙丙平行矣
論曰凡圈内兩直線相距之度等則其線必平行如丁/甲
[062-10b]
與庚/辛兩線俱在一圈之内而所距之甲/辛圈分與庚/丁圈分
等是相距之度等而其線平行也因讀數度衍得此法
似較他處為㨗
補測量全義斜坡用切線法係勿菴補/
斜三角形有一角兩邊求餘邊
法用切線分外角求得餘
角即以得邊可不用垂線
如甲乙己斜角形 有乙
[062-11a]
甲及己甲二邊 有甲角求乙己邊
法以己甲線引長之成乙甲丙角為原有甲角之外角
以元有甲角/减半周得次分外角之度而半之為半外角而求其
切線為三率併乙甲己甲二邊為首率又以二邊相較
為次率次率乗三率為實首率為法除之得半較角之
切線以查表得半較角之度以減半外角得己角末用
正弦法得己乙邊 法為己角正弦與乙甲若甲角正
弦與乙己
[062-11b]
三率法
一 兩線之和 己丙
二 兩線之較 己丁
三 半外角之切線 戊癸
四 半較角之切線 壬戊
用外角者乙己兩角之和度而較角者乙己兩角之較
度以用切線/故半之也
論曰又如後圖己甲引至丙而乙甲亦引至辛則乙甲
[062-12a]
丙及丁甲寅兩角皆原有甲角之外角再作甲戊線平
分外角則丁甲戊及寅甲戊皆半外角 又作甲壬線
與乙已平行則壬
甲癸角即同己角
壬甲辛角即同乙
角再於甲戊半徑
之端作癸戊辛十
字線切員於戊則
[062-12b]
戊癸及戊辛皆半外角之切線也再以壬甲癸角减壬
甲辛角其較為壬甲子角則壬甲戊即半較角而壬戊
其切線也
其比例為己丙二邊/和與己丁二邊/較若癸辛外角全切線/即乙己丁角
和度之/全切與壬子較角度之/全切線則亦若癸戊半外角/切線與壬戊
即半較角/之切線何也全與全若半與半也
[062-13a]
理分中末線
甲乙線求作理分中末線
法以甲乙全線折半於庚乃
作垂線於甲端為丙甲如半
線甲庚之度為句全線為
股次作丙乙線為弦
次以丙為心乙為界作乙丁圈界 次引丙甲句至丁
則丙丁即丙乙也 末以甲為心丁為界作丁戊己圈
[062-13b]
分則甲己為理分中末之大分己乙為小分其比例為
甲乙與甲己若甲己與己乙也
逓加法 借右圖以乙為心甲為界運規截丁已圈分
於戊自戊作線向甲成甲戊線與甲丁等乃自戊作戊
乙線與乙甲等成甲乙戊三角形
此形甲戊兩角悉倍於乙角乃平分戊角作戊辛線此
線與甲戊並大亦與乙辛同大成辛戊甲相似三角形
則甲乙與乙辛即戊/辛若乙辛與辛甲也又平分辛角作
[062-14a]
辛壬線與壬戊與辛甲
皆同大則成甲辛壬三
角形與辛戊甲相似則
乙辛即戊辛亦/即戊甲與辛甲
即辛壬/戊壬若辛甲與壬甲
也如此逓半則其角比例並同
一乙甲/ 二乙戊即戊/辛戊甲 三辛甲即辛/壬戊壬 四辛癸即壬/癸壬甲
五癸甲即癸/子壬子 六癸丑即丑/子子甲 七丑甲即丑/寅寅子 八丑卯即卯/寅寅甲
[062-14b]
九卯甲/ 若能知其數則以大分逓乗全數除之得細數
先得甲乙為大分而求乙己全分及
乙庚小分 用此圖亦為半圓内求
容方法則以乙巳全分加乙庚小分
折半於戊得戊己為半徑若先得戊
己則以戊己即戊/丁為弦作丁甲戊句股使戊甲句半於
丁甲股則丁甲即為戊己理分中末之大分
解曰甲庚即乙/己全數與丁甲大分/若丁甲大分即/甲乙與甲
[062-15a]
己小分即乙/庚也
以量分
甲乙線十數求作理分中末線
先依甲乙線作甲乙丁丙正
方形四面皆/十數 次任用一面
平分之如甲丙平分於壬甲/壬
及壬丙/皆五數甲乙之半數也甲丙/與甲
乙等其/分亦等 次自壬向乙角作乙壬斜線其數一十一一/八
[062-15b]
○三/三九 次自壬量甲壬或丙壬之度即甲乙/之一半移置於乙
壬線上截壬癸如甲壬則其餘癸乙即理分中末之大
分其數六一八○/三三九末以癸乙之度移置於甲乙線上如
乙戊則乙戊為大分戊甲為小分其數三八一九/六六○
簡法
作句股形 令甲壬句如甲乙股之
半乃以壬為心甲為界作虚線圓分
截乙壬弦於癸
[062-16a]
末以乙為心癸為界作圓分截甲乙線於戊
則乙戊為大分甲戊為小分
又簡法
以甲乙全線為半徑作半圓形則乙庚乙辛皆與甲乙等
次平分乙辛於己
次以己為心庚為界運規割甲乙
線於戊戊己之度/即同己庚
則乙戊為大分 甲戊為小分
[062-16b]
又簡法
作子寅丑卯十字線相交於乙
次以乙為心甲為界運規截十字
線於甲於庚於辛則乙庚乙辛皆
與設線甲乙等乃折半乙辛/於己
以己為心庚為界運規截甲乙於戊 則乙戊大分甲
戊小分皆得矣 此法可於平面圓器上求之
附長方變正方法
[062-17a]
甲乙丙丁長方形欲變正方以長方形之横邊乙/丙直邊
丙/丁二線取其中比例即所求
取中比例法以丙丁乙丙即/戊
丙/聯為一直線丁/戊而折半於
己以己為心丁若戊為界作
半圓次引乙丙横線至圓界
截圓界於庚成丙庚線即乙
丙及丙丁二線之中比例線
[062-17b]
次於丙庚線上作小方形其容與甲乙丙丁長方形等
如右圖丙庚線上方形為丙壬乃子壬癸句股形内之
容方也而甲丙長方形則子壬癸句股外之餘方也餘
方與容方等積
簡法
先引丁丙邊至午引乙丙邊至
未次以丙角為心乙為界作小
員界虚線截引長線於戊
[062-18a]
次以丁戊線折半於己次引乙丙至未次以己為心戊
為界運規作小圓界截引長線於庚 則丙庚即所變
方形之一邊 末依丙庚線作方形與甲乙丙丁長方
形等積 其法以丙為心庚為界運規截丙辛與丙庚
等
理分中末線用法
一用以分平圓為十平分
法為半徑與三十六度之分圓若全分與理分中末
[062-18b]
之大分也
一用以分平圓為五平分
歴書言以全分為股理分中末之大分為句求其弦
即半徑全數為股三十六度之分圓為句求得七十
二度之分圓為弦
一用以量十二等面體
法為立方邊與所容十二等面邊若理分中末之全
分與其小分也又十二等面體之邊與内容立方邊
[062-19a]
若理分中末之大分與其全分也又立方内容十二
等面體其内又容小立方則外立方與内立方若理
分中末之全與其大分也
一用以量二十等面體
法為立方邊與所容二十等面邊若理分中末之全
與其大分也
一用以量圓燈
法為圓燈邊與其自心至角線若理分中末之大分
[062-19b]
與其全分也此自心至角之線即為外切立方立圓
及十二等面二十等面之半徑又為内切八等面之
半徑圓燈為有法之形即此可見
用理分中末線説
言西學者以幾何為第一義而傳只六卷其有所秘耶
抑為義理淵深翻譯不易而姑有所待耶測量全義言
有法之體五其面其積皆等其大小相容相抱與球相
似幾何十一十二十三十四卷諸題極論此理又幾何
[062-20a]
六卷言理分中末線為用甚廣量體所必需幾何十三
卷諸題全頼之古人目為神分線又言理分中末線求
法見本卷三十題而與二卷十一題同理至二卷十一
題則但云無數可解詳見九卷其義皆引而未發故雖
有此線莫適所用疑之者十餘年辛未嵗養病山阿遊
心算學於量體諸法稍得窺其奧爰証厯書之誤數端
於十二等面二十等面得理分中末之用及諸體相容
之確數故以立方為主其内容十二等面邊得理分線
[062-20b]
之末二十等面邊得理分線之中反覆推求了無凝滯
始信幾何諸法可以理解而彼之秘為神授及吾之屏
為異學皆非得其平也其理與法詳幾何補編
[062-21a]
遥量平面法
甲乙庚辛為
所欲量之平
面而不能到
如仰視殿
上承塵而人
在殿外又如峭壁懸崖之上有碑若碣凡平面之物人
從地面斜視灼然可見而不能到
[062-21b]
或平面在下如田池之類人從臺上俯視可見或臨深
崖瞰谷底其理不異但倒用其圖即是
欲量甲乙庚辛平面而不能到可到者丙丁則先知丙
丁之距及丙丁所作各角即可以知之
先求甲乙線 法于丙于丁各安平圓儀各以指尺向
甲向乙又自相向各作角成甲丙丁甲丁乙乙丁丙
凡三角形者三依第一法用甲丙丁形此形有丙丁線
兩測/之距有丙角有丁角自有甲角可求甲丁線法為甲角
[062-22a]
之正弦與丙丁若丙角之正弦與甲丁也
次仍依第一法用乙丁丙形此形亦有丙丁線兩測/之距有
丙角有丁角自有乙角可求乙丁線
法為乙角之正弦與丙丁若丙角之正弦與乙丁也此/丙
角與前形之/丙角不同
次仍依第一法用甲丁乙形此形有甲丁乙丁兩線及
兩線間所作之丁角與前形丁/角不同可求甲乙線為所測之
一邊 法自甲角作甲戊垂線至戊分乙丁線為兩而
[062-22b]
甲丁乙三角形分為兩句股形 其一甲戊丁句股形
有丁角 有甲丁線為弦可求甲戊句戊丁股
法為全數與甲丁弦若丁角之正弦與甲戊句 又全
數與甲丁弦亦若丁角之餘弦與戊丁股也
其一甲戊乙句股形有甲戊句 有乙戊股戊丁减乙/丁得之
可求甲乙弦
法以甲戊句乙戊股各自乗而并之開方得甲乙即所
測平面之一邊
[062-23a]
第二求庚辛線 法亦于丙于丁各安平員儀即先所/安之元
處/各以指尺向庚向辛又自相向各作角成庚丙丁
庚丁辛 辛丙丁 凡三角形亦三
依第一法用庚丙丁形 此形有丙丁線兩測/之距有丙角
有丁角自有庚角可求庚丁線
法為庚角之正弦與丙丁若丙角之正弦與庚丁也此/丙
角與前兩/丙角不同
依上法用辛丙丁形 此形有丙角此丙角又/與上不同有丁角
[062-23b]
自有辛角 可求辛丁線丁角與/前不同
法為辛角之正弦與丙丁若丙角之正弦與辛丁也
仍依上法用庚丁辛形此形有庚丁辛丁兩線及兩線
間所作丁角此丁角/又不同可求庚辛線為所測之又一邊
法自庚角作庚己垂線至己分辛丁線為兩而庚丁辛
三角形分為兩句股形
其一庚己丁句股形有丁角有庚丁線為弦可求庚己
句己丁股
[062-24a]
法為全數與庚丁弦若丁角之正弦與庚己句亦若丁
角之餘弦與己丁股也
其一庚己辛句股形有庚己句有辛己股己丁减辛/丁得之可
求庚辛弦
法以庚己句辛己股各自乗而并之開方得庚辛為所
測平面之又一邊即甲乙/之對邉
第三求甲庚線
法于丁㸃側安平儀以指尺向甲向庚作甲丁庚角成
[062-24b]
甲丁庚形此形有甲丁庚丁兩線及兩線所作之丁角
此丁角在甲丁/庚丁兩線間可求甲庚線為所測形之側邊
法自庚角作甲丁之垂線至壬分甲丁線為兩而甲丁
庚三角形分為兩句股形
其一庚壬丁句股形 有庚丁線為弦有丁角可求庚
壬句壬丁股法同前用丁角/之正弦餘弦
其一庚壬甲句股形 有庚壬句甲壬股丁壬减甲/丁得甲壬依
句股法可求甲庚弦線為所測平面之側邊
[062-25a]
第四求乙辛線
法亦于丁㸃側安平儀指尺向乙向辛作乙丁辛角成
乙丁辛形 此形有乙丁辛丁兩線及兩線所作之丁
角此丁角在辛丁/乙丁兩線間可求乙辛線為所測形之又一側邊
法自辛角作乙丁之垂線至癸分乙丁線為兩而乙丁
辛三角形分為兩句股形
其一辛癸丁句股形有辛丁線為弦有丁角可求辛癸
句癸丁股法亦同前用丁/角之正弦餘弦
[062-25b]
其一辛癸乙句股形有辛癸句乙癸股癸丁减乙/丁得乙癸依句
股法可求乙辛弦線為所測平面之又一側邊
如此則所測形之四邊皆具乃用後法求其幂
第五求乙庚線
法仍于丁㸃斜立平儀以指尺向乙向庚作乙丁庚角
成乙丁庚形此形有庚丁乙丁兩線及兩線所作之丁
角此丁角又在乙/丁庚丁兩線間可求乙庚線為所測形内之對角斜
線
[062-26a]
乙庚丁角形内自庚角作乙丁之垂線至卯分乙丁線
為兩而乙庚丁三角形亦分為兩句股形
其一庚卯丁句股形 有庚丁線為弦有丁角可求庚
卯句卯丁股依上法用丁角/之正弦餘弦
其一庚卯乙句股形 有庚卯句有卯乙股卯丁减乙/丁得卯乙
依句股法可求乙庚弦線為所測平面形内對角之斜
線
既有乙庚線則所測甲乙辛庚平面形分為兩三角形
[062-26b]
可以求其幂積
其一乙甲庚形有乙庚底 有甲庚甲乙兩腰 法以
兩腰相減為較相併為和和乗較為實乙庚底為法除
之得乙午以減乙庚得午庚半之得子庚乃用句股法
以甲庚子庚各自乗相減為實開方得甲子垂線垂線
半之以乗乙庚底得乙甲庚形平積
其乙辛庚形有乙庚底 有乙辛辛庚兩腰如上法以
乙辛辛庚相減為較又相併為和和乗較為實乙庚底
[062-27a]
為法除之得乙辰為底較以減乙庚得辰庚半之得丑
庚乃用句股法以丑庚庚辛各自乗相減為實開方得
丑辛垂線垂線半之以乗乙庚底得乙辛庚形平積
末以兩三角形積併之為所測甲乙辛庚平面四不等
形之總積
右法可以不用丈量而遥知畝歩即有種種異態以
三角御之足矣新法厯書言測量詳矣然未著斯法
意者其在幾何後數卷中為未譯之書歟
[062-27b]
庚午蜡月既望晤逺西安先生談及算數云量田可
以不用履畝初聞之甚不以為然歸而思之得此法
然未知其所用者即此與否而此法固己足用矣
若用有縱衡細分之測器指尺一量即得無煩布算
矣
[062-28a]
[062-29a]
[062-30a]
測量用影差義疏
凡方形内從角剖成兩句股形必相似而等正方或長/方並同
方形内作對角斜線分為兩句股又於斜線上任取一
㸃作直線縱横相交如十字而悉與方邊平行分方形
為大小四句股形此四句股形各兩兩相似而等大形/丙與
[062-30b]
丁等小形/庚與辛等
則其四句股旁之兩餘方形雖不
相似而其容必等
解曰於原斜線所分相等句股内
各減去相等之大小兩句股則其餘亦等丙戊庚形内/減去大形丙
小形庚餘戊又於丁己辛形内減去大形丁小形辛餘/己原形既等所減又等則其餘必等故戊己兩長方雖
不相似而其/容必等也
句股測逺
[062-31a]
有甲乙之距人在戊立
表又立表於丁使戊丁
乙為一直線再於丙立
表使丙丁與乙戊如十字之半而與甲乙平行則丁戊
小股與丙丁小句若丙庚大股與甲庚大句也
法以丙丁小句為二率乙丁大股為三率即丙庚/相乗
為實戊丁小股為一率為法法除實得大句甲庚再以
庚乙加之得甲乙
[062-31b]
假如丙丁兩表相距三歩/人在戊窺丁到乙逺戊丁十/
二歩丁乙十八歩/欲求甲乙之距
法以丙丁三歩/乗乙丁十八歩/得五十四歩/為實戊丁
十二歩/為法除之得四十五歩/為甲庚加丙丁三歩即/
乙庚/共四十八歩為甲乙
解曰此以乙丙長方形變為丙癸也依前論乙丙實形
丙癸虚形不相似而容積等故也
重測法
[062-32a]
有巽乙甲井方池欲遥望測其甲乙之一面方并乙丁
之距
法立表於丁望測方池之東北角乙至東南角巽使丁
乙巽為一直線 再於丁横過立一表於丙使丙丁為
乙丁之横立正線丙丁横六歩四分/次從丁退而北行
[062-32b]
至戊/量得十二歩/ 從戊斜望池西北隅甲/不能當丙/
表而出其間如戌/又於戌立表戌丁/之距四歩/ 再退
而北行至己/從己/窺甲/正過丙/表己丙甲為一直線量
得己丁之距三十六歩/
法以丙丁六歩四分/為一率丁己三十六歩/為二率戊/
丁四歩/為三率 二三相乗得一百四十四歩/為實一
率六歩四分/為法除之得二十二歩半/為辛己於辛己
内減丁戊十二歩/餘十歩半/為壬己是為景差
[062-33a]
次以戌丁四歩/減丙丁六歩四分/餘丙戌二歩四分/以
戊丁十二歩/乗之得二十八歩八分/為句實 景差十/
歩半/為法除句實得二歩八分弱/為甲申大句之距加
丙丁六歩四分即申乙/得共九歩二分弱/為甲乙即方
池一面之濶
次以辛己二十二歩/半減丁己三十六歩/餘十三歩半/辛
丁為二率丁戊十二歩/為三率相乗得一百六十二歩/
為股實 景差十歩半/為法除之得十五歩八分半弱/
[062-33b]
為乙丁大股之距
解曰此以四表重測改為三表乃巧算也 若測髙則
重測本為前後二表者亦改用一表故當先知本法然
後明其所以然下文詳之
試先明四表本法
有甲乙之濶先立丁/表從戊測之戊人目/丁表/乙逺物/
之末端/三者參相直 次於丁/表横過與甲乙/平行作
戊丁乙直線之横直線此線上取戊立表人目從戊/過
[062-34a]
戌/表窺甲逺物之西端亦參相直但於戊丁乙線為斜
弦成句股形 量得戌丁兩表横距四歩/丁戊人目距/
東表/直距十二歩/
次於丁戊直線退而北行至己 又於西表戌作戌乾
癸直線與丁戊平行此平行線内取癸立西後表人目
從己/過癸/至甲參相直成己甲癸斜弦 亦從癸/横行
至丁己/線尋辛/立東後表此後兩表癸辛/之距為前表
戌丁/等四歩/ 又量得辛己/為東後表距人目之數辛/丁
[062-34b]
二十二歩半/次以丁戊十二/減辛己二十二半/得十歩/
半/為壬己景差 末以己辛二十二半/減己丁三十六/
餘十三歩半/為前後表間之距 以表横距四歩/乗之
得五十四歩/為表間積即丁癸長方/ 置表間積為實
以景差十歩半/為法除之得五歩一半弱/加表横距四/
歩/ 得共九歩二分弱/為所測逺物甲乙之濶
解曰前表測得成戊乙甲/句股形内有戌乙餘方與形
外戌坤餘方等積 後表測得己乙甲/句股形内有癸
[062-35a]
乙餘方與形外酉癸餘方等積 於癸乙/内減戌乙/於
酉癸/内減寅癸即丑戌/則所餘之癸丁/及酉辰/兩餘方
亦必等積也故以丁癸/變辰酉/而得辰寅/亦即甲庚/也
次明改用三表之理
用三表者於丙丁/兩表間増一戌/表其實則於戌丁/兩
表外増一丙/表也前増一表而無後表則無從而得景
差故以三率法求而得之其實癸辛/即後表也其理與
四表同
[062-35b]
然不用癸子/形而用戌子/形何也曰准前論辰酉/形與
丁癸/形等積而午癸/形與丁癸/形亦等積兩餘方在己/丙丁句股形
内外/故等則酉辰/與午癸/亦等積矣各減同用之卯未/則所
餘之酉卯/與卯癸/二形亦自相等積而卯癸/原與戌子/
等故用戌子/變為卯酉/而得卯寅/即得甲申/矣是故戌/
子/可名句實也
其以辛丁/乗戊丁/為股實何也曰此三率法也丁乙/外
加丁辛/前後兩測之表距故辛壬即戊丁/外亦加壬己/
[062-36a]
兩測之景差法為壬己與辛丁若戊丁與丁乙也
凖此測髙可用一表而成兩測即借前測逺之/圖而以横為直
假如有甲乙/髙立丙丁/表人目在戊/測之則表之端不
相值而參相直於表之若干度如戊/退若干歩至己/測
之正對表端丙/其法並同
因看數度衍中破勾測逺條疑其圖不真因作此以
證明其説
測量圖説
[062-36b]
一測股六十四尺
八寸壬丁/ 二測
句四十三尺二寸
丙丁/ 三大股三
千六百八十五尺
二寸乙丁即/丙午四大
句二千四百五十
六尺八寸甲/午加午/乙
[062-37a]
得二千五百尺為甲乙之髙
解曰癸丁長方形即古人所謂表間積也以景差壬辛
即丑/子除之變為寅子形是寅子與癸丁同積也 而申
癸形原與癸丁同積則寅子與申癸亦同積也 於内
各減同用之申子而寅未與未癸亦同積矣夫未癸即
氐己也是戊丁即亥己/乗丙己之積也故可命為句實
而以景差壬辛即申未/除之得甲午句也甲午即戌酉/
其取股實何也曰三率法也表在丁其景丁戊 後表
[062-37b]
在庚則其景庚壬後表之逺於前表者為庚丁故後景
之大於前景者為辛壬則其比例為辛壬與庚丁若丁
戊即庚辛/與丁乙也
試引癸庚至箕截庚箕如庚壬又截尾箕如壬辛於尾
於箕各作與庚乙平行線而於乙作垂弧為乙牛聯之
作長方形又作丁心線截之作箕乙線斜分之則其理
著矣
[062-38a]
三角形求外切圓法
設如銳角形有甲丙邊七十五尺甲乙邊六十一尺
乙丙邊五十六尺 問外切
圓徑若干 畣曰外切圓半
徑三十八尺一寸二分五氂
法先求得甲丁中長線六十
尺為一率甲乙邊六十一尺
為三率甲丙邊折半得戊甲三十七尺五寸為三率二
[062-38b]
率與三率相乗一率除之得四率三八一二五/為甲乙
圓半徑
解曰此甲丁乙三角形與甲己戊三角形同式故其線
為相比例率也若甲為鈍角其理亦同
以甲丙折半為三率故四率亦為半徑若以甲丙全線
為三率則四率必得甲辛為全徑矣葢甲辛丙形與甲
乙丁形同式也何以見甲乙丁形與甲辛丙形同式葢
兩形之乙角辛角同當甲庚丙弧分則二角必相等而
[062-39a]
丁丙又同為直角則兩甲角亦必等而為同式無疑矣
又界角比心角所當之弧大一倍今己心角所當甲庚
弧適當乙界角所對甲庚丙之一半則兩角為等可知
而戊為直角與丁角等則兩甲角必等故甲己戊與甲
乙丁亦為同式形也
三角舉要有量法未著算例因作此補之
又如甲乙丙鈍角形 求外切員徑甲/辛 半徑甲/己
法先求得中長線乙/丁得乙丁/丙句股形
[062-39b]
次作乙/辛線成甲乙/辛大句股
形
又甲乙半之於戊從員心
己/作直線過戊至庚又成
甲戊/己句股形
一率 乙丁股形内/垂線
三率 甲戊股即甲乙/之半
[062-40a]
四率 甲辛弦即外切/員徑 四率 甲己弦即切員/半徑
解曰三句股形皆相似故可以三率比例求之
問何以知其為相似形也曰原設形之丙角與甲乙辛
形之辛角所當者同為甲庚乙員分則兩角等而乙丁
丙形之丁角與甲乙辛大形之乙角又皆正角則餘角
亦等而為相似形
又甲己為甲辛之半甲戊為甲乙之半戊正角與大形
乙正角等又同用甲角則己戊亦乙辛之半而為相似
[062-40b]
形
一系凡三角形求得形内垂線為法 垂線左右兩原
邊相乗 為實 法除實得外切員徑 銳鈍同法
假如甲乙丙鈍角形求得中垂線乙丁六分為法 左
右兩斜邊甲乙十八分/乙丙十分相乗一百八/十分為實 法除實得
外切員徑甲辛三十分 即可借用前圖分寸畸零/稍為整頓
[062-41a]
[062-42a]
[062-43a]
[062-43b]
歴算全書卷四十九