[061-1a] 
欽定四庫全書
厯算全書卷四十八
宣城梅文鼎撰
句股闡微卷三
句股法解幾何原本之根
句股羃與弦羃相等圖
甲乙丙句股形 乙辛大方為弦羃 弦羃内兼有句
股二羃
[061-1b]
論曰試於弦羃作對角之乙
子線與甲丙股平行而等又
作丙丁對角線與甲乙句平
行與乙子線遇於子成十字
正角則丙子與甲乙句相等
成乙子丙句股形與甲乙丙句股形等又作辛癸及庚
戊兩線皆與丙丁等亦與乙子等而皆與甲丙股等又
辛丁及癸庚及戊乙皆與丙子等即皆與甲乙句等則
[061-2a]
弦冪内所作四句股形皆與原設句股形等於是以丙
丁辛形移作乙壬庚以癸庚辛形移作甲乙丙成甲丙
丁癸庚壬磬折形末引丁癸
至巳截成大小二方形則丙
巳方形即股幂癸壬小方即
句幂也
若先有丙巳股幂癸壬句幂
則聯為磬折形而移乙壬庚
[061-2b]
句股補於丙丁辛之位移甲乙丙句股補於癸庚辛之
位即復成乙辛大方而為弦幂
又法
甲乙丙句股形 乙丙弦 其幂乙戊丁丙
甲丙股其幂甲壬辛丙 甲乙句其幂乙庚癸甲
法於原形之甲正角作十字線分弦幂為兩長方一為/丑子
丁/丙凖股幂一為丑/子戊乙凖句幂又引之至己又自庚癸自壬
辛並引之至巳而成方角
[061-3a]
次移甲丑丙句股補巳子丁虚形又移巳壬甲句股補
丁辛丙虚形即成股冪而與丑子丁丙長方等積
又移甲丑乙句股補己子戊虚形再移己卯戊句股補
戊癸寅虚形又移戊卯甲癸形補癸寅乙庚虚形即成
句幂而與丑子戊乙等積
[061-4a]
解幾何二卷第五題 第六題
甲丙為弦 丁丙為句
丁甲句弦和 乙丁句弦
較丁甲同丁壬/甲癸並同
庚辛戊己弦幂也 己句
幂也 戊庚辛較乗和之
長方幂也
移戊補戊移庚辛補庚辛而弦幂内净多一己形即句
[061-4b]
幂也故弦幂内有和較相乗之長方又有句幂也
論曰凡大小方形相減則其餘必為兩形邊和較相乗
之長方是故己形者句自乗之小方也戊庚辛句弦較
乗句弦和之長方也合之成戊庚辛巳形即弦自乗之
大方矣
幾何二卷第五題以倍弦為甲乙原線以甲丙弦為平
分之線以甲丁和乙丁較為任分之兩線以丁丙句為
分内線其理一也
[061-5a]
第六題以子丁倍句為原線以丁丙句為平分線以句
弦較乙丁即子/甲為引増線以丁甲句弦和為全線其理
亦同
以數明之 甲丙弦八 丁丙句五 乙丁較三 丁
甲和十三 和較相乗三十九 句自乗二十五 以
句幂加和較長方共六十四與甲丙弦幂等
又論曰用股弦和較亦同
[061-6a]
解幾何二卷第七題
甲丁股幂即甲乙元/線上方子戊
句幂即甲乙方内所作已/辛方乃任分線甲丙
上方/也併之成癸寅弦幂即/所
謂兩直角/方形併也
弦幂内有戊甲股即甲乙/原線
戊癸句即任分之/甲丙線相乗長
方形二即己甲長方及丁辛長方亦/即甲乙偕甲丙矩形二也及句股較乙丙上
[061-6b]
方一即壬丙小方亦即所/謂分餘線上方也
何以明之曰試於戊癸線引長至丑令丑癸如已丁較
即乙/丙遂作子丑小長方與丁/庚等以益亥癸成亥丑長方與/丁
辛等亦與/已甲等
次於癸寅内作甲酉寅辰午未癸卯四線皆與甲乙股
等 自然有甲卯寅酉午辰癸未四線皆與戊癸句等
又自有未卯卯酉等句股較與乙丙較等 即顯弦
幂内有句股形四較幂一也
[061-7a]
試於弦鼏内移午辰寅句股補癸戊甲之位成戊卯長
方與己/甲等又移癸未午句股補甲戌寅之位成戌酉長方
與亥/丑等而較幂未酉小方元與壬丙等又子丑小長方元
與丁庚等
合而觀之豈非丁甲股幂及子戊句幂併即與己甲亥
丑兩長方及壬丙小方等積乎
[061-8a]
解幾何二卷第八題
庚甲乙句股形 取丁乙如
庚甲句則丁甲為句股和
和之幂為丁己大方即元線/甲乙偕
初分線上/直角方也於大方周線取戊
丑己子皆與庚甲句等即丑
丁戊子己庚皆與甲乙股等即甲乙元線也/句線則初分線
次作丑癸庚辛乙壬子卯四線皆與外周四股線平行
[061-8b]
而等
自有丑壬子癸庚卯乙辛四線皆與外周四句線平行
而等
又有壬癸癸卯卯辛辛壬四句股較線自相等即分餘/線也
丁已和幂内有長方形四皆句乗股之積即元線偕初/分線矩内形
四/也又有句股較自乗幂一即分餘線上方形也
[061-9a]
解幾何二卷第九題
甲丙為股 丁丙為句
丁甲句股和 乙丁句股
較 壬庚為句幂 辛丙
為股幂 丑丁較幂 丁
癸和幂 戊巳線上方為
句幂之倍 戊甲上方為
斜線上方倍於元方圖 股幂之倍併和較幂倍大
[061-9b]
於句幂股幂之併古法倍弦幂内減句股和幂開方得
較若減較幂亦開方得和即其理也
論曰己丁較上方與丁
甲和上方併之即己甲
上方也戊巳線上方與
戊甲線上方併亦即巳
甲上方也 而戊巳為句幂斜線戊甲為股幂斜線凡
斜線上方形倍於原方故較幂併和幂亦倍大於句幂
[061-10a]
股幂之併也而句幂股幂併之即弦幂古人所以用倍
弦幂也
此第十題與前題同法 甲
丙即句 丁丙即股 丁甲
全線即和 丁乙引増線即
較
准前論丁庚即丁/乙較上方幂與丁甲和上方幂併成庚
甲線上幂而庚甲幂内原兼有丙丁股即巳戊亦/即己庚及丙
[061-10b]
甲句二幂己壬為股幂/辛丙為句幂之倍數庚戊為股斜線其幂必/倍於股幂戊甲為句斜
線其幂必/倍於句幂故庚甲幂内能兼戊庚及戊甲二幂
丙丙線皆弦也丙丙方弦幂
也甲丙之長者皆股也亦即/丙丁
丁/甲丙之短者皆句也亦即/丙丁
丁丁線句股較也丁丁小方
較幂也甲丙甲句股和也甲甲大方和幂也
丁甲長方皆句股相乗即倍句股形積也
[061-11a]
合而觀之則弦幂内有句股積四及較冪一也和幂内
有句股積八及較幂一也 若倍弦幂則有句股積八
及較幂二也故以和幂減倍弦幂得較幂 若以較幂
減之亦得和幂矣
[061-12a]
以句股法解理分中末線之根
即幾何二卷第十一題 六卷第三十題四卷第十第十一題
古法句弦較 癸庚弦 其鼏庚乙 丙癸
乘句弦和開 句 其鼏丙戊
方得股之圖 引庚甲弦至壬使甲壬如丙
癸句則庚壬為句弦和丙庚
原為句弦較 以較乗和成
丙壬長方 長方内截甲丁
[061-12b]
小長方與戊辛等 其餘庚辛
合而觀之是弦鼏内兼有句弦較乗和之積及句鼏
也
夫弦鼏内原有句股二鼏而今以句弦較乗和之積可
代股鼏是句弦較乗和即同股鼏也
句弦和及股 用法
及句弦較為 有句弦和 有句弦較
連比例圖 求股法以較乗和開方得股
[061-13a]
或有股有句弦和求句求
弦法以股自乗為實以句
弦和除之得較以較減和
半之得句句加較得弦若
先有較以除股鼏亦得和矣
如圖 丙戊丁句股形 丙丁弦與丁乙等亦與丁庚等/
丁戊句 亥戊為倍句 乙戊為句弦較與庚亥等
戊庚為句弦和與亥乙等
[061-13b]
亥巳為句股和乗句弦較之
積與戊癸等
丙戊股 其方鼏甲丙
准前論甲丙方與亥巳長方
等積戊癸/亦同則庚戊和與丙戊股若丙戊股與戊乙較也
一 句弦和 庚戊
二 股 丙戊
三 股 丙戊
[061-14a]
四 句弦較 戊乙
以戊乙較減亥乙和餘亥戊倍句折半為句丁戊或/丁亥或
戊乙較與丙戊股若丙戊股與庚戊和也
一 句股較 戊乙
二 股 丙戊
三 股 丙戊
四 句股和 庚戊
又論曰以二圖合觀之凡倍句加句弦較即句弦和以
[061-14b]
倍句減句弦和餘即句弦較
此不論句小股大如前圖或句大股小如後圖並同
此可以明倍句與句弦較必為句弦和之兩分線故以
句弦和為全線則其内兼有倍句及句弦較之兩線矣
但倍句有時而大於較有時而小於較故不能自為
連比例而必藉股以通之
今於句弦和全線内取倍句如股則先以股線為和較
之中率者今以如股之倍句當之而倍句原係句弦和
[061-15a]
全線之大分於是和與倍句之比例若倍句與較亦即
為全與大分若大分與小分此理分中末線所由出也
下文詳之
丙戊線上取理分中末線
先以丙戊線命為股 以丙戊折半成丁戊命為句
取丙丁弦與丁乙等則戊乙為句弦較
變股為倍句成 亥戊倍句與丙戊股等 以
理分中末線圖 加較成亥乙即句弦和
[061-15b]
亥巳為和較相乗積與丙亥
股鼏等丙亥為丙戊股之方/即為亥戊倍句之方
准前論亥乙和與丙戊股
若丙戊股與戊乙較
今亥戊即丙戊則又為亥乙
和與亥戊倍句若亥戊倍句與戊乙較也
夫亥乙者全線也亥戊其大分戊乙其小分也合之則
是全線與其大分若大分與其小分
[061-16a]
論曰此以丙戊股線為理分中末之大分而求得其全
線亥乙與其小分戊乙也而大分與小分之比例原若
理分中末線 全線與大分故即可以丙戊
比例圖 大分為全線而以小分戊子
即戊/乙也為大分則子丙自為小
分矣
以亥乙為全線亥戊大分即/丙戊亦即乙
甲即戊乙小/分 戊子
[061-16b]
亥乙與乙甲即亥戊/大分若亥戊與子戊也即亥戊/與戊乙
理分中末線 此用亥乙甲大句股比亥戊
相生不窮圖 子小句股
若丙戊為全線
則又戊子為大分亦即/子巳子丙
為小分亦即/巳甲為亥戊與戊子
即丙戊/與戊子若子巳與巳甲也即子戊/與子丙
此用亥戊子大句股比子巳甲小句股
[061-17a]
亥戊與戊乙若戊子與子丙又相視之理也
又若子巳為全線
則子庚又為大分 庚巳又為小分
其法但於大分子巳内截取子庚如小分丙子作丙庚
小方則戊子即子/巳與子丙若子庚與庚巳
似此推之可至無窮
[061-18a]
解幾何三卷第二十七題
甲乙丙句股形 以乙丙句
折半於巳 作已戊線與股
平行平分甲丙弦於戊 又
作戊庚線與句平行平分甲
乙股於庚成巳庚長方此即半句乗半股為句股積之
半也
凡句股形内依正角作長方惟此為大 若於形内别
[061-18b]
作長方皆小皆不及句/股半積也
今仍作卯丁形則小於巳庚何以知之曰試作丑戊線
與丙巳半句平行而等又作丑丙線與戊巳半股平行
而等又引壬辰至寅引壬卯至午即顯壬丑形與壬巳
形等又乙辰原與巳寅等則以巳寅加壬丑而成丑午
壬辰巳之磬折形即亦與卯丁形等矣夫磬折形在丑
巳方形内而缺午辰之一角即相同磬折之卯丁形以
較已庚半積方形亦缺戊未之一角也葢丑巳等巳庚
[061-19a]
而所缺之午辰小方亦等戊未也 准此言之即凡作
長方於丙戊界内者皆小於巳庚半積形也
又作子癸形則亦小於巳庚何以知之曰試作戊乙對
角線引之至酉即顯癸未形與卯未形等即卯丁形與
子癸形亦等而其小於巳庚形為所缺之戊未小方亦
等矣 准此言之即凡作長方於甲戊界内者皆小於
巳庚半積形也
又知句股内容方之積亦皆小於半積惟句股相等如
[061-19b]
半方者容方即為半積
論曰此磬折形依弦線而成葢即幾何所謂有闕依形
也所闕之小方午辰及戊未皆與丑巳形相似而體勢
等以有弦線為之對角也然以句股解之殊簡
又論曰若壬角在弦線上去戊角更逺則所缺之午辰
小方亦更大而其形皆相似而體勢等辛角亦然
[061-20a]
解幾何三卷三十五題
甲丙乙句股形 以
甲乙弦為半徑作員
則甲丙股為正弦
丙乙句為餘弦
己丙矢為句弦較丁
丙大矢為句弦和
依句股法 較乗和開方得甲丙股而丙戊亦甲丙也故
[061-20b]
甲丙乗丙戊與巳丙乗丁丙等積也
幾何三卷第三十五題言員内兩線相交則其各分之
線相乗等積即此理也
巳丁過員心線
有庚壬斜線相交
於丙分丙巳及丙/丁又丙庚及
丙/壬皆分為兩法自
員心乙作十字線
[061-21a]
至辛平分庚壬為兩辛庚/辛壬皆斜線之半
辛庚半線内又分辛丙為小線
以辛丙減辛庚餘庚丙為較以辛丙加辛壬成丙壬為
和
以大小二方相較之理言之庚辛方内有庚丙較乗丙
壬和之積及辛丙方
乙辛庚句股形以乙庚為弦弦幂内兼有庚辛及乙辛
句股二幂即兼有庚丙乗丙壬之積及辛丙乙辛二方也
[061-21b]
又乙辛丙小句股形以乙丙為弦則乙丙方内兼有辛
乙辛丙二方而甲丙乙句股形以同庚乙之甲乙為弦
弦幂内兼有甲丙及乙丙二方 此兩弦者既等其幂
必等而其所兼之辛丙乙辛二方又與乙丙方等則各
減等率而其所餘之庚丙乗丙壬積亦必與甲丙方等
矣
而已丙乗丙丁原與甲丙方等則巳丙乗丙丁亦必與
庚丙乗丙壬等矣
[061-22a]
辛戊線 庚壬線
相交於丙則戊丙
乗丙辛與庚丙乗
丙壬亦等
何以知之曰試作
一丁巳過心線與
兩線交於丙凖前論戊丙乗丙辛之積及庚丙乗丙壬
之積皆能與丁丙乗乙丙之積等則亦必自相等矣
[061-22b]
丁巳員徑 有
庚壬斜線相交
於丙則庚丙乗
丙壬與巳丙乗
丙丁等
如法作乙辛及
乙庚線成乙辛庚句股 又成乙辛丙小句股以丙辛
句減庚辛句餘庚丙為較 以同丙辛句之辛戊加庚
[061-23a]
辛句成庚戊為和即丙/壬
又以乙丙弦即乙子亦/即乙癸減庚乙弦餘子庚為較 又兩
弦相加成庚癸為和即子/丑以庚子較乗庚癸和與庚丙
較乗丙壬和之積必等詳後/條而巳丙即庚子丙丁即子
丑亦即/庚癸故巳丙乗丙丁與庚丙乗丙壬亦等
又大小方相減之理 庚乙方内兼有庚子乗庚癸之
積及乙子方即如兼有庚丙乗丙壬之積及乙丙方也
乙丙即/乙子
[061-23b]
而同庚乙之甲乙弦幂内原兼有甲丙方及乙丙方此
庚乙甲乙兩積内各減去乙丙方則所存者一為庚丙
乗丙壬之積一為甲丙自乗積此所餘兩積亦必相同
可知矣
又巳丙乗丙丁之積原與甲丙方等則亦與庚丙乗丙
壬等矣
先解兩方相減
寅辛大方内減子巳小方寅辰為兩方邊之較卯/辰為兩方之和即子辛
[061-24a]
法以小方邊乙/子為度于大方邊截取乙長/乙戊作辰午線及
戊未線成辰戊
小方與巳子等
為減去之積其
餘為寅午長方
即二方較線寅/長乗大方邉之
積/及未辛長方
即較線午未乗/小方邉之積
[061-24b]
末取未辛長方移補丑卯之位成卯寅長方即較乗/和之積
又庚甲大方内減己癸小方丁辛為兩方較已辛/為兩方和亦即辛丙
如法作丁壬癸戌二線減去丁癸小方與已癸等其餘
辛壬壬癸兩長方又移癸壬為丙壬成丁丙長方即較
乗和之積也
凖此論之凡大小二方相減其所餘者必皆為較乗和
之積
次解兩句股形相減 凡兩句股同髙即可相加減謂/股
[061-25a]
數同/也
乙庚辛句股内減乙庚丁句股 則以丁庚句減辛庚
句餘辛/丁為兩句之較 又以同丁/庚之巳庚句加辛庚句
成辛已為兩句之和 和乗較成丁丙長方
又以乙丁弦減辛乙弦餘辛戊為兩弦之較 又兩弦
相加成辛子為兩弦之和戊乙子乙/並同丁乙 和乗較成卯寅
長方
此兩長方者其積必等無論乙為正角或/鈍角或鋭角並同
[061-25b]
何以明其然也曰依句股法乙辛弦上方兼有乙庚庚
辛上二方又乙巳弦上方兼有乙庚庚巳上一方今既
以乙巳上方減乙辛上方則各所兼之乙庚方巳相同
而減盡故乙辛上方之多於乙巳上方者即是庚辛上
方多於庚巳上方之數也
又所用者是兩分之乙庚辛句股及乙庚已句股即乙/庚丁
故不論乙角銳鈍其法悉同也
[061-26a]
解幾何三卷三十六三十七題
甲乙丙句股形 以丙乙
句為半徑作員 則甲丙
股為切線 甲乙弦為割
線
甲乙割線内減丁乙半徑
則甲丁為句弦較 甲乙割線加戊乙半徑成甲戊為
句弦和 和較相乗平方開之得甲丙股
[061-26b]
幾何三卷第三十六題三十七題之理葢出於此
若割員線不過乙心 如甲庚 則以他句股明之
法自乙心向割員線作乙巳為十字正交線則割線之
在員内者平分為兩子巳/巳庚
並為員内線子庚之半
又作乙子半徑成子巳乙
小句股則子乙小弦上方
幂兼有子巳小股乙巳小
[061-27a]
句兩幂又甲庚總線既分於巳則甲巳大線内減子巳
小線其餘甲子在員外者為較 以小線巳庚加大線
甲巳成甲庚總為和
凡大小二方相較則大方内兼有較乗和及小方之積
則是甲巳幂内必兼有甲
子乗甲庚之長方及子巳
方也
又甲巳乙亦句股形其甲
[061-27b]
乙弦内原兼有甲巳及乙已句股二幂即是兼有甲子
乗甲庚之長方及子巳方與乙巳方也而子巳及巳乙
二方原合之成一子乙方子乙即丙乙也是合丙乙方
與甲子成甲寅之長方而成甲乙方也
又甲丙乙句股形 同以甲乙為弦原合丙乙方與甲
丙方而成甲乙方
兩形之甲乙方内各去其相等之丙乙方則其餘積一
為甲子乗甲寅之長方一為甲丙自乗方是二者不得
[061-28a]
不等矣
用法
凡測平員形 既得甲丙切線 自乗為實 以甲丁
之距為法除之得甲戊之距以甲丁距減之得丁戊員
徑
若欲測庚物之在員周者亦以甲丙切線自乗為實以
甲子為法除之即得甲庚之距
又法用兩句股相加減
[061-28b]
甲乙丙句股形 以乙丙句為半徑作員 又以甲乙
弦為半徑作外員 自外員任取甲㸃作過心員徑至
戊 又任作一不過心斜線入内員至庚 則以兩員
間距線乗其全線皆與
股幂等而亦自相等
如以甲丁乗甲戊或甲
壬乗甲庚其積皆等又
皆與甲丙切線上方幂等
[061-29a]
法以兩句股相加減
先自乙心作乙辛十字正線平分壬庚線於辛成乙辛
甲句股
又作乙壬乙庚二線成乙辛壬小句股與乙辛庚等
法以辛壬與甲辛相減餘甲壬為兩句之較
又相加成甲庚全線為兩句之和則以甲壬乗甲庚為
句之較乗和也
又以乙壬與甲乙相減餘甲丁為兩弦之較
[061-29b]
亦相加成甲戊全線為兩弦之和則以甲丁乗甲戊為
弦之較乗和也
此句與弦之和較相乗兩積必等
而甲丁乗甲戊原與甲丙自乗等以甲丙乙句/股言之也故三積
俱等
凖此論之凡自甲㸃任作多線入内員其法並同 不
但此也但於外員周任作線入内員亦同如於丑作丑
戊線則丑卯乗丑戊亦與甲丙幂等
[061-30a]
何以知之曰試於丑作丑寅過心線即諸數並同甲戊
矣而丑卯戊之於丑辰寅猶甲壬寅之於甲丁戊故也
[061-31a]
簡法
庚壬斜線交丁巳員徑於
丙 如法作乙辛線 成
乙辛庚句股形及乙辛丙
小句股形
又以丙辛小句與辛庚大句相減得庚戊較又相加成
庚丙和
再以乙丙小弦即乙癸亦/即乙子與庚乙大弦相減得子庚較
[061-31b]
又相加成癸庚和
依大小兩句股相加減法庚戊較乗庚丙和與子庚較
乗庚癸和同積
而壬丙原同庚戊又巳丙原同子庚而丁丙亦同癸庚
則壬丙乗庚丙亦必與巳丙乗丁丙同積矣
又簡法
壬庚線斜交已丁員徑於丙 依法作乙辛又作乙壬
線 成乙辛壬句股及乙辛丙小句股皆如前
[061-32a]
今自庚别作一過乙心線如
庚戊則乙辛庚與乙辛壬成
相同之兩句股即顯壬丙為
大小兩句之較而丙庚為其
和
又顯戊癸為兩弦之較而與巳丙等則巳丙亦較也
又癸庚為兩弦之和而與丙丁等則丙丁亦和也
是故壬丙乗丙庚較乗和也已丙乗丙丁亦較乗和也
[061-32b]
而其積必等
厯算全書卷四十八
欽定四庫全書
厯算全書卷四十八
宣城梅文鼎撰
句股闡微卷三
句股法解幾何原本之根
句股羃與弦羃相等圖
甲乙丙句股形 乙辛大方為弦羃 弦羃内兼有句
股二羃
[061-1b]
論曰試於弦羃作對角之乙
子線與甲丙股平行而等又
作丙丁對角線與甲乙句平
行與乙子線遇於子成十字
正角則丙子與甲乙句相等
成乙子丙句股形與甲乙丙句股形等又作辛癸及庚
戊兩線皆與丙丁等亦與乙子等而皆與甲丙股等又
辛丁及癸庚及戊乙皆與丙子等即皆與甲乙句等則
[061-2a]
弦冪内所作四句股形皆與原設句股形等於是以丙
丁辛形移作乙壬庚以癸庚辛形移作甲乙丙成甲丙
丁癸庚壬磬折形末引丁癸
至巳截成大小二方形則丙
巳方形即股幂癸壬小方即
句幂也
若先有丙巳股幂癸壬句幂
則聯為磬折形而移乙壬庚
[061-2b]
句股補於丙丁辛之位移甲乙丙句股補於癸庚辛之
位即復成乙辛大方而為弦幂
又法
甲乙丙句股形 乙丙弦 其幂乙戊丁丙
甲丙股其幂甲壬辛丙 甲乙句其幂乙庚癸甲
法於原形之甲正角作十字線分弦幂為兩長方一為/丑子
丁/丙凖股幂一為丑/子戊乙凖句幂又引之至己又自庚癸自壬
辛並引之至巳而成方角
[061-3a]
次移甲丑丙句股補巳子丁虚形又移巳壬甲句股補
丁辛丙虚形即成股冪而與丑子丁丙長方等積
又移甲丑乙句股補己子戊虚形再移己卯戊句股補
戊癸寅虚形又移戊卯甲癸形補癸寅乙庚虚形即成
句幂而與丑子戊乙等積
[061-4a]
解幾何二卷第五題 第六題
甲丙為弦 丁丙為句
丁甲句弦和 乙丁句弦
較丁甲同丁壬/甲癸並同
庚辛戊己弦幂也 己句
幂也 戊庚辛較乗和之
長方幂也
移戊補戊移庚辛補庚辛而弦幂内净多一己形即句
[061-4b]
幂也故弦幂内有和較相乗之長方又有句幂也
論曰凡大小方形相減則其餘必為兩形邊和較相乗
之長方是故己形者句自乗之小方也戊庚辛句弦較
乗句弦和之長方也合之成戊庚辛巳形即弦自乗之
大方矣
幾何二卷第五題以倍弦為甲乙原線以甲丙弦為平
分之線以甲丁和乙丁較為任分之兩線以丁丙句為
分内線其理一也
[061-5a]
第六題以子丁倍句為原線以丁丙句為平分線以句
弦較乙丁即子/甲為引増線以丁甲句弦和為全線其理
亦同
以數明之 甲丙弦八 丁丙句五 乙丁較三 丁
甲和十三 和較相乗三十九 句自乗二十五 以
句幂加和較長方共六十四與甲丙弦幂等
又論曰用股弦和較亦同
[061-6a]
解幾何二卷第七題
甲丁股幂即甲乙元/線上方子戊
句幂即甲乙方内所作已/辛方乃任分線甲丙
上方/也併之成癸寅弦幂即/所
謂兩直角/方形併也
弦幂内有戊甲股即甲乙/原線
戊癸句即任分之/甲丙線相乗長
方形二即己甲長方及丁辛長方亦/即甲乙偕甲丙矩形二也及句股較乙丙上
[061-6b]
方一即壬丙小方亦即所/謂分餘線上方也
何以明之曰試於戊癸線引長至丑令丑癸如已丁較
即乙/丙遂作子丑小長方與丁/庚等以益亥癸成亥丑長方與/丁
辛等亦與/已甲等
次於癸寅内作甲酉寅辰午未癸卯四線皆與甲乙股
等 自然有甲卯寅酉午辰癸未四線皆與戊癸句等
又自有未卯卯酉等句股較與乙丙較等 即顯弦
幂内有句股形四較幂一也
[061-7a]
試於弦鼏内移午辰寅句股補癸戊甲之位成戊卯長
方與己/甲等又移癸未午句股補甲戌寅之位成戌酉長方
與亥/丑等而較幂未酉小方元與壬丙等又子丑小長方元
與丁庚等
合而觀之豈非丁甲股幂及子戊句幂併即與己甲亥
丑兩長方及壬丙小方等積乎
[061-8a]
解幾何二卷第八題
庚甲乙句股形 取丁乙如
庚甲句則丁甲為句股和
和之幂為丁己大方即元線/甲乙偕
初分線上/直角方也於大方周線取戊
丑己子皆與庚甲句等即丑
丁戊子己庚皆與甲乙股等即甲乙元線也/句線則初分線
次作丑癸庚辛乙壬子卯四線皆與外周四股線平行
[061-8b]
而等
自有丑壬子癸庚卯乙辛四線皆與外周四句線平行
而等
又有壬癸癸卯卯辛辛壬四句股較線自相等即分餘/線也
丁已和幂内有長方形四皆句乗股之積即元線偕初/分線矩内形
四/也又有句股較自乗幂一即分餘線上方形也
[061-9a]
解幾何二卷第九題
甲丙為股 丁丙為句
丁甲句股和 乙丁句股
較 壬庚為句幂 辛丙
為股幂 丑丁較幂 丁
癸和幂 戊巳線上方為
句幂之倍 戊甲上方為
斜線上方倍於元方圖 股幂之倍併和較幂倍大
[061-9b]
於句幂股幂之併古法倍弦幂内減句股和幂開方得
較若減較幂亦開方得和即其理也
論曰己丁較上方與丁
甲和上方併之即己甲
上方也戊巳線上方與
戊甲線上方併亦即巳
甲上方也 而戊巳為句幂斜線戊甲為股幂斜線凡
斜線上方形倍於原方故較幂併和幂亦倍大於句幂
[061-10a]
股幂之併也而句幂股幂併之即弦幂古人所以用倍
弦幂也
此第十題與前題同法 甲
丙即句 丁丙即股 丁甲
全線即和 丁乙引増線即
較
准前論丁庚即丁/乙較上方幂與丁甲和上方幂併成庚
甲線上幂而庚甲幂内原兼有丙丁股即巳戊亦/即己庚及丙
[061-10b]
甲句二幂己壬為股幂/辛丙為句幂之倍數庚戊為股斜線其幂必/倍於股幂戊甲為句斜
線其幂必/倍於句幂故庚甲幂内能兼戊庚及戊甲二幂
丙丙線皆弦也丙丙方弦幂
也甲丙之長者皆股也亦即/丙丁
丁/甲丙之短者皆句也亦即/丙丁
丁丁線句股較也丁丁小方
較幂也甲丙甲句股和也甲甲大方和幂也
丁甲長方皆句股相乗即倍句股形積也
[061-11a]
合而觀之則弦幂内有句股積四及較冪一也和幂内
有句股積八及較幂一也 若倍弦幂則有句股積八
及較幂二也故以和幂減倍弦幂得較幂 若以較幂
減之亦得和幂矣
[061-12a]
以句股法解理分中末線之根
即幾何二卷第十一題 六卷第三十題四卷第十第十一題
古法句弦較 癸庚弦 其鼏庚乙 丙癸
乘句弦和開 句 其鼏丙戊
方得股之圖 引庚甲弦至壬使甲壬如丙
癸句則庚壬為句弦和丙庚
原為句弦較 以較乗和成
丙壬長方 長方内截甲丁
[061-12b]
小長方與戊辛等 其餘庚辛
合而觀之是弦鼏内兼有句弦較乗和之積及句鼏
也
夫弦鼏内原有句股二鼏而今以句弦較乗和之積可
代股鼏是句弦較乗和即同股鼏也
句弦和及股 用法
及句弦較為 有句弦和 有句弦較
連比例圖 求股法以較乗和開方得股
[061-13a]
或有股有句弦和求句求
弦法以股自乗為實以句
弦和除之得較以較減和
半之得句句加較得弦若
先有較以除股鼏亦得和矣
如圖 丙戊丁句股形 丙丁弦與丁乙等亦與丁庚等/
丁戊句 亥戊為倍句 乙戊為句弦較與庚亥等
戊庚為句弦和與亥乙等
[061-13b]
亥巳為句股和乗句弦較之
積與戊癸等
丙戊股 其方鼏甲丙
准前論甲丙方與亥巳長方
等積戊癸/亦同則庚戊和與丙戊股若丙戊股與戊乙較也
一 句弦和 庚戊
二 股 丙戊
三 股 丙戊
[061-14a]
四 句弦較 戊乙
以戊乙較減亥乙和餘亥戊倍句折半為句丁戊或/丁亥或
戊乙較與丙戊股若丙戊股與庚戊和也
一 句股較 戊乙
二 股 丙戊
三 股 丙戊
四 句股和 庚戊
又論曰以二圖合觀之凡倍句加句弦較即句弦和以
[061-14b]
倍句減句弦和餘即句弦較
此不論句小股大如前圖或句大股小如後圖並同
此可以明倍句與句弦較必為句弦和之兩分線故以
句弦和為全線則其内兼有倍句及句弦較之兩線矣
但倍句有時而大於較有時而小於較故不能自為
連比例而必藉股以通之
今於句弦和全線内取倍句如股則先以股線為和較
之中率者今以如股之倍句當之而倍句原係句弦和
[061-15a]
全線之大分於是和與倍句之比例若倍句與較亦即
為全與大分若大分與小分此理分中末線所由出也
下文詳之
丙戊線上取理分中末線
先以丙戊線命為股 以丙戊折半成丁戊命為句
取丙丁弦與丁乙等則戊乙為句弦較
變股為倍句成 亥戊倍句與丙戊股等 以
理分中末線圖 加較成亥乙即句弦和
[061-15b]
亥巳為和較相乗積與丙亥
股鼏等丙亥為丙戊股之方/即為亥戊倍句之方
准前論亥乙和與丙戊股
若丙戊股與戊乙較
今亥戊即丙戊則又為亥乙
和與亥戊倍句若亥戊倍句與戊乙較也
夫亥乙者全線也亥戊其大分戊乙其小分也合之則
是全線與其大分若大分與其小分
[061-16a]
論曰此以丙戊股線為理分中末之大分而求得其全
線亥乙與其小分戊乙也而大分與小分之比例原若
理分中末線 全線與大分故即可以丙戊
比例圖 大分為全線而以小分戊子
即戊/乙也為大分則子丙自為小
分矣
以亥乙為全線亥戊大分即/丙戊亦即乙
甲即戊乙小/分 戊子
[061-16b]
亥乙與乙甲即亥戊/大分若亥戊與子戊也即亥戊/與戊乙
理分中末線 此用亥乙甲大句股比亥戊
相生不窮圖 子小句股
若丙戊為全線
則又戊子為大分亦即/子巳子丙
為小分亦即/巳甲為亥戊與戊子
即丙戊/與戊子若子巳與巳甲也即子戊/與子丙
此用亥戊子大句股比子巳甲小句股
[061-17a]
亥戊與戊乙若戊子與子丙又相視之理也
又若子巳為全線
則子庚又為大分 庚巳又為小分
其法但於大分子巳内截取子庚如小分丙子作丙庚
小方則戊子即子/巳與子丙若子庚與庚巳
似此推之可至無窮
[061-18a]
解幾何三卷第二十七題
甲乙丙句股形 以乙丙句
折半於巳 作已戊線與股
平行平分甲丙弦於戊 又
作戊庚線與句平行平分甲
乙股於庚成巳庚長方此即半句乗半股為句股積之
半也
凡句股形内依正角作長方惟此為大 若於形内别
[061-18b]
作長方皆小皆不及句/股半積也
今仍作卯丁形則小於巳庚何以知之曰試作丑戊線
與丙巳半句平行而等又作丑丙線與戊巳半股平行
而等又引壬辰至寅引壬卯至午即顯壬丑形與壬巳
形等又乙辰原與巳寅等則以巳寅加壬丑而成丑午
壬辰巳之磬折形即亦與卯丁形等矣夫磬折形在丑
巳方形内而缺午辰之一角即相同磬折之卯丁形以
較已庚半積方形亦缺戊未之一角也葢丑巳等巳庚
[061-19a]
而所缺之午辰小方亦等戊未也 准此言之即凡作
長方於丙戊界内者皆小於巳庚半積形也
又作子癸形則亦小於巳庚何以知之曰試作戊乙對
角線引之至酉即顯癸未形與卯未形等即卯丁形與
子癸形亦等而其小於巳庚形為所缺之戊未小方亦
等矣 准此言之即凡作長方於甲戊界内者皆小於
巳庚半積形也
又知句股内容方之積亦皆小於半積惟句股相等如
[061-19b]
半方者容方即為半積
論曰此磬折形依弦線而成葢即幾何所謂有闕依形
也所闕之小方午辰及戊未皆與丑巳形相似而體勢
等以有弦線為之對角也然以句股解之殊簡
又論曰若壬角在弦線上去戊角更逺則所缺之午辰
小方亦更大而其形皆相似而體勢等辛角亦然
[061-20a]
解幾何三卷三十五題
甲丙乙句股形 以
甲乙弦為半徑作員
則甲丙股為正弦
丙乙句為餘弦
己丙矢為句弦較丁
丙大矢為句弦和
依句股法 較乗和開方得甲丙股而丙戊亦甲丙也故
[061-20b]
甲丙乗丙戊與巳丙乗丁丙等積也
幾何三卷第三十五題言員内兩線相交則其各分之
線相乗等積即此理也
巳丁過員心線
有庚壬斜線相交
於丙分丙巳及丙/丁又丙庚及
丙/壬皆分為兩法自
員心乙作十字線
[061-21a]
至辛平分庚壬為兩辛庚/辛壬皆斜線之半
辛庚半線内又分辛丙為小線
以辛丙減辛庚餘庚丙為較以辛丙加辛壬成丙壬為
和
以大小二方相較之理言之庚辛方内有庚丙較乗丙
壬和之積及辛丙方
乙辛庚句股形以乙庚為弦弦幂内兼有庚辛及乙辛
句股二幂即兼有庚丙乗丙壬之積及辛丙乙辛二方也
[061-21b]
又乙辛丙小句股形以乙丙為弦則乙丙方内兼有辛
乙辛丙二方而甲丙乙句股形以同庚乙之甲乙為弦
弦幂内兼有甲丙及乙丙二方 此兩弦者既等其幂
必等而其所兼之辛丙乙辛二方又與乙丙方等則各
減等率而其所餘之庚丙乗丙壬積亦必與甲丙方等
矣
而已丙乗丙丁原與甲丙方等則巳丙乗丙丁亦必與
庚丙乗丙壬等矣
[061-22a]
辛戊線 庚壬線
相交於丙則戊丙
乗丙辛與庚丙乗
丙壬亦等
何以知之曰試作
一丁巳過心線與
兩線交於丙凖前論戊丙乗丙辛之積及庚丙乗丙壬
之積皆能與丁丙乗乙丙之積等則亦必自相等矣
[061-22b]
丁巳員徑 有
庚壬斜線相交
於丙則庚丙乗
丙壬與巳丙乗
丙丁等
如法作乙辛及
乙庚線成乙辛庚句股 又成乙辛丙小句股以丙辛
句減庚辛句餘庚丙為較 以同丙辛句之辛戊加庚
[061-23a]
辛句成庚戊為和即丙/壬
又以乙丙弦即乙子亦/即乙癸減庚乙弦餘子庚為較 又兩
弦相加成庚癸為和即子/丑以庚子較乗庚癸和與庚丙
較乗丙壬和之積必等詳後/條而巳丙即庚子丙丁即子
丑亦即/庚癸故巳丙乗丙丁與庚丙乗丙壬亦等
又大小方相減之理 庚乙方内兼有庚子乗庚癸之
積及乙子方即如兼有庚丙乗丙壬之積及乙丙方也
乙丙即/乙子
[061-23b]
而同庚乙之甲乙弦幂内原兼有甲丙方及乙丙方此
庚乙甲乙兩積内各減去乙丙方則所存者一為庚丙
乗丙壬之積一為甲丙自乗積此所餘兩積亦必相同
可知矣
又巳丙乗丙丁之積原與甲丙方等則亦與庚丙乗丙
壬等矣
先解兩方相減
寅辛大方内減子巳小方寅辰為兩方邊之較卯/辰為兩方之和即子辛
[061-24a]
法以小方邊乙/子為度于大方邊截取乙長/乙戊作辰午線及
戊未線成辰戊
小方與巳子等
為減去之積其
餘為寅午長方
即二方較線寅/長乗大方邉之
積/及未辛長方
即較線午未乗/小方邉之積
[061-24b]
末取未辛長方移補丑卯之位成卯寅長方即較乗/和之積
又庚甲大方内減己癸小方丁辛為兩方較已辛/為兩方和亦即辛丙
如法作丁壬癸戌二線減去丁癸小方與已癸等其餘
辛壬壬癸兩長方又移癸壬為丙壬成丁丙長方即較
乗和之積也
凖此論之凡大小二方相減其所餘者必皆為較乗和
之積
次解兩句股形相減 凡兩句股同髙即可相加減謂/股
[061-25a]
數同/也
乙庚辛句股内減乙庚丁句股 則以丁庚句減辛庚
句餘辛/丁為兩句之較 又以同丁/庚之巳庚句加辛庚句
成辛已為兩句之和 和乗較成丁丙長方
又以乙丁弦減辛乙弦餘辛戊為兩弦之較 又兩弦
相加成辛子為兩弦之和戊乙子乙/並同丁乙 和乗較成卯寅
長方
此兩長方者其積必等無論乙為正角或/鈍角或鋭角並同
[061-25b]
何以明其然也曰依句股法乙辛弦上方兼有乙庚庚
辛上二方又乙巳弦上方兼有乙庚庚巳上一方今既
以乙巳上方減乙辛上方則各所兼之乙庚方巳相同
而減盡故乙辛上方之多於乙巳上方者即是庚辛上
方多於庚巳上方之數也
又所用者是兩分之乙庚辛句股及乙庚已句股即乙/庚丁
故不論乙角銳鈍其法悉同也
[061-26a]
解幾何三卷三十六三十七題
甲乙丙句股形 以丙乙
句為半徑作員 則甲丙
股為切線 甲乙弦為割
線
甲乙割線内減丁乙半徑
則甲丁為句弦較 甲乙割線加戊乙半徑成甲戊為
句弦和 和較相乗平方開之得甲丙股
[061-26b]
幾何三卷第三十六題三十七題之理葢出於此
若割員線不過乙心 如甲庚 則以他句股明之
法自乙心向割員線作乙巳為十字正交線則割線之
在員内者平分為兩子巳/巳庚
並為員内線子庚之半
又作乙子半徑成子巳乙
小句股則子乙小弦上方
幂兼有子巳小股乙巳小
[061-27a]
句兩幂又甲庚總線既分於巳則甲巳大線内減子巳
小線其餘甲子在員外者為較 以小線巳庚加大線
甲巳成甲庚總為和
凡大小二方相較則大方内兼有較乗和及小方之積
則是甲巳幂内必兼有甲
子乗甲庚之長方及子巳
方也
又甲巳乙亦句股形其甲
[061-27b]
乙弦内原兼有甲巳及乙已句股二幂即是兼有甲子
乗甲庚之長方及子巳方與乙巳方也而子巳及巳乙
二方原合之成一子乙方子乙即丙乙也是合丙乙方
與甲子成甲寅之長方而成甲乙方也
又甲丙乙句股形 同以甲乙為弦原合丙乙方與甲
丙方而成甲乙方
兩形之甲乙方内各去其相等之丙乙方則其餘積一
為甲子乗甲寅之長方一為甲丙自乗方是二者不得
[061-28a]
不等矣
用法
凡測平員形 既得甲丙切線 自乗為實 以甲丁
之距為法除之得甲戊之距以甲丁距減之得丁戊員
徑
若欲測庚物之在員周者亦以甲丙切線自乗為實以
甲子為法除之即得甲庚之距
又法用兩句股相加減
[061-28b]
甲乙丙句股形 以乙丙句為半徑作員 又以甲乙
弦為半徑作外員 自外員任取甲㸃作過心員徑至
戊 又任作一不過心斜線入内員至庚 則以兩員
間距線乗其全線皆與
股幂等而亦自相等
如以甲丁乗甲戊或甲
壬乗甲庚其積皆等又
皆與甲丙切線上方幂等
[061-29a]
法以兩句股相加減
先自乙心作乙辛十字正線平分壬庚線於辛成乙辛
甲句股
又作乙壬乙庚二線成乙辛壬小句股與乙辛庚等
法以辛壬與甲辛相減餘甲壬為兩句之較
又相加成甲庚全線為兩句之和則以甲壬乗甲庚為
句之較乗和也
又以乙壬與甲乙相減餘甲丁為兩弦之較
[061-29b]
亦相加成甲戊全線為兩弦之和則以甲丁乗甲戊為
弦之較乗和也
此句與弦之和較相乗兩積必等
而甲丁乗甲戊原與甲丙自乗等以甲丙乙句/股言之也故三積
俱等
凖此論之凡自甲㸃任作多線入内員其法並同 不
但此也但於外員周任作線入内員亦同如於丑作丑
戊線則丑卯乗丑戊亦與甲丙幂等
[061-30a]
何以知之曰試於丑作丑寅過心線即諸數並同甲戊
矣而丑卯戊之於丑辰寅猶甲壬寅之於甲丁戊故也
[061-31a]
簡法
庚壬斜線交丁巳員徑於
丙 如法作乙辛線 成
乙辛庚句股形及乙辛丙
小句股形
又以丙辛小句與辛庚大句相減得庚戊較又相加成
庚丙和
再以乙丙小弦即乙癸亦/即乙子與庚乙大弦相減得子庚較
[061-31b]
又相加成癸庚和
依大小兩句股相加減法庚戊較乗庚丙和與子庚較
乗庚癸和同積
而壬丙原同庚戊又巳丙原同子庚而丁丙亦同癸庚
則壬丙乗庚丙亦必與巳丙乗丁丙同積矣
又簡法
壬庚線斜交已丁員徑於丙 依法作乙辛又作乙壬
線 成乙辛壬句股及乙辛丙小句股皆如前
[061-32a]
今自庚别作一過乙心線如
庚戊則乙辛庚與乙辛壬成
相同之兩句股即顯壬丙為
大小兩句之較而丙庚為其
和
又顯戊癸為兩弦之較而與巳丙等則巳丙亦較也
又癸庚為兩弦之和而與丙丁等則丙丁亦和也
是故壬丙乗丙庚較乗和也已丙乗丙丁亦較乗和也
[061-32b]
而其積必等
厯算全書卷四十八