[060-1a] 
欽定四庫全書
厯算全書卷四十七
宣城梅文鼎撰
句股闡微卷二
句股積求句股弦句股積與弦較較求諸數
第一法
假如句股積一百/二十弦較較十二/
法以積四之得四百/八十弦較較自之一百四/十四兩數相減餘
[060-1b]
三百三/十六折半一百六/十八為實弦較較十/二為法除之得句股
較十/四以加弦較較十/二共得二十/六為弦有弦有句股較/即諸數可求
論曰甲乙丙丁合形為弦自乗大方幂甲小方為句股
較幂弦幂内減句股較幂所餘丙乙丁磬折形原與四
句股積等於中又減去乙小方
為弦較較自乗幂仍餘丁丙二
長方並以句股較為其長以弦
較較為其濶故折半而用其一
[060-2a]
為實以弦較較為法除之得句股較矣是以濶求長/
第二法
置四句股積四百/八十與弦較較自幂一百四/十四相加得共六/百
二十/四折半三百/十二為實弦較較十/二為法除之得二十/六為弦
弦内減去弦較十/二得餘十/四為句股較
論曰乙丙丁磬折形原與四句股積等今加一小方形
如己為弦較自乗幂與乙等又丁丙二長方原相等於
是合丁己為一長方合乙丙為一長方必亦相等矣並/以
[060-2b]
弦較較為濶/以弦為長故折半而用其一
為實以弦較較為法除之即得
弦矣亦是以濶求長/
第三法
置四句股積四百/八十為實弦較較十/二為法除之得四/十為弦
較和以弦較較十/二加弦較和四十得五十/二折半二十/六為
弦以弦較較十/二減弦較和四/十得二十/八折半十/四為句股較
[060-3a]
於前圖乙丙丁磬折形即四句股積移丁長方置于戊
為乙丙戊長方其長如弦
較和其闊如弦較較故以
弦較較除之得弦較和若/以
弦較和除之/亦得弦較較
又簡法
置句股積一百/二十為實以弦較較十/二半之得六/為法除之
得二/十為半弦較和以半弦較較六/加半弦較和二/十得二/十
[060-3b]
六/為弦又以半較六/減半和二/十得十/四為句股較
論曰長方形濶十/二如弦較較長四/十如弦較和其積如四
句股今只用一句股積是四
之一也積四之一者其邊必
半觀圖自明
句股積與弦較和求諸數
第一法
假如句股積一百/二十弦較和四/十
[060-4a]
法以積四之得四百八十弦較和自之得一千/六百兩數相
減餘一千一/百二十折半得五百/六十為實弦較和四/十為法除之得
十/四為句股較以減弦較和得二十/六為弦弦自乗六百七/十六
加四句股積四百/八十得一千一百/五十六平方開之得三十/四為句
股和以與句股較十/四相加得四十/八折半二十/四為股又相
減得二/十折半得一/十為句
句一十/ 股二十四/ 弦二十六/
句股和三十/四 句股較十四/ 弦較和四十/
[060-4b]
弦較較十二/
論曰總方為弦較和四/十自乗
之幂内分甲戊己方為弦自
乗幂乙小方為句股較自乗
幂於弦幂内減去戊己磬折
形即四句股積則所餘者甲
小方即句股較幂與乙方等以甲小方合丁長方即與
乙丙長方等以丁丙小長/方原相等故此二長方並以句股較十/四為
[060-5a]
濶以弦較和為長四/十故折半而用其一為實弦較和四/十
為法除之即得句股較是為以/長求濶
第二法
弦較和自乗一千/六百與四句股積四百/八十兩數相加二千○/八十
折半一千○/四十為實弦較和四/十為法除之得二十/六為弦以
減弦較和得十/四為句股較餘如前觀後圖自明/
第三法
置四句股積四百/八十為實弦較和四/十為法除之得十/二為弦
[060-5b]
較較餘同弦較較第三法
又簡法
句股積一百/二十為實弦較和四/十半之得二/十為法除之得六/
為弦較較之半餘並同弦較較簡法
論曰乙丁丙甲戊己合形為弦
較和四/十自乗之大方外加一庚
辛長方為四句股積與戊己磬
折形等於是中分之為兩長方
[060-6a]
乙丁庚辛合為左長方/丙甲己戊合為右長方並以弦為濶二十/六弦較和四/十為
長故折半為實以弦較和除之得弦亦為以長求濶/
借此圖可解第三法之理何則庚辛長方形既為四句
股積而其濶十/二如弦較較其長四/十如弦較和是十/二與四/十
相乗之積也故以弦較較除之得弦較和若以弦較和
除之即復得弦較較
若庚辛長方横直皆均剖之成四小長方則其濶皆六/
加半較其長二/十如半和而其積皆一百/二十為一句股積矣
[060-6b]
此又簡法之理也
句股積與弦和較求諸數
第一法
假如句股積六千七/百五十弦和較六/十
法以弦和較自之得三千/六百與四句股積二萬/七千相減餘二/萬
三千/四百折半一萬一/千七百為實弦和較六/十為法除之得一百九/十五
為弦加較六/十得句股和二百五/十五弦幂内減四句股積開
方得句股較以加句股和折半得股以減句股和折半
[060-7a]
得句
句七十五/ 股一百八十/ 弦一百九十五/
句股和二百五/十五 句股較百○五/ 弦和和四百五/十
弦較和三百/ 弦和較六十/ 弦較較九十/
第二法
以弦和較自乗三千/六百與四句股積二萬/七千相加得三萬○/六百
折半一萬五/千三百為實弦和較六/十為法除之得二百五/十五為句
股和内減弦和較六/十得一百九/十五為弦
[060-7b]
論曰丁丙方為句股和自乗方幂
内減甲戊方為弦自乗幂其餘丁
戊丙磬折形四句股積也内減戊
乙小方為弦和較自乗積則所餘
丁戊長方與戊丙長方等而並以
弦為長弦和較為濶故以弦和較除之得弦此第一法
減四句股積之理也
若於丁戊丙乙磬折形外加一己丙小方與戊乙等乃
[060-8a]
併之為庚戊長方與辛乙等並以句股和為長弦和較
為濶此第二法加四積之理也兩法並以濶求長/
第三法
置四句股積二萬/七千為實弦和較六/十除之得四百/五十為弦和
和以與弦和較相加折半為句股和又相減折半為弦
此如有句股積有容圓徑而求句股弦乃還元之法也
論曰前圖中辛乙長方并戊丙
長方是四句股積聯之為辛丙
[060-8b]
長方則其濶丁辛弦和較也其長丁丙弦和和也
又簡法
置句股積六千七/百五十為實半弦和較三/十除之得二百二/十五為
半弦和和以與半弦和較相加得二百五十五為句股
和又相減得一百九/十五為弦 此如有容圓半徑以除句
股積而得半弦和和句股積與弦和和求諸數
第一法
假如句股積六千七/百五十弦和和四百/五十
[060-9a]
法以積四之得二萬/七千弦和和自之得二十○萬/二千五百兩數相
減餘十七萬五/千五百折半八萬七千/七百五十為實弦和和四百/五十為法
除之得一百九/十五為弦以減弦和和得二百五/十五為句股和
第二法
以四句股積與弦和和幂兩數相加得二十二萬/九千五百折半
得十一萬四千/七百五十為實弦和和四百/五十為法除之得二百五/十五
為句股和以減弦和和得一百九/十五為弦
論曰甲乙大方弦和和自乗也内分甲丁方弦自乗也
[060-9b]
與丁丙方等丁乙方句股和
自乗也於丁乙内減去丁丙
弦幂則所餘者四句股積即
壬乙丙戊二小長方也而己
辛小長方與丙戊等則己乙
長方亦四句股積也今於甲乙大方内減去己乙則所
餘者甲戊己戊二長方並以弦為濶弦和和為長故以
弦和和除之而得弦此第一法減四句股積之理也是
[060-10a]
為以長求濶
又論曰若於甲乙大方外増一甲庚長方與己乙等而
中分之於癸戊則癸乙與癸庚兩長方等並以句股和
為濶弦和和為長故以弦和和除之而先得句股和此
苐二法加四句股積之理也亦是以長求濶
第三法
置四句股積二萬/七千為實弦和和四百/五十除之得弦和較六/十
此如併句股弦除四倍積而得容員徑
[060-10b]
又簡法
置句股積六千七/百五十為實半弦和和二百二/十五除之得半弦
和較三/十此如合半句半股半弦除積得容員半徑
欲明加減用四句股之理當觀古圖
甲乙丙句股形 甲丙句六
甲乙股八 乙丙弦十
甲丁句股和十四 壬辛句
股較二甲己大方句股和自
[060-11a]
乗冪也其積一百九十六 丙戊次方弦自乗冪也其
積一百 壬庚小方句股較自乗冪也其積四 甲己
和冪内減弦冪所餘者四句股也 弦冪内減較冪所
餘者亦四句股也 句股之積並二十四
甲丁句股和十四癸丁弦十子丁句股較二甲丙方爲
句股和自乗冪一百九/十六内減癸辛弦冪一/百餘九十/六爲甲
己丙磬折形亦卽四/句股積内分甲己直形移置於丙戊成乙
戊長方卽爲弦和較乗/弦和和又壬丁小方爲句股較自乗其
[060-11b]
冪四以減弦冪一百餘九十六爲癸壬辛巳磬折形亦/卽
四句/股積内分癸壬直
形移置於辛庚成
己庚長方卽爲弦
較較乗弦較和
假如方環田有積有田之濶問内外方各若干
法以積四之一爲實田濶除之得數爲内外二方半和
與田濶相加得外方又相減得内方葢田濶卽如半較/
[060-12a]
若但知外方及内小方及環田積法即并大小方邊為
和以除積得數為較較與和相加折半為外周大方又
相減折半為小方以兩方之較折半為環田濶
若方田内有方墩法同或方墩不居正中其法亦同但
只可求大小方邊不能知濶
總論曰弦較較乗弦較和之積與弦和較乗弦和和之
積等為四句股乃立法之根也而其理皆具古圖中學
者所宜深玩
[060-12b]
又如有辛庚壬圓池不知其徑法於乙作甲乙直線切
員池於庚又乙丙横線切圓池於壬乙為正方角又自
丙望甲作斜線切員池於辛
乃自丙取乙丙之度截斜線
於丁又自甲取甲乙之度截
斜線於戊末但量丁戊有若
干尺即圓池徑
解曰此即句股容員法也丙乙句截甲丙弦於丁則丁
[060-13a]
甲為句弦較甲乙股截弦於戊則戊丙為股弦較而丁
戊為弦和較故即為圓徑 其句股弦不必問其丈尺
但取三直線並切員而乙為方角足矣故為測員簡法
凡城堢墩臺錐塔員柱之/類形正員者並同一法也
句股容方係鮑燕/翌法
句股形引股線法
即依正角作方形於形外 又即引小形成大形
甲乙丙句股形今欲引甲乙股至丁甲丙弦至戊而令
[060-13b]
乙丁與戊丁等
法曰以乙丙分甲乙得數減一餘
用歸甲乙得之
解曰乙丙與甲乙原若丁戊與甲
丁故以乙丙分甲乙與以丁戊分甲丁所得之分數等
然則減一者雖似于甲乙分數内減乙丙之一分實于
甲丁分數内減丁戊之一分也即乙丁/之一分故以減餘分甲
乙而得
[060-14a]
勿菴又法句股相乗為實句股較為法/除之亦即得所引乙丁與乙戊同數
句股形截股法
即依正角作方形於形内 又即截大形成小形
甲丁戊句股形内今欲截甲丁股於乙甲戊弦于丙而
令乙丁與乙丙等
法曰以丁戊分甲丁得數加一共
用歸甲丁得之 勿菴又法句股/相乗為實句股
和為法除之亦即得所截乙丁/與丁丙同數即句股容方法
[060-14b]
解曰丁戊與甲丁原若乙丙與甲乙故以丁戊分甲丁
與以乙丙分甲乙所得之分數等然則加一者雖似于
甲丁分數外加丁戊之一分實于甲乙分數外加乙丙
之一分也即乙丁/之一分故以加共分甲丁而得
若欲令丙戊與丁戊等或欲令乙丙與丙戊等依法推之
按後一法即句股容方也原法簡易今鮑燕翼先生所
設殊新要其理亦相通耳勿菴/補例
設甲乙股十六 乙丙句八 今引甲乙股長出至丁
[060-15a]
而令引出之乙丁股分與所當之丁
戊句等問若干答曰乙丁十六
法以乙丙句八/甲乙股十/六相乗得一/百
廿/八為實句股相減得較八/為法除之得乙丁引出一十
六與丁戊句相等 若如鮑法以句八/除股十/六得二/内
減去一仍餘一用為法以除股十/六仍得十/六為乙丁
又設甲乙股四十八/乙丙句十二/依法引出乙丁股十/
六/與丁戊句等
[060-15b]
法以句十二乗股四十八/得積五/百
七十/六為實 句減股得較三十/六為
法除之得十六/為乙丁
或以句十二/除股四十八/得數四/内減一/餘三/為法以
除股四十八/亦得十六/為乙丁
又設甲乙股六/乙丙句四/依法引出乙丁股十二/與丁
戊句等法以句乗股得二十四/為實 句股較二/為法
除之得十二/為乙丁
[060-16a]
或以句四/除股六/得一半/内減一餘半/為法以除股六/
亦得十二/為乙丁
解曰半為除法則得倍數此畸零除
法也詳别卷
又設甲乙股三十/乙丙句十二/依法引出乙丁股二十/
與丁戊句等
法以句乗股得三百六十/為實句股較十八/為法除之
得乙丁二十/
[060-16b]
或以句十二/除股三十/得二半/内減
一餘一半/為法以除股三十/亦得乙
丁二十/
解兩法相同所以然之故 葢此是依句股正角即乙/角
作正方形於形之外也本法以句弦較為法除句股形
倍積即句股/相乗今不用句股較之本數而用其除過之句
股較為法以句除股則股内所原帶句數及句股較數/並為句所除而減去其一即減去除過之句
也用減餘為法即是用其/除過之句股較為法也故亦不用句股形之倍積而
[060-17a]
用其除過之倍積為實倍即是句股相乗之數若以句/除之必仍得股今徑以股數受
除即是用其除過/之倍積為實也法實並為除過之數則其理相同而
得數亦同矣
以上補第一條之例
設甲丁戊形甲丁股廿/八丁戊句廿/一甲戊弦三十/五欲截甲
丁股于乙截甲戊弦于丙而令所截
之乙丁與乙丙等問其數若干
答曰乙丁一十二
[060-17b]
法以甲丁股二十/八丁戊句二十/一相乗得五百八/十八為實併
句股得和四十/九為法除之得一十/二為所截乙丁與乙丙
截句等
如鮑法以句二十/一除股二十/八得一又三/之一又外加一數共
二又三/之一為法通作/七用以除股二十八通作八/十四亦得十二/
為乙丁截股
設甲丁股三百四/十五丁戊句一百八/十四弦甲戊三百九/十一欲截
乙丁與乙丙等該若干 答曰一百二十
[060-18a]
法以句一百八/十四股三百四/十五相乗得六萬/三千
四百/八十為實句股和五百二/十九為法除之得
所截乙丁一百/二十與截句乙丙等
或以句一百八/十四除股三百四/十五得一又八之七/又外加一
共二又八之七/通作二十三/為法以股三百四/十五通作二/千
七百/六十為實法除實亦得一百二十/為乙丁截股
解兩法相同所以然之故 葢此是依句股形正角作
方形於内即句股/容方也本法以句股和為法除句股形倍
[060-18b]
積即句股/相乗今不用句股和本數而用其除過之句股和
為法股被句除既變為除過之股而得數中之一其本/數皆與句同今於得數又加一是又加一除過之
句合之則共為除/過之句股和矣故即用股為實以當除過之倍積法
與實並為除過之數則其理相同而得數亦同矣
以上補第二條之例
按數度衍有在逺測正方形之算立破句名色不穏圖
亦不真今于此第一例中生二法補之
分角線至對邊亦係/鮑法
[060-19a]
甲乙丙句股形 今平分乙方角作乙丁線至對邊弦
欲知丁㸃之所在
法曰先依句股求方求得己丁戊乙正方形
次用丁戊丙形或丁己甲形求得丁丙
弦或甲丁弦即得
甲乙丙句股形 今平分乙鋭角作線至甲丙股欲知
丁㸃所在
法以甲丙股乙丙句相乗得丙庚長方亦即乙辛長斜
[060-19b]
方其辛戊小長斜方又即戊壬長斜
方取甲子癸小句股形補壬寅丑虚
句股形成甲寅長方此即句股相乗
實以句弦和除之也甲乙為弦/乙壬即句得壬寅邊
丙甲辛句股形中即甲乙丙/原設形作甲卯垂線至丙辛弦法/另
具/于是一率甲卯二率甲辛三率甲子四率甲癸即丁/己
成丁己乙戊四斜方形
次用丁戊丙形或丁己甲形依句弦求股求得丁丙或
[060-20a]
丁甲即得
按上鮑法此寅甲長方為句弦和除句股形倍積所得
壬寅邊必小于句股容方之邊其内容丁己乙戊四斜
方形之丁己邊又必大于句股容方之邊二者之間可
以得容方邊矣容方邉除倍積得句股和以減/句弦和得股弦較即其他可知
求丁己線法 一率甲丙股 二率甲乙弦 三率壬
寅 四率丁己即壬丑/
甲乙丙鋭角形 求分乙角作線至甲丙邊之丁㸃
[060-20b]
法於形中求得辰丙垂線丙辛甲形/即甲乙丙
形故其/垂線等用丙長線乗乙丙所得即辛
乙長斜方形自此以下至成丁己乙
戊四斜方並同/前法
次用比例法 一率甲乙 二率甲丙 三率丁戊
四率得丁丙
或一率甲乙 二率甲丙 三率甲己 四率甲丁
甲乙丙鈍角形 法先從形外求得甲辰外垂線 引
[060-21a]
乙丙線與之相遇 次以甲辰垂線乗乙丙得乙辛長
斜方形 餘同前法
甲乙丙鈍角形 甲辰垂線在形外
與右圖同法
鼎按若依幾何六卷三題法甚㨗
句股容員
甲乙丙句股形 求容員徑卯戌即丁辛/
[060-21b]
法於甲丙弦上截丁丙如句乙/丙又截甲辛如股乙/甲因得
丁辛即容員之徑
試依所截丁丙為句作戊丁丙句股形自丁作弦之垂/綫至戊又引乙
丙句遇于戊/即成此形又依所截甲辛為股作甲辛氐句股形自/辛
作弦之垂線長出至/氐引甲乙股遇于氐又作戊戌房句股形引戊丁股至/房如弦之度
自房作垂線/至戌即成乃自甲自戊各為分角綫遇於己成十字
則己即容員心也又引十字綫透出而以甲己為度截
之於癸于女乃自癸作線與丙戊平行至辰又自女作
[060-22a]
辛氐及房戊之垂線穿而
過之與癸辰線遇於辰又
引氐辛線至癸引房戌線
至女得女辰女房癸辰癸
氐四線皆如甲丙弦女卯
女亢癸丑癸未四線皆如
甲乙股卯辰房亢丑氐辰未四線皆如乙丙句又成女
卯辰女亢房癸未辰癸丑氐四句股形共八句股形縱
[060-22b]
横相叠並以容員心己㸃為心此同心八句股形各線
相交成正方形二其一卯戌丑乙形依原形之句股而
立其乙方角即原形之所有也其一丁辛亢未形依原
形之弦而立即所謂弦和較也此兩形者皆相等而其
方邊並與容員徑等即容員徑上之方幂也
然則何以又為弦和較試即以原弦論之甲丙弦上所
截之丁丙即句也甲辛即股也句股相併即重叠此丁
辛一邊是句股和多於弦之數古人以弦和較為容員
[060-23a]
徑葢謂此也八句股形即有相等之八弦每一弦上各
有此重叠之線以成兩四方形相等之八邊可以觀矣
因鮑圖改作之彼原有八角形外小句股/形輳成一等面八角形之論但圖欠明顯
相似兩句股并求簡法
假如癸辛己大形癸壬乙小形其癸角等則為相似之
兩句股形今欲求兩形之兩句合線兩句者一為己辛/大句一為壬乙小
句即辛甲也則己/甲為兩句合線
法以兩弦一癸己大弦/一癸乙小弦并之為三率以癸角之正弦兩/癸
[060-23b]
角等只/用其一為二率二三相
乗為實半徑全數為法
實如法而一得四率己
甲即己辛/壬乙兩句之合
數
何以知之曰試引癸己弦
至丁截己丁弦如癸乙則丁癸即兩弦合數也乃以癸角
之正弦乗之半徑全/除之即得丁丙而丁戊即壬乙以/己
[060-24a]
丁即癸乙也/亦即甲辛戊丙即己辛同在直線/限内也則所得丁丙亦即
己甲矣
有句股和有弦求句求股量/法
乙甲句股和 丙甲弦
原法以甲為心作乙己卯
象限 又以丙甲弦半之
於丁以丁為心作甲戊丙
半圓
[060-24b]
次于丙戊半員上任以辛為心丙為界作丙己小員屢
試之令小員正切象限如己乃作己辛甲及辛丙二綫
則辛丙為句辛甲為股如所求按此法不誤但己㸃正
切處難真今别立法求己㸃
法曰自丁㸃作垂線分半圓于戊以戊為心用丙為界
作丙己庚丑甲全員全員與象限相割于己從己向甲
作直線割半員于辛乃作辛丙為句即辛甲為股合問
如此則徑得辛㸃不用屢試得數既易且真確矣
[060-25a]
論曰凡平員内作兩通弦至員徑兩端必為句股而員
徑常為弦今既以丙甲弦為半員徑則其辛丙與辛甲
兩通弦必句與股也而己辛甲線與乙甲等即句股和
也今以辛為心作小員而其邊正切己則己辛與丙辛
等為小員之半徑即等為句線矣於己甲句股和内截
己辛為句則辛甲必為股故此法不誤也
又論曰半員内所容句股形以半方形為最大即甲戊/丙也其
餘皆半長方形/之句股故小其句股和亦最大丙戊句甲戊股相等/其和甲戊庚為最大
[060-25b]
其餘股長者句反甚小/故其和皆小于甲戊庚即弦上方幂之斜徑也甲未庚/丙為弦
上平方幂甲戊/庚為其斜徑以此為象限之半徑如辰庚亥象限其/半徑辰甲及亥甲
並與庚/戊甲等則能容弦上平方如甲未庚丙平方必/在辰庚亥象限内又戊心
所作平方外切之平圓亦能容弦上平方此員以戊為/心以平方四
角為界其全徑甲戊/庚即平方之斜徑也三者相切于庚㸃惟相切不相割
其餘句股和並小如乙甲和必/小于辰丙不能包平方之角即不
能外切平員而與之相割矣如乙甲和為半徑作乙己/卯象限不能包庚㸃即與
平員相/割如己其自庚至丙並可為相割之己㸃而四十五度
[060-26a]
之句股具焉八線表所列之句股只四十五度互相為/正餘句為正弦股即餘弦也分言正弦則
初度小而九十度最大也若合正弦餘弦為和/數則初度與九十度皆最小惟四十五度最大己足以
盡句股之變態矣若過庚向末亦四十五度己㸃至此餘/其和數反小而與前四十五度為正
句股和之最大者以略小於弦上斜線而止凡句股有/和有較皆
長方形之半非正半方也若半方形/則有和無較可無用算非句股所設其最小者以稍大
于弦線而止若同弦線/即無句股無有不割平圓故可以己㸃取
之也
又論曰以方斜為半徑作象限則能容平方以方斜為
[060-26b]
半徑作半圓則能容方斜上平圓如庚己丙甲未平圓/其徑甲戊庚方斜是
即方斜上之平圓也若以甲戊/庚半徑作大半圓即能容之凡半圓内所容之圓度
每以兩度當外周半圓之一度何則論度必以角惟在
心之角一度為一度若在邊之角則兩度為一度如辰/庚亥
半圓從甲心出兩線一至庚一至辰作辰甲庚角其度/辰庚四十五度是一度為一度也若庚己丙甲未圓從
甲邊出兩線一遇戊至庚一至丙作庚甲丙角其度庚/己丙象限只作四十五度是兩度當一度以同用甲角
故/也凖此論之則弦上半圓所作之戊甲丙角亦必四十
五度矣既同用甲角則戊辛丙/象限亦兩度當一度若是則庚己丙之度與
[060-27a]
戊辛丙等並同用甲角以/庚辰為度故也而
己㸃所割之己丙弧及辛丙
弧亦必等度矣己丙為方外/切員之度辛
丙為方内切員之度大小不/同而同用甲角以己乙為其
度角等者/度亦等
又引辛丙至寅則寅丑甲與辛戊甲兩弧亦必等度以/同
用丙角/故也而同為甲角之餘丙角原為甲角之餘乃甲角/減象限是以己甲乙減象限
得己甲卯角與辛丙甲角等也其度則兩度為一度乃/甲角之倍度減半周是以寅庚減半周得寅丑甲以丙
[060-27b]
辛弧減半周/得辛戊甲也又己庚丑未弧原為己丙減半周之餘即
與寅丑甲等於此兩弧内各減寅丑未則己庚寅與未
癸甲亦等於是作己寅線與未甲等亦即與丙甲等
而寅己丙與甲丙己又等于寅己及甲己/各加一己丙則丙辛寅及
己辛甲兩直線亦等皆句股/和也兩和線相交於辛則交角
等皆十字/正角
又作己丙線成己辛丙三角形而己角丙角等己甲丙/三角形
與己寅丙等則對丙甲之/己角對己寅之丙角亦等則角所對己辛邊丙辛邊亦
[060-28a]
等矣 凖上論己辛與丙辛必等故用己㸃以求辛㸃
而和數中句股可分也
又論曰凡句股和所作象限與斜方上平員相割有二
㸃其一為己其一為丑自丑作直線至甲心象限/心也割半
員於壬作丙壬線即成丙壬甲句股形與甲辛丙等丑/甲
丙角為丙甲壬角之餘與壬丙甲角等而其度丑卯與/己乙等是丙甲辛角與壬丙甲等也辛壬又皆正角又
同以丙甲為弦是/兩句股形等也凖此論之凡半員内所作句股皆兩
兩相似句股之正角必負員周亦兩兩相對如辛㸃在/戊丙象限内即有壬㸃在戊甲象限與之相對
[060-28b]
皆與象限上己㸃丑㸃相應/其所作句股形亦兩相似故四十五度能盡句股之
變也戊丙與戊甲兩象限並兩度當一度其真度/在庚辰及庚亥兩半象限中故皆四十五度
試以壬為心丑為界作員界必過丙是丙壬股即丑壬
而丑甲為和也丑壬股大于戊丙而丑甲和小于庚甲
以是知和數之大至庚甲而極也
凖上論又足以證己庚丑癸員能盡割員句股之理
[060-29a]
句股和較
弦與句股較相和即/弦較和 加句即/股弦和 减股即/句弦較 内减弦存/句股較
相較即/弦較較 减句即/股弦較 加股即/句弦和 用减弦存/句股較
弦與句股和相和即/弦和和 减弦即/句股和 减股即/句弦和 减句即/股弦和
相較即/弦和較 加句弦/較即股 加股弦/較即句 加句弦較股/弦較即弦
弦與句弦較相和 加句即/兩弦 减句即兩/句弦較 减弦即/句弦較
相較即/句
句與股弦較相和即/句較和 加句股/較即弦 减股弦/較即句 加句弦較减/股弦較即股
[060-29b]
相較即/句較較 加句股較股/弦較即股 加股弦/較即句 加句股較股弦/較較即弦
句與股弦和相和即/句和和 减弦即/句股和 减股即/句弦和 减句即/股弦和
相較即/句和較 减股即/句弦較 减弦即/句股較 加句即/股弦和
句與句股較相和即/股
相較 加句股/較即句 加兩句股/較即股
句與句股和相和
相較即/股 减股即/兩句 加股即兩/句股和
句與句弦較相和即/弦
[060-30a]
相較 加句弦/較即句 加兩句弦/較即弦
句與句弦和相和
相較即/弦
句股較句弦較相較即/股弦較 句股較股弦較相較即句弦和内减/兩句又兩股弦較
相和即股弦/和内减兩句 相和即/句弦較
句弦較股弦較相較即/句股較
相和即兩弦内/减一句一股
句股和句弦和相較即/股弦較 句股和股弦和相較即/句弦較
[060-30b]
相和即兩句/一股一弦 相和即兩股/一句一弦
句弦和股弦和相較即/句股較
相和即兩弦/一句一股
句股較與句/股和相和即/兩股 句股較與句/弦和相和即/股弦和 句股較與股弦和相和
相較即/兩句 相較即/句弦和
句弦較句弦和相和即/兩弦 句弦較與句/股和相和即/股弦和 句弦較與股弦和相和
相較即/兩句 相較 相較即/句股和
弦和較弦和和相和半之/為句股和 弦和較弦較和相和半/之為股
[060-31a]
相較半/之為弦 相較半之/為句弦較
弦和較弦較較相和半/之為句 弦和較句較和相和半/之為句
相較半之/為股弦較 相較半之/為股弦較
弦和較句和較相和半/之為句 弦和較句較較相和半之仍/為弦和較
相較半之/為股弦較 相較即减盡
弦和和弦較和相和半之/為股弦和 弦和和弦較較相和半之/為句弦和
相較半/之為句 相較半之/為股
弦和和句較和相和半之/為句弦和 弦和和句和較相和半之/即股弦和
[060-31b]
相較半/之為股 相較半之/為句
弦和和句較較相和半之/即句股和 弦較和弦較較相和半/之為弦
相較半/之為弦 相較半之/為句股較
弦較和句較和相和半/之為弦 弦較和句和較相和半之為股與句/弦較或弦與句股較
相較半之/為句股較 相較恰盡
弦較和句較較相和半/之為股 弦較較句較和相和半之為/句與股弦較
相較半之/為句弦較 相較恰盡
弦較較句和較相和半/之為弦 弦較較句較較相和半/之為句
[060-32a]
相較半之/為句股較 相較半之/為股弦較
句較和句和較相和半/之為弦 句較和句較較相和半/之為句
相較半之/為句股較 相較半之/為股弦較
句和較句較較相和半/之為股
相較半之/為句弦較
[060-32b]
厯算全書卷四十七
欽定四庫全書
厯算全書卷四十七
宣城梅文鼎撰
句股闡微卷二
句股積求句股弦句股積與弦較較求諸數
第一法
假如句股積一百/二十弦較較十二/
法以積四之得四百/八十弦較較自之一百四/十四兩數相減餘
[060-1b]
三百三/十六折半一百六/十八為實弦較較十/二為法除之得句股
較十/四以加弦較較十/二共得二十/六為弦有弦有句股較/即諸數可求
論曰甲乙丙丁合形為弦自乗大方幂甲小方為句股
較幂弦幂内減句股較幂所餘丙乙丁磬折形原與四
句股積等於中又減去乙小方
為弦較較自乗幂仍餘丁丙二
長方並以句股較為其長以弦
較較為其濶故折半而用其一
[060-2a]
為實以弦較較為法除之得句股較矣是以濶求長/
第二法
置四句股積四百/八十與弦較較自幂一百四/十四相加得共六/百
二十/四折半三百/十二為實弦較較十/二為法除之得二十/六為弦
弦内減去弦較十/二得餘十/四為句股較
論曰乙丙丁磬折形原與四句股積等今加一小方形
如己為弦較自乗幂與乙等又丁丙二長方原相等於
是合丁己為一長方合乙丙為一長方必亦相等矣並/以
[060-2b]
弦較較為濶/以弦為長故折半而用其一
為實以弦較較為法除之即得
弦矣亦是以濶求長/
第三法
置四句股積四百/八十為實弦較較十/二為法除之得四/十為弦
較和以弦較較十/二加弦較和四十得五十/二折半二十/六為
弦以弦較較十/二減弦較和四/十得二十/八折半十/四為句股較
[060-3a]
於前圖乙丙丁磬折形即四句股積移丁長方置于戊
為乙丙戊長方其長如弦
較和其闊如弦較較故以
弦較較除之得弦較和若/以
弦較和除之/亦得弦較較
又簡法
置句股積一百/二十為實以弦較較十/二半之得六/為法除之
得二/十為半弦較和以半弦較較六/加半弦較和二/十得二/十
[060-3b]
六/為弦又以半較六/減半和二/十得十/四為句股較
論曰長方形濶十/二如弦較較長四/十如弦較和其積如四
句股今只用一句股積是四
之一也積四之一者其邊必
半觀圖自明
句股積與弦較和求諸數
第一法
假如句股積一百/二十弦較和四/十
[060-4a]
法以積四之得四百八十弦較和自之得一千/六百兩數相
減餘一千一/百二十折半得五百/六十為實弦較和四/十為法除之得
十/四為句股較以減弦較和得二十/六為弦弦自乗六百七/十六
加四句股積四百/八十得一千一百/五十六平方開之得三十/四為句
股和以與句股較十/四相加得四十/八折半二十/四為股又相
減得二/十折半得一/十為句
句一十/ 股二十四/ 弦二十六/
句股和三十/四 句股較十四/ 弦較和四十/
[060-4b]
弦較較十二/
論曰總方為弦較和四/十自乗
之幂内分甲戊己方為弦自
乗幂乙小方為句股較自乗
幂於弦幂内減去戊己磬折
形即四句股積則所餘者甲
小方即句股較幂與乙方等以甲小方合丁長方即與
乙丙長方等以丁丙小長/方原相等故此二長方並以句股較十/四為
[060-5a]
濶以弦較和為長四/十故折半而用其一為實弦較和四/十
為法除之即得句股較是為以/長求濶
第二法
弦較和自乗一千/六百與四句股積四百/八十兩數相加二千○/八十
折半一千○/四十為實弦較和四/十為法除之得二十/六為弦以
減弦較和得十/四為句股較餘如前觀後圖自明/
第三法
置四句股積四百/八十為實弦較和四/十為法除之得十/二為弦
[060-5b]
較較餘同弦較較第三法
又簡法
句股積一百/二十為實弦較和四/十半之得二/十為法除之得六/
為弦較較之半餘並同弦較較簡法
論曰乙丁丙甲戊己合形為弦
較和四/十自乗之大方外加一庚
辛長方為四句股積與戊己磬
折形等於是中分之為兩長方
[060-6a]
乙丁庚辛合為左長方/丙甲己戊合為右長方並以弦為濶二十/六弦較和四/十為
長故折半為實以弦較和除之得弦亦為以長求濶/
借此圖可解第三法之理何則庚辛長方形既為四句
股積而其濶十/二如弦較較其長四/十如弦較和是十/二與四/十
相乗之積也故以弦較較除之得弦較和若以弦較和
除之即復得弦較較
若庚辛長方横直皆均剖之成四小長方則其濶皆六/
加半較其長二/十如半和而其積皆一百/二十為一句股積矣
[060-6b]
此又簡法之理也
句股積與弦和較求諸數
第一法
假如句股積六千七/百五十弦和較六/十
法以弦和較自之得三千/六百與四句股積二萬/七千相減餘二/萬
三千/四百折半一萬一/千七百為實弦和較六/十為法除之得一百九/十五
為弦加較六/十得句股和二百五/十五弦幂内減四句股積開
方得句股較以加句股和折半得股以減句股和折半
[060-7a]
得句
句七十五/ 股一百八十/ 弦一百九十五/
句股和二百五/十五 句股較百○五/ 弦和和四百五/十
弦較和三百/ 弦和較六十/ 弦較較九十/
第二法
以弦和較自乗三千/六百與四句股積二萬/七千相加得三萬○/六百
折半一萬五/千三百為實弦和較六/十為法除之得二百五/十五為句
股和内減弦和較六/十得一百九/十五為弦
[060-7b]
論曰丁丙方為句股和自乗方幂
内減甲戊方為弦自乗幂其餘丁
戊丙磬折形四句股積也内減戊
乙小方為弦和較自乗積則所餘
丁戊長方與戊丙長方等而並以
弦為長弦和較為濶故以弦和較除之得弦此第一法
減四句股積之理也
若於丁戊丙乙磬折形外加一己丙小方與戊乙等乃
[060-8a]
併之為庚戊長方與辛乙等並以句股和為長弦和較
為濶此第二法加四積之理也兩法並以濶求長/
第三法
置四句股積二萬/七千為實弦和較六/十除之得四百/五十為弦和
和以與弦和較相加折半為句股和又相減折半為弦
此如有句股積有容圓徑而求句股弦乃還元之法也
論曰前圖中辛乙長方并戊丙
長方是四句股積聯之為辛丙
[060-8b]
長方則其濶丁辛弦和較也其長丁丙弦和和也
又簡法
置句股積六千七/百五十為實半弦和較三/十除之得二百二/十五為
半弦和和以與半弦和較相加得二百五十五為句股
和又相減得一百九/十五為弦 此如有容圓半徑以除句
股積而得半弦和和句股積與弦和和求諸數
第一法
假如句股積六千七/百五十弦和和四百/五十
[060-9a]
法以積四之得二萬/七千弦和和自之得二十○萬/二千五百兩數相
減餘十七萬五/千五百折半八萬七千/七百五十為實弦和和四百/五十為法
除之得一百九/十五為弦以減弦和和得二百五/十五為句股和
第二法
以四句股積與弦和和幂兩數相加得二十二萬/九千五百折半
得十一萬四千/七百五十為實弦和和四百/五十為法除之得二百五/十五
為句股和以減弦和和得一百九/十五為弦
論曰甲乙大方弦和和自乗也内分甲丁方弦自乗也
[060-9b]
與丁丙方等丁乙方句股和
自乗也於丁乙内減去丁丙
弦幂則所餘者四句股積即
壬乙丙戊二小長方也而己
辛小長方與丙戊等則己乙
長方亦四句股積也今於甲乙大方内減去己乙則所
餘者甲戊己戊二長方並以弦為濶弦和和為長故以
弦和和除之而得弦此第一法減四句股積之理也是
[060-10a]
為以長求濶
又論曰若於甲乙大方外増一甲庚長方與己乙等而
中分之於癸戊則癸乙與癸庚兩長方等並以句股和
為濶弦和和為長故以弦和和除之而先得句股和此
苐二法加四句股積之理也亦是以長求濶
第三法
置四句股積二萬/七千為實弦和和四百/五十除之得弦和較六/十
此如併句股弦除四倍積而得容員徑
[060-10b]
又簡法
置句股積六千七/百五十為實半弦和和二百二/十五除之得半弦
和較三/十此如合半句半股半弦除積得容員半徑
欲明加減用四句股之理當觀古圖
甲乙丙句股形 甲丙句六
甲乙股八 乙丙弦十
甲丁句股和十四 壬辛句
股較二甲己大方句股和自
[060-11a]
乗冪也其積一百九十六 丙戊次方弦自乗冪也其
積一百 壬庚小方句股較自乗冪也其積四 甲己
和冪内減弦冪所餘者四句股也 弦冪内減較冪所
餘者亦四句股也 句股之積並二十四
甲丁句股和十四癸丁弦十子丁句股較二甲丙方爲
句股和自乗冪一百九/十六内減癸辛弦冪一/百餘九十/六爲甲
己丙磬折形亦卽四/句股積内分甲己直形移置於丙戊成乙
戊長方卽爲弦和較乗/弦和和又壬丁小方爲句股較自乗其
[060-11b]
冪四以減弦冪一百餘九十六爲癸壬辛巳磬折形亦/卽
四句/股積内分癸壬直
形移置於辛庚成
己庚長方卽爲弦
較較乗弦較和
假如方環田有積有田之濶問内外方各若干
法以積四之一爲實田濶除之得數爲内外二方半和
與田濶相加得外方又相減得内方葢田濶卽如半較/
[060-12a]
若但知外方及内小方及環田積法即并大小方邊為
和以除積得數為較較與和相加折半為外周大方又
相減折半為小方以兩方之較折半為環田濶
若方田内有方墩法同或方墩不居正中其法亦同但
只可求大小方邊不能知濶
總論曰弦較較乗弦較和之積與弦和較乗弦和和之
積等為四句股乃立法之根也而其理皆具古圖中學
者所宜深玩
[060-12b]
又如有辛庚壬圓池不知其徑法於乙作甲乙直線切
員池於庚又乙丙横線切圓池於壬乙為正方角又自
丙望甲作斜線切員池於辛
乃自丙取乙丙之度截斜線
於丁又自甲取甲乙之度截
斜線於戊末但量丁戊有若
干尺即圓池徑
解曰此即句股容員法也丙乙句截甲丙弦於丁則丁
[060-13a]
甲為句弦較甲乙股截弦於戊則戊丙為股弦較而丁
戊為弦和較故即為圓徑 其句股弦不必問其丈尺
但取三直線並切員而乙為方角足矣故為測員簡法
凡城堢墩臺錐塔員柱之/類形正員者並同一法也
句股容方係鮑燕/翌法
句股形引股線法
即依正角作方形於形外 又即引小形成大形
甲乙丙句股形今欲引甲乙股至丁甲丙弦至戊而令
[060-13b]
乙丁與戊丁等
法曰以乙丙分甲乙得數減一餘
用歸甲乙得之
解曰乙丙與甲乙原若丁戊與甲
丁故以乙丙分甲乙與以丁戊分甲丁所得之分數等
然則減一者雖似于甲乙分數内減乙丙之一分實于
甲丁分數内減丁戊之一分也即乙丁/之一分故以減餘分甲
乙而得
[060-14a]
勿菴又法句股相乗為實句股較為法/除之亦即得所引乙丁與乙戊同數
句股形截股法
即依正角作方形於形内 又即截大形成小形
甲丁戊句股形内今欲截甲丁股於乙甲戊弦于丙而
令乙丁與乙丙等
法曰以丁戊分甲丁得數加一共
用歸甲丁得之 勿菴又法句股/相乗為實句股
和為法除之亦即得所截乙丁/與丁丙同數即句股容方法
[060-14b]
解曰丁戊與甲丁原若乙丙與甲乙故以丁戊分甲丁
與以乙丙分甲乙所得之分數等然則加一者雖似于
甲丁分數外加丁戊之一分實于甲乙分數外加乙丙
之一分也即乙丁/之一分故以加共分甲丁而得
若欲令丙戊與丁戊等或欲令乙丙與丙戊等依法推之
按後一法即句股容方也原法簡易今鮑燕翼先生所
設殊新要其理亦相通耳勿菴/補例
設甲乙股十六 乙丙句八 今引甲乙股長出至丁
[060-15a]
而令引出之乙丁股分與所當之丁
戊句等問若干答曰乙丁十六
法以乙丙句八/甲乙股十/六相乗得一/百
廿/八為實句股相減得較八/為法除之得乙丁引出一十
六與丁戊句相等 若如鮑法以句八/除股十/六得二/内
減去一仍餘一用為法以除股十/六仍得十/六為乙丁
又設甲乙股四十八/乙丙句十二/依法引出乙丁股十/
六/與丁戊句等
[060-15b]
法以句十二乗股四十八/得積五/百
七十/六為實 句減股得較三十/六為
法除之得十六/為乙丁
或以句十二/除股四十八/得數四/内減一/餘三/為法以
除股四十八/亦得十六/為乙丁
又設甲乙股六/乙丙句四/依法引出乙丁股十二/與丁
戊句等法以句乗股得二十四/為實 句股較二/為法
除之得十二/為乙丁
[060-16a]
或以句四/除股六/得一半/内減一餘半/為法以除股六/
亦得十二/為乙丁
解曰半為除法則得倍數此畸零除
法也詳别卷
又設甲乙股三十/乙丙句十二/依法引出乙丁股二十/
與丁戊句等
法以句乗股得三百六十/為實句股較十八/為法除之
得乙丁二十/
[060-16b]
或以句十二/除股三十/得二半/内減
一餘一半/為法以除股三十/亦得乙
丁二十/
解兩法相同所以然之故 葢此是依句股正角即乙/角
作正方形於形之外也本法以句弦較為法除句股形
倍積即句股/相乗今不用句股較之本數而用其除過之句
股較為法以句除股則股内所原帶句數及句股較數/並為句所除而減去其一即減去除過之句
也用減餘為法即是用其/除過之句股較為法也故亦不用句股形之倍積而
[060-17a]
用其除過之倍積為實倍即是句股相乗之數若以句/除之必仍得股今徑以股數受
除即是用其除過/之倍積為實也法實並為除過之數則其理相同而
得數亦同矣
以上補第一條之例
設甲丁戊形甲丁股廿/八丁戊句廿/一甲戊弦三十/五欲截甲
丁股于乙截甲戊弦于丙而令所截
之乙丁與乙丙等問其數若干
答曰乙丁一十二
[060-17b]
法以甲丁股二十/八丁戊句二十/一相乗得五百八/十八為實併
句股得和四十/九為法除之得一十/二為所截乙丁與乙丙
截句等
如鮑法以句二十/一除股二十/八得一又三/之一又外加一數共
二又三/之一為法通作/七用以除股二十八通作八/十四亦得十二/
為乙丁截股
設甲丁股三百四/十五丁戊句一百八/十四弦甲戊三百九/十一欲截
乙丁與乙丙等該若干 答曰一百二十
[060-18a]
法以句一百八/十四股三百四/十五相乗得六萬/三千
四百/八十為實句股和五百二/十九為法除之得
所截乙丁一百/二十與截句乙丙等
或以句一百八/十四除股三百四/十五得一又八之七/又外加一
共二又八之七/通作二十三/為法以股三百四/十五通作二/千
七百/六十為實法除實亦得一百二十/為乙丁截股
解兩法相同所以然之故 葢此是依句股形正角作
方形於内即句股/容方也本法以句股和為法除句股形倍
[060-18b]
積即句股/相乗今不用句股和本數而用其除過之句股和
為法股被句除既變為除過之股而得數中之一其本/數皆與句同今於得數又加一是又加一除過之
句合之則共為除/過之句股和矣故即用股為實以當除過之倍積法
與實並為除過之數則其理相同而得數亦同矣
以上補第二條之例
按數度衍有在逺測正方形之算立破句名色不穏圖
亦不真今于此第一例中生二法補之
分角線至對邊亦係/鮑法
[060-19a]
甲乙丙句股形 今平分乙方角作乙丁線至對邊弦
欲知丁㸃之所在
法曰先依句股求方求得己丁戊乙正方形
次用丁戊丙形或丁己甲形求得丁丙
弦或甲丁弦即得
甲乙丙句股形 今平分乙鋭角作線至甲丙股欲知
丁㸃所在
法以甲丙股乙丙句相乗得丙庚長方亦即乙辛長斜
[060-19b]
方其辛戊小長斜方又即戊壬長斜
方取甲子癸小句股形補壬寅丑虚
句股形成甲寅長方此即句股相乗
實以句弦和除之也甲乙為弦/乙壬即句得壬寅邊
丙甲辛句股形中即甲乙丙/原設形作甲卯垂線至丙辛弦法/另
具/于是一率甲卯二率甲辛三率甲子四率甲癸即丁/己
成丁己乙戊四斜方形
次用丁戊丙形或丁己甲形依句弦求股求得丁丙或
[060-20a]
丁甲即得
按上鮑法此寅甲長方為句弦和除句股形倍積所得
壬寅邊必小于句股容方之邊其内容丁己乙戊四斜
方形之丁己邊又必大于句股容方之邊二者之間可
以得容方邊矣容方邉除倍積得句股和以減/句弦和得股弦較即其他可知
求丁己線法 一率甲丙股 二率甲乙弦 三率壬
寅 四率丁己即壬丑/
甲乙丙鋭角形 求分乙角作線至甲丙邊之丁㸃
[060-20b]
法於形中求得辰丙垂線丙辛甲形/即甲乙丙
形故其/垂線等用丙長線乗乙丙所得即辛
乙長斜方形自此以下至成丁己乙
戊四斜方並同/前法
次用比例法 一率甲乙 二率甲丙 三率丁戊
四率得丁丙
或一率甲乙 二率甲丙 三率甲己 四率甲丁
甲乙丙鈍角形 法先從形外求得甲辰外垂線 引
[060-21a]
乙丙線與之相遇 次以甲辰垂線乗乙丙得乙辛長
斜方形 餘同前法
甲乙丙鈍角形 甲辰垂線在形外
與右圖同法
鼎按若依幾何六卷三題法甚㨗
句股容員
甲乙丙句股形 求容員徑卯戌即丁辛/
[060-21b]
法於甲丙弦上截丁丙如句乙/丙又截甲辛如股乙/甲因得
丁辛即容員之徑
試依所截丁丙為句作戊丁丙句股形自丁作弦之垂/綫至戊又引乙
丙句遇于戊/即成此形又依所截甲辛為股作甲辛氐句股形自/辛
作弦之垂線長出至/氐引甲乙股遇于氐又作戊戌房句股形引戊丁股至/房如弦之度
自房作垂線/至戌即成乃自甲自戊各為分角綫遇於己成十字
則己即容員心也又引十字綫透出而以甲己為度截
之於癸于女乃自癸作線與丙戊平行至辰又自女作
[060-22a]
辛氐及房戊之垂線穿而
過之與癸辰線遇於辰又
引氐辛線至癸引房戌線
至女得女辰女房癸辰癸
氐四線皆如甲丙弦女卯
女亢癸丑癸未四線皆如
甲乙股卯辰房亢丑氐辰未四線皆如乙丙句又成女
卯辰女亢房癸未辰癸丑氐四句股形共八句股形縱
[060-22b]
横相叠並以容員心己㸃為心此同心八句股形各線
相交成正方形二其一卯戌丑乙形依原形之句股而
立其乙方角即原形之所有也其一丁辛亢未形依原
形之弦而立即所謂弦和較也此兩形者皆相等而其
方邊並與容員徑等即容員徑上之方幂也
然則何以又為弦和較試即以原弦論之甲丙弦上所
截之丁丙即句也甲辛即股也句股相併即重叠此丁
辛一邊是句股和多於弦之數古人以弦和較為容員
[060-23a]
徑葢謂此也八句股形即有相等之八弦每一弦上各
有此重叠之線以成兩四方形相等之八邊可以觀矣
因鮑圖改作之彼原有八角形外小句股/形輳成一等面八角形之論但圖欠明顯
相似兩句股并求簡法
假如癸辛己大形癸壬乙小形其癸角等則為相似之
兩句股形今欲求兩形之兩句合線兩句者一為己辛/大句一為壬乙小
句即辛甲也則己/甲為兩句合線
法以兩弦一癸己大弦/一癸乙小弦并之為三率以癸角之正弦兩/癸
[060-23b]
角等只/用其一為二率二三相
乗為實半徑全數為法
實如法而一得四率己
甲即己辛/壬乙兩句之合
數
何以知之曰試引癸己弦
至丁截己丁弦如癸乙則丁癸即兩弦合數也乃以癸角
之正弦乗之半徑全/除之即得丁丙而丁戊即壬乙以/己
[060-24a]
丁即癸乙也/亦即甲辛戊丙即己辛同在直線/限内也則所得丁丙亦即
己甲矣
有句股和有弦求句求股量/法
乙甲句股和 丙甲弦
原法以甲為心作乙己卯
象限 又以丙甲弦半之
於丁以丁為心作甲戊丙
半圓
[060-24b]
次于丙戊半員上任以辛為心丙為界作丙己小員屢
試之令小員正切象限如己乃作己辛甲及辛丙二綫
則辛丙為句辛甲為股如所求按此法不誤但己㸃正
切處難真今别立法求己㸃
法曰自丁㸃作垂線分半圓于戊以戊為心用丙為界
作丙己庚丑甲全員全員與象限相割于己從己向甲
作直線割半員于辛乃作辛丙為句即辛甲為股合問
如此則徑得辛㸃不用屢試得數既易且真確矣
[060-25a]
論曰凡平員内作兩通弦至員徑兩端必為句股而員
徑常為弦今既以丙甲弦為半員徑則其辛丙與辛甲
兩通弦必句與股也而己辛甲線與乙甲等即句股和
也今以辛為心作小員而其邊正切己則己辛與丙辛
等為小員之半徑即等為句線矣於己甲句股和内截
己辛為句則辛甲必為股故此法不誤也
又論曰半員内所容句股形以半方形為最大即甲戊/丙也其
餘皆半長方形/之句股故小其句股和亦最大丙戊句甲戊股相等/其和甲戊庚為最大
[060-25b]
其餘股長者句反甚小/故其和皆小于甲戊庚即弦上方幂之斜徑也甲未庚/丙為弦
上平方幂甲戊/庚為其斜徑以此為象限之半徑如辰庚亥象限其/半徑辰甲及亥甲
並與庚/戊甲等則能容弦上平方如甲未庚丙平方必/在辰庚亥象限内又戊心
所作平方外切之平圓亦能容弦上平方此員以戊為/心以平方四
角為界其全徑甲戊/庚即平方之斜徑也三者相切于庚㸃惟相切不相割
其餘句股和並小如乙甲和必/小于辰丙不能包平方之角即不
能外切平員而與之相割矣如乙甲和為半徑作乙己/卯象限不能包庚㸃即與
平員相/割如己其自庚至丙並可為相割之己㸃而四十五度
[060-26a]
之句股具焉八線表所列之句股只四十五度互相為/正餘句為正弦股即餘弦也分言正弦則
初度小而九十度最大也若合正弦餘弦為和/數則初度與九十度皆最小惟四十五度最大己足以
盡句股之變態矣若過庚向末亦四十五度己㸃至此餘/其和數反小而與前四十五度為正
句股和之最大者以略小於弦上斜線而止凡句股有/和有較皆
長方形之半非正半方也若半方形/則有和無較可無用算非句股所設其最小者以稍大
于弦線而止若同弦線/即無句股無有不割平圓故可以己㸃取
之也
又論曰以方斜為半徑作象限則能容平方以方斜為
[060-26b]
半徑作半圓則能容方斜上平圓如庚己丙甲未平圓/其徑甲戊庚方斜是
即方斜上之平圓也若以甲戊/庚半徑作大半圓即能容之凡半圓内所容之圓度
每以兩度當外周半圓之一度何則論度必以角惟在
心之角一度為一度若在邊之角則兩度為一度如辰/庚亥
半圓從甲心出兩線一至庚一至辰作辰甲庚角其度/辰庚四十五度是一度為一度也若庚己丙甲未圓從
甲邊出兩線一遇戊至庚一至丙作庚甲丙角其度庚/己丙象限只作四十五度是兩度當一度以同用甲角
故/也凖此論之則弦上半圓所作之戊甲丙角亦必四十
五度矣既同用甲角則戊辛丙/象限亦兩度當一度若是則庚己丙之度與
[060-27a]
戊辛丙等並同用甲角以/庚辰為度故也而
己㸃所割之己丙弧及辛丙
弧亦必等度矣己丙為方外/切員之度辛
丙為方内切員之度大小不/同而同用甲角以己乙為其
度角等者/度亦等
又引辛丙至寅則寅丑甲與辛戊甲兩弧亦必等度以/同
用丙角/故也而同為甲角之餘丙角原為甲角之餘乃甲角/減象限是以己甲乙減象限
得己甲卯角與辛丙甲角等也其度則兩度為一度乃/甲角之倍度減半周是以寅庚減半周得寅丑甲以丙
[060-27b]
辛弧減半周/得辛戊甲也又己庚丑未弧原為己丙減半周之餘即
與寅丑甲等於此兩弧内各減寅丑未則己庚寅與未
癸甲亦等於是作己寅線與未甲等亦即與丙甲等
而寅己丙與甲丙己又等于寅己及甲己/各加一己丙則丙辛寅及
己辛甲兩直線亦等皆句股/和也兩和線相交於辛則交角
等皆十字/正角
又作己丙線成己辛丙三角形而己角丙角等己甲丙/三角形
與己寅丙等則對丙甲之/己角對己寅之丙角亦等則角所對己辛邊丙辛邊亦
[060-28a]
等矣 凖上論己辛與丙辛必等故用己㸃以求辛㸃
而和數中句股可分也
又論曰凡句股和所作象限與斜方上平員相割有二
㸃其一為己其一為丑自丑作直線至甲心象限/心也割半
員於壬作丙壬線即成丙壬甲句股形與甲辛丙等丑/甲
丙角為丙甲壬角之餘與壬丙甲角等而其度丑卯與/己乙等是丙甲辛角與壬丙甲等也辛壬又皆正角又
同以丙甲為弦是/兩句股形等也凖此論之凡半員内所作句股皆兩
兩相似句股之正角必負員周亦兩兩相對如辛㸃在/戊丙象限内即有壬㸃在戊甲象限與之相對
[060-28b]
皆與象限上己㸃丑㸃相應/其所作句股形亦兩相似故四十五度能盡句股之
變也戊丙與戊甲兩象限並兩度當一度其真度/在庚辰及庚亥兩半象限中故皆四十五度
試以壬為心丑為界作員界必過丙是丙壬股即丑壬
而丑甲為和也丑壬股大于戊丙而丑甲和小于庚甲
以是知和數之大至庚甲而極也
凖上論又足以證己庚丑癸員能盡割員句股之理
[060-29a]
句股和較
弦與句股較相和即/弦較和 加句即/股弦和 减股即/句弦較 内减弦存/句股較
相較即/弦較較 减句即/股弦較 加股即/句弦和 用减弦存/句股較
弦與句股和相和即/弦和和 减弦即/句股和 减股即/句弦和 减句即/股弦和
相較即/弦和較 加句弦/較即股 加股弦/較即句 加句弦較股/弦較即弦
弦與句弦較相和 加句即/兩弦 减句即兩/句弦較 减弦即/句弦較
相較即/句
句與股弦較相和即/句較和 加句股/較即弦 减股弦/較即句 加句弦較减/股弦較即股
[060-29b]
相較即/句較較 加句股較股/弦較即股 加股弦/較即句 加句股較股弦/較較即弦
句與股弦和相和即/句和和 减弦即/句股和 减股即/句弦和 减句即/股弦和
相較即/句和較 减股即/句弦較 减弦即/句股較 加句即/股弦和
句與句股較相和即/股
相較 加句股/較即句 加兩句股/較即股
句與句股和相和
相較即/股 减股即/兩句 加股即兩/句股和
句與句弦較相和即/弦
[060-30a]
相較 加句弦/較即句 加兩句弦/較即弦
句與句弦和相和
相較即/弦
句股較句弦較相較即/股弦較 句股較股弦較相較即句弦和内减/兩句又兩股弦較
相和即股弦/和内减兩句 相和即/句弦較
句弦較股弦較相較即/句股較
相和即兩弦内/减一句一股
句股和句弦和相較即/股弦較 句股和股弦和相較即/句弦較
[060-30b]
相和即兩句/一股一弦 相和即兩股/一句一弦
句弦和股弦和相較即/句股較
相和即兩弦/一句一股
句股較與句/股和相和即/兩股 句股較與句/弦和相和即/股弦和 句股較與股弦和相和
相較即/兩句 相較即/句弦和
句弦較句弦和相和即/兩弦 句弦較與句/股和相和即/股弦和 句弦較與股弦和相和
相較即/兩句 相較 相較即/句股和
弦和較弦和和相和半之/為句股和 弦和較弦較和相和半/之為股
[060-31a]
相較半/之為弦 相較半之/為句弦較
弦和較弦較較相和半/之為句 弦和較句較和相和半/之為句
相較半之/為股弦較 相較半之/為股弦較
弦和較句和較相和半/之為句 弦和較句較較相和半之仍/為弦和較
相較半之/為股弦較 相較即减盡
弦和和弦較和相和半之/為股弦和 弦和和弦較較相和半之/為句弦和
相較半/之為句 相較半之/為股
弦和和句較和相和半之/為句弦和 弦和和句和較相和半之/即股弦和
[060-31b]
相較半/之為股 相較半之/為句
弦和和句較較相和半之/即句股和 弦較和弦較較相和半/之為弦
相較半/之為弦 相較半之/為句股較
弦較和句較和相和半/之為弦 弦較和句和較相和半之為股與句/弦較或弦與句股較
相較半之/為句股較 相較恰盡
弦較和句較較相和半/之為股 弦較較句較和相和半之為/句與股弦較
相較半之/為句弦較 相較恰盡
弦較較句和較相和半/之為弦 弦較較句較較相和半/之為句
[060-32a]
相較半之/為句股較 相較半之/為股弦較
句較和句和較相和半/之為弦 句較和句較較相和半/之為句
相較半之/為句股較 相較半之/為股弦較
句和較句較較相和半/之為股
相較半之/為句弦較
[060-32b]
厯算全書卷四十七