[059-1a] 
欽定四庫全書
歴算全書卷四十六
宣城梅文鼎撰
句股闡微卷一
句股正義
首題
句股弦者横曰句縱曰股亦可云勾/縱股横斜曰弦三線相聨
而成句股弦形也
[059-1b]
如圖甲乙丙形甲乙為股乙丙為句甲
丙為弦亦可云甲乙為句/乙丙為股也 凡三角
形或三角俱鋭或兩鋭一鈍或兩鋭一
正鋭鈍正説具三/角形算法中句股弦形者兩鋭一正形也其句股
兩線縱横相遇而成者為正角如乙㸃句弦兩線及股
弦兩線相遇而成者為鋭角如甲丙兩㸃 此三線者
或三線俱不等其最大者必弦或兩線等其等者必句
股而無三線等何者以句股弦形一角正故也
[059-2a]
一題
句股求弦
法曰句股各自乘併之開方得弦
如圖甲乙句自乘得乙丁方乙丙股自
乗得乙戊方兩方相併即甲巳方開之
得甲丙弦
論曰試移庚實形補辛虚形移丑實形補卯虚形移壬
實形補子虚形移卯午實形補壬辰虚形所移者恰盡
[059-2b]
所補者恰足得乙丁與乙戊兩方併恰與甲巳方等
又論曰更以句與股相等之形觀之夫句與股既等則
句股各自乗固方也即句股互相乗亦
方也凡句股不等則句股/互相乗必是矩形如丁戊大方
平分方邊於方形中縱横作線中分四
小方形必等又句與股既等則弦上方邊為句股各自
乗兩方之對角線亦為句股互相乗兩方之對角線如
於四小方形中作四對角線相聨而成一中方形也此
[059-3a]
中方形者割小方形四之半即涵小方形二之全就此
圖觀之尤為明顯
又法曰句與股相乗倍之另以句股差自乗併入倍數
開方得弦
論曰甲乙股乙丙句相乗得乙丁矩形
中分為庚戊兩形夫庚形即辛形也倍
之者再加癸卯兩形也乙丙為句丙巳
為股乙巳為句股差自乗得乙子方併入倍數共成甲
[059-3b]
壬方為甲丙弦上方也
又法曰句自乗倍股依長濶相差法求之得股弦差加
股為弦
論曰甲乙丙句股形甲丙弦也丁已亦弦也丁戊弦上
方也乙丙股也乙壬亦股也乙子股上
方也餘乙戊子磬折形即句自乗之數
也而已壬矩與乙丑矩等即丙戊矩亦
句自乗之數也此丙戊矩形中乙丙為股加乙壬為倍
[059-4a]
股曰長濶相差者丙午為長午戊為濶與壬午等即壬
丙倍股為長濶之差也依法求之得壬午為股弦差
二題
句弦求股
法曰弦自乗内減句自乗餘開方得股
論曰一題句股求弦苐一法句股各自乗併之即弦自
乗數則弦自乗數中有句股各自乗之數也今於弦自
乗數中減去句自乗所存者即股自乗數矣就一題之
[059-4b]
圖觀之自見
又法曰句弦相併得數相減得數兩數相乗得數開方
得股
如圖甲乙丙句股形乙丙句甲乙股甲
丙與乙丙相併即乙丁線相減即乙巳
線乙巳與/乙子等兩線乙丁/乙子相乗得子丁矩即
甲乙股上方
論曰己午方者已丙線上方即甲丙弦上方也内减子
[059-5a]
午形為乙丙句上方所存卯巳未磬折形即甲乙股上
方矣而巳未矩又與丁卯矩等則丁子矩形即卯巳未
磬折形矣亦即甲乙股上方矣
又法曰句自乗倍弦依長濶相和法求之得股弦差用
減弦得股
論曰甲乙丙句股形甲丙弦也丁己亦
弦也丁戊弦上方也乙丙股也乙壬亦
股也乙子股上方也餘乙戊子磬折形
[059-5b]
即甲乙句自乗之數也而己壬矩與乙丑矩等即丙戊
矩亦甲乙句自乗之數也此丙戊矩形中乙午為弦乙
丙併午戊為倍弦曰長濶相和者丙午為長午戊為濶
即丙午午戊併為長濶相和也依法求之得壬午為股
弦差
三題
股弦求句
法同二題句弦求股
[059-6a]
附長濶相和法
如圖丁乙矩形積九百七十二尺丁甲
為長乙甲為濶兩邊之和共六十三尺
求甲丁甲乙二邊各若干 法以和數
自乗得三千九百六十九尺次以積四倍之得三千八
百八十八尺與和自乗相減存八十一尺開方得九尺
即丁甲乙甲/二邊之較數以與和六十/三尺相併折半得三十六尺為甲
丁長邊又與和相減折半得二十七尺為甲乙矩邊
[059-6b]
長濶相差法圖同上/
丁乙矩形積九百七十二尺甲乙為濶戊乙為長丙戊
九尺乙丙即/甲乙為長濶相差數甲乙戊乙二邊各若干
法以較數九/尺自乗得八十一尺次以積四倍之得三千
八百八十八尺與較自乗相并得三千九百六十九尺
開方得六十三尺即戊乙甲乙/二邊之和數以與較九尺相併折半
得三十六尺為戊乙長邊又與較九/尺相減折半得二十
七尺為甲乙短邊
[059-7a]
解曰甲午矩形作乙丙對角線成甲乙丙句股形甲丙
長句也甲乙濶股也丙丑長濶和也甲丑即/乙甲自乗得丙
子大方四倍矩積也并大方内戊丁
庚辛四矩形之積大方内所容四矩/俱與元形等如丙
壬矩即甲午矩其八/句股形亦俱等元形相減存己壬小
方開方得巳未邊即甲乙甲丙二邊之較數也卯亥即/甲乙股
卯壬即甲丙句則壬亥為/兩邊較數即長濶相差也既得較數與所有和數相加
減得甲乙甲丙二邊矣
[059-7b]
若長濶相差法是先有巳未較數故以上法反用之求
得丙丑和得丙丑亦得甲乙與甲丙矣
四題
弦與句股較求句股
法曰弦自乗倍之較自乗用減倍數餘開方得句股和
於是和加較半之得長股和減較半之得短句
論曰甲乙丙句股形甲乙句也乙丁句上方也乙丙股
也丙戊股上方也兩方併共為弦上方辛壬亦句上方
[059-8a]
庚已亦股上方兩方併亦共為弦上
方此即弦自乗倍之之數也而兩句
方兩股方併為丙己大方則中間重
叠庚戊方矣此何方乎曰戊子即句股較也庚戊方即
較上方也減之而重叠者去矣所存者為句股和上方
矣故開之得丙丑為句股和也
又法曰弦自乗内減較自乗餘半之以較為長濶相差
法求之得短句加較得長股
[059-8b]
論曰甲乙丙句股形甲丙弦也甲丁弦
上方也巳子較也己丑較上方也兩方
相減餘壬辛午未四形半之餘午未二
形而午形又即戊形則是餘未戊二形也此未戊二形
者句股矩内形也故以巳子較用長濶相差法求之得
子丙短句句加較得巳丙長股
五題
股與句弦較求句弦
[059-9a]
法曰股自乗内減較自乗餘半之以較為法除之得句
句加較得弦
論曰甲乙丙句股形甲丙弦也甲丁弦
上方也甲巳較也甲戊較上方也庚甲
辛磬折形股自乗數也内減甲戊較上
方所餘丙戊戊壬兩形即為句與句弦較矩内形者二
矣取其一如丙戊形以戊己較除之得己丙句或不用/折半倍
較為法除/之亦同
[059-9b]
又法曰股自乗以較為法除之得句弦和於是加較折
半得弦減較折半得句
論曰甲乙丙句股形甲丙弦也甲丁弦上方也丙己亦
句也丁戊句上方也所餘庚甲辛 折形即股自乗數
也而壬辛形與戊丙形等即壬己矩形
亦股自乗數也以甲巳較除之得甲壬
為句弦和也
又法曰股自乗較自乗相併倍較為法除之得弦弦減
[059-10a]
較得句
論曰甲乙丙句股形甲丙弦也甲丁弦
上方也丁己為句上方即戊甲辛磬折
形為股上方矣又己丙矩與庚壬矩等
即甲辛子磬折形亦股上方也加甲子較上方共得辛
丑矩形其庚辛邊即是倍較
六題
句與股弦較求股弦
[059-10b]
法同五題
七題
弦與句股和求句股
法曰弦自乗倍之内減句股和自乗餘開方得句股較
於是較加和半之得長股較減和半之得短句
論曰甲乙丙句股形丙丁句股和也丁
子和上方也丁午未子兩句上方丙丑
壬巳兩股上方此即弦自乗倍之之數
[059-11a]
也以較丁子和上方則其中重叠一壬丑方矣而此方
之邊即是句股較
又法曰句股和自乗内減弦自乗餘半之以句股和用
長濶相和法求之得句股
論曰丙丁為句股和丁巳為和上方午
乙壬磬折形即弦上方兩方相減餘午
丑壬磬折形分為午丑及丑壬兩形形
之兩邊即句股
[059-11b]
八題
股與句弦和求句弦
法曰句弦和自乗内減股自乗餘半之
以句弦和除之得句用減句弦和得弦
或不用折半倍句/弦和除之亦同
論曰甲乙丙句股形甲丁為句弦和甲巳為和上方又
甲午為弦上方甲子為句上方即未午壬磬折形為股
自乗而子丙矩與午辛矩等即戊辛矩形亦股自乗也
[059-12a]
於和方中減之所存者為未丁及戊己兩矩形矣形之
一邊如甲丁即句弦和其一邉如甲未即句
又法曰股自乗得數以句弦和除之得句弦較於是用
加句弦和半之得弦用減句弦和半之得句
論曰甲乙丙句股形甲丁句弦和也甲
戊弦上方也戊己句上方也即午甲未
磬折形為股自乗矣而卯巳矩與午丁
矩等即甲子矩形亦股自乗矣形之甲丁邊即句弦和
[059-12b]
丁子邊即句弦較
又法曰句弦和自乗股自乗相併倍和為法除之得弦
弦減和得句
論曰甲丁為句弦和甲戊為和自乗
戊丑為句今試依庚戊矩作丁卯矩
即卯甲丑磬折形亦和自乗矣又甲
巳為弦上方未壬為句上方即未己壬磬折形為股自
乗矣而壬子矩與子丑矩等即未丑矩亦股自乗矣然
[059-13a]
此猶在和自乗數中也今另加一股自乗如丑卯矩併
前卯甲丑磬折形共成一庚癸矩形
即為兩自乗相併之數形之甲癸邉
即句弦和之倍形之甲庚邊即是弦
也
九題
句與股弦和求股弦
法同八題
[059-13b]
十題
句弦較股弦較求句股弦
法曰先以兩較相減得即為句股較次以兩較各自乗
相併内減句股較自乗餘開方得弦和較和句股/和也於是
加股弦較得句加句弦較得股以句弦較加句或以股
弦較加股得弦
論曰甲乙丙句股形甲丙弦也甲巳即股也巳丙股弦
較也甲壬即句也壬丙句弦較也壬己句股較也今試
[059-14a]
引甲壬句至丁令甲丁為句股和即丙丁為弦和較也
次作甲戊為和上方午未為句弦較上方午子為股弦
較上方即庚/辰方兩較上方相併共為午未辰磬折形内減
未子句股較上方餘辰午癸磬折形
即戊午弦和較上方何則試觀丑午
已磬折形句上方也子戊形亦句上
方也今於丑午已磬折形中減丑申及辛巳兩矩形即
是於子戊形中減卯子亥磬折形也然則所餘之辰午
[059-14b]
癸磬折形非即戊午方乎
又法曰兩較相乗倍之開方亦得弦
和較以下同前法
論曰甲乙丙句股形試引甲丙至丁
得甲丁為句股和甲戊為和上方甲未股/未丁句丁子己子句
也丁辛己壬弦也子辛子壬句弦較也未子亥子股也
未申亥卯弦也子申子卯股弦較也然則卯辛與申壬
兩矩形即是兩較相乘倍之之數也此兩矩形者即戊
[059-15a]
午弦和較上方丙丁為/弦和較何則未申亥磬折形句實也子
戊方形亦句實也今試於未午亥磬折形減辛丙庚亥
兩矩形辛未及亥壬/皆是弦和較及子午方即是於戊子方中減癸
子丑磬折形也然則卯辛與申壬兩矩形非戊午方乎
十一題
句股較句弦較求句股弦句短股長/看此題
法曰先以兩較相減得即為股弦較次以兩較各自乗
相減餘為實倍股弦較為法用長濶相差法求之得句
[059-15b]
句加句股較得股句加句弦較得弦
論曰甲乙丙句股形丙乙股丙戊句
丙巳弦戊乙句股較戊己句弦較乙
巳股弦較乙丁亦為句丙丁為句股
和丙庚為和上方辛壬為句股較上方辛子為句弦較
上方兩較上方相減餘丑子午磬折形夫乙子卯磬折
形句實也壬庚方亦句實也今於壬庚方中作未庚未
申兩矩形與己丑寅卯兩矩形等即所餘壬申形與丑
[059-16a]
子午磬折形等矣於是依壬申形作
壬亥形此形壬酉為長壬癸為濶與
壬辰等即辰未未酉為股弦較之倍
為長濶之差
按此法句股較句弦較相減得股弦較即三較皆備矣
十題第一法句弦較股弦較相減得句股較即三較亦
皆備矣既皆備三較則法可互用特以就題立法則法
固各有攸屬耳
[059-16b]
十二題
句股較股弦較求句股弦股短句長/看此題
法同十一題
十三題
句弦和股弦和求句股弦
法曰兩和各自乗相併兩和相減即為句股較自乗用
減相併數餘開方為弦和和弦和弦也句股和也弦和/和弦與句股和相併也
於是内減句弦和得股内減股弦和得句内減句股得弦
[059-17a]
論曰甲乙丙形甲乙股也丁乙股
弦和也乙午股弦和上方也乙丙
句也丙子句弦和也丙未句弦和
上方也甲丙弦也丙丑股也丑巳
句也甲己弦和和也甲壬弦和和
上方也乙午丙未兩方併較甲壬
方則兩方多一句股較自乗之數何則試觀甲壬方中
弦股句三方即乙午丙末兩方中弦句股三方也甲壬
[059-17b]
方中股弦矩二句弦矩二即乙午丙未兩方中股弦矩
二句弦矩二也無或異也所異者惟甲壬方中餘句股
矩二與乙午丙未兩方中餘弦方一則弦方一與句股
矩二其較為句股較上方何則試
觀另圖甲丙弦也甲丁弦上方也
甲乙股也乙丙勾也甲乙丙形句
股矩形之半也而丙巳丁丁子丑
丑午甲三形皆與甲乙丙形等共
[059-18a]
四形即得句股矩之二也中餘乙巳子午方即句股較
上方然則乙午丙未兩方併較甲壬方不多一句股較
上方乎故於兩方中減之即得甲壬方也
又法曰兩和相乗倍之開方得弦
和和以下同前法
論曰甲乙丙形乙丁股弦和也丁
午句弦和也乙午兩和矩内形也丙子句弦和也丙辛
股弦和也丙未兩和矩内形也甲丙弦也丙丑股也丑
[059-18b]
巳句也甲己弦和和也甲壬弦和
和上方也乙午丙未兩矩形與甲
壬方形等者兩矩形中有兩弦方
甲壬形中有弦方一股方一句方
一亦即兩弦方也兩矩形中有股
弦矩二句弦矩二句股矩二甲壬形亦有股弦矩二句
弦矩二句股矩二也然則乙午丙未兩矩形不與甲壬
方形等乎
[059-19a]
十四題
句股和句弦和求句股弦
法曰先以兩和相減得即為股弦較次以兩和各自乗
相減餘為實倍股弦較為法依長濶相差法求之得句
句減句股和得股句減句弦和得弦
論曰甲乙丙形甲丁句弦和也甲戊句
弦和上方也巳丁句股和也子戊句股
和上方也兩和之較為甲巳兩方之較
[059-19b]
為壬甲丑磬折形此形中午甲未磬折形句實也癸戊
方形亦句實也夫癸戊方形與壬甲丑磬折形其餘為
辛未午丁兩矩形今試作癸寅寅申兩矩形與之等即
戊申矩形與壬甲丑磬折形等矣此戊申矩形戊庚為
濶即句與庚癸等癸卯卯申為倍數為長濶之差
十五題
句股和股弦和求句股弦
法同十四題
[059-20a]
十六題
句股弦形中求容方
先論曰凡於句股形中依句股兩邊作方形或矩形則
作形之外所餘之角形二自相似亦與元形相似如圖
甲乙丙元形作壬丁乙子方形則此形之外所餘甲丁
壬及壬子丙兩角形自相似何則謂甲
丁與壬子相似丁壬與子丙相似也若
作壬丁乙子矩形亦然又此兩形之各兩邊與元形之
[059-20b]
兩邊相似何則謂甲丁壬子兩邊與甲乙邊相似丁壬
子丙兩邉與乙丙邊相似也於是遂生求容方之法如
左獨不能生求容矩之法者以容方則/甲丁丁壬兩邉即甲乙邉壬子子丙
兩邉即乙丙邉/也若容矩則否
法曰句股相乗為實併句股為法除之得方邊
論曰甲乙股乙丙句相乗得甲丙矩即未午矩矩之甲
午邊甲乙股乙午即句乙子即方
邊何則甲丙弦為甲丙矩形之對
[059-21a]
角線亦為甲壬壬丙矩形之對角線則甲乙丙與甲丑
丙甲丁壬與甲未壬壬子丙與壬亥丙各角形自相等
今於甲乙丙甲丑丙相等之兩形中各減去相等之角
形所餘之乙壬方與壬丑方必等次於兩方各加一同
用之子亥矩則乙亥矩與子丑矩亦必等而子午矩與
乙亥矩等亦即與子丑矩等然則甲丙矩不與未午矩
等乎
又法曰句自乗為實併句股為法除之得餘句用減句
[059-21b]
餘即方邊
論曰甲乙丙句股形乙丙句自乗
得乙丁方即未已矩形形之戊丙
即股丙巳即句丙子即餘句乙子即方邊何則丑丁形
即子巳形也壬乙形即壬戊形也然則乙丁方即未巳
矩也
十七題
句股弦形中求容圓
[059-22a]
法曰句股相乗倍之為實句股弦共為法除之得容圓
徑或句股相乗為實句股弦共為法除之得容員之半/徑 或句股相乗半之為實句股弦併而半之為法
除之得容/圓之半徑
論曰試於形之三邊截取己子未
三㸃令乙子與乙巳等甲巳與甲
未等丙未與丙子等次於已子未
三㸃各作己丁未丁子丁三線為
形三邊之垂線必相遇於丁而相
[059-22b]
等何則試先就己甲未丁四邊形論之甲巳甲未兩邊
等己未兩角皆正即巳丁未丁兩線必等依顯未丁與
子丁兩線子丁與巳丁兩線亦必各等然則丁即圓心
三線即圓之半徑矣果何術以求之乎曰試作甲丁丙
丁乙丁三對角線平分甲乙丙三角及丁角因平分三
个四邊形為六个三邊形各兩相等次引乙丙至壬令
丙壬與甲已等則乙壬線為甲乙丙三邊之半何則乙
子者乙子乙巳之半丙子者丙子丙未之半丙壬者甲
[059-23a]
未甲巳之半然則乙壬者甲乙丙三邊之半矣次引長
巳丁線至亥令己亥與乙壬等必相與為平行次作壬
亥丙午兩線與子丁線等而相與為平行末作丙亥對
角線則乙亥矩形與甲乙丙元形等何則乙巳丁子方
形在元形之内丙子丁角形亦在元形之内丁午丙角
形雖不全在元形之内然即丙未丁形而倒置之凑合
丙子丁形而成子午矩形者也至於壬午矩形全在元
形之外然亦即甲巳丁甲未丁兩形顛倒凑合而成者
[059-23b]
也然則乙亥矩形與甲乙丙元形等矣於是以句股相
乗半之得甲乙丙元形即乙亥矩形以乙壬三邊之半
分之得子丁為圓半徑或以三邉之全分元形之倍亦
得圓之半徑或三邊之全分元形
之四倍得全圓徑也
又法曰句弦股三邊半之内減弦
得圓之半徑或倍弦用減三邉/之全得全圓徑
論曰甲乙丙元形之乙角既是正
[059-24a]
角乙子丁乙已丁兩角又是正角即子丁己亦必正角
然則子丁己乙形必是正角方形而四邊等矣即乙巳
乙子兩邊必與丁己丁子圓之兩半徑等矣此乙已乙
子之兩邊果何術以求之乎依前論乙壬線為三邊之
半而丙壬即甲未也丙子即丙未也則子壬線即甲丙
弦也於是子壬弦減乙壬三邊之半得乙子即圓之半
徑若倍弦數用減三邊之全得全圓徑
又法曰句股併以弦減之得全圓徑
[059-24b]
論曰如前圖乙丙句也丙壬與乙巳併即甲乙股也何
則以丙壬與甲巳等故也壬子即甲丙弦也何則以丙
壬與甲未等丙子與丙未等故也於是以子壬弦減壬
己句股併得子巳為圓之全徑何則以乙子與子丁等
乙巳又與乙子等故也
巳上十七題除求方求圓二題餘十五題已盡句股
弦之藴矣然論其題則不止於己上十五題也今反
覆推之凡得一百四十四題雖究其歸不出於己上
[059-25a]
十五題之法要亦不可不備使習者得以按題而索之
逐類而通之也
勾股較勾股和 句股較句弦和 句股較股弦和
句弦較句弦和 句弦較句股和 句弦較股弦和
股弦較股弦和 股弦較句股和 股弦較句弦和
已上共九題
句/和和
弦較較 句較較 股較較
[059-25b]
弦和較 句和較 股和較
弦較和 句較和 股較和
巳上十則各以股/三則配之得三十題
各以股弦和/三則配之得三十題
各以股弦較/三則配之得三十題
又巳上十則股/和和為一則以下九則配之得九題
弦較較為一則以下八則配之得八題
句較較為一則以下七則配之得七題
[059-26a]
股較較為一則以下六則配之得六題
弦和較為一則以下五則配之得五題
句和較為一則以下四則配之得四題
股和較為一則以下三則配之得三題
弦較和為一則以下二則配之得二題
句較和為一則以下一則配之得一題
已上共一百四十四題學者按題而索之逐類而通
之要不出於前所列之十五題也
[059-26b]
又一題後十四題盡/句股之變
容方與餘句求餘股與餘股求餘句因得全句全股
法曰方邊自乗以餘句除之得餘股以餘股除之得餘
句各以所得加方邊因得全句全股
論曰乙丁方邊也自乗得乙壬方
即壬丑矩論詳前/十六題故以己壬即丙/未餘
句/除之得子壬即甲丁/餘股以子壬除之得己壬因以己壬
加壬丁共已丁即句以子壬加壬未共子未即股
[059-27a]
又法曰以餘句除方邊餘句小/于方邉得數即用以乗方籩得
餘股或以方邊除餘股餘股大/于方邉得數即用以除方邊得
餘句
論曰方邊為餘句餘股連比例之中率以前率餘句比
中率方邊則方邊為幾倍大即以中率方邊比後率餘
股則餘股亦必為幾倍大又以後率餘股比中率方邉
則方邊為幾倍小即以中率方邊
比前率餘句則餘句亦必為幾倍
[059-27b]
小故得數者得其幾倍大幾倍小之數也大用乗小用除
又二題
餘句餘股求容方因得全句全股
法曰餘句股相乗開方得方邊各以餘句股加之得全
句股
論曰子壬即餘股也己壬即餘句
也丑壬矩即乙壬方也論詳前/十六題因
以甲丁餘/股丙未餘/句加之得全股甲/乙全句乙/丙
[059-28a]
又法曰以餘句除餘股以小/除大得數開方得中率之比例
於是以中率之比例除餘股得方邊或以中率之比例
乗餘句亦得方邉
論曰餘句餘股之於方邊為連比例之前後率今以己
壬餘句比子壬餘股得子壬為幾倍大即是以己壬線
上方比己壬線與子壬線上矩得丑壬矩為幾倍大也
而丑壬矩又與乙壬方等開方得連比例之中率者以
方則邊等邊等則比例連故也既得連比例之中率則
[059-28b]
方邊可得而知矣
右兩題宜附前十六題之後
又三題
句股弦形句股較求句股弦
法曰形四倍之另以較自乗相併開方得弦次依前四
題法求句股
論曰甲乙丙形四倍之即丁已甲子午丁
丙未子與甲乙丙四形也乙巳為句股較
[059-29a]
乙午為較上方四形與一方相併成甲子方開方得甲
丙弦
又法曰形八倍之另以較自乗相併開方得句股和於
是和加較折半得股和減較折半得句
論曰甲乙丙形八倍之即甲丙丙丁丁
己己甲四矩形也乙子為句股較乙午
為較上方四矩形與一方併成丑未方開方得丑壬為
句股和
[059-29b]
又法曰形倍之以句股較用長濶相差法求之得句句
加較得股
論曰甲乙丙句股弦形倍之得乙丁矩形甲乙股乙丙
句已甲較即乙已與乙丙句等丙巳為
句上方丁句為句與較矩内形今試商
得乙丙為句乙巳加已甲為股
又四題
句股弦形句股和求句股弦
[059-30a]
法曰形四倍之另以句股和自乗相減開方得弦次依
前七題法求句股
論曰甲乙丙形四倍之者甲乙丙丙戊
丁丁己辛辛壬甲四形併也乙壬為句
股和乙巳為和上方内減四形併餘甲
辛丁丙方開方得甲丙弦
又法形八倍之另以句股和自乗相減開方得句股較
於是用加和折半為股用減和折半為句
[059-30b]
論曰甲乙丙形八倍之者即甲丙丙丁
丁辛辛甲四矩形併也午戊為和戊壬
為和上方内減四矩形併餘子乙未丑
方開方得子乙為句股較
又法曰形倍之以句股和用長濶相和法求之得句句
減和得股
論曰甲乙丙句股弦形倍之得乙巳
矩形甲乙股乙丙句併之為和今試
[059-31a]
商得乙丙為句用減和餘甲乙即股
又五題
句股形中求從直角句股相/聯處至弦作垂線與弦相交/為直角分
元形為兩句股形
法曰弦上方句上方併之内減股上方餘半之以弦除
之得數為弦上作垂線之處於是以所得數與句依句
弦求股法作垂線
論曰甲乙丙元形求從直角作乙午線為甲丙之垂線
[059-31b]
甲丙弦也甲丑弦上方也乙丙句也乙己句上方也
甲乙股也乙辛股上方也夫乙辛方中之子未方乙午
線上方也乙巳方中之丁申方亦
乙午線上方也即兩方等矣又乙
辛方中之子辛未磬折形甲丑方
中之午壬方也今於甲丑乙巳兩
方中減乙辛方即於兩方中減丁申方與午壬方也兩
方中所存者為申巳丁磬折形午丑壬磬折形矣而申
[059-32a]
巳丁磬折形又與丑卯方等半之即得午丑矩故以丙
丑弦除之得丙午若乙辛方與甲丑方併内減乙巳方/餘半之以弦除之得甲午同上論
按此法不但可施諸句股直角形凡/鋭角鈍角形俱可用此法求垂線
又法曰句股相併得數相減得數兩得數相乗以弦除
之得數用減弦餘半之得數為弦上作垂線之處
如圖甲乙丙形甲乙股乙丙句相
加得甲丁相減得甲巳甲丁與甲
巳相乗得數以甲丙弦除之得甲
[059-32b]
子用減弦餘丙子半之於午即午㸃為弦上作垂線之處
一論曰甲丁偕甲已矩内形及乙巳上
方形併與甲乙上方形等如圖壬丁矩
甲丁偕甲巳矩内形也甲壬與/甲巳等辛甲未
磬折形即壬丁矩也壬未矩與/辛丁矩等未辛方
乙巳上方也併之得甲戊方即甲乙上方
二論丁已甲線貫圜心於乙庚甲線切圜周於庚乙庚
甲為直角夫丁甲偕巳甲矩内形與甲庚線上方形等
[059-33a]
何則乙庚庚甲兩線上方形與乙甲線上方等而丁甲
偕巳甲矩内形及乙已上方併亦與
乙甲線上方等一論之/圖可見此兩率者每
減一相等之乙庚乙巳兩線上方則
甲丁偕甲巳矩内形與甲庚線上方形必等
三論曰丙甲線不貫圜心於乙庚甲
線切圜周於庚乙庚甲直角形乙午
甲亦直角形兩形合一乙甲弦則乙
[059-33b]
庚庚甲兩線上方併與乙午午甲兩線上方併必等又
乙午子直角形則乙午午子兩線上方併與乙子線上
方等夫午甲上方形中原有一論之/圖可見丙甲偕子甲矩内
形及午子上方形今於乙甲上方形
中減乙庚上方形即減去同乙庚之
乙子上方同乙子之乙午午子兩線
上方然則所餘之丙甲偕子甲矩形與甲庚上方形必等
四論曰前甲丁偕甲巳矩内形與庚甲上方等二論/之圖甲
[059-34a]
丙偕甲子矩内形與庚甲上方亦等三論/之圖則兩矩形自
相等而等角㫄之各兩邊彼此互相
視何則試引戊子壬己兩線相遇於
丑而成甲丑形夫甲戊與甲丑兩形
同在戊丑丙己兩平行線内等髙則兩形之比例若其
底甲丙與甲己之比例依顯甲壬與甲丑兩形之比例
亦若其底甲丁與甲子之比例夫甲戊與甲壬兩矩形
元等則甲戊形與甲丑形即甲壬形與甲丑形也即甲
[059-34b]
丙與甲己之比例亦即甲丁與甲子之比例也更之則
甲丙與甲丁之比例亦若甲己與甲子之比例
於是以甲丙為一率甲丁為二率
甲己為三率二三率相乗一率除
之得四率甲子也既得甲子用減
甲丙餘丙子半之于午得午㸃為弦上作垂線之處何
則試作乙子線與乙丙同為圜之半徑即等而成乙丙
子兩邊等角形則午點折丙子之半必是直角此法不/但可施
[059-35a]
諸句股形凡鋭角鈍角/形俱可用此法求垂線
右既得乙午垂線即分甲乙丙原形為甲午乙乙午丙
兩句股形此兩形者自相似亦與元形相似
又六題
句股弦形中求依弦一邊容方
法曰先依又五題法求形中垂線次以弦與垂線相乗
得數併弦與垂線為法除之得方邊
論曰甲乙丙元形乙丁為垂線求依甲乙弦作方邊如
[059-35b]
子丑而成子午方形夫甲乙丙元形與
己乙午分形相似何則以己午與甲丙
平行故也次觀己午與未丁等即乙未
與己午併是乙丁垂線也然則乙丁偕甲丙併而與甲
丙若乙未偕己午併即乙丁/垂線而與己午
又法曰垂線自乗併弦與垂線為法除之得數用減垂
線得方邊
論曰乙丁偕甲丙併一/率而與乙丁二/率若乙未偕己午併
[059-36a]
三率即/乙丁而與乙未四/率於是以乙未減乙丁餘未丁即方
邊此法不但可施諸句股形/凡鋭角鈍角形俱可用
又七題
句股形中求分作兩邊等三角形二
法曰弦半之即是兩邊等之一邊
論曰甲乙丙形半弦於丁於是以丁為
心甲丙為界作圜必切乙角得乙丁與
半弦等因成乙甲丁乙丙丁兩形皆兩邊等三角形也
[059-36b]
又八題
斜三角形中求作中垂線分元形為兩句股形
法具又五題
又九題
斜三角形中求積
先分别是銳角形或是鈍角形若是正角形法以句/股相乗半之即得法
曰大中小三邊用小中兩邊依句股求弦法求之若求
得數小於大邊即是鋭角形大則是鈍角形
[059-37a]
鋭角形求積法曰任取一角依又五題求中垂線鋭角/形求
中垂線任取一/角皆在形内分元形為兩句股形次以兩分形句與
股各相乗半之得積
論曰甲乙丙鋭角形先求得乙丁中垂
線分為甲丁乙乙丁丙兩句股形次以
甲丁與丁乙丁乙與丁丙各相乗得丁戊與丁己兩矩
形各半之得甲乙丙形之積或以乙丁因甲丙之半亦/得或以甲丙因乙丁之半
亦/得鈍角形求積法於鈍角至對邊作垂線/則垂線在形内法同前於鋭角至對
[059-37b]
邊作垂線則垂線在形外而引對邊出形外凑之曰大
邊上方内減中小兩邊上方餘半之以中邊除之得引
凑數與小邊為股弦求句得垂線或以小邉除半數得/引凑數與中邉為句
弦求股亦/得垂線既得垂線則與引凑數凑成一小句股形又
以垂線與引凑數偕元形之邊凑成一大句股形大小
兩句股形相減得所求
論曰甲乙丙鈍角形乙為/鈍角求從丙鋭角作丙丁垂線而
引乙丁線以凑之從甲角作垂線亦/在形外兹不備述夫甲丙上方元包
[059-38a]
丙丁與甲丁兩邊上方今於甲丙上
大方中減乙甲乙丙上兩方即是減
丙庚與子午兩方為乙丙上方減甲
子方為甲乙上方也而所存者為丁
子子辛兩矩形矣半之為子丁一矩
形以中邊乙子除之得乙丁為引數
也丙丁乙為小句股形丙丁甲為大
句股形兩形相減得甲乙丙斜三角形積
[059-38b]
又法曰三邊數併而半之以每邊數各減之得三較數
三較連乗任以二較相乗得/數又以一較乗之得數又以半數乗之得數
開方得積
如後圖甲乙丙元形求其積
一圖 一論曰壬乙矩形與元形等
論同前十七題所論乙亥矩
形與甲乙丙元形等
二論曰丁心方與乙戊相乗又與乙戊相乗開方與乙
[059-39a]
二圖 壬矩形等如圖子壬二丑壬三相
乗得六為子丑矩形今以子壬二
自乗得四為子卯方即壬寅邊以
丑壬三乗之得十二為丑寅矩形又以三乗之得三十
六為辰寅矩形即午丑方形故開方得辰午六與子丑
三圖 矩形等
三論曰丁心偕戊庚矩形與乙丁相乗
其所得數與丁心方偕乙戊相乗所得
[059-39b]
數等何則乙丁心形與乙戊庚形相似之形也戊庚與
丁心若乙戊與乙丁則戊庚偕丁心矩形即庚未/矩形與丁
心方即己戊/方形亦若乙戊與乙丁也
四論曰丙丁偕丙戊矩形與丁心偕戊庚矩形等就一/圖觀
之/何則心丁丙形與丙戊庚形相似之形也夫庚乙線
平分丁乙甲角庚戊為丙戊之垂線則戊為直角次依
丙戊線截取丙卯線作卯庚線為丙卯之垂線則卯為
直角此庚乙庚戊庚卯三線必相交於庚㸃三線既相
[059-40a]
交於庚點則丙庚線必平分
卯丙戊角而卯丙戊角又即
己心丁角因得心丁丙形與
丙戊庚形為相似之形也兩形既相似則丁心與丁丙
若丙戊與戊庚也
解庚乙庚卯庚戊三線必相交於庚點所以然之故
庚心乙界作圈 次依甲乙丙形作丙丁辛形 次引
乙丁線至癸引辛甲線至壬乙庚線平分丙乙甲角則
[059-40b]
庚㸃必是圈心戊㸃折乙癸線之
半則戊㸃必直角 卯㸃折壬辛
線之半則卯㸃必直角 乙癸與
乙己等 乙丙辛丙為大邊甲丙
丁丙為中邊甲壬丁癸即小邊
總論曰二論丁心方與乙戊相乗又與乙戊相乗所得
數開方與乙壬矩形等夫乙戊半數也亦既得之矣次
欲求丁心與乙戊相乗而丁心不可得 三論丁心戊
[059-41a]
庚矩形與乙丁相乗所得數與丁心方偕乙戊相乗所
得數等夫乙丁三較之一也則又得之矣次欲求丁心
與戊庚兩線而兩線又不可得 四論丁丙偕丙戊矩
形與丁心偕戊庚矩形等夫丁丙丙戊三較之二也則
盡得之矣 今法於四論用丁丙偕丙戊二較相乗於
三論用乙丁一較乗之於二論用乙戊半數乗之開方
得數與乙壬矩形等
又十題
[059-41b]
斜三角形中求容圓
法曰先依又九題求積次取三邊數併而半之用除積
得員之半徑或置二較連乗數以半數/除之得開方亦得圓半徑
論曰先依又九題求得乙壬矩
形為甲乙丙元形積次以乙戊
除之即三邊數/之半也得丁心即圓之半徑若以三邊之全除/元形之倍亦得圓
半徑若以三邊之全除/元形之四倍得圓全徑
又十一題
[059-42a]
斜三角形中求容方
法同又六題
又十二題
斜三角形有三和數求三邊
法曰三和數相減得三較數各置三較數各以非所較
之邊加減之各半之其加而半者得大邊或中邊減而
半者得小邊或中邊
如圖戊己庚為三和數戊為大中兩和數己為大小/兩和數庚為小中兩和數甲
[059-42b]
為戊庚兩和之較乙為己庚兩和之較丙為戊己兩和
之較於是置甲較數以己為非所較之邊加
而半之得大邊減而半之得小邊置乙較數
以戊為非所較之邊加而半之得大邊減而
半之得中邊置丙較數以庚為非所較之邊加而半之
得中邊減而半之得小邊
論曰戊者大中兩和數也加減用乙者乙為己庚兩和
之較庚者小中兩和數己者大小兩和數此兩和數中
[059-43a]
皆有相等之小數而餘為大中兩數矣此乙所以爲大
中兩數之較也餘倣此
又十三題
句股測髙測逺測廣/測深同法
法曰先准地平地平者必令所測地面自所測/之處至髙之根如水之平也次立表
與地平為垂線退後立望竿令所測髙表尖竿頭叅相
直末自竿至髙根量得若干逺然後以表竿差與逺相
乗而以表竿相去若干除之加竿長若干得所求之髙
[059-43b]
如圖丙乙髙乙甲逺丁甲竿己戊表己子
為表竿差戊甲為表竿相去夫丁子己形
與丁辛丙形相似故丁子與己子若丁辛
與丙辛也
又十四題
句股重測髙逺測廣測/深同法
法曰若無髙根之可量者則用重測法謂一次立表竿
令表竿與髙叅相直二次立表竿令表竿與髙㕘相直
[059-44a]
兩表兩竿要各相等又要/或前或後立成一直線然後以表竿之較乗兩表相
去而以兩表竿相去之較除之加表髙若干得所求之
髙又以前表竿相去乗兩表相去而以兩表竿相去之
較除之加前表竿相去得所求之逺
如圖甲乙髙乙丙逺各不知數用重
表測之 丁子為前表己丙為望竿
子丙為表竿相去甲丁己三㸃叅相
直午壬為後表丑辛為望竿壬辛為
[059-44b]
表竿相去甲午丑三㸃叅相直丁亥為表竿之較子壬
為兩表相去未辛為兩表竿相去之較己上用以測髙
借丁卯元是表/竿相去為表竿相差借卯己元是表/竿相差為表竿
相去辰戊亦借為表竿相差戊癸亦借為表竿相去甲
辰癸三㸃亦叅相直丁辰亦借為兩表相去與丁午等
即庚癸亦為兩表竿相去之較與辛未等以上用以測逺
解庚癸線與辛未線必等所以然之故
如圖甲乙矩内形甲乙為對角線丙丁及戊己兩線與
[059-45a]
矩形之邊為平行而交角線
於庚 次任作辛壬線亦交
角線於庚 次截甲癸線與
甲辛線等作癸子線亦交角
線於庚則子乙線與壬乙線必等
論曰試作午丑及午未兩線與甲辛及甲癸相線為平
行夫庚甲辛及庚午丑兩角形相似之形也則庚甲與
庚午若甲辛與午丑依顯庚甲與庚午若甲癸與午未
[059-45b]
然則甲辛與甲癸亦若午丑與午未夫午丑與午未如
是則子乙與乙壬亦如是矣
先論甲乙矩形此形甲己為對角線寅卯申亥兩線交
於角線上之丁㸃則卯申矩形與亥寅矩形等
次論甲丑矩形此形甲丑為對角
線寅酉房壬兩線交於角線之午
點則房酉矩形與寅心矩形等
末總論曰夫房酉矩形與寅心矩
[059-46a]
形既等而午井形又與卯申形等即亦與亥寅形等然
則房酉矩形中所餘之井酉形與寅心矩形中所餘之
丁心形必等
於是以丁亥表竿相差乗丁午兩表相去得丁心矩形
即井酉形而以井女兩表竿相去之較除之得女酉加
酉辛表共女辛即甲乙髙
先論甲己矩形同前
次論甲癸矩形此形甲癸為對角線申氐戊亢兩線交
[059-46b]
於角線之辰㸃則亢氐矩形與戊申矩形等
末總論曰夫亢氐矩形與戊申矩形既等而辰牛形又
與亥寅形等即亦與卯申形等然則亢氐矩形中所餘
之牛氐形與戊申矩形中所餘之丁戊形必等
於是以丁卯表竿相差乗丁辰兩表相去得丁戊矩形
即牛氐形而以牛危兩表竿相去之較除之得危氐加
氐癸表竿差共危癸即乙丙逺也
求髙又法 既得危氐線即以亢牛乗之得牛辰形此
[059-47a]
形即寅亥矩形亦即申卯矩形也故以丁卯除之得丁
申髙
求逺又法 既得女酉線即以房井乗之得井午矩形
此形即申夘矩形亦即寅亥矩形也故以丁亥除之得
丁寅逺
[059-47b]
歴算全書卷四十六
欽定四庫全書
歴算全書卷四十六
宣城梅文鼎撰
句股闡微卷一
句股正義
首題
句股弦者横曰句縱曰股亦可云勾/縱股横斜曰弦三線相聨
而成句股弦形也
[059-1b]
如圖甲乙丙形甲乙為股乙丙為句甲
丙為弦亦可云甲乙為句/乙丙為股也 凡三角
形或三角俱鋭或兩鋭一鈍或兩鋭一
正鋭鈍正説具三/角形算法中句股弦形者兩鋭一正形也其句股
兩線縱横相遇而成者為正角如乙㸃句弦兩線及股
弦兩線相遇而成者為鋭角如甲丙兩㸃 此三線者
或三線俱不等其最大者必弦或兩線等其等者必句
股而無三線等何者以句股弦形一角正故也
[059-2a]
一題
句股求弦
法曰句股各自乘併之開方得弦
如圖甲乙句自乘得乙丁方乙丙股自
乗得乙戊方兩方相併即甲巳方開之
得甲丙弦
論曰試移庚實形補辛虚形移丑實形補卯虚形移壬
實形補子虚形移卯午實形補壬辰虚形所移者恰盡
[059-2b]
所補者恰足得乙丁與乙戊兩方併恰與甲巳方等
又論曰更以句與股相等之形觀之夫句與股既等則
句股各自乗固方也即句股互相乗亦
方也凡句股不等則句股/互相乗必是矩形如丁戊大方
平分方邊於方形中縱横作線中分四
小方形必等又句與股既等則弦上方邊為句股各自
乗兩方之對角線亦為句股互相乗兩方之對角線如
於四小方形中作四對角線相聨而成一中方形也此
[059-3a]
中方形者割小方形四之半即涵小方形二之全就此
圖觀之尤為明顯
又法曰句與股相乗倍之另以句股差自乗併入倍數
開方得弦
論曰甲乙股乙丙句相乗得乙丁矩形
中分為庚戊兩形夫庚形即辛形也倍
之者再加癸卯兩形也乙丙為句丙巳
為股乙巳為句股差自乗得乙子方併入倍數共成甲
[059-3b]
壬方為甲丙弦上方也
又法曰句自乗倍股依長濶相差法求之得股弦差加
股為弦
論曰甲乙丙句股形甲丙弦也丁已亦弦也丁戊弦上
方也乙丙股也乙壬亦股也乙子股上
方也餘乙戊子磬折形即句自乗之數
也而已壬矩與乙丑矩等即丙戊矩亦
句自乗之數也此丙戊矩形中乙丙為股加乙壬為倍
[059-4a]
股曰長濶相差者丙午為長午戊為濶與壬午等即壬
丙倍股為長濶之差也依法求之得壬午為股弦差
二題
句弦求股
法曰弦自乗内減句自乗餘開方得股
論曰一題句股求弦苐一法句股各自乗併之即弦自
乗數則弦自乗數中有句股各自乗之數也今於弦自
乗數中減去句自乗所存者即股自乗數矣就一題之
[059-4b]
圖觀之自見
又法曰句弦相併得數相減得數兩數相乗得數開方
得股
如圖甲乙丙句股形乙丙句甲乙股甲
丙與乙丙相併即乙丁線相減即乙巳
線乙巳與/乙子等兩線乙丁/乙子相乗得子丁矩即
甲乙股上方
論曰己午方者已丙線上方即甲丙弦上方也内减子
[059-5a]
午形為乙丙句上方所存卯巳未磬折形即甲乙股上
方矣而巳未矩又與丁卯矩等則丁子矩形即卯巳未
磬折形矣亦即甲乙股上方矣
又法曰句自乗倍弦依長濶相和法求之得股弦差用
減弦得股
論曰甲乙丙句股形甲丙弦也丁己亦
弦也丁戊弦上方也乙丙股也乙壬亦
股也乙子股上方也餘乙戊子磬折形
[059-5b]
即甲乙句自乗之數也而己壬矩與乙丑矩等即丙戊
矩亦甲乙句自乗之數也此丙戊矩形中乙午為弦乙
丙併午戊為倍弦曰長濶相和者丙午為長午戊為濶
即丙午午戊併為長濶相和也依法求之得壬午為股
弦差
三題
股弦求句
法同二題句弦求股
[059-6a]
附長濶相和法
如圖丁乙矩形積九百七十二尺丁甲
為長乙甲為濶兩邊之和共六十三尺
求甲丁甲乙二邊各若干 法以和數
自乗得三千九百六十九尺次以積四倍之得三千八
百八十八尺與和自乗相減存八十一尺開方得九尺
即丁甲乙甲/二邊之較數以與和六十/三尺相併折半得三十六尺為甲
丁長邊又與和相減折半得二十七尺為甲乙矩邊
[059-6b]
長濶相差法圖同上/
丁乙矩形積九百七十二尺甲乙為濶戊乙為長丙戊
九尺乙丙即/甲乙為長濶相差數甲乙戊乙二邊各若干
法以較數九/尺自乗得八十一尺次以積四倍之得三千
八百八十八尺與較自乗相并得三千九百六十九尺
開方得六十三尺即戊乙甲乙/二邊之和數以與較九尺相併折半
得三十六尺為戊乙長邊又與較九/尺相減折半得二十
七尺為甲乙短邊
[059-7a]
解曰甲午矩形作乙丙對角線成甲乙丙句股形甲丙
長句也甲乙濶股也丙丑長濶和也甲丑即/乙甲自乗得丙
子大方四倍矩積也并大方内戊丁
庚辛四矩形之積大方内所容四矩/俱與元形等如丙
壬矩即甲午矩其八/句股形亦俱等元形相減存己壬小
方開方得巳未邊即甲乙甲丙二邊之較數也卯亥即/甲乙股
卯壬即甲丙句則壬亥為/兩邊較數即長濶相差也既得較數與所有和數相加
減得甲乙甲丙二邊矣
[059-7b]
若長濶相差法是先有巳未較數故以上法反用之求
得丙丑和得丙丑亦得甲乙與甲丙矣
四題
弦與句股較求句股
法曰弦自乗倍之較自乗用減倍數餘開方得句股和
於是和加較半之得長股和減較半之得短句
論曰甲乙丙句股形甲乙句也乙丁句上方也乙丙股
也丙戊股上方也兩方併共為弦上方辛壬亦句上方
[059-8a]
庚已亦股上方兩方併亦共為弦上
方此即弦自乗倍之之數也而兩句
方兩股方併為丙己大方則中間重
叠庚戊方矣此何方乎曰戊子即句股較也庚戊方即
較上方也減之而重叠者去矣所存者為句股和上方
矣故開之得丙丑為句股和也
又法曰弦自乗内減較自乗餘半之以較為長濶相差
法求之得短句加較得長股
[059-8b]
論曰甲乙丙句股形甲丙弦也甲丁弦
上方也巳子較也己丑較上方也兩方
相減餘壬辛午未四形半之餘午未二
形而午形又即戊形則是餘未戊二形也此未戊二形
者句股矩内形也故以巳子較用長濶相差法求之得
子丙短句句加較得巳丙長股
五題
股與句弦較求句弦
[059-9a]
法曰股自乗内減較自乗餘半之以較為法除之得句
句加較得弦
論曰甲乙丙句股形甲丙弦也甲丁弦
上方也甲巳較也甲戊較上方也庚甲
辛磬折形股自乗數也内減甲戊較上
方所餘丙戊戊壬兩形即為句與句弦較矩内形者二
矣取其一如丙戊形以戊己較除之得己丙句或不用/折半倍
較為法除/之亦同
[059-9b]
又法曰股自乗以較為法除之得句弦和於是加較折
半得弦減較折半得句
論曰甲乙丙句股形甲丙弦也甲丁弦上方也丙己亦
句也丁戊句上方也所餘庚甲辛 折形即股自乗數
也而壬辛形與戊丙形等即壬己矩形
亦股自乗數也以甲巳較除之得甲壬
為句弦和也
又法曰股自乗較自乗相併倍較為法除之得弦弦減
[059-10a]
較得句
論曰甲乙丙句股形甲丙弦也甲丁弦
上方也丁己為句上方即戊甲辛磬折
形為股上方矣又己丙矩與庚壬矩等
即甲辛子磬折形亦股上方也加甲子較上方共得辛
丑矩形其庚辛邊即是倍較
六題
句與股弦較求股弦
[059-10b]
法同五題
七題
弦與句股和求句股
法曰弦自乗倍之内減句股和自乗餘開方得句股較
於是較加和半之得長股較減和半之得短句
論曰甲乙丙句股形丙丁句股和也丁
子和上方也丁午未子兩句上方丙丑
壬巳兩股上方此即弦自乗倍之之數
[059-11a]
也以較丁子和上方則其中重叠一壬丑方矣而此方
之邊即是句股較
又法曰句股和自乗内減弦自乗餘半之以句股和用
長濶相和法求之得句股
論曰丙丁為句股和丁巳為和上方午
乙壬磬折形即弦上方兩方相減餘午
丑壬磬折形分為午丑及丑壬兩形形
之兩邊即句股
[059-11b]
八題
股與句弦和求句弦
法曰句弦和自乗内減股自乗餘半之
以句弦和除之得句用減句弦和得弦
或不用折半倍句/弦和除之亦同
論曰甲乙丙句股形甲丁為句弦和甲巳為和上方又
甲午為弦上方甲子為句上方即未午壬磬折形為股
自乗而子丙矩與午辛矩等即戊辛矩形亦股自乗也
[059-12a]
於和方中減之所存者為未丁及戊己兩矩形矣形之
一邊如甲丁即句弦和其一邉如甲未即句
又法曰股自乗得數以句弦和除之得句弦較於是用
加句弦和半之得弦用減句弦和半之得句
論曰甲乙丙句股形甲丁句弦和也甲
戊弦上方也戊己句上方也即午甲未
磬折形為股自乗矣而卯巳矩與午丁
矩等即甲子矩形亦股自乗矣形之甲丁邊即句弦和
[059-12b]
丁子邊即句弦較
又法曰句弦和自乗股自乗相併倍和為法除之得弦
弦減和得句
論曰甲丁為句弦和甲戊為和自乗
戊丑為句今試依庚戊矩作丁卯矩
即卯甲丑磬折形亦和自乗矣又甲
巳為弦上方未壬為句上方即未己壬磬折形為股自
乗矣而壬子矩與子丑矩等即未丑矩亦股自乗矣然
[059-13a]
此猶在和自乗數中也今另加一股自乗如丑卯矩併
前卯甲丑磬折形共成一庚癸矩形
即為兩自乗相併之數形之甲癸邉
即句弦和之倍形之甲庚邊即是弦
也
九題
句與股弦和求股弦
法同八題
[059-13b]
十題
句弦較股弦較求句股弦
法曰先以兩較相減得即為句股較次以兩較各自乗
相併内減句股較自乗餘開方得弦和較和句股/和也於是
加股弦較得句加句弦較得股以句弦較加句或以股
弦較加股得弦
論曰甲乙丙句股形甲丙弦也甲巳即股也巳丙股弦
較也甲壬即句也壬丙句弦較也壬己句股較也今試
[059-14a]
引甲壬句至丁令甲丁為句股和即丙丁為弦和較也
次作甲戊為和上方午未為句弦較上方午子為股弦
較上方即庚/辰方兩較上方相併共為午未辰磬折形内減
未子句股較上方餘辰午癸磬折形
即戊午弦和較上方何則試觀丑午
已磬折形句上方也子戊形亦句上
方也今於丑午已磬折形中減丑申及辛巳兩矩形即
是於子戊形中減卯子亥磬折形也然則所餘之辰午
[059-14b]
癸磬折形非即戊午方乎
又法曰兩較相乗倍之開方亦得弦
和較以下同前法
論曰甲乙丙句股形試引甲丙至丁
得甲丁為句股和甲戊為和上方甲未股/未丁句丁子己子句
也丁辛己壬弦也子辛子壬句弦較也未子亥子股也
未申亥卯弦也子申子卯股弦較也然則卯辛與申壬
兩矩形即是兩較相乘倍之之數也此兩矩形者即戊
[059-15a]
午弦和較上方丙丁為/弦和較何則未申亥磬折形句實也子
戊方形亦句實也今試於未午亥磬折形減辛丙庚亥
兩矩形辛未及亥壬/皆是弦和較及子午方即是於戊子方中減癸
子丑磬折形也然則卯辛與申壬兩矩形非戊午方乎
十一題
句股較句弦較求句股弦句短股長/看此題
法曰先以兩較相減得即為股弦較次以兩較各自乗
相減餘為實倍股弦較為法用長濶相差法求之得句
[059-15b]
句加句股較得股句加句弦較得弦
論曰甲乙丙句股形丙乙股丙戊句
丙巳弦戊乙句股較戊己句弦較乙
巳股弦較乙丁亦為句丙丁為句股
和丙庚為和上方辛壬為句股較上方辛子為句弦較
上方兩較上方相減餘丑子午磬折形夫乙子卯磬折
形句實也壬庚方亦句實也今於壬庚方中作未庚未
申兩矩形與己丑寅卯兩矩形等即所餘壬申形與丑
[059-16a]
子午磬折形等矣於是依壬申形作
壬亥形此形壬酉為長壬癸為濶與
壬辰等即辰未未酉為股弦較之倍
為長濶之差
按此法句股較句弦較相減得股弦較即三較皆備矣
十題第一法句弦較股弦較相減得句股較即三較亦
皆備矣既皆備三較則法可互用特以就題立法則法
固各有攸屬耳
[059-16b]
十二題
句股較股弦較求句股弦股短句長/看此題
法同十一題
十三題
句弦和股弦和求句股弦
法曰兩和各自乗相併兩和相減即為句股較自乗用
減相併數餘開方為弦和和弦和弦也句股和也弦和/和弦與句股和相併也
於是内減句弦和得股内減股弦和得句内減句股得弦
[059-17a]
論曰甲乙丙形甲乙股也丁乙股
弦和也乙午股弦和上方也乙丙
句也丙子句弦和也丙未句弦和
上方也甲丙弦也丙丑股也丑巳
句也甲己弦和和也甲壬弦和和
上方也乙午丙未兩方併較甲壬
方則兩方多一句股較自乗之數何則試觀甲壬方中
弦股句三方即乙午丙末兩方中弦句股三方也甲壬
[059-17b]
方中股弦矩二句弦矩二即乙午丙未兩方中股弦矩
二句弦矩二也無或異也所異者惟甲壬方中餘句股
矩二與乙午丙未兩方中餘弦方一則弦方一與句股
矩二其較為句股較上方何則試
觀另圖甲丙弦也甲丁弦上方也
甲乙股也乙丙勾也甲乙丙形句
股矩形之半也而丙巳丁丁子丑
丑午甲三形皆與甲乙丙形等共
[059-18a]
四形即得句股矩之二也中餘乙巳子午方即句股較
上方然則乙午丙未兩方併較甲壬方不多一句股較
上方乎故於兩方中減之即得甲壬方也
又法曰兩和相乗倍之開方得弦
和和以下同前法
論曰甲乙丙形乙丁股弦和也丁
午句弦和也乙午兩和矩内形也丙子句弦和也丙辛
股弦和也丙未兩和矩内形也甲丙弦也丙丑股也丑
[059-18b]
巳句也甲己弦和和也甲壬弦和
和上方也乙午丙未兩矩形與甲
壬方形等者兩矩形中有兩弦方
甲壬形中有弦方一股方一句方
一亦即兩弦方也兩矩形中有股
弦矩二句弦矩二句股矩二甲壬形亦有股弦矩二句
弦矩二句股矩二也然則乙午丙未兩矩形不與甲壬
方形等乎
[059-19a]
十四題
句股和句弦和求句股弦
法曰先以兩和相減得即為股弦較次以兩和各自乗
相減餘為實倍股弦較為法依長濶相差法求之得句
句減句股和得股句減句弦和得弦
論曰甲乙丙形甲丁句弦和也甲戊句
弦和上方也巳丁句股和也子戊句股
和上方也兩和之較為甲巳兩方之較
[059-19b]
為壬甲丑磬折形此形中午甲未磬折形句實也癸戊
方形亦句實也夫癸戊方形與壬甲丑磬折形其餘為
辛未午丁兩矩形今試作癸寅寅申兩矩形與之等即
戊申矩形與壬甲丑磬折形等矣此戊申矩形戊庚為
濶即句與庚癸等癸卯卯申為倍數為長濶之差
十五題
句股和股弦和求句股弦
法同十四題
[059-20a]
十六題
句股弦形中求容方
先論曰凡於句股形中依句股兩邊作方形或矩形則
作形之外所餘之角形二自相似亦與元形相似如圖
甲乙丙元形作壬丁乙子方形則此形之外所餘甲丁
壬及壬子丙兩角形自相似何則謂甲
丁與壬子相似丁壬與子丙相似也若
作壬丁乙子矩形亦然又此兩形之各兩邊與元形之
[059-20b]
兩邊相似何則謂甲丁壬子兩邊與甲乙邊相似丁壬
子丙兩邉與乙丙邊相似也於是遂生求容方之法如
左獨不能生求容矩之法者以容方則/甲丁丁壬兩邉即甲乙邉壬子子丙
兩邉即乙丙邉/也若容矩則否
法曰句股相乗為實併句股為法除之得方邊
論曰甲乙股乙丙句相乗得甲丙矩即未午矩矩之甲
午邊甲乙股乙午即句乙子即方
邊何則甲丙弦為甲丙矩形之對
[059-21a]
角線亦為甲壬壬丙矩形之對角線則甲乙丙與甲丑
丙甲丁壬與甲未壬壬子丙與壬亥丙各角形自相等
今於甲乙丙甲丑丙相等之兩形中各減去相等之角
形所餘之乙壬方與壬丑方必等次於兩方各加一同
用之子亥矩則乙亥矩與子丑矩亦必等而子午矩與
乙亥矩等亦即與子丑矩等然則甲丙矩不與未午矩
等乎
又法曰句自乗為實併句股為法除之得餘句用減句
[059-21b]
餘即方邊
論曰甲乙丙句股形乙丙句自乗
得乙丁方即未已矩形形之戊丙
即股丙巳即句丙子即餘句乙子即方邊何則丑丁形
即子巳形也壬乙形即壬戊形也然則乙丁方即未巳
矩也
十七題
句股弦形中求容圓
[059-22a]
法曰句股相乗倍之為實句股弦共為法除之得容圓
徑或句股相乗為實句股弦共為法除之得容員之半/徑 或句股相乗半之為實句股弦併而半之為法
除之得容/圓之半徑
論曰試於形之三邊截取己子未
三㸃令乙子與乙巳等甲巳與甲
未等丙未與丙子等次於已子未
三㸃各作己丁未丁子丁三線為
形三邊之垂線必相遇於丁而相
[059-22b]
等何則試先就己甲未丁四邊形論之甲巳甲未兩邊
等己未兩角皆正即巳丁未丁兩線必等依顯未丁與
子丁兩線子丁與巳丁兩線亦必各等然則丁即圓心
三線即圓之半徑矣果何術以求之乎曰試作甲丁丙
丁乙丁三對角線平分甲乙丙三角及丁角因平分三
个四邊形為六个三邊形各兩相等次引乙丙至壬令
丙壬與甲已等則乙壬線為甲乙丙三邊之半何則乙
子者乙子乙巳之半丙子者丙子丙未之半丙壬者甲
[059-23a]
未甲巳之半然則乙壬者甲乙丙三邊之半矣次引長
巳丁線至亥令己亥與乙壬等必相與為平行次作壬
亥丙午兩線與子丁線等而相與為平行末作丙亥對
角線則乙亥矩形與甲乙丙元形等何則乙巳丁子方
形在元形之内丙子丁角形亦在元形之内丁午丙角
形雖不全在元形之内然即丙未丁形而倒置之凑合
丙子丁形而成子午矩形者也至於壬午矩形全在元
形之外然亦即甲巳丁甲未丁兩形顛倒凑合而成者
[059-23b]
也然則乙亥矩形與甲乙丙元形等矣於是以句股相
乗半之得甲乙丙元形即乙亥矩形以乙壬三邊之半
分之得子丁為圓半徑或以三邉之全分元形之倍亦
得圓之半徑或三邊之全分元形
之四倍得全圓徑也
又法曰句弦股三邊半之内減弦
得圓之半徑或倍弦用減三邉/之全得全圓徑
論曰甲乙丙元形之乙角既是正
[059-24a]
角乙子丁乙已丁兩角又是正角即子丁己亦必正角
然則子丁己乙形必是正角方形而四邊等矣即乙巳
乙子兩邊必與丁己丁子圓之兩半徑等矣此乙已乙
子之兩邊果何術以求之乎依前論乙壬線為三邊之
半而丙壬即甲未也丙子即丙未也則子壬線即甲丙
弦也於是子壬弦減乙壬三邊之半得乙子即圓之半
徑若倍弦數用減三邊之全得全圓徑
又法曰句股併以弦減之得全圓徑
[059-24b]
論曰如前圖乙丙句也丙壬與乙巳併即甲乙股也何
則以丙壬與甲巳等故也壬子即甲丙弦也何則以丙
壬與甲未等丙子與丙未等故也於是以子壬弦減壬
己句股併得子巳為圓之全徑何則以乙子與子丁等
乙巳又與乙子等故也
巳上十七題除求方求圓二題餘十五題已盡句股
弦之藴矣然論其題則不止於己上十五題也今反
覆推之凡得一百四十四題雖究其歸不出於己上
[059-25a]
十五題之法要亦不可不備使習者得以按題而索之
逐類而通之也
勾股較勾股和 句股較句弦和 句股較股弦和
句弦較句弦和 句弦較句股和 句弦較股弦和
股弦較股弦和 股弦較句股和 股弦較句弦和
已上共九題
句/和和
弦較較 句較較 股較較
[059-25b]
弦和較 句和較 股和較
弦較和 句較和 股較和
巳上十則各以股/三則配之得三十題
各以股弦和/三則配之得三十題
各以股弦較/三則配之得三十題
又巳上十則股/和和為一則以下九則配之得九題
弦較較為一則以下八則配之得八題
句較較為一則以下七則配之得七題
[059-26a]
股較較為一則以下六則配之得六題
弦和較為一則以下五則配之得五題
句和較為一則以下四則配之得四題
股和較為一則以下三則配之得三題
弦較和為一則以下二則配之得二題
句較和為一則以下一則配之得一題
已上共一百四十四題學者按題而索之逐類而通
之要不出於前所列之十五題也
[059-26b]
又一題後十四題盡/句股之變
容方與餘句求餘股與餘股求餘句因得全句全股
法曰方邊自乗以餘句除之得餘股以餘股除之得餘
句各以所得加方邊因得全句全股
論曰乙丁方邊也自乗得乙壬方
即壬丑矩論詳前/十六題故以己壬即丙/未餘
句/除之得子壬即甲丁/餘股以子壬除之得己壬因以己壬
加壬丁共已丁即句以子壬加壬未共子未即股
[059-27a]
又法曰以餘句除方邊餘句小/于方邉得數即用以乗方籩得
餘股或以方邊除餘股餘股大/于方邉得數即用以除方邊得
餘句
論曰方邊為餘句餘股連比例之中率以前率餘句比
中率方邊則方邊為幾倍大即以中率方邊比後率餘
股則餘股亦必為幾倍大又以後率餘股比中率方邉
則方邊為幾倍小即以中率方邊
比前率餘句則餘句亦必為幾倍
[059-27b]
小故得數者得其幾倍大幾倍小之數也大用乗小用除
又二題
餘句餘股求容方因得全句全股
法曰餘句股相乗開方得方邊各以餘句股加之得全
句股
論曰子壬即餘股也己壬即餘句
也丑壬矩即乙壬方也論詳前/十六題因
以甲丁餘/股丙未餘/句加之得全股甲/乙全句乙/丙
[059-28a]
又法曰以餘句除餘股以小/除大得數開方得中率之比例
於是以中率之比例除餘股得方邊或以中率之比例
乗餘句亦得方邉
論曰餘句餘股之於方邊為連比例之前後率今以己
壬餘句比子壬餘股得子壬為幾倍大即是以己壬線
上方比己壬線與子壬線上矩得丑壬矩為幾倍大也
而丑壬矩又與乙壬方等開方得連比例之中率者以
方則邊等邊等則比例連故也既得連比例之中率則
[059-28b]
方邊可得而知矣
右兩題宜附前十六題之後
又三題
句股弦形句股較求句股弦
法曰形四倍之另以較自乗相併開方得弦次依前四
題法求句股
論曰甲乙丙形四倍之即丁已甲子午丁
丙未子與甲乙丙四形也乙巳為句股較
[059-29a]
乙午為較上方四形與一方相併成甲子方開方得甲
丙弦
又法曰形八倍之另以較自乗相併開方得句股和於
是和加較折半得股和減較折半得句
論曰甲乙丙形八倍之即甲丙丙丁丁
己己甲四矩形也乙子為句股較乙午
為較上方四矩形與一方併成丑未方開方得丑壬為
句股和
[059-29b]
又法曰形倍之以句股較用長濶相差法求之得句句
加較得股
論曰甲乙丙句股弦形倍之得乙丁矩形甲乙股乙丙
句已甲較即乙已與乙丙句等丙巳為
句上方丁句為句與較矩内形今試商
得乙丙為句乙巳加已甲為股
又四題
句股弦形句股和求句股弦
[059-30a]
法曰形四倍之另以句股和自乗相減開方得弦次依
前七題法求句股
論曰甲乙丙形四倍之者甲乙丙丙戊
丁丁己辛辛壬甲四形併也乙壬為句
股和乙巳為和上方内減四形併餘甲
辛丁丙方開方得甲丙弦
又法形八倍之另以句股和自乗相減開方得句股較
於是用加和折半為股用減和折半為句
[059-30b]
論曰甲乙丙形八倍之者即甲丙丙丁
丁辛辛甲四矩形併也午戊為和戊壬
為和上方内減四矩形併餘子乙未丑
方開方得子乙為句股較
又法曰形倍之以句股和用長濶相和法求之得句句
減和得股
論曰甲乙丙句股弦形倍之得乙巳
矩形甲乙股乙丙句併之為和今試
[059-31a]
商得乙丙為句用減和餘甲乙即股
又五題
句股形中求從直角句股相/聯處至弦作垂線與弦相交/為直角分
元形為兩句股形
法曰弦上方句上方併之内減股上方餘半之以弦除
之得數為弦上作垂線之處於是以所得數與句依句
弦求股法作垂線
論曰甲乙丙元形求從直角作乙午線為甲丙之垂線
[059-31b]
甲丙弦也甲丑弦上方也乙丙句也乙己句上方也
甲乙股也乙辛股上方也夫乙辛方中之子未方乙午
線上方也乙巳方中之丁申方亦
乙午線上方也即兩方等矣又乙
辛方中之子辛未磬折形甲丑方
中之午壬方也今於甲丑乙巳兩
方中減乙辛方即於兩方中減丁申方與午壬方也兩
方中所存者為申巳丁磬折形午丑壬磬折形矣而申
[059-32a]
巳丁磬折形又與丑卯方等半之即得午丑矩故以丙
丑弦除之得丙午若乙辛方與甲丑方併内減乙巳方/餘半之以弦除之得甲午同上論
按此法不但可施諸句股直角形凡/鋭角鈍角形俱可用此法求垂線
又法曰句股相併得數相減得數兩得數相乗以弦除
之得數用減弦餘半之得數為弦上作垂線之處
如圖甲乙丙形甲乙股乙丙句相
加得甲丁相減得甲巳甲丁與甲
巳相乗得數以甲丙弦除之得甲
[059-32b]
子用減弦餘丙子半之於午即午㸃為弦上作垂線之處
一論曰甲丁偕甲已矩内形及乙巳上
方形併與甲乙上方形等如圖壬丁矩
甲丁偕甲巳矩内形也甲壬與/甲巳等辛甲未
磬折形即壬丁矩也壬未矩與/辛丁矩等未辛方
乙巳上方也併之得甲戊方即甲乙上方
二論丁已甲線貫圜心於乙庚甲線切圜周於庚乙庚
甲為直角夫丁甲偕巳甲矩内形與甲庚線上方形等
[059-33a]
何則乙庚庚甲兩線上方形與乙甲線上方等而丁甲
偕巳甲矩内形及乙已上方併亦與
乙甲線上方等一論之/圖可見此兩率者每
減一相等之乙庚乙巳兩線上方則
甲丁偕甲巳矩内形與甲庚線上方形必等
三論曰丙甲線不貫圜心於乙庚甲
線切圜周於庚乙庚甲直角形乙午
甲亦直角形兩形合一乙甲弦則乙
[059-33b]
庚庚甲兩線上方併與乙午午甲兩線上方併必等又
乙午子直角形則乙午午子兩線上方併與乙子線上
方等夫午甲上方形中原有一論之/圖可見丙甲偕子甲矩内
形及午子上方形今於乙甲上方形
中減乙庚上方形即減去同乙庚之
乙子上方同乙子之乙午午子兩線
上方然則所餘之丙甲偕子甲矩形與甲庚上方形必等
四論曰前甲丁偕甲巳矩内形與庚甲上方等二論/之圖甲
[059-34a]
丙偕甲子矩内形與庚甲上方亦等三論/之圖則兩矩形自
相等而等角㫄之各兩邊彼此互相
視何則試引戊子壬己兩線相遇於
丑而成甲丑形夫甲戊與甲丑兩形
同在戊丑丙己兩平行線内等髙則兩形之比例若其
底甲丙與甲己之比例依顯甲壬與甲丑兩形之比例
亦若其底甲丁與甲子之比例夫甲戊與甲壬兩矩形
元等則甲戊形與甲丑形即甲壬形與甲丑形也即甲
[059-34b]
丙與甲己之比例亦即甲丁與甲子之比例也更之則
甲丙與甲丁之比例亦若甲己與甲子之比例
於是以甲丙為一率甲丁為二率
甲己為三率二三率相乗一率除
之得四率甲子也既得甲子用減
甲丙餘丙子半之于午得午㸃為弦上作垂線之處何
則試作乙子線與乙丙同為圜之半徑即等而成乙丙
子兩邊等角形則午點折丙子之半必是直角此法不/但可施
[059-35a]
諸句股形凡鋭角鈍角/形俱可用此法求垂線
右既得乙午垂線即分甲乙丙原形為甲午乙乙午丙
兩句股形此兩形者自相似亦與元形相似
又六題
句股弦形中求依弦一邊容方
法曰先依又五題法求形中垂線次以弦與垂線相乗
得數併弦與垂線為法除之得方邊
論曰甲乙丙元形乙丁為垂線求依甲乙弦作方邊如
[059-35b]
子丑而成子午方形夫甲乙丙元形與
己乙午分形相似何則以己午與甲丙
平行故也次觀己午與未丁等即乙未
與己午併是乙丁垂線也然則乙丁偕甲丙併而與甲
丙若乙未偕己午併即乙丁/垂線而與己午
又法曰垂線自乗併弦與垂線為法除之得數用減垂
線得方邊
論曰乙丁偕甲丙併一/率而與乙丁二/率若乙未偕己午併
[059-36a]
三率即/乙丁而與乙未四/率於是以乙未減乙丁餘未丁即方
邊此法不但可施諸句股形/凡鋭角鈍角形俱可用
又七題
句股形中求分作兩邊等三角形二
法曰弦半之即是兩邊等之一邊
論曰甲乙丙形半弦於丁於是以丁為
心甲丙為界作圜必切乙角得乙丁與
半弦等因成乙甲丁乙丙丁兩形皆兩邊等三角形也
[059-36b]
又八題
斜三角形中求作中垂線分元形為兩句股形
法具又五題
又九題
斜三角形中求積
先分别是銳角形或是鈍角形若是正角形法以句/股相乗半之即得法
曰大中小三邊用小中兩邊依句股求弦法求之若求
得數小於大邊即是鋭角形大則是鈍角形
[059-37a]
鋭角形求積法曰任取一角依又五題求中垂線鋭角/形求
中垂線任取一/角皆在形内分元形為兩句股形次以兩分形句與
股各相乗半之得積
論曰甲乙丙鋭角形先求得乙丁中垂
線分為甲丁乙乙丁丙兩句股形次以
甲丁與丁乙丁乙與丁丙各相乗得丁戊與丁己兩矩
形各半之得甲乙丙形之積或以乙丁因甲丙之半亦/得或以甲丙因乙丁之半
亦/得鈍角形求積法於鈍角至對邊作垂線/則垂線在形内法同前於鋭角至對
[059-37b]
邊作垂線則垂線在形外而引對邊出形外凑之曰大
邊上方内減中小兩邊上方餘半之以中邊除之得引
凑數與小邊為股弦求句得垂線或以小邉除半數得/引凑數與中邉為句
弦求股亦/得垂線既得垂線則與引凑數凑成一小句股形又
以垂線與引凑數偕元形之邊凑成一大句股形大小
兩句股形相減得所求
論曰甲乙丙鈍角形乙為/鈍角求從丙鋭角作丙丁垂線而
引乙丁線以凑之從甲角作垂線亦/在形外兹不備述夫甲丙上方元包
[059-38a]
丙丁與甲丁兩邊上方今於甲丙上
大方中減乙甲乙丙上兩方即是減
丙庚與子午兩方為乙丙上方減甲
子方為甲乙上方也而所存者為丁
子子辛兩矩形矣半之為子丁一矩
形以中邊乙子除之得乙丁為引數
也丙丁乙為小句股形丙丁甲為大
句股形兩形相減得甲乙丙斜三角形積
[059-38b]
又法曰三邊數併而半之以每邊數各減之得三較數
三較連乗任以二較相乗得/數又以一較乗之得數又以半數乗之得數
開方得積
如後圖甲乙丙元形求其積
一圖 一論曰壬乙矩形與元形等
論同前十七題所論乙亥矩
形與甲乙丙元形等
二論曰丁心方與乙戊相乗又與乙戊相乗開方與乙
[059-39a]
二圖 壬矩形等如圖子壬二丑壬三相
乗得六為子丑矩形今以子壬二
自乗得四為子卯方即壬寅邊以
丑壬三乗之得十二為丑寅矩形又以三乗之得三十
六為辰寅矩形即午丑方形故開方得辰午六與子丑
三圖 矩形等
三論曰丁心偕戊庚矩形與乙丁相乗
其所得數與丁心方偕乙戊相乗所得
[059-39b]
數等何則乙丁心形與乙戊庚形相似之形也戊庚與
丁心若乙戊與乙丁則戊庚偕丁心矩形即庚未/矩形與丁
心方即己戊/方形亦若乙戊與乙丁也
四論曰丙丁偕丙戊矩形與丁心偕戊庚矩形等就一/圖觀
之/何則心丁丙形與丙戊庚形相似之形也夫庚乙線
平分丁乙甲角庚戊為丙戊之垂線則戊為直角次依
丙戊線截取丙卯線作卯庚線為丙卯之垂線則卯為
直角此庚乙庚戊庚卯三線必相交於庚㸃三線既相
[059-40a]
交於庚點則丙庚線必平分
卯丙戊角而卯丙戊角又即
己心丁角因得心丁丙形與
丙戊庚形為相似之形也兩形既相似則丁心與丁丙
若丙戊與戊庚也
解庚乙庚卯庚戊三線必相交於庚點所以然之故
庚心乙界作圈 次依甲乙丙形作丙丁辛形 次引
乙丁線至癸引辛甲線至壬乙庚線平分丙乙甲角則
[059-40b]
庚㸃必是圈心戊㸃折乙癸線之
半則戊㸃必直角 卯㸃折壬辛
線之半則卯㸃必直角 乙癸與
乙己等 乙丙辛丙為大邊甲丙
丁丙為中邊甲壬丁癸即小邊
總論曰二論丁心方與乙戊相乗又與乙戊相乗所得
數開方與乙壬矩形等夫乙戊半數也亦既得之矣次
欲求丁心與乙戊相乗而丁心不可得 三論丁心戊
[059-41a]
庚矩形與乙丁相乗所得數與丁心方偕乙戊相乗所
得數等夫乙丁三較之一也則又得之矣次欲求丁心
與戊庚兩線而兩線又不可得 四論丁丙偕丙戊矩
形與丁心偕戊庚矩形等夫丁丙丙戊三較之二也則
盡得之矣 今法於四論用丁丙偕丙戊二較相乗於
三論用乙丁一較乗之於二論用乙戊半數乗之開方
得數與乙壬矩形等
又十題
[059-41b]
斜三角形中求容圓
法曰先依又九題求積次取三邊數併而半之用除積
得員之半徑或置二較連乗數以半數/除之得開方亦得圓半徑
論曰先依又九題求得乙壬矩
形為甲乙丙元形積次以乙戊
除之即三邊數/之半也得丁心即圓之半徑若以三邊之全除/元形之倍亦得圓
半徑若以三邊之全除/元形之四倍得圓全徑
又十一題
[059-42a]
斜三角形中求容方
法同又六題
又十二題
斜三角形有三和數求三邊
法曰三和數相減得三較數各置三較數各以非所較
之邊加減之各半之其加而半者得大邊或中邊減而
半者得小邊或中邊
如圖戊己庚為三和數戊為大中兩和數己為大小/兩和數庚為小中兩和數甲
[059-42b]
為戊庚兩和之較乙為己庚兩和之較丙為戊己兩和
之較於是置甲較數以己為非所較之邊加
而半之得大邊減而半之得小邊置乙較數
以戊為非所較之邊加而半之得大邊減而
半之得中邊置丙較數以庚為非所較之邊加而半之
得中邊減而半之得小邊
論曰戊者大中兩和數也加減用乙者乙為己庚兩和
之較庚者小中兩和數己者大小兩和數此兩和數中
[059-43a]
皆有相等之小數而餘為大中兩數矣此乙所以爲大
中兩數之較也餘倣此
又十三題
句股測髙測逺測廣/測深同法
法曰先准地平地平者必令所測地面自所測/之處至髙之根如水之平也次立表
與地平為垂線退後立望竿令所測髙表尖竿頭叅相
直末自竿至髙根量得若干逺然後以表竿差與逺相
乗而以表竿相去若干除之加竿長若干得所求之髙
[059-43b]
如圖丙乙髙乙甲逺丁甲竿己戊表己子
為表竿差戊甲為表竿相去夫丁子己形
與丁辛丙形相似故丁子與己子若丁辛
與丙辛也
又十四題
句股重測髙逺測廣測/深同法
法曰若無髙根之可量者則用重測法謂一次立表竿
令表竿與髙叅相直二次立表竿令表竿與髙㕘相直
[059-44a]
兩表兩竿要各相等又要/或前或後立成一直線然後以表竿之較乗兩表相
去而以兩表竿相去之較除之加表髙若干得所求之
髙又以前表竿相去乗兩表相去而以兩表竿相去之
較除之加前表竿相去得所求之逺
如圖甲乙髙乙丙逺各不知數用重
表測之 丁子為前表己丙為望竿
子丙為表竿相去甲丁己三㸃叅相
直午壬為後表丑辛為望竿壬辛為
[059-44b]
表竿相去甲午丑三㸃叅相直丁亥為表竿之較子壬
為兩表相去未辛為兩表竿相去之較己上用以測髙
借丁卯元是表/竿相去為表竿相差借卯己元是表/竿相差為表竿
相去辰戊亦借為表竿相差戊癸亦借為表竿相去甲
辰癸三㸃亦叅相直丁辰亦借為兩表相去與丁午等
即庚癸亦為兩表竿相去之較與辛未等以上用以測逺
解庚癸線與辛未線必等所以然之故
如圖甲乙矩内形甲乙為對角線丙丁及戊己兩線與
[059-45a]
矩形之邊為平行而交角線
於庚 次任作辛壬線亦交
角線於庚 次截甲癸線與
甲辛線等作癸子線亦交角
線於庚則子乙線與壬乙線必等
論曰試作午丑及午未兩線與甲辛及甲癸相線為平
行夫庚甲辛及庚午丑兩角形相似之形也則庚甲與
庚午若甲辛與午丑依顯庚甲與庚午若甲癸與午未
[059-45b]
然則甲辛與甲癸亦若午丑與午未夫午丑與午未如
是則子乙與乙壬亦如是矣
先論甲乙矩形此形甲己為對角線寅卯申亥兩線交
於角線上之丁㸃則卯申矩形與亥寅矩形等
次論甲丑矩形此形甲丑為對角
線寅酉房壬兩線交於角線之午
點則房酉矩形與寅心矩形等
末總論曰夫房酉矩形與寅心矩
[059-46a]
形既等而午井形又與卯申形等即亦與亥寅形等然
則房酉矩形中所餘之井酉形與寅心矩形中所餘之
丁心形必等
於是以丁亥表竿相差乗丁午兩表相去得丁心矩形
即井酉形而以井女兩表竿相去之較除之得女酉加
酉辛表共女辛即甲乙髙
先論甲己矩形同前
次論甲癸矩形此形甲癸為對角線申氐戊亢兩線交
[059-46b]
於角線之辰㸃則亢氐矩形與戊申矩形等
末總論曰夫亢氐矩形與戊申矩形既等而辰牛形又
與亥寅形等即亦與卯申形等然則亢氐矩形中所餘
之牛氐形與戊申矩形中所餘之丁戊形必等
於是以丁卯表竿相差乗丁辰兩表相去得丁戊矩形
即牛氐形而以牛危兩表竿相去之較除之得危氐加
氐癸表竿差共危癸即乙丙逺也
求髙又法 既得危氐線即以亢牛乗之得牛辰形此
[059-47a]
形即寅亥矩形亦即申卯矩形也故以丁卯除之得丁
申髙
求逺又法 既得女酉線即以房井乗之得井午矩形
此形即申夘矩形亦即寅亥矩形也故以丁亥除之得
丁寅逺
[059-47b]
歴算全書卷四十六