[058-1a] 
欽定四庫全書
厯算全書卷四十五
宣城梅文鼎撰
方程論卷六
方程御襍法
算術之有方程猶量法之有句股必深知諸算術而後
能言方程猶之必深知諸量法而後能治句股故以
是終
[058-1b]
諸方田少廣凡屬量法者往往有可以句股立算而諸
法不能治句股方程之於粟布差分也亦然故襍法
不能御方程而方程能御襍法
例如後
假如有糧一萬九千石𣲖與甲乙丙三縣各以其人戸
多少米價貴賤僦值逺近舟車險易而均輸之 甲
縣戸三萬米價毎石一兩四錢逺輸二百里用車載
二十石行一里僦值一錢三分 乙縣戸二萬米價
[058-2a]
一兩二錢逺輸五百里用舟載二十五石行一里僦
值三分 丙縣戸一萬米價一兩二錢逺輸二百里
道險可用負擔每負六斗行五十里顧值一錢八分
法曰各以其縣米價併僦值之數命其户以方程較數
列之 以甲縣車載二十石除其僦值一錢三分得
六釐五毫每載一石行/一里數也以乗二百里得一兩三錢併
米價一兩四錢共二兩七錢 以乙縣舟運二十五
石除其僦值三分得一釐二毫以乗五百里得六錢
[058-2b]
倂米價一兩二錢共一兩八錢
以丙縣負擔六斗除其顧值一錢八分以乗一石得
三錢又以五十里除之二百里乗之得一兩二錢併
米價共二兩四錢
原法以各縣米價并僦值之數以除其戸為衰列而
併之併衰為法各衰乗總米為實法除實得各縣米
今用方程則不湏爾竟以二兩七錢命甲縣之衰為
二十七戸以一兩八錢命乙縣之衰為一十八户以
[058-3a]
二兩四錢命丙縣之衰為二十四户以三縣衰命為
適足而列之
如三色有空法乗 餘丙縣異倂一百一十四戸為
法 正三十四石二斗為實 法除實得丙縣每戸
[058-3b]
糧三斗 以丙一戸三斗減共一石九斗餘一石六
斗乙縣四戸除之得每戸糧四斗
以乙二戸八斗甲縣三戸除之得每戸二斗又三
分斗之二各以每户率乗其縣之戸總得各縣轉
計開
甲縣三萬户 共糧八千石 共僦車值一萬○四百兩
毎户糧二斗六升六合又三之二 每三户糧八斗
每戸僦值三錢四分又三之二 每三户僦值一兩○四分
[058-4a]
總計米價與其僦值每戸共銀七錢二分
乙縣二萬户 共糧八十石 其僦船值四千八百兩
每户糧四斗 僦值二錢四分
總計米價僦值每户亦七錢二分
丙縣一萬户 共糧三千石 共顧擔夫銀三千六百兩
毎户糧三斗 僦值三錢六分
總計米價僦值每户亦七錢二分
以米言之
[058-4b]
論曰此因米價不等加以僦值不同故以法均之糧雖
不均而每户所出之銀數則均若但均其米乃不均
矣是故均之以不均斯謂能均
問官米二百六十五石令三等人户出之甲上等二十
户每户多中等七斗乙中等五十戸每戸多下等五
[058-5a]
斗丙下等一百一十戸其則例各若干
法以和較列位依省算以和數/十之一列之
如法乗減 得丙戸十八為法 二十一石六斗為
實 法除實得一石二斗為下等每戸則例 加正五
[058-5b]
斗為中等則 又加七斗為上等則
計開
甲上等毎戸二石四斗 二十戸共四十八石
乙中等毎戸一石七斗 五十戸共八十五石
丙下等每戸一石二斗 一百一十戸共一百三十二石
合計之共二百六十五石
問有米六百七十四石以四等里甲輸納乙為甲十之
八丙為乙十之七丁為丙十之六其甲乙各八十戸
[058-6a]
丙丁各七十户問各若干
解曰十之八卽非二八差分十之七十之六卽非三
七四六差分故與帶分條所設不同合而觀之可也
法以和較列位
[058-6b]
如法乗減而重列其餘與三行對
又以餘數與四行平列
數益多用省算法四除減餘然後列之
如法乗減餘丁六百七十四爲法 五萬六千六百
[058-7a]
一十六石無減爲實 法除實得八十四石爲丁共
數 十因丁數六除之爲丙共數 十因丙數七除
之爲乙共數 十因乙數八除之爲甲共數
計開
甲共數二百五十石以八十户除之得毎户三石一斗
二升五合 乙共數二百石爲甲十之八以八十户
除之得毎户二石五斗 丙共數一百四十石爲乙
十之七以七十戸除之得每户二石 丁共數八十
[058-7b]
四石爲丙十之六以七十户除之得每户一石二斗
總計之共六百七十四石
論曰此所問是總數相差非毎户相差也故原列者總
户而得亦總户之米若云問毎户之差則當以毎户
列之而所得者亦毎户米也如後例
假如共米六百七十四石以四色人户出之甲八十户
乙亦八十户乙毎户如甲十之八丙丁各七十户丙
毎户如乙十之七丁毎户如丙十之六
[058-8a]
問各户則例
法以戸細數列位
依省算以首行退位十而一與次行對減而重列之
又半其減餘然後列之與三行對
[058-8b]
又列減餘以對末行
如法乗減異併一千二百九十二為法 一千四百
一十五石四斗無減為實 法除實得一石○九升
又三百二十三之一百七十八為丁毎戸則例法實/皆四
[058-9a]
約/之
十因丁則六除之得一石八斗二升又三百二十三
之一百八十九為丙每户則例
十因丙則七除之得二石六斗○又三百二十三之
二百七十為乙每户則例
十因乙則八除之得三石二斗六升又三百二十三
之十四半為甲每戸則例
計開
[058-9b]
甲每户三石二斗六升又三百二十三之十四半
八十户共二百六十石○八斗三升又三百二十三
之一百九十一
乙每户二石六斗○又三百二十三之二百七十 為
甲每户十之八
八十户共二百○八石六斗六升又三百二十三之
二百八十二
丙每户一石八斗二升又三百二十三之一百八十九
[058-10a]
為乙每户十之七
七十戸共一百二十七石八斗 ○ 又三百二十三
之三百一十
丁每户一石○九升又三百二十三之一百七十八
為丙每户十之六
七十户共七十六石六斗八升又三百二十三之一
百八十六
合計共六百七十四石凡六百七十三石九斗七升又/九百六十九分以三百二十三
[058-10b]
収之為升/得此數
問有均分兩銀庚以其五之二與甲則甲之數多於庚
一百六十八兩若以甲二十一之九與庚則庚之數
多於甲一百八十兩原數幾何
法以所用益彼之分與此所存之餘分相減而列之
庚與甲五之二/庚自存五之三相減餘五之一是為以庚五之一較/甲全分而甲多一百
六十八/兩也
甲與庚廿一之九二/甲自存廿一之十相減餘二十一之三是為以甲二十一之/三較庚全分而庚多
[058-11a]
一百八/十兩也
庚雖自存五之三而甲股内有庚所與之二故以相
減而餘之一分與甲相較
甲雖自存二十一之一十二而庚股内有甲所與之
九故以相減而餘之三分與庚相較
甲一百○二分為法除實一千○二十兩得十兩為
[058-11b]
甲之一分 二十一分共二百一十兩 減負一百
六十八兩餘四十二兩爲庚之一分 五分亦共二百
一十兩
計開
庚/甲各原銀二百一十兩庚五之二計八十四兩其五之/三仍一百二十六兩 甲二十
一之九計九十兩其二十/一之十二仍一百二十兩
庚以八十四與甲甲共有二百九十四/庚仍餘一百二十六相較甲多一百
六十八
[058-12a]
甲以九十與庚庚共有三百二十/甲仍餘一百相較庚多一百八十
此設問之意也
以庚之一分四十二/甲全分二百一十相較甲亦多一百六十八
以甲之三分計三十/庚全分二百一十相較庚亦多一百八十
此列位之理也
論曰右例以此之分益彼而轉與此之餘分相較與帯
分條所設不同 帶分條此之分較彼全分其全分
即是原數 今則一損一增以相較非原數也故曰
[058-12b]
不同
及其相減而列為較數也則亦是此之分較彼原數
矣是之謂尾同而首異
相減列位亦有變為和數者如後所設
問有兩銀庚以其五之三與甲則甲之數多於庚二百
五十二兩若以甲廿一之十三與庚則庚之數多於
甲二百六十兩
法亦以所與彼之分與其餘分相減列之
[058-13a]
庚與甲五之三/自存五之二相減餘五之一此為所用之分多於/存分是變和數也
庚五之一偕甲全分/共二百五十二兩也
甲與庚二十一之十三/自存二十一之八相減餘二十一之五此亦用/分多存
分少是變和數也百甲二十一之/五偕庚全分共二 六十兩也
甲所以多如許者不惟其全數之故其所得於庚之
分又多於庚之餘分者一也故甲所多之數乃是
甲全數偕庚之一分所共也
庚所以多如許者亦不惟其全數之故其所得甲之
[058-13b]
分又多於甲之存分者五也故庚所多數亦是庚
全數偕甲之五分所共也
甲一百分為法除實一千而得十兩為一分 以甲
五分計五十兩減共二百六十兩餘二百一十兩為
庚原銀 五除之得四十二兩為一分 以減共二
百五十二兩亦得二百一十兩為甲原銀
[058-14a]
庚五之三計一百二十六兩以加甲銀共三百三十六
兩 内減去庚自存五之二計八十四兩 仍多二
百五十二兩 即是甲全數偕庚一分之數也
甲二十一之十三計一百三十兩以加庚銀共三百四
十兩 内減去甲自存二十一之八計八十兩 仍
多二百六十兩即是庚全數偕甲五分之數也
論曰右例以此之分偕彼全分而為和數亦與帶分和
數同然以相減而得之亦是尾同首異 帶分條和
[058-14b]
數較數據問而分 今則設問只是較數相減列
位乃有和較之分
依例推之亦有變為一和一較者皆以所用之分與
所存分相減而得之 列位時巳變不待其重列減
餘也故又與尋常較變和者異
總論曰此二條者皆一損一益例也
問金九錠銀十一錠其重適等若交易其一則銀多十
三兩其原重若干
[058-15a]
法以相差十三兩半之得六兩五錢為一錠之較
解曰交易一錠而差是一多一少故半之為一錠之
較 銀得較而增重故與金同名
銀二錠除實得銀每錠重二十九兩二錢半 加正
六兩五錢得金每錠三十五兩七錢半
計開
[058-15b]
金每錠三十五兩七錢五分 金九錠得三百二十一/兩七錢五分
銀每錠二十九兩二錢五分 銀十一錠亦得三百二十/一兩七錢五分
金八錠二百八十六兩加銀一錠共三百一十五兩二
錢半
銀十錠二百九十二兩半加金一錠共三百二十八兩
二錢半
共多一十三兩 若交易二錠而差二十六兩則以
二錠倍作四錠除之亦得六兩五錢為一錠之較
[058-16a]
餘可類推或半相差二十六兩為一十三兩命/為金二錠銀二錠之較尤為平穏
論曰此條舊列差分同文算指改立借衰互徴之法皆
不知宜入方程也
凡以兩家之數相交易而差若干皆半其所差而列
之為所交易之較何也一增一減而差若干則原所
差者其半也
問甲有硃砂銀七錠壬有鑛銀九錠相較甲原多十五
兩今以甲二錠易壬三錠則甲多二十七兩
[058-16b]
法以原多十五兩今多二十七兩相減餘十二兩半之
得六兩為甲二錠壬三錠之較甲得較而增重/故與壬同名
壬三錠除七十二兩得壬每錠二十四兩 以九錠
乗得二百一十六兩加正一十五兩共二百三十一
兩甲七錠除之得每錠三十三兩
計開
[058-17a]
甲以二錠與壬餘五錠一百六十五兩加易得壬三錠
七十二兩共二百三十七兩
壬以三錠與甲餘六錠一百四十四兩加易得甲二錠
六十六兩共二百一十兩
相較甲多二十七兩
此問意也
[058-17b]
問甲銀七錠壬九錠相較壬原少十五兩今以一錠相
交易壬多三兩
法以原少十五兩今多三兩併得十八兩而半之得九
兩為一錠之較壬得之而變輕為/重故與甲同名
[058-18a]
壬二錠除四十八兩得每錠二十四兩 加九兩得
甲每錠三十三兩
計開
甲六錠一百九十八兩加壬一錠二十四兩共二百二十二兩
壬八錠一百九十二兩加甲一錠三十三兩共二百二十五兩
相較壬多三兩 此交易一定之數 餘同前問
論曰此三問皆同法第一問盈偕適足故即用原數第
二問兩盈故相減第三問盈偕不足故相併然皆半
[058-18b]
之為較故三法一法也
又按於七錠中取一即七之一同帶分之理故又作
問明之
問有金不知總任意分為二而較之則庚多八兩湏令
辛以金還庚如庚存數三之二庚亦以金還辛如辛
存數四之三則其數適均
法以庚自存三分今添二分共五 以辛自存四分今
添三分共七通為兩家適足數之分
[058-19a]
又以多八兩半之四兩命為庚所添二分辛所添三
分之較辛失之而減重/故與辛同名
解曰合而觀之庚以五之二辛以七之三相交易則
庚多八兩若還其原數庚仍為五分辛仍為七分
則適足也
辛一分得二十兩 七分共一百四十兩 五除之
[058-19b]
得庚之一分二十八兩
計開
其相易庚二分五十六兩/辛三分六十兩較之辛多四兩即相易幾
錠之理
[058-20a]
總論曰此皆兩相交易也又與庚甲損一益一者不同
凡損一益一者損庚之幾分與甲則甲有增數而轉
以甲之既增者與庚之餘數相較也 損庚益甲以
相較是明有增損
今兩相交易則損庚之分與辛亦損辛之分與庚然
後以既損且增之庚與亦增之辛相較也
兩相交易則末嘗明有增損但以相易之數不同而
增損隠寓於其中 以上四條皆同此論
[058-20b]
問兩數不知總但云取甲之九加乙則乙與甲等若取
乙之九加甲則甲倍於乙其原數各若干
畣曰甲六十三 乙四十五
解曰云取甲之九加乙是損甲之九而益乙以九
也取乙之九加甲是損乙之九而益甲以九也與
刋誤條所舉甲乙二倉法不同彼是取甲倉幾何
以益乙而共得幾何不言與甲倉較取乙倉幾何以益甲
而共得幾何亦不言與乙倉較是所益者有増數而所取者
[058-21a]
無損數如云以此之全數偕彼之幾分而共得幾何乃和數也
今所列者乃較數也益此損彼則相較幾何故不同也
然又與帶分條較數不同彼是取彼幾分與此全數
較今所列者是取彼幾數加此而轉與彼之餘數較
當細辨之
又此是以數相增損而得其相較之分
前數條則是以分相損增而得其相較之數
二者大異不但與带分條别也
[058-21b]
法以所加之九數命甲乙所相當之數乗之為較數列
位
甲倍乙是甲二乙一合之則三以乗九得二十七為
較甲得此而當倍乙故與乙同名
甲乙等是各一也合之則二以乗九得十八為較乙
得此而與甲等故與甲同名
[058-22a]
餘乙一為法
併四十五為實
法一即以四十五命為乙數
異加十八得六十三為甲數
試更列之
同減餘甲一為法 異併六十三為實 法一即以
[058-22b]
六十三為甲原數 異加正二十七共九十乙二除
之得四十五為乙原數
論曰此難題設問也算法統宗收入均輸另有求法算
海説詳推論借銀相當加半倍者不可通用因别立
術然復未確不如用方程之為無弊
又論曰甲與乙九而相等是甲多於乙者二九也 乙
與甲九而甲倍於乙是倍乙多於甲者三九也何也
甲得乙九數而後當倍乙則倍乙中各除九數共二
[058-23a]
九而甲又添九數豈非三九乎
問甲乙銀不知數但云甲借乙六錢五分則比乙一有
半乙借甲六錢五分則乙與甲等各原銀若干
法以甲一乙一有半併之共二半以乗六錢五分得一
兩六錢二分半為乙一有半多於甲之較
以甲乙相等各一併之共二以乗六錢五分得一兩
三錢為甲多於乙之較
乃列之
[058-23b]
同減餘半乙為法異併二兩九錢二分半為實 法
除實得五兩八錢五分為乙銀 異加正一兩三錢
共七兩一錢五分為甲銀
計開
甲原銀七兩一錢五分
乙原銀五兩八錢五分
[058-24a]
相差一兩三錢 若損甲之六錢五分以加乙則各
得六兩五錢是相等也
若損乙六錢五分餘五兩二錢 益甲六錢五分得
七兩八錢是甲之數如乙一有半也
若以乙原銀加半得八兩七錢七分半以與甲原甲原銀
相較則多一兩六錢二分半
論曰甲以六錢五分借與乙而相等是甲原多乙兩个
六錢五分也乙以六錢五分借與甲而甲如乙一有
[058-24b]
半是一个半乙原多於甲兩个半六錢五分也何也
甲取乙六錢五分而後能當乙有半則此一个半乙
共減去一个半六錢五分甲又加一个六錢五分豈
非共差兩个半六錢五分乎
又論曰此即算海説詳所設之問以駁統宗者彼自立
術以為當矣不知其宜用方程也
試更設問以明之
今有二數不知總但云丙與丁二數則相等若丁與丙
[058-25a]
二數則丙如三丁問原數各若于
依前術列位合丙丁各一共二以乗二得四為丙多/於丁之較 合丙一丁三共四以乗二
得八為三丁多/於一丙之較
同減餘丙二為法 異併二十為實 法除實得一
十為丙數 同減負四餘六為丁數
計開
[058-25b]
丙原數十 原多於丁者四
丁原數六 三之則十八多於丙者八
若損丙之二以益丁則各得八故相等
若損丁之二以益丙則丙得十二丁得四故丙如三丁
論曰丙以二與丁而等是丙多於丁者兩个二也 丁
以二與丙而丙如三丁是三丁之數共多於丙者四
个二也何也丙増一个二其三个丁各少一个二共
四个二也
[058-26a]
又論曰因算海説詳立術未確故復設此以相攷用方
程能合彼問而彼所立術殊不能通之此問
問戊己銀不知數但戊以五十兩與己則己如戊之倍
己以五十兩與戊如三己
依前術列位併戊二己一共三以乗五十得一百五/十為二戊多於一己之較 併戊一己
三共四以乗五十得二百/為三己多於一戊之較
[058-26b]
同減餘己五為法 異併五百五十兩為實 法除
實得一百一十兩為己銀 異加正一百五十兩共
二百六十兩戊二除之得一百三十兩為戊銀
計開
戊原銀一百三十兩 倍之二百六十兩多於己一百
五十兩
己原銀一百一十兩 三之得三百三十兩多於戊二
百兩
[058-27a]
此列位之理
戊加五十兩得一百八十兩己損五十兩得六十兩則
戊如三己 己加五十兩得一百六十兩戊損五十兩
得八十兩則己如戊之倍
此則問意
問香爐二座不知重有一葢重百兩以加甲爐則甲多
於乙兩倍以加乙爐則乙多於甲一倍其爐各重若
干
[058-27b]
解曰多乙兩倍是三倍也甲得葢如三乙也 多甲
一倍是兩倍也乙得葢如兩甲也
法以葢重為較而列之 甲得葢如三乙是三乙之重
於甲者如葢也故與乙同名 乙得葢如倍甲是兩
甲之重於乙者如葢也故與甲同名
爐同減餘乙爐五為法 較異併三百兩為實
[058-28a]
法除實得六十兩為乙爐重
異加一百兩共一百六十兩甲二除之得八十兩為
甲爐重
計開
甲爐八十兩 加葢共一百八十兩則如乙爐重者三
乙爐六十兩 加葢共一百六十兩則如甲爐重者倍
論曰此與前所設戊己銀數以五十兩損戊益己而己
倍於戊以五十兩損己益戊而戊如二己異何也以
[058-28b]
五十兩損彼益此雖亦相差一百兩然非真有一百
兩之益乃因彼之所損而合成其數耳此之加葢則
實增一百兩矣而於彼又無所損因爐葢乃兩家公
物非若戊己之銀必取諸彼以與此也故其法不同
若改問各鑄爐而均鑄葢則必於鑪重各加半葢乃
合原金得數與戊己銀同矣
問調兵征倭内有南北西三處兵馬南兵已知四萬其
北兵為南兵與西兵二之一西兵為南兵與北兵三
[058-29a]
之一各若干
法以南兵為西北之較而列之
西兵得南兵而數倍於北是倍北數而多於西兵者
數如南兵也
北兵得南兵而數如三西兵是三其西兵而多於北
者亦如南兵也
[058-29b]
餘北兵五為法 倂十六萬為實 法除實得三萬
二千為北兵數異加正四萬共七萬二千西兵三除
之得二萬四千為西兵數
計開
南兵四萬
西兵二萬四千 偕南兵則六萬四千其二之一則如北兵也
北兵三萬二千 偕南兵則七萬二千其二之一則如西兵也
論曰此與香爐借葢為較同 其所用較乃是南兵而
[058-30a]
非取於西北兵故得之有增而不得無損與借物於
彼而轉與其所借之餘物相較者不同
問二人擕銀不知數但減乙六兩與甲則甲倍於乙減
甲三兩與乙則相等其原數若干
解曰此所損益又是不同之數然其理則一故亦依前
術乗其較數而列之合甲一乙二共三以乗六兩得十/八兩為倍乙多於一甲之較合甲
乙各一共二以乗三兩得/六兩為甲多於乙之較
列位
[058-30b]
同減餘乙一為法 異併二十四兩為實 法一即
以實為乙數 異加六兩為甲數
計開
乙二十四兩 倍之得四十八兩多於甲一十八兩
甲三十兩 原多於乙六兩
若損乙六兩得十八兩加甲六兩得三十六兩是甲如
[058-31a]
乙之倍
若損甲三兩加乙三兩各得二十七兩則相等
問二商各攜母銀但云取乙十二兩與甲則乙有甲六
之一取甲十五兩與乙則甲有乙十之一
依前術列位併六與一共七以乗十二兩得八十四/兩為六乙多於一甲之較 併十與一
共十一以乗十五兩得一百六/十五兩為十甲多于一乙之較
[058-31b]
同減餘甲五十九為法 異併一千○七十四兩為
實 法除實得一十八兩又五十九之一十二為甲
數 異加正八十四兩共一百○二兩又五十九/之一十二乙
六除之得一十七兩又五十/九之二為乙數
計開
甲銀一十八兩又五十九/之一十二十之則一百八十二兩又五/十九
之/二多於乙者一百六十五兩
乙銀一十七兩又五十/九之二六之則一百○二兩又五十九/之一十二
[058-32a]
多於甲者八十四兩
若損乙一十二兩與甲則甲有三十兩又五十九/之一十二乙僅
有五兩又五十/九之二而乙於甲為六之一
若損甲一十五兩與乙則乙有三十二兩又五十/九之二甲僅
三兩又五十九/之一十二而甲於乙為十之一以五十九通二/兩得一百一十
八加子二從之共一百二十是三十兩又/五十九之一百二十豈非十倍於甲乎
論曰乙得甲六之一是六乙當一甲也然必損乙之十
二兩與甲而後成此數是於一甲中添十二兩而於
[058-32b]
六乙中各減十二兩也一添一減共七个十二兩是
為八十四兩也
甲得乙十之一是十甲當一乙也然必損甲之十五兩
與乙而後成此數是於一乙中添十五兩而其十甲
中皆各減十五兩也一添一減共十一个十五兩是
為一百六十五兩也
損乙之十二兩與甲而乙為甲六之一若其原數則以
六乙當一甲而乙多八十四兩矣
[058-33a]
損甲之十五兩與乙而甲為乙十之一若其原數則以
十甲當一乙而甲多一百六十五兩矣
問有兩數不知總但損甲六數與己則甲如己四之三
而多二數若以己之二十損與甲則己如甲四之三
而少五數其原數各幾何
法以四甲三己共七乗六得四十二又以四甲乗多二
數得八而益之共五十為四甲多於三己之數損甲/六益
己故較與甲同名其二數/甲所多也故以之益數
[058-33b]
以四己三甲共七乗二十得一百四十又以四己乗
少五數得二十以相減餘一百二十為四己多於三
甲之較損己二十益甲故較與己同名/其五數巳所少也故以之減較
己同減餘七為法 異併六百三十為實 法除實
得九十為己原數四因己數同減一百二十餘二百
四十甲三除之得八十為甲原數
[058-34a]
計開
甲八十
己九十
以列位之理言之
甲四共三百二十 己三共二百七十 是甲多五十
甲三共二百四十 己四共三百六十 是己多一百
二十
以問之意言之
[058-34b]
甲損六數餘七十四 己加六數共九十六 以九十
六四分之而取其三得七十二 是為甲如己四之
三而多二數
己損二十餘七十 甲加二十共一百 以一百四分
之而取其三得七十五 是為己如甲四之三而少
五數
論曰以甲當己四之三是四甲當三己也然必以六數
減甲增己而成則是四甲中各減六而三己中各增
[058-35a]
六共四十二也以甲當己四之三而多二數則以四
甲當三己而共多八數也 合而觀之此四十二者
四甲多於三己之數也此八數者亦四甲多於三己
之數也故皆與甲同名而列其較為五十也
以己當甲四之三是四己可當三甲也然必以二十減
己增甲而成則是四己中各減二十而三甲中各增
二十共一百四十也 以己當甲四之三而少五數
則以四己當三甲而共少二十也 合而觀之此一
[058-35b]
百四十者四己多於三甲之數也與己同名也而其
二十者則四己少於三甲之數也與己異名也故以
相減而餘者列為己同名之較也
損甲六數與己而甲如己四之三仍多二數若其原數
則以四甲當三己而共多五十矣
損己二十與甲而己如甲四之三却少五數若其原數
則以四己當三甲而共多一百二十矣
問有三數損甲一百益乙則甲如乙六之二若損乙五
[058-36a]
十益丙則乙如丙十五之九若損丙三十益甲則甲
如丙二之一而少五數各若干
法以甲六乙二共八以乗一百共八百為六甲當二乙
之較損甲益乙故/與甲同名
以乙十五丙九共二十四乗五十得一千二百為十
五乙當九丙之較損乙益丙故/與乙同名
以丙一甲二共三乗三十得九十又以甲二乗少五
數共十而加之共一百為一丙當二甲之較損丙益/甲故與
[058-36b]
丙同名其甲所少五數即/丙所多也故亦與丙同名
如法逓減餘丙五十四為法 異併三萬七千八百
為實 法除實得七百為丙數 丙數同減一百餘
六百甲二除之得三百為甲數 六因甲數一千八
[058-37a]
百同減八百餘一千乙二除之得五百為乙數 十
五乗乙數得七千五百同減一千二百餘六千三百
丙九除之仍得七百為丙數反覆相求列/位之理著矣
計開
甲三百
乙五百
丙七百
甲損一百餘二百乙增一百得六百是甲為乙六之二
[058-37b]
乙損五十餘四百五十丙增五十得七百五十是乙為
丙十五之九
丙損三十餘六百七十其二之一則三百三十五甲增
十得三百三十是甲為丙二之一而少五數
問二人共數一百原所得之數不均今以甲三之一與
乙五之一相易則適均其原所得若干
法以三分通甲數損一與乙而存其二分 又以五分
通乙數損一與甲而存其四分
[058-38a]
乃以和數列之
乙七為法 餘五十為實 法除實得七又七之一
為乙之一分 以乙分母五乗之得三十五又七之
五為乙/數以減一百得六十四又七之二為甲數
計開
甲六十四又七/之二其三之一為二十一又七/之三其三之二為
[058-38b]
四十二又七/之六
乙三十五又七/之五其五之四為二十八又七/之四其五之一為
七又七/之一以甲三之一加乙五之四五十也 以乙五
之一加甲三之二亦五十也
論曰此以分相增損而為和數亦與刋誤條甲乙二倉
異彼是以其全數偕彼㡬分此則以所存之餘數偕
彼幾分也既云相易則實有增損非如甲乙倉虚借
增率而無損也
[058-39a]
問二人物數不均若於甲取三之一於乙取四之一以
和合而平分之以湊原存數則各五十而適均其原
數各若干
法以三分通甲數而倍之為六分損其一與乙餘五分
以四分通乙數而倍之為八分損其一與甲餘七分
以和數列位
解曰以四之一與三之一和合而平分之是各取其
數之半也 於三之一取其半是六之一以與乙
[058-39b]
而甲餘其五也於四之一取其半是八之一以與
甲而乙餘其七也
偏乗對減以得法實 法除實得五又十七分之十
五為乙八之一 以乙分母八乗之得四十七又十
七分之一為乙原數 以兩五十共一百減乙原數
餘五十二又十七分之一十六為甲原數
[058-40a]
計開
甲原數五十二又十七分/之十六三除之得十七又十七分/之十一為
甲三之一 以三之一轉減甲餘三十五又十七/分之五為
甲所存三之二
乙原數四十七又十七/分之一四除之得十一又十七分/之十三為乙
四之一以四之一轉減乙餘三十五又十七/分之五為乙所
存四之三
以甲三之一乙四之一和合之共二十九又十七/分之七半之
[058-40b]
得十四又十七分/之十二為和合平分之數以加甲乙存數
各得五十
論曰甲去三之一乙去四之一所存之數已均矣故以
平分之數加之而適均
又法
以甲分母三通甲為三分以乙分母四通乙為四分
又總計各得五十六共一百為和數
以甲取三之一餘三之二乙取四之一餘四之三命
[058-41a]
為適足甲取三之一乙取四之一以和合平分/而等則其所存者亦等也故命之適足
乃以和較雜列位
如法乗甲同減盡 乙異併一十七分為法 正二
百無減就為實 法除實得一十一又十七之十三
為乙之一分以分母四乗之得四十七又十七分
之一為乙原數 以乙原數減共數一百餘五十二
[058-41b]
又十七分之十六
按此所得與前無異而較捷故並存之
問甲乙丙三人共博甲贏乙金二之一乙贏丙金三之
一丙又贏甲金四之一事畢各剰金七百其原携金
若干
法以各分母通其原數又各減其贏去之一而列之
以七百/為和數
和數列位
[058-42a]
如法減併 丙七分為法 二千一百為實 法除
實得三百為丙之一分 以丙分母三乗之得九百
為丙原金 以丙之一分減乙剰七百餘四百為乙
所餘二之一 二因之得八百為乙原金 以乙二
[058-42b]
之一減甲剰金七百餘三百為甲自剰四之三 三
除之得一百為甲三之一 四乗之得四百為甲原
金
計開
甲原金四百 加贏乙四百二之/一也共八百 除丙又贏
去甲一百四之/一也仍餘七百
乙原金八百 加贏丙三百三之/一也共一千一百 甲贏
去四百乙二之/一也仍餘七百
[058-43a]
丙原金九百 贏甲一百四之/一也共一千 乙贏去三百
丙三之/一也亦仍餘七百
論曰此與刋誤條騾馬逓借一匹同但馬一騾二驢三
即是原物偕所借之一而為和數今乙一丙二甲三
却是各所存之餘分偕所贏之一分而為和數也得
數大異者馬騾即是全數今則用分故丙之全數轉
多於乙若以一分計則乙之分自多於丙如馬力之
於騾矣
[058-43b]
又論曰此三條皆是兩相交易而又是和數與前數條
金銀交易幾錠不同
難題歌曰一條竿子一條索索比竿子長一托雙折索
子去量竿却比竿子短一托
解曰一托者五尺也
法以零整襍列位 因雙折是二之一故以二通索
[058-44a]
法一即以實一丈命為繩之一分 分母二因之得
繩長二丈 減負五尺餘得竿長一丈五尺
假如有繩長不知數但云比竿長六尺若三折其繩則
短於竿八尺
法二除實三丈得竿長一丈五尺 加正六尺得繩
長二丈一尺
[058-44b]
論曰原法别有求法然不如方程穏捷故作此問以明
之若用難題法不能通矣故方程能御雜法而雜法
不能御方程 此條統宗原入均輸今改正
問井不知深先將繩折作三條入井汲永繩長四尺復
將繩折作四條入井亦長一尺其井深繩長各若干
法以兩母三/四相乗得十二分為繩母數 以母三/四互乗
其子之一/之一得四/三是為以繩十二分之四汲水而長四
尺以繩十二分之三汲水而長一尺也
[058-45a]
餘一分為法 即以實三尺命為繩十二分之一
以十二分乗一分得三十六尺為繩長 以繩之三
分計九尺同減負一尺得八尺為井深
計開
井深八尺
繩長三十六尺
[058-45b]
三折之得一十二尺 比井多四尺
四折之得九尺 比井多一尺
論曰此條原屬盈朒今以方程御之尤簡易故曰方程
能御雜法也
試更之則先得井深
法一省除即以八尺命為井深 加正四尺共十二
[058-46a]
尺繩之四分除之得三尺為一分 一十二分母乗
之得繩長三十六尺
論曰此餘八尺者即物實也前以餘三尺為繩長實者
即人實即此可悟盈朒章作法之原要之是二色方
程法耳人實物實不同而除法/則同故皆可以互求
今有絹一疋欲作帳幅先摺成六幅比舊帳長六寸改
折作七幅却又短四寸其絹併舊帳幅各長若干折/作
六幅以較長即六之/一七幅即七之一
[058-46b]
法如前以六/七幅相乗得四十二分為總母 以六/七互乗
其之一/之一得之七分/之六分為所用之分而列之以絹四十二/之七則長於
帳六寸短以絹四十二/之六則 於帳四寸為較數
法一 實一尺即為絹之一分 以分母四十二乗
之得絹長四丈二尺 以絹之七分計七尺減負六
寸餘六尺四寸為舊帳之長
[058-47a]
計開
舊帳幅六尺四寸
絹長四丈二尺
均作六幅得七尺 比帳長六寸
均作七幅得六尺 比帳短四寸
論曰此與井不知深皆是以一物之細分與一整物較
皆零整雜用之法也
又以上三條盈朒章舊有求法然皆因所較之井深與
[058-47b]
舊帳幅皆為一數而不變故可用盈朒之法若亦有
分數不同則非盈朒所能御此方程之用能包盈朒
諸法而諸法不能御方程
今有臺不知髙從上以繩縋而度之及臺三之二而餘
六尺雙折其繩度之及臺之半而不足三尺問臺之
髙及繩之長若何
法以臺三/二之二/一用母相乗為母之法通臺為六分 又
用母互乗子為子之法變臺三之二為六之四臺之
[058-48a]
半為六之三 又以雙折通繩為二 皆以化整為
零而列之
餘繩二分為法 併三十尺為實 因二為分母與
法同省除與乗徑以實三十尺為繩長 減負六尺
餘二十四尺以臺之四分除之母六乗之得三十六
尺為臺髙
[058-48b]
計開
臺髙三十六尺
繩長三十尺
臺三之二髙二十四尺 以繩度之餘六尺
臺之半髙一十八尺 以半繩一十五尺比之短三尺
今有井不知深以乙繩汲之餘繩二尺以庚繩汲之亦
餘繩四尺雙折庚繩三折乙繩以相續而汲之適足
問井深及二繩各長若何
[058-49a]
法以乙繩通為三 庚繩通為二
以三色列之 井整數乙庚用分
以隔行之同名仍為較數列之 餘較皆與庚同名
[058-49b]
餘庚一分為法 即以實一丈命為庚二之一 倍
之得庚繩二丈 減負二尺得乙繩一丈八尺用減/餘之
右行葢乙正/三即全數也
又減負二尺得井深一丈六尺用原列之右行亦以/乙負三即全數故
計開
井深一丈六尺
乙繩一丈八尺 比井多二尺
庚繩二丈 比井多四尺
[058-50a]
三折乙繩六尺加雙折庚繩一丈共一丈六尺即同
井深
論曰此二條與前井深絹帳同理然即非盈朒所能御
又按田之横直亦可以繩折比量水面亦然
今有直田欲截一段之積只云截長六歩不足積七步
截長八步又多積九步問所截之積及原濶
法以較數列之其原濶即截長/每一步之積
上 中 下
[058-50b]
長二步除積十六步得原濶八步 以截長六步乗
濶得四十八步加不足七步得截積五十五步
論曰此盈朒中方田也然無闗於方田之實用故入盈
朒然不知宜入方程也
試更作問
今有方田欲截横頭之積改為直田但云截濶五步則
[058-51a]
不足十二步截濶九步則如所截之積一有半問所
截直田積并原田之方
如法列位
濶一歩半為法 積十八歩為實 法除實得原方
一十二歩 以濶五歩乗方得六十歩加不足十二
歩得截直田七十二歩
[058-51b]
計開
原方田方十二歩 積一百四十四歩
截直田七十二歩 宜截濶六歩
若此條則盈朒不能御
今有米換布七疋多四斗換九疋適足問原米若干及
布價
法列位
上 中 下
[058-52a]
布二疋為法 四斗為實 法除實得布價每疋二
斗 以九疋適足乗布價得原米一石八斗
論曰此盈朒中粟布法也
試更設問
今有榖換絹十疋餘三石以榖之半換絹六疋不足五
斗問原榖若干及絹價
[058-52b]
法列位
法一免除 得絹每疋價二石 以十疋乗價加餘
三石得原糓二十三石
若此條則非盈朒所能御
論曰直田截積及米換布盈朒本法也愚所設方田截
積及糓換絹非盈朒本法也乃帶分盈朒之變例也
[058-53a]
如舊法芝蔴糶/銀是其例也雖盈胸亦有求法頗多轉折非其質
矣不如用方程之省約
今有芝蔴不知總但云取麻八分之三糶銀十兩不足
二石取麻三分之一糶銀八兩適足問原麻總數及
每銀一兩之麻
法先以麻八/三 之三/之一用母相乗得二十四為母母互乗
子得之九/之八為所用之分而列之 依省算左加九之
一而徑減
[058-53b]
法一兩省除即以麻二石命為銀每兩之麻 以銀
八兩麻八分適足省乗除徑以二石為麻之一分以
二十四分乗得原麻四十八石
計開
原麻四十八石 銀毎兩麻二石
其八之三計一十八石 銀十兩該二十石 故不足
[058-54a]
二石
其三之一計一十六石 銀八兩恰該一十六石 故
適足
若問麻每石之銀則以二石為法轉除一兩得每石
價五錢
按此條宜入方程舊列帶分盈胸之末
問者若云有銀買麻以麻八之三與之則餘二石以麻
三之一與之適足問原麻及銀所買
[058-54b]
依法求得二石為麻之一分 以總母廿四分乗之
得原麻四十八石 以九分乗二石減負二石得銀
所買麻十六石
論曰此所設問則盈朒帶分本法也然不能知每價以
[058-55a]
方程法求之亦同 觀此益見前條之宜入方程也
今有黄連木香不知數但云取連三之一換木香七之
二則連多二斤取連四之三換木香五之四則連少
一斤若於五之四内減去木香三斤則連多一斤
法先以通分齊其分
乃列位
[058-55b]
如法乗減 餘木香二十二分為法 異併黄連二
十二斤為實 法除實得每木香一分即三十五/分之一換
黄連一斤 以木香十分換黄連十斤異加正二斤
共十二斤以黄連正四分除之得黄連每三斤為一
分 以分母十二乗之得總黄連三十六斤
另併黄連多一斤少一斤共二斤為法除減木香三
[058-56a]
斤得每黄連一斤換木香一斤半原少連一斤減木/香三斤而轉多連
一斤故/知其數
此連所換之木香一斤半即其三十五分之一分也
以三十五分乗之得木香五十二斤半
計開
黄連三十六斤
木香五十二斤半
每黄連一斤換木香一斤半
[058-56b]
三分三十六斤而取其一得一十二斤為黄連三之一
七分五十二斤半而取其二得十五斤為木香七之二
該換連十斤今連有十二斤是連多二斤也
四分三十六斤而取其三得二十七斤為黄連四之三
五分五十二斤半而取其四得四十二斤為木香五之
四該換連二十八斤今連只二十七斤是連少一斤
也
若於木香五之四減三斤餘三十九斤該換連二十六
[058-57a]
斤今連有二十七斤是連多一斤也
論曰凡較數方程有若干物共幾色又有其所較之價
銀若錢之類今所用較數即用其物之斤兩而無銀
若錢微有不同乃古者貿遷有無交易之術也專用
銀若錢以權物價後世事耳
問綾每尺多羅價三十六文今買綾六尺羅八尺其共
價綾比羅少三十六文
畣曰綾每尺一百六十二文 羅每尺一百二十六文
[058-57b]
羅二尺除二百五十六尺得羅價每尺一百二十六
文 加多三十六文得綾價每尺一百六十二文
問銀二千九百二十八兩買綾一百五十疋羅三百疋
絹四百五十疋只云綾每疋比羅多四錢七分羅每
疋多絹一兩三錢五分 畣曰綾每疋四兩三錢二
分 羅每疋三兩八錢五分 絹每疋二兩半
[058-58a]
絹九百疋為法除實二千二百五十兩得絹價二兩五
錢 加多一兩三錢半得羅價三兩八錢半 又加
多四錢七分得綾價四兩三錢二分
今有兄弟三人不知年小弟謂長兄曰我年比汝四之
[058-58b]
三次兄比汝六之五比我多八歳
法以帶分别之 皆變零從整
季弟二 除一百四十四歳得年七十二歳 加八
歳得仲兄年八十 六因仲年五除之得伯年九十
[058-59a]
六歳
計開
伯九十六歳 仲八十歳為伯年/六之五 季七十二歳為伯年/四之三
今有四人分錢但云乙得甲六之五丙得甲四之三丁
得甲二十四之十七其丁與丙差四文
甲正五 乙負六 空 空 適足此行不用乙/無對故也
[058-59b]
丁四除二百七十二得丁錢六十八文
加四文得丙錢七十二文
四乗丙錢三除之得甲錢九十六文
五乗甲錢六除之得乙錢八十文
計開
甲九十六文
[058-60a]
乙八十文
丙七十二文
丁六十八文
甲六之一得一十六以五因得八十文為六之五乙數也
甲四之一得二十四以三因得七十二為四之三丙數也
甲二十四之一得四以一十七因得六十八為二十
四之一十七丁數也
論曰此雖四色實三色也故徑以三色取之
[058-60b]
今有七人逓差分錢但知首二人共七十七文次二人
共六十五文不知各數亦不知餘人數
法以逓差故知倍乙當甲丙倍丙當乙丁而列之
重列減餘與三行 減餘變較
[058-61a]
重列減餘與四行
丁八為法除實二百四十八文得三十一文為丁數
倍丁數與六十五文相減得逓差三文 以差逓
加得甲乙丙數以差逓減得戊己庚數 皆加減丁
[058-61b]
數得之
計開 甲四十文 乙三十七文 丙三十四文 丁三十一文
戊二十八文 己二十五文 庚二十二文
今有銀二百四十兩以四人逓差分之只云甲多丁一
十八兩
如前法以倍乙當甲丙倍丙當乙丁 又依省算移甲
於丁位
和較列位
[058-62a]
重列兩減餘
又重列減餘與末行
[058-62b]
甲四除二百七十六兩得甲數六十九兩 甲數内
減十八兩得丁數五十一兩 以甲數減二百四十兩
餘一百七十一兩丙三除之得丙數五十七兩 併
丙數甲數一百廿六兩半之得乙數六十三兩
計開
甲六十九兩 乙六十三兩 丙五十七兩 丁五十
[058-63a]
一兩 逓差六兩
今有米二百四十石五人逓差分之其甲乙二人與戊
丁丙三人共數等
如前法列位 依省算倒甲位自下而上
[058-63b]
重列減餘與三行
又重列減餘與四行
又重列減餘與末行
[058-64a]
甲十五除九百六十得甲數六十四石 倍甲數減
一百廿石餘得逓差八石 以差逓減各數得乙丙
丁戊數
計開
[058-64b]
細分之逓差八石
論曰凡差分章竹筒七節盛米之類皆可以此法求之
兹不煩列
厯算全書卷四十五
欽定四庫全書
厯算全書卷四十五
宣城梅文鼎撰
方程論卷六
方程御襍法
算術之有方程猶量法之有句股必深知諸算術而後
能言方程猶之必深知諸量法而後能治句股故以
是終
[058-1b]
諸方田少廣凡屬量法者往往有可以句股立算而諸
法不能治句股方程之於粟布差分也亦然故襍法
不能御方程而方程能御襍法
例如後
假如有糧一萬九千石𣲖與甲乙丙三縣各以其人戸
多少米價貴賤僦值逺近舟車險易而均輸之 甲
縣戸三萬米價毎石一兩四錢逺輸二百里用車載
二十石行一里僦值一錢三分 乙縣戸二萬米價
[058-2a]
一兩二錢逺輸五百里用舟載二十五石行一里僦
值三分 丙縣戸一萬米價一兩二錢逺輸二百里
道險可用負擔每負六斗行五十里顧值一錢八分
法曰各以其縣米價併僦值之數命其户以方程較數
列之 以甲縣車載二十石除其僦值一錢三分得
六釐五毫每載一石行/一里數也以乗二百里得一兩三錢併
米價一兩四錢共二兩七錢 以乙縣舟運二十五
石除其僦值三分得一釐二毫以乗五百里得六錢
[058-2b]
倂米價一兩二錢共一兩八錢
以丙縣負擔六斗除其顧值一錢八分以乗一石得
三錢又以五十里除之二百里乗之得一兩二錢併
米價共二兩四錢
原法以各縣米價并僦值之數以除其戸為衰列而
併之併衰為法各衰乗總米為實法除實得各縣米
今用方程則不湏爾竟以二兩七錢命甲縣之衰為
二十七戸以一兩八錢命乙縣之衰為一十八户以
[058-3a]
二兩四錢命丙縣之衰為二十四户以三縣衰命為
適足而列之
如三色有空法乗 餘丙縣異倂一百一十四戸為
法 正三十四石二斗為實 法除實得丙縣每戸
[058-3b]
糧三斗 以丙一戸三斗減共一石九斗餘一石六
斗乙縣四戸除之得每戸糧四斗
以乙二戸八斗甲縣三戸除之得每戸二斗又三
分斗之二各以每户率乗其縣之戸總得各縣轉
計開
甲縣三萬户 共糧八千石 共僦車值一萬○四百兩
毎户糧二斗六升六合又三之二 每三户糧八斗
每戸僦值三錢四分又三之二 每三户僦值一兩○四分
[058-4a]
總計米價與其僦值每戸共銀七錢二分
乙縣二萬户 共糧八十石 其僦船值四千八百兩
每户糧四斗 僦值二錢四分
總計米價僦值每户亦七錢二分
丙縣一萬户 共糧三千石 共顧擔夫銀三千六百兩
毎户糧三斗 僦值三錢六分
總計米價僦值每户亦七錢二分
以米言之
[058-4b]
論曰此因米價不等加以僦值不同故以法均之糧雖
不均而每户所出之銀數則均若但均其米乃不均
矣是故均之以不均斯謂能均
問官米二百六十五石令三等人户出之甲上等二十
户每户多中等七斗乙中等五十戸每戸多下等五
[058-5a]
斗丙下等一百一十戸其則例各若干
法以和較列位依省算以和數/十之一列之
如法乗減 得丙戸十八為法 二十一石六斗為
實 法除實得一石二斗為下等每戸則例 加正五
[058-5b]
斗為中等則 又加七斗為上等則
計開
甲上等毎戸二石四斗 二十戸共四十八石
乙中等毎戸一石七斗 五十戸共八十五石
丙下等每戸一石二斗 一百一十戸共一百三十二石
合計之共二百六十五石
問有米六百七十四石以四等里甲輸納乙為甲十之
八丙為乙十之七丁為丙十之六其甲乙各八十戸
[058-6a]
丙丁各七十户問各若干
解曰十之八卽非二八差分十之七十之六卽非三
七四六差分故與帶分條所設不同合而觀之可也
法以和較列位
[058-6b]
如法乗減而重列其餘與三行對
又以餘數與四行平列
數益多用省算法四除減餘然後列之
如法乗減餘丁六百七十四爲法 五萬六千六百
[058-7a]
一十六石無減爲實 法除實得八十四石爲丁共
數 十因丁數六除之爲丙共數 十因丙數七除
之爲乙共數 十因乙數八除之爲甲共數
計開
甲共數二百五十石以八十户除之得毎户三石一斗
二升五合 乙共數二百石爲甲十之八以八十户
除之得毎户二石五斗 丙共數一百四十石爲乙
十之七以七十戸除之得每户二石 丁共數八十
[058-7b]
四石爲丙十之六以七十户除之得每户一石二斗
總計之共六百七十四石
論曰此所問是總數相差非毎户相差也故原列者總
户而得亦總户之米若云問毎户之差則當以毎户
列之而所得者亦毎户米也如後例
假如共米六百七十四石以四色人户出之甲八十户
乙亦八十户乙毎户如甲十之八丙丁各七十户丙
毎户如乙十之七丁毎户如丙十之六
[058-8a]
問各户則例
法以戸細數列位
依省算以首行退位十而一與次行對減而重列之
又半其減餘然後列之與三行對
[058-8b]
又列減餘以對末行
如法乗減異併一千二百九十二為法 一千四百
一十五石四斗無減為實 法除實得一石○九升
又三百二十三之一百七十八為丁毎戸則例法實/皆四
[058-9a]
約/之
十因丁則六除之得一石八斗二升又三百二十三
之一百八十九為丙每户則例
十因丙則七除之得二石六斗○又三百二十三之
二百七十為乙每户則例
十因乙則八除之得三石二斗六升又三百二十三
之十四半為甲每戸則例
計開
[058-9b]
甲每户三石二斗六升又三百二十三之十四半
八十户共二百六十石○八斗三升又三百二十三
之一百九十一
乙每户二石六斗○又三百二十三之二百七十 為
甲每户十之八
八十户共二百○八石六斗六升又三百二十三之
二百八十二
丙每户一石八斗二升又三百二十三之一百八十九
[058-10a]
為乙每户十之七
七十戸共一百二十七石八斗 ○ 又三百二十三
之三百一十
丁每户一石○九升又三百二十三之一百七十八
為丙每户十之六
七十户共七十六石六斗八升又三百二十三之一
百八十六
合計共六百七十四石凡六百七十三石九斗七升又/九百六十九分以三百二十三
[058-10b]
収之為升/得此數
問有均分兩銀庚以其五之二與甲則甲之數多於庚
一百六十八兩若以甲二十一之九與庚則庚之數
多於甲一百八十兩原數幾何
法以所用益彼之分與此所存之餘分相減而列之
庚與甲五之二/庚自存五之三相減餘五之一是為以庚五之一較/甲全分而甲多一百
六十八/兩也
甲與庚廿一之九二/甲自存廿一之十相減餘二十一之三是為以甲二十一之/三較庚全分而庚多
[058-11a]
一百八/十兩也
庚雖自存五之三而甲股内有庚所與之二故以相
減而餘之一分與甲相較
甲雖自存二十一之一十二而庚股内有甲所與之
九故以相減而餘之三分與庚相較
甲一百○二分為法除實一千○二十兩得十兩為
[058-11b]
甲之一分 二十一分共二百一十兩 減負一百
六十八兩餘四十二兩爲庚之一分 五分亦共二百
一十兩
計開
庚/甲各原銀二百一十兩庚五之二計八十四兩其五之/三仍一百二十六兩 甲二十
一之九計九十兩其二十/一之十二仍一百二十兩
庚以八十四與甲甲共有二百九十四/庚仍餘一百二十六相較甲多一百
六十八
[058-12a]
甲以九十與庚庚共有三百二十/甲仍餘一百相較庚多一百八十
此設問之意也
以庚之一分四十二/甲全分二百一十相較甲亦多一百六十八
以甲之三分計三十/庚全分二百一十相較庚亦多一百八十
此列位之理也
論曰右例以此之分益彼而轉與此之餘分相較與帯
分條所設不同 帶分條此之分較彼全分其全分
即是原數 今則一損一增以相較非原數也故曰
[058-12b]
不同
及其相減而列為較數也則亦是此之分較彼原數
矣是之謂尾同而首異
相減列位亦有變為和數者如後所設
問有兩銀庚以其五之三與甲則甲之數多於庚二百
五十二兩若以甲廿一之十三與庚則庚之數多於
甲二百六十兩
法亦以所與彼之分與其餘分相減列之
[058-13a]
庚與甲五之三/自存五之二相減餘五之一此為所用之分多於/存分是變和數也
庚五之一偕甲全分/共二百五十二兩也
甲與庚二十一之十三/自存二十一之八相減餘二十一之五此亦用/分多存
分少是變和數也百甲二十一之/五偕庚全分共二 六十兩也
甲所以多如許者不惟其全數之故其所得於庚之
分又多於庚之餘分者一也故甲所多之數乃是
甲全數偕庚之一分所共也
庚所以多如許者亦不惟其全數之故其所得甲之
[058-13b]
分又多於甲之存分者五也故庚所多數亦是庚
全數偕甲之五分所共也
甲一百分為法除實一千而得十兩為一分 以甲
五分計五十兩減共二百六十兩餘二百一十兩為
庚原銀 五除之得四十二兩為一分 以減共二
百五十二兩亦得二百一十兩為甲原銀
[058-14a]
庚五之三計一百二十六兩以加甲銀共三百三十六
兩 内減去庚自存五之二計八十四兩 仍多二
百五十二兩 即是甲全數偕庚一分之數也
甲二十一之十三計一百三十兩以加庚銀共三百四
十兩 内減去甲自存二十一之八計八十兩 仍
多二百六十兩即是庚全數偕甲五分之數也
論曰右例以此之分偕彼全分而為和數亦與帶分和
數同然以相減而得之亦是尾同首異 帶分條和
[058-14b]
數較數據問而分 今則設問只是較數相減列
位乃有和較之分
依例推之亦有變為一和一較者皆以所用之分與
所存分相減而得之 列位時巳變不待其重列減
餘也故又與尋常較變和者異
總論曰此二條者皆一損一益例也
問金九錠銀十一錠其重適等若交易其一則銀多十
三兩其原重若干
[058-15a]
法以相差十三兩半之得六兩五錢為一錠之較
解曰交易一錠而差是一多一少故半之為一錠之
較 銀得較而增重故與金同名
銀二錠除實得銀每錠重二十九兩二錢半 加正
六兩五錢得金每錠三十五兩七錢半
計開
[058-15b]
金每錠三十五兩七錢五分 金九錠得三百二十一/兩七錢五分
銀每錠二十九兩二錢五分 銀十一錠亦得三百二十/一兩七錢五分
金八錠二百八十六兩加銀一錠共三百一十五兩二
錢半
銀十錠二百九十二兩半加金一錠共三百二十八兩
二錢半
共多一十三兩 若交易二錠而差二十六兩則以
二錠倍作四錠除之亦得六兩五錢為一錠之較
[058-16a]
餘可類推或半相差二十六兩為一十三兩命/為金二錠銀二錠之較尤為平穏
論曰此條舊列差分同文算指改立借衰互徴之法皆
不知宜入方程也
凡以兩家之數相交易而差若干皆半其所差而列
之為所交易之較何也一增一減而差若干則原所
差者其半也
問甲有硃砂銀七錠壬有鑛銀九錠相較甲原多十五
兩今以甲二錠易壬三錠則甲多二十七兩
[058-16b]
法以原多十五兩今多二十七兩相減餘十二兩半之
得六兩為甲二錠壬三錠之較甲得較而增重/故與壬同名
壬三錠除七十二兩得壬每錠二十四兩 以九錠
乗得二百一十六兩加正一十五兩共二百三十一
兩甲七錠除之得每錠三十三兩
計開
[058-17a]
甲以二錠與壬餘五錠一百六十五兩加易得壬三錠
七十二兩共二百三十七兩
壬以三錠與甲餘六錠一百四十四兩加易得甲二錠
六十六兩共二百一十兩
相較甲多二十七兩
此問意也
[058-17b]
問甲銀七錠壬九錠相較壬原少十五兩今以一錠相
交易壬多三兩
法以原少十五兩今多三兩併得十八兩而半之得九
兩為一錠之較壬得之而變輕為/重故與甲同名
[058-18a]
壬二錠除四十八兩得每錠二十四兩 加九兩得
甲每錠三十三兩
計開
甲六錠一百九十八兩加壬一錠二十四兩共二百二十二兩
壬八錠一百九十二兩加甲一錠三十三兩共二百二十五兩
相較壬多三兩 此交易一定之數 餘同前問
論曰此三問皆同法第一問盈偕適足故即用原數第
二問兩盈故相減第三問盈偕不足故相併然皆半
[058-18b]
之為較故三法一法也
又按於七錠中取一即七之一同帶分之理故又作
問明之
問有金不知總任意分為二而較之則庚多八兩湏令
辛以金還庚如庚存數三之二庚亦以金還辛如辛
存數四之三則其數適均
法以庚自存三分今添二分共五 以辛自存四分今
添三分共七通為兩家適足數之分
[058-19a]
又以多八兩半之四兩命為庚所添二分辛所添三
分之較辛失之而減重/故與辛同名
解曰合而觀之庚以五之二辛以七之三相交易則
庚多八兩若還其原數庚仍為五分辛仍為七分
則適足也
辛一分得二十兩 七分共一百四十兩 五除之
[058-19b]
得庚之一分二十八兩
計開
其相易庚二分五十六兩/辛三分六十兩較之辛多四兩即相易幾
錠之理
[058-20a]
總論曰此皆兩相交易也又與庚甲損一益一者不同
凡損一益一者損庚之幾分與甲則甲有增數而轉
以甲之既增者與庚之餘數相較也 損庚益甲以
相較是明有增損
今兩相交易則損庚之分與辛亦損辛之分與庚然
後以既損且增之庚與亦增之辛相較也
兩相交易則末嘗明有增損但以相易之數不同而
增損隠寓於其中 以上四條皆同此論
[058-20b]
問兩數不知總但云取甲之九加乙則乙與甲等若取
乙之九加甲則甲倍於乙其原數各若干
畣曰甲六十三 乙四十五
解曰云取甲之九加乙是損甲之九而益乙以九
也取乙之九加甲是損乙之九而益甲以九也與
刋誤條所舉甲乙二倉法不同彼是取甲倉幾何
以益乙而共得幾何不言與甲倉較取乙倉幾何以益甲
而共得幾何亦不言與乙倉較是所益者有増數而所取者
[058-21a]
無損數如云以此之全數偕彼之幾分而共得幾何乃和數也
今所列者乃較數也益此損彼則相較幾何故不同也
然又與帶分條較數不同彼是取彼幾分與此全數
較今所列者是取彼幾數加此而轉與彼之餘數較
當細辨之
又此是以數相增損而得其相較之分
前數條則是以分相損增而得其相較之數
二者大異不但與带分條别也
[058-21b]
法以所加之九數命甲乙所相當之數乗之為較數列
位
甲倍乙是甲二乙一合之則三以乗九得二十七為
較甲得此而當倍乙故與乙同名
甲乙等是各一也合之則二以乗九得十八為較乙
得此而與甲等故與甲同名
[058-22a]
餘乙一為法
併四十五為實
法一即以四十五命為乙數
異加十八得六十三為甲數
試更列之
同減餘甲一為法 異併六十三為實 法一即以
[058-22b]
六十三為甲原數 異加正二十七共九十乙二除
之得四十五為乙原數
論曰此難題設問也算法統宗收入均輸另有求法算
海説詳推論借銀相當加半倍者不可通用因别立
術然復未確不如用方程之為無弊
又論曰甲與乙九而相等是甲多於乙者二九也 乙
與甲九而甲倍於乙是倍乙多於甲者三九也何也
甲得乙九數而後當倍乙則倍乙中各除九數共二
[058-23a]
九而甲又添九數豈非三九乎
問甲乙銀不知數但云甲借乙六錢五分則比乙一有
半乙借甲六錢五分則乙與甲等各原銀若干
法以甲一乙一有半併之共二半以乗六錢五分得一
兩六錢二分半為乙一有半多於甲之較
以甲乙相等各一併之共二以乗六錢五分得一兩
三錢為甲多於乙之較
乃列之
[058-23b]
同減餘半乙為法異併二兩九錢二分半為實 法
除實得五兩八錢五分為乙銀 異加正一兩三錢
共七兩一錢五分為甲銀
計開
甲原銀七兩一錢五分
乙原銀五兩八錢五分
[058-24a]
相差一兩三錢 若損甲之六錢五分以加乙則各
得六兩五錢是相等也
若損乙六錢五分餘五兩二錢 益甲六錢五分得
七兩八錢是甲之數如乙一有半也
若以乙原銀加半得八兩七錢七分半以與甲原甲原銀
相較則多一兩六錢二分半
論曰甲以六錢五分借與乙而相等是甲原多乙兩个
六錢五分也乙以六錢五分借與甲而甲如乙一有
[058-24b]
半是一个半乙原多於甲兩个半六錢五分也何也
甲取乙六錢五分而後能當乙有半則此一个半乙
共減去一个半六錢五分甲又加一个六錢五分豈
非共差兩个半六錢五分乎
又論曰此即算海説詳所設之問以駁統宗者彼自立
術以為當矣不知其宜用方程也
試更設問以明之
今有二數不知總但云丙與丁二數則相等若丁與丙
[058-25a]
二數則丙如三丁問原數各若于
依前術列位合丙丁各一共二以乗二得四為丙多/於丁之較 合丙一丁三共四以乗二
得八為三丁多/於一丙之較
同減餘丙二為法 異併二十為實 法除實得一
十為丙數 同減負四餘六為丁數
計開
[058-25b]
丙原數十 原多於丁者四
丁原數六 三之則十八多於丙者八
若損丙之二以益丁則各得八故相等
若損丁之二以益丙則丙得十二丁得四故丙如三丁
論曰丙以二與丁而等是丙多於丁者兩个二也 丁
以二與丙而丙如三丁是三丁之數共多於丙者四
个二也何也丙増一个二其三个丁各少一个二共
四个二也
[058-26a]
又論曰因算海説詳立術未確故復設此以相攷用方
程能合彼問而彼所立術殊不能通之此問
問戊己銀不知數但戊以五十兩與己則己如戊之倍
己以五十兩與戊如三己
依前術列位併戊二己一共三以乗五十得一百五/十為二戊多於一己之較 併戊一己
三共四以乗五十得二百/為三己多於一戊之較
[058-26b]
同減餘己五為法 異併五百五十兩為實 法除
實得一百一十兩為己銀 異加正一百五十兩共
二百六十兩戊二除之得一百三十兩為戊銀
計開
戊原銀一百三十兩 倍之二百六十兩多於己一百
五十兩
己原銀一百一十兩 三之得三百三十兩多於戊二
百兩
[058-27a]
此列位之理
戊加五十兩得一百八十兩己損五十兩得六十兩則
戊如三己 己加五十兩得一百六十兩戊損五十兩
得八十兩則己如戊之倍
此則問意
問香爐二座不知重有一葢重百兩以加甲爐則甲多
於乙兩倍以加乙爐則乙多於甲一倍其爐各重若
干
[058-27b]
解曰多乙兩倍是三倍也甲得葢如三乙也 多甲
一倍是兩倍也乙得葢如兩甲也
法以葢重為較而列之 甲得葢如三乙是三乙之重
於甲者如葢也故與乙同名 乙得葢如倍甲是兩
甲之重於乙者如葢也故與甲同名
爐同減餘乙爐五為法 較異併三百兩為實
[058-28a]
法除實得六十兩為乙爐重
異加一百兩共一百六十兩甲二除之得八十兩為
甲爐重
計開
甲爐八十兩 加葢共一百八十兩則如乙爐重者三
乙爐六十兩 加葢共一百六十兩則如甲爐重者倍
論曰此與前所設戊己銀數以五十兩損戊益己而己
倍於戊以五十兩損己益戊而戊如二己異何也以
[058-28b]
五十兩損彼益此雖亦相差一百兩然非真有一百
兩之益乃因彼之所損而合成其數耳此之加葢則
實增一百兩矣而於彼又無所損因爐葢乃兩家公
物非若戊己之銀必取諸彼以與此也故其法不同
若改問各鑄爐而均鑄葢則必於鑪重各加半葢乃
合原金得數與戊己銀同矣
問調兵征倭内有南北西三處兵馬南兵已知四萬其
北兵為南兵與西兵二之一西兵為南兵與北兵三
[058-29a]
之一各若干
法以南兵為西北之較而列之
西兵得南兵而數倍於北是倍北數而多於西兵者
數如南兵也
北兵得南兵而數如三西兵是三其西兵而多於北
者亦如南兵也
[058-29b]
餘北兵五為法 倂十六萬為實 法除實得三萬
二千為北兵數異加正四萬共七萬二千西兵三除
之得二萬四千為西兵數
計開
南兵四萬
西兵二萬四千 偕南兵則六萬四千其二之一則如北兵也
北兵三萬二千 偕南兵則七萬二千其二之一則如西兵也
論曰此與香爐借葢為較同 其所用較乃是南兵而
[058-30a]
非取於西北兵故得之有增而不得無損與借物於
彼而轉與其所借之餘物相較者不同
問二人擕銀不知數但減乙六兩與甲則甲倍於乙減
甲三兩與乙則相等其原數若干
解曰此所損益又是不同之數然其理則一故亦依前
術乗其較數而列之合甲一乙二共三以乗六兩得十/八兩為倍乙多於一甲之較合甲
乙各一共二以乗三兩得/六兩為甲多於乙之較
列位
[058-30b]
同減餘乙一為法 異併二十四兩為實 法一即
以實為乙數 異加六兩為甲數
計開
乙二十四兩 倍之得四十八兩多於甲一十八兩
甲三十兩 原多於乙六兩
若損乙六兩得十八兩加甲六兩得三十六兩是甲如
[058-31a]
乙之倍
若損甲三兩加乙三兩各得二十七兩則相等
問二商各攜母銀但云取乙十二兩與甲則乙有甲六
之一取甲十五兩與乙則甲有乙十之一
依前術列位併六與一共七以乗十二兩得八十四/兩為六乙多於一甲之較 併十與一
共十一以乗十五兩得一百六/十五兩為十甲多于一乙之較
[058-31b]
同減餘甲五十九為法 異併一千○七十四兩為
實 法除實得一十八兩又五十九之一十二為甲
數 異加正八十四兩共一百○二兩又五十九/之一十二乙
六除之得一十七兩又五十/九之二為乙數
計開
甲銀一十八兩又五十九/之一十二十之則一百八十二兩又五/十九
之/二多於乙者一百六十五兩
乙銀一十七兩又五十/九之二六之則一百○二兩又五十九/之一十二
[058-32a]
多於甲者八十四兩
若損乙一十二兩與甲則甲有三十兩又五十九/之一十二乙僅
有五兩又五十/九之二而乙於甲為六之一
若損甲一十五兩與乙則乙有三十二兩又五十/九之二甲僅
三兩又五十九/之一十二而甲於乙為十之一以五十九通二/兩得一百一十
八加子二從之共一百二十是三十兩又/五十九之一百二十豈非十倍於甲乎
論曰乙得甲六之一是六乙當一甲也然必損乙之十
二兩與甲而後成此數是於一甲中添十二兩而於
[058-32b]
六乙中各減十二兩也一添一減共七个十二兩是
為八十四兩也
甲得乙十之一是十甲當一乙也然必損甲之十五兩
與乙而後成此數是於一乙中添十五兩而其十甲
中皆各減十五兩也一添一減共十一个十五兩是
為一百六十五兩也
損乙之十二兩與甲而乙為甲六之一若其原數則以
六乙當一甲而乙多八十四兩矣
[058-33a]
損甲之十五兩與乙而甲為乙十之一若其原數則以
十甲當一乙而甲多一百六十五兩矣
問有兩數不知總但損甲六數與己則甲如己四之三
而多二數若以己之二十損與甲則己如甲四之三
而少五數其原數各幾何
法以四甲三己共七乗六得四十二又以四甲乗多二
數得八而益之共五十為四甲多於三己之數損甲/六益
己故較與甲同名其二數/甲所多也故以之益數
[058-33b]
以四己三甲共七乗二十得一百四十又以四己乗
少五數得二十以相減餘一百二十為四己多於三
甲之較損己二十益甲故較與己同名/其五數巳所少也故以之減較
己同減餘七為法 異併六百三十為實 法除實
得九十為己原數四因己數同減一百二十餘二百
四十甲三除之得八十為甲原數
[058-34a]
計開
甲八十
己九十
以列位之理言之
甲四共三百二十 己三共二百七十 是甲多五十
甲三共二百四十 己四共三百六十 是己多一百
二十
以問之意言之
[058-34b]
甲損六數餘七十四 己加六數共九十六 以九十
六四分之而取其三得七十二 是為甲如己四之
三而多二數
己損二十餘七十 甲加二十共一百 以一百四分
之而取其三得七十五 是為己如甲四之三而少
五數
論曰以甲當己四之三是四甲當三己也然必以六數
減甲增己而成則是四甲中各減六而三己中各增
[058-35a]
六共四十二也以甲當己四之三而多二數則以四
甲當三己而共多八數也 合而觀之此四十二者
四甲多於三己之數也此八數者亦四甲多於三己
之數也故皆與甲同名而列其較為五十也
以己當甲四之三是四己可當三甲也然必以二十減
己增甲而成則是四己中各減二十而三甲中各增
二十共一百四十也 以己當甲四之三而少五數
則以四己當三甲而共少二十也 合而觀之此一
[058-35b]
百四十者四己多於三甲之數也與己同名也而其
二十者則四己少於三甲之數也與己異名也故以
相減而餘者列為己同名之較也
損甲六數與己而甲如己四之三仍多二數若其原數
則以四甲當三己而共多五十矣
損己二十與甲而己如甲四之三却少五數若其原數
則以四己當三甲而共多一百二十矣
問有三數損甲一百益乙則甲如乙六之二若損乙五
[058-36a]
十益丙則乙如丙十五之九若損丙三十益甲則甲
如丙二之一而少五數各若干
法以甲六乙二共八以乗一百共八百為六甲當二乙
之較損甲益乙故/與甲同名
以乙十五丙九共二十四乗五十得一千二百為十
五乙當九丙之較損乙益丙故/與乙同名
以丙一甲二共三乗三十得九十又以甲二乗少五
數共十而加之共一百為一丙當二甲之較損丙益/甲故與
[058-36b]
丙同名其甲所少五數即/丙所多也故亦與丙同名
如法逓減餘丙五十四為法 異併三萬七千八百
為實 法除實得七百為丙數 丙數同減一百餘
六百甲二除之得三百為甲數 六因甲數一千八
[058-37a]
百同減八百餘一千乙二除之得五百為乙數 十
五乗乙數得七千五百同減一千二百餘六千三百
丙九除之仍得七百為丙數反覆相求列/位之理著矣
計開
甲三百
乙五百
丙七百
甲損一百餘二百乙增一百得六百是甲為乙六之二
[058-37b]
乙損五十餘四百五十丙增五十得七百五十是乙為
丙十五之九
丙損三十餘六百七十其二之一則三百三十五甲增
十得三百三十是甲為丙二之一而少五數
問二人共數一百原所得之數不均今以甲三之一與
乙五之一相易則適均其原所得若干
法以三分通甲數損一與乙而存其二分 又以五分
通乙數損一與甲而存其四分
[058-38a]
乃以和數列之
乙七為法 餘五十為實 法除實得七又七之一
為乙之一分 以乙分母五乗之得三十五又七之
五為乙/數以減一百得六十四又七之二為甲數
計開
甲六十四又七/之二其三之一為二十一又七/之三其三之二為
[058-38b]
四十二又七/之六
乙三十五又七/之五其五之四為二十八又七/之四其五之一為
七又七/之一以甲三之一加乙五之四五十也 以乙五
之一加甲三之二亦五十也
論曰此以分相增損而為和數亦與刋誤條甲乙二倉
異彼是以其全數偕彼㡬分此則以所存之餘數偕
彼幾分也既云相易則實有增損非如甲乙倉虚借
增率而無損也
[058-39a]
問二人物數不均若於甲取三之一於乙取四之一以
和合而平分之以湊原存數則各五十而適均其原
數各若干
法以三分通甲數而倍之為六分損其一與乙餘五分
以四分通乙數而倍之為八分損其一與甲餘七分
以和數列位
解曰以四之一與三之一和合而平分之是各取其
數之半也 於三之一取其半是六之一以與乙
[058-39b]
而甲餘其五也於四之一取其半是八之一以與
甲而乙餘其七也
偏乗對減以得法實 法除實得五又十七分之十
五為乙八之一 以乙分母八乗之得四十七又十
七分之一為乙原數 以兩五十共一百減乙原數
餘五十二又十七分之一十六為甲原數
[058-40a]
計開
甲原數五十二又十七分/之十六三除之得十七又十七分/之十一為
甲三之一 以三之一轉減甲餘三十五又十七/分之五為
甲所存三之二
乙原數四十七又十七/分之一四除之得十一又十七分/之十三為乙
四之一以四之一轉減乙餘三十五又十七/分之五為乙所
存四之三
以甲三之一乙四之一和合之共二十九又十七/分之七半之
[058-40b]
得十四又十七分/之十二為和合平分之數以加甲乙存數
各得五十
論曰甲去三之一乙去四之一所存之數已均矣故以
平分之數加之而適均
又法
以甲分母三通甲為三分以乙分母四通乙為四分
又總計各得五十六共一百為和數
以甲取三之一餘三之二乙取四之一餘四之三命
[058-41a]
為適足甲取三之一乙取四之一以和合平分/而等則其所存者亦等也故命之適足
乃以和較雜列位
如法乗甲同減盡 乙異併一十七分為法 正二
百無減就為實 法除實得一十一又十七之十三
為乙之一分以分母四乗之得四十七又十七分
之一為乙原數 以乙原數減共數一百餘五十二
[058-41b]
又十七分之十六
按此所得與前無異而較捷故並存之
問甲乙丙三人共博甲贏乙金二之一乙贏丙金三之
一丙又贏甲金四之一事畢各剰金七百其原携金
若干
法以各分母通其原數又各減其贏去之一而列之
以七百/為和數
和數列位
[058-42a]
如法減併 丙七分為法 二千一百為實 法除
實得三百為丙之一分 以丙分母三乗之得九百
為丙原金 以丙之一分減乙剰七百餘四百為乙
所餘二之一 二因之得八百為乙原金 以乙二
[058-42b]
之一減甲剰金七百餘三百為甲自剰四之三 三
除之得一百為甲三之一 四乗之得四百為甲原
金
計開
甲原金四百 加贏乙四百二之/一也共八百 除丙又贏
去甲一百四之/一也仍餘七百
乙原金八百 加贏丙三百三之/一也共一千一百 甲贏
去四百乙二之/一也仍餘七百
[058-43a]
丙原金九百 贏甲一百四之/一也共一千 乙贏去三百
丙三之/一也亦仍餘七百
論曰此與刋誤條騾馬逓借一匹同但馬一騾二驢三
即是原物偕所借之一而為和數今乙一丙二甲三
却是各所存之餘分偕所贏之一分而為和數也得
數大異者馬騾即是全數今則用分故丙之全數轉
多於乙若以一分計則乙之分自多於丙如馬力之
於騾矣
[058-43b]
又論曰此三條皆是兩相交易而又是和數與前數條
金銀交易幾錠不同
難題歌曰一條竿子一條索索比竿子長一托雙折索
子去量竿却比竿子短一托
解曰一托者五尺也
法以零整襍列位 因雙折是二之一故以二通索
[058-44a]
法一即以實一丈命為繩之一分 分母二因之得
繩長二丈 減負五尺餘得竿長一丈五尺
假如有繩長不知數但云比竿長六尺若三折其繩則
短於竿八尺
法二除實三丈得竿長一丈五尺 加正六尺得繩
長二丈一尺
[058-44b]
論曰原法别有求法然不如方程穏捷故作此問以明
之若用難題法不能通矣故方程能御雜法而雜法
不能御方程 此條統宗原入均輸今改正
問井不知深先將繩折作三條入井汲永繩長四尺復
將繩折作四條入井亦長一尺其井深繩長各若干
法以兩母三/四相乗得十二分為繩母數 以母三/四互乗
其子之一/之一得四/三是為以繩十二分之四汲水而長四
尺以繩十二分之三汲水而長一尺也
[058-45a]
餘一分為法 即以實三尺命為繩十二分之一
以十二分乗一分得三十六尺為繩長 以繩之三
分計九尺同減負一尺得八尺為井深
計開
井深八尺
繩長三十六尺
[058-45b]
三折之得一十二尺 比井多四尺
四折之得九尺 比井多一尺
論曰此條原屬盈朒今以方程御之尤簡易故曰方程
能御雜法也
試更之則先得井深
法一省除即以八尺命為井深 加正四尺共十二
[058-46a]
尺繩之四分除之得三尺為一分 一十二分母乗
之得繩長三十六尺
論曰此餘八尺者即物實也前以餘三尺為繩長實者
即人實即此可悟盈朒章作法之原要之是二色方
程法耳人實物實不同而除法/則同故皆可以互求
今有絹一疋欲作帳幅先摺成六幅比舊帳長六寸改
折作七幅却又短四寸其絹併舊帳幅各長若干折/作
六幅以較長即六之/一七幅即七之一
[058-46b]
法如前以六/七幅相乗得四十二分為總母 以六/七互乗
其之一/之一得之七分/之六分為所用之分而列之以絹四十二/之七則長於
帳六寸短以絹四十二/之六則 於帳四寸為較數
法一 實一尺即為絹之一分 以分母四十二乗
之得絹長四丈二尺 以絹之七分計七尺減負六
寸餘六尺四寸為舊帳之長
[058-47a]
計開
舊帳幅六尺四寸
絹長四丈二尺
均作六幅得七尺 比帳長六寸
均作七幅得六尺 比帳短四寸
論曰此與井不知深皆是以一物之細分與一整物較
皆零整雜用之法也
又以上三條盈朒章舊有求法然皆因所較之井深與
[058-47b]
舊帳幅皆為一數而不變故可用盈朒之法若亦有
分數不同則非盈朒所能御此方程之用能包盈朒
諸法而諸法不能御方程
今有臺不知髙從上以繩縋而度之及臺三之二而餘
六尺雙折其繩度之及臺之半而不足三尺問臺之
髙及繩之長若何
法以臺三/二之二/一用母相乗為母之法通臺為六分 又
用母互乗子為子之法變臺三之二為六之四臺之
[058-48a]
半為六之三 又以雙折通繩為二 皆以化整為
零而列之
餘繩二分為法 併三十尺為實 因二為分母與
法同省除與乗徑以實三十尺為繩長 減負六尺
餘二十四尺以臺之四分除之母六乗之得三十六
尺為臺髙
[058-48b]
計開
臺髙三十六尺
繩長三十尺
臺三之二髙二十四尺 以繩度之餘六尺
臺之半髙一十八尺 以半繩一十五尺比之短三尺
今有井不知深以乙繩汲之餘繩二尺以庚繩汲之亦
餘繩四尺雙折庚繩三折乙繩以相續而汲之適足
問井深及二繩各長若何
[058-49a]
法以乙繩通為三 庚繩通為二
以三色列之 井整數乙庚用分
以隔行之同名仍為較數列之 餘較皆與庚同名
[058-49b]
餘庚一分為法 即以實一丈命為庚二之一 倍
之得庚繩二丈 減負二尺得乙繩一丈八尺用減/餘之
右行葢乙正/三即全數也
又減負二尺得井深一丈六尺用原列之右行亦以/乙負三即全數故
計開
井深一丈六尺
乙繩一丈八尺 比井多二尺
庚繩二丈 比井多四尺
[058-50a]
三折乙繩六尺加雙折庚繩一丈共一丈六尺即同
井深
論曰此二條與前井深絹帳同理然即非盈朒所能御
又按田之横直亦可以繩折比量水面亦然
今有直田欲截一段之積只云截長六歩不足積七步
截長八步又多積九步問所截之積及原濶
法以較數列之其原濶即截長/每一步之積
上 中 下
[058-50b]
長二步除積十六步得原濶八步 以截長六步乗
濶得四十八步加不足七步得截積五十五步
論曰此盈朒中方田也然無闗於方田之實用故入盈
朒然不知宜入方程也
試更作問
今有方田欲截横頭之積改為直田但云截濶五步則
[058-51a]
不足十二步截濶九步則如所截之積一有半問所
截直田積并原田之方
如法列位
濶一歩半為法 積十八歩為實 法除實得原方
一十二歩 以濶五歩乗方得六十歩加不足十二
歩得截直田七十二歩
[058-51b]
計開
原方田方十二歩 積一百四十四歩
截直田七十二歩 宜截濶六歩
若此條則盈朒不能御
今有米換布七疋多四斗換九疋適足問原米若干及
布價
法列位
上 中 下
[058-52a]
布二疋為法 四斗為實 法除實得布價每疋二
斗 以九疋適足乗布價得原米一石八斗
論曰此盈朒中粟布法也
試更設問
今有榖換絹十疋餘三石以榖之半換絹六疋不足五
斗問原榖若干及絹價
[058-52b]
法列位
法一免除 得絹每疋價二石 以十疋乗價加餘
三石得原糓二十三石
若此條則非盈朒所能御
論曰直田截積及米換布盈朒本法也愚所設方田截
積及糓換絹非盈朒本法也乃帶分盈朒之變例也
[058-53a]
如舊法芝蔴糶/銀是其例也雖盈胸亦有求法頗多轉折非其質
矣不如用方程之省約
今有芝蔴不知總但云取麻八分之三糶銀十兩不足
二石取麻三分之一糶銀八兩適足問原麻總數及
每銀一兩之麻
法先以麻八/三 之三/之一用母相乗得二十四為母母互乗
子得之九/之八為所用之分而列之 依省算左加九之
一而徑減
[058-53b]
法一兩省除即以麻二石命為銀每兩之麻 以銀
八兩麻八分適足省乗除徑以二石為麻之一分以
二十四分乗得原麻四十八石
計開
原麻四十八石 銀毎兩麻二石
其八之三計一十八石 銀十兩該二十石 故不足
[058-54a]
二石
其三之一計一十六石 銀八兩恰該一十六石 故
適足
若問麻每石之銀則以二石為法轉除一兩得每石
價五錢
按此條宜入方程舊列帶分盈胸之末
問者若云有銀買麻以麻八之三與之則餘二石以麻
三之一與之適足問原麻及銀所買
[058-54b]
依法求得二石為麻之一分 以總母廿四分乗之
得原麻四十八石 以九分乗二石減負二石得銀
所買麻十六石
論曰此所設問則盈朒帶分本法也然不能知每價以
[058-55a]
方程法求之亦同 觀此益見前條之宜入方程也
今有黄連木香不知數但云取連三之一換木香七之
二則連多二斤取連四之三換木香五之四則連少
一斤若於五之四内減去木香三斤則連多一斤
法先以通分齊其分
乃列位
[058-55b]
如法乗減 餘木香二十二分為法 異併黄連二
十二斤為實 法除實得每木香一分即三十五/分之一換
黄連一斤 以木香十分換黄連十斤異加正二斤
共十二斤以黄連正四分除之得黄連每三斤為一
分 以分母十二乗之得總黄連三十六斤
另併黄連多一斤少一斤共二斤為法除減木香三
[058-56a]
斤得每黄連一斤換木香一斤半原少連一斤減木/香三斤而轉多連
一斤故/知其數
此連所換之木香一斤半即其三十五分之一分也
以三十五分乗之得木香五十二斤半
計開
黄連三十六斤
木香五十二斤半
每黄連一斤換木香一斤半
[058-56b]
三分三十六斤而取其一得一十二斤為黄連三之一
七分五十二斤半而取其二得十五斤為木香七之二
該換連十斤今連有十二斤是連多二斤也
四分三十六斤而取其三得二十七斤為黄連四之三
五分五十二斤半而取其四得四十二斤為木香五之
四該換連二十八斤今連只二十七斤是連少一斤
也
若於木香五之四減三斤餘三十九斤該換連二十六
[058-57a]
斤今連有二十七斤是連多一斤也
論曰凡較數方程有若干物共幾色又有其所較之價
銀若錢之類今所用較數即用其物之斤兩而無銀
若錢微有不同乃古者貿遷有無交易之術也專用
銀若錢以權物價後世事耳
問綾每尺多羅價三十六文今買綾六尺羅八尺其共
價綾比羅少三十六文
畣曰綾每尺一百六十二文 羅每尺一百二十六文
[058-57b]
羅二尺除二百五十六尺得羅價每尺一百二十六
文 加多三十六文得綾價每尺一百六十二文
問銀二千九百二十八兩買綾一百五十疋羅三百疋
絹四百五十疋只云綾每疋比羅多四錢七分羅每
疋多絹一兩三錢五分 畣曰綾每疋四兩三錢二
分 羅每疋三兩八錢五分 絹每疋二兩半
[058-58a]
絹九百疋為法除實二千二百五十兩得絹價二兩五
錢 加多一兩三錢半得羅價三兩八錢半 又加
多四錢七分得綾價四兩三錢二分
今有兄弟三人不知年小弟謂長兄曰我年比汝四之
[058-58b]
三次兄比汝六之五比我多八歳
法以帶分别之 皆變零從整
季弟二 除一百四十四歳得年七十二歳 加八
歳得仲兄年八十 六因仲年五除之得伯年九十
[058-59a]
六歳
計開
伯九十六歳 仲八十歳為伯年/六之五 季七十二歳為伯年/四之三
今有四人分錢但云乙得甲六之五丙得甲四之三丁
得甲二十四之十七其丁與丙差四文
甲正五 乙負六 空 空 適足此行不用乙/無對故也
[058-59b]
丁四除二百七十二得丁錢六十八文
加四文得丙錢七十二文
四乗丙錢三除之得甲錢九十六文
五乗甲錢六除之得乙錢八十文
計開
甲九十六文
[058-60a]
乙八十文
丙七十二文
丁六十八文
甲六之一得一十六以五因得八十文為六之五乙數也
甲四之一得二十四以三因得七十二為四之三丙數也
甲二十四之一得四以一十七因得六十八為二十
四之一十七丁數也
論曰此雖四色實三色也故徑以三色取之
[058-60b]
今有七人逓差分錢但知首二人共七十七文次二人
共六十五文不知各數亦不知餘人數
法以逓差故知倍乙當甲丙倍丙當乙丁而列之
重列減餘與三行 減餘變較
[058-61a]
重列減餘與四行
丁八為法除實二百四十八文得三十一文為丁數
倍丁數與六十五文相減得逓差三文 以差逓
加得甲乙丙數以差逓減得戊己庚數 皆加減丁
[058-61b]
數得之
計開 甲四十文 乙三十七文 丙三十四文 丁三十一文
戊二十八文 己二十五文 庚二十二文
今有銀二百四十兩以四人逓差分之只云甲多丁一
十八兩
如前法以倍乙當甲丙倍丙當乙丁 又依省算移甲
於丁位
和較列位
[058-62a]
重列兩減餘
又重列減餘與末行
[058-62b]
甲四除二百七十六兩得甲數六十九兩 甲數内
減十八兩得丁數五十一兩 以甲數減二百四十兩
餘一百七十一兩丙三除之得丙數五十七兩 併
丙數甲數一百廿六兩半之得乙數六十三兩
計開
甲六十九兩 乙六十三兩 丙五十七兩 丁五十
[058-63a]
一兩 逓差六兩
今有米二百四十石五人逓差分之其甲乙二人與戊
丁丙三人共數等
如前法列位 依省算倒甲位自下而上
[058-63b]
重列減餘與三行
又重列減餘與四行
又重列減餘與末行
[058-64a]
甲十五除九百六十得甲數六十四石 倍甲數減
一百廿石餘得逓差八石 以差逓減各數得乙丙
丁戊數
計開
[058-64b]
細分之逓差八石
論曰凡差分章竹筒七節盛米之類皆可以此法求之
兹不煩列
厯算全書卷四十五