[056-1a] 
欽定四庫全書
厯算全書卷四十三
宣城梅文鼎撰
方程論卷四
刋誤
古之為學也精故其立法也簡而語焉不詳闕所疑而
敬存其舊無臆參焉斯善學也已不得其理而强為之
解以亂其真古人之意乃不可見矣意不可見而訛謬
[056-1b]
相仍如金在沙淘之汰之沙盡而金以出故刋誤次之
方程之誤厥有數端
一曰立負之誤立負誤也四色五色期于立負以為法/誤之誤也自騾馬逓借一問諸書沿訛
而加減之/誤因之矣
一曰加減之誤
同加異減一誤也誤沿于牛羊豕相易之一/問由不知正負之有更也
竒減偶加二誤也誤沿于桃梨問價以/不知和較之交變也
一曰法實之誤以上為法下為實拘也以/法必少實必多亦謬也
[056-2a]
一曰倂分母之誤
一曰設問之誤如井不知深而以除法/為井深問中先已大誤
立負辨
立負非古人法也何以知之有負則有正今立負而不
言正非正負之本㫖也或曰有正則有負則言負可
不言正矣是又不然凡和之變而較也有減其和數
而盡者亦有減其和數而餘者其減而盡者命為適
足而無較數則但言此之為負以見彼之為正可矣
[056-2b]
若減而餘者是有較數也而但言負不言正何以知
其較數必與正物同名乎即使同名而竟不明言其
為正何以分别同異而為加減乎至于以有空位而
立之負則又不可何也和之或變而較也固不必以
空位也但減餘分在兩行而兼用之即變較數矣今
必以有空位者而立之負則無空位者即不立負乎
然則和數之無空位者終于同減而無異併乎將進
退失據矣故曰非古人法也
[056-3a]
凡言正負者分其物以相較也不言正負者合其物以
言數也皆自然而有之名非立之也而立負乎哉夫
不知正負之出于自然而强立之負則同異之㫖淆
而加減之用失種種謬誤縁之以生故謹為之辨
今以諸書所載立負例攷定如左
假如米四石二斗以馬一騾二驢三載之皆不能上坡
若馬借騾一騾借驢一驢借馬一則各能上坡問馬
騾驢力各幾何
[056-3b]
畣曰馬力二石四斗 騾力一石八斗 驢力六斗
法各以和數列位馬借騾一則一馬一驢也騾借驢一/則二騾一驢也驢借馬一則三驢一
馬也各以其本數加借數而/列之干方程法則和數而已
此三色有空法也中行無馬原只二色故不湏乗減
但先以左右兩行首位不空者對乗 又因兩行馬
[056-4a]
數皆一乗皆如故故徑以對減馬減盡 右騾一左
驢三皆無對不減 米各四石二斗亦對減而盡
乃視減餘騾一在右行驢三在左行分在兩行是有
正負也 米亦減盡是正負適足也重列之
論曰此和數變為較數也何以言之兩行之馬相若而
其載物又相若則其所偕以共載之騾一與驢三其
力亦自相若矣故命之適足適足者以兩相較而成
故曰變為較數也然謂之適足可也謂一行俱減盡
[056-4b]
則不可也減盡者同類之物而其數又同故物與數
俱減盡也適足者物非同類而其物之積數則同故
其物不能減盡而數則減盡也物不同而數同故曰
適足也適足者存之為用也物數俱減盡者清出其
一色而不復用也如此三色中雖不能遽知各力然
已知驢三騾一之適相當矣則已清出馬之一色而
變為二色矣此逓減立法之意也
又論曰減餘適足則有正負矣其原列只是和數無正
[056-5a]
負也諸書以逓借一匹之故而列之曰借又别其本
數曰正不知正與負對非與借對也雖逓借一匹其
實是本有之頭匹與所借之頭匹共載此米故曰和
數逮減餘乃變為較耳故減餘適足宜言正負也而
諸書但立負原列和數無正負也而忽分正借又不
立負于減之後而立于其先正也借也立負也三者
相亂而靡有指實古人之法固如是乎哉
次以中行原數與減餘對列 因中行馬空故徑求也
[056-5b]
此和較雜也 減餘分正負 中行原無正負
以減餘騾負一遍乗中行如故較乗和也數雖如故但皆/以乗法之名名之為負
又以中行騾二遍乗減餘得數和乗較也故仍/其正負之名
騾同减盡 驢異併得七為法 四石二斗無減就
為實 法除實得六斗為一驢之力 三因驢力得
一石八斗為一騾之力適足/故也以騾力一石八斗減四
[056-6a]
石二斗餘二石四斗為一馬之力原右/行數
論曰減餘原是騾一與驢三力等乗後得數則騾二與
驢六亦等也然則于中行共力中減去二騾而以相
等之六驢益之其共之四石二斗亦必與原載等也
故併此六驢與原列一驢共七為法以除此四石二
斗而驢力可知也 驢三與騾一既等則三驢之所
載即騾力也 騾與馬各一共四石二斗則減騾力
即馬力也
[056-6b]
又論曰此因中行有空故徑求也使其不空自當與左
行或右行遍乗而減去其馬與其數乃列兩減餘如
二色求之此常法也今中行馬空原只二色恰與減
餘之二色相對故徑相乗減是省一算也諸書皆言
因左行騾空故立負騾一與中行對乗不知左行騾
空而右之騾一無減猶右之驢空而左之驢三無減
也其與中行相對乃用此兩色之減餘非獨用左行
也盖左行有馬中行無馬原無對乗之理亦猶之右
[056-7a]
與中不可對乗惟減餘是二色可以對乗雖云徑求
實自然之理勢也而强立之負以用左行乎
有正斯有負立負騾于左行為與何物相對耶以馬一
為正耶驢三為正耶其馬一驢三皆正耶既無所指
則負為徒立矣
凡言正負者其下數必為正與負之較今所用左行之
四石二斗者為是騾一與驢三相較之數耶騾一與
馬一相較之數耶將合馬一驢三與騾一相較之數
[056-7b]
耶則皆無一合矣
凡物有正負者其較數亦有正負此四石二斗者正耶
負耶若無正負即是和數不應立負騾矣
若以四石二斗為和數則更非理夫以馬一驢三之共
數加一騾力而其數如故理所無也若去一馬用一
騾而與驢三共此米抑又不能馬與騾之力原不同
乃去一馬加一騾而其數如故理所無也然則此四
石二斗安屬耶彼惟不知四石二斗之減盡即為適
[056-8a]
足故誤至此也
又謂右行俱減盡不知減盡必兩行數同如馬一與米
四石二斗也若騾一驢三固未嘗有減也况盡乎方
程立法原以對減有盡不盡而得其朕兆若三色俱
減而盡其算不立矣惟不知有空位者可以徑求而
誤以所用之減餘為是左行之原數故也
凡減盡者兩俱減盡不應右減盡而左行獨存若謂復
用左行之原數何以不用原列之馬一而加一負騾
[056-8b]
以為馬一減去故不用則四石二斗何既減而復存
耶故以立負騾減馬一為用减餘之法則四石二斗
不宜存四石二斗為用原列之法則馬一不宜減負
騾不宜立破兩法而叅用之一不成矣承譌者遷就
多岐抑奚足怪
今試以減餘更置則先得騾力如後圖
[056-9a]
如前法以一和一較遍乗得數 驢同名減盡 騾
異併得七為法 正十二石六斗無減就為實 實
如法而一得一石八斗為騾力以驢三除相當一騾
之力得六斗為驢力任于原列左行或右行如/法減驢力或騾力得馬力
論曰凡減餘重列之數皆可更置互求何則皆實數也
三色減去一色即二色法矣若干減餘之適足加以
四石二斗則不可以互求故知其誤
又試以原列更置之先減去騾如後圖
[056-9b]
如法先以右中遍乗 騾减盡 中行驢一 右行
馬二皆無減分正負列之 載米餘四石二斗在右
行與馬同名 左行騾空故徑與減餘相對 依和
較雜法乗之 驢同減盡馬異併七為法 載米異
[056-10a]
倂十六石八斗為實 法除實得二石四斗為馬力
以馬力減四石二斗餘一石八斗得騾力 以馬
力倍之同減四石二斗餘六斗得驢力
試又更之如後圖
[056-10b]
如前法先以右中兩行遍乗減去驢餘馬一騾六皆
無減分正負載米餘八石四斗在右與騾同名
乃重列之如前法徑與左行相對遍乗 馬同減盡
騾異併七為法 載米異併十二石六斗為實實
如法而一得騾力以次得驢馬力皆如前
論曰凡諸色方程其上下皆可互更如上二圖以空位
徑求之法求之無所不合也
又試以原列無空而減餘適足者為例如後
[056-11a]
假如有三車三槖駝七牛各欲載物六十四石而皆不
能勝若車借駝牛各一駝借車牛各一牛借車駝各
一則皆能載問三者力若干
畣曰車二十四石 槖駝十二石 牛四石
法以和數列位
[056-11b]
如法乗 車皆減盡 甲乙兩行減餘皆在乙行和
數也 乙丙相減餘乙駝二丙牛六是有正負也
載物減盡適足也乙丙載物減盡則不但對減去之/物適相當而其減餘之駝二牛六
其力亦適相當也雖欲/不命之適足不可得矣
乃以和較雜重列之
依一和一較法求得牛三十二為法 載物一百二
[056-12a]
十八石為實 法除實得四石為牛力 牛六共力
二十四石以相當之駝二除之得十二石為駝力
以牛力駝力減六十四石餘四十八石車二除之得
二十四石為車力用右行/原數
論曰此亦以和變較而有適足之數也豈以有空位而
立之負乎可以悟其非矣
試更以較數求之
假如運糧以象馬牛車三種但云接運時以三象所載
[056-12b]
與四牛車二十四馬載之則餘三十六石以八牛車
所載與二象十二馬載之亦餘三十六石以七十八
馬所載與二象二牛車載之亦餘三十六石問各若干
畣曰象七十二石 牛車二十七石 馬三石
法以較數列位
[056-13a]
如法互乗減併重列其餘中行每加二分一則首位/象與右齊同可對減矣其
中左象本同徑以/對減皆省算法也
依省算法求得馬三十載九十石以馬除載得三石
為馬力 馬九十載二百七十石牛車十除之得二
十七石為牛車力 合計牛車四馬二十四共載一
百八十石異加正三十六石象三除之得七十二石
[056-13b]
為象力用右行/原數
論曰此原列較數也而其較數亦有減而適足者然則
先無適足減之而成適足者往往有之矣
惟適足故分正負非以空位而立負也故知減餘之亦
有適足而復用左行者非矣知用減餘而非用左行
則立負之非不攻而破矣
同加異減辨
同名相減則異名相加矣諸書所載忽而同減者忽而
[056-14a]
異減忽而異加者忽而同加豈不謬哉又為之説曰
以正為主則同減而異加以負為主則異減而同加
又為之説曰同名相乗則其下同減而異併異名相
乗則其下異減而同併言之縷然用之紛然而要之
非是也夫同名相減即如盈朒章兩盈兩朒相減也
異名相併即如盈不足相併也豈有同加異減之理
乎所以誤者不知正負交變之法也正負宜變而不
變則首位之異名者何以能對減而盡乎不得不遷
[056-14b]
就其法同加異減矣苟知其變則首位必同名首位
既同名則凡減皆同名凡加皆異名較若畫一何必
紛紛强為之説乎
凡減餘重列有仍其負正如故者亦有更其正負絶非
其故者且有先無正負及其重列而有正負者有先
分正負及其重列之而反不分者若但以初名為定
則加減皆舛矣
假如同減之餘分在兩行而為同名或左餘正右亦餘/正或左餘負右亦
[056-15a]
餘/負則重列必為異名矣必變其一行之名而列之而
其下所餘數必是此二異名物之較數也若無餘數
必是此二異名物相當適足也此以三色言之若四/色以上減餘位數多
者皆倣/此論之
若同減之餘分在兩行而為異名或左餘正而右餘負/或左餘負而右餘正
則重列必為同名矣而其下所餘數必是此二同名
物之和數也此亦以三色言之其/減餘只二色故也則其原列正負之
名皆不用矣
[056-15b]
若異倂者尤為易見何也凡異併者正與負併也正與
負併則如一物矣故重列之際必以一行為主而定
其名或為正或為負或/變和數則無正負若但守初名而不知所變將
一物而名之正又名之負乎必不然矣兼此數端知
正負之交變出于自然非强名也不知正負之變亦/不知和較之變矣
故又有竒減/偶加之誤也
今以諸書所載同加異減例考定如左
假如以牛二羊五作價易猪十三剰價五兩以牛一猪
[056-16a]
一易羊三適足以羊六猪八易牛五不足三兩問價
各若干
畣曰牛價六兩 羊價二兩五錢 猪價一兩五錢
列所問數
先以右行牛正二遍乗中左兩行得數中右首位同/名故正負不
[056-16b]
變右左首位異名故變左行之/正負以從右亦為以少從多
次以中行牛正一遍乗右行皆得原數 乃以中右
兩得數對減 牛各正二同名減盡 羊異名右正/五中
負/六併得十一猪異名右負十三/中正二併得十五 價無減
右正五兩/中適足仍得五兩 于是分正負以價與羊為同
名而重列之羊右正中負猪右負中正故仍為較數/價與羊同為正于右行故仍為同名
次以左行牛負五遍乗右行得數左行既變以從右/則右行不變仍其
正/負乃以左右兩得數對減 牛各正十同名減盡
[056-17a]
羊異名右正廿五/左負十二併得三十七 猪同名右負六十/五左負一
十/六減餘四十九在/右 價同名減右正二十五/兩左正六兩餘十九
兩亦在/右 于是亦分正負亦以價與羊同名而重列
之 羊與餘猪原分正負于右故仍為較數價與羊
同為正于右故同名
列兩減餘
[056-17b]
如法以兩正羊遍乗得數 乃對減 羊同減盡
猪同減餘十六為法 價同減餘二十四兩為實法
除實得一兩五錢為猪價 以猪十五價二十二兩
五錢異加正價五兩共二十七/兩五錢羊十一除之得二兩
五錢為羊價 任于原列中行羊三價七兩五錢内
減猪價一兩五錢餘六兩為牛價
論曰凡列正負可以任意呼之要在知下價之于正負
孰為同名耳若乗後得數則其首列一位必以同名
[056-18a]
而相減故正負有時變而其價之正負從之變矣故
同異加減必以乗後得數而定也如此所列左右行
先為一正一負異名之價而乗後得數必為同名之
價何也兩價皆與牛同名而牛在首列得數必同名
故也若以羊更置首列則兩價得數必異名何也價
與羊于右同名而于左異名也
試更列之于後
上 中上 中下 下
[056-18b]
如法以中行羊與左右兩行互遍乗得數相減 羊
同減皆盡 右中牛異併三十七 猪異併一百十
八 價異併四十五兩價與牛/同名中左牛同減餘九
猪異併三十 價九兩無減與牛/同名
乃以兩減餘各分正負而重列之
[056-19a]
如法以牛互遍乗而變左行之正負以相從 牛同減
盡 猪同減餘四十八為法 價同減餘七十二兩為
實 法除實得猪價以次得牛羊價合問 試又更之
[056-19b]
如法以中行猪與左右兩行互遍乗得數相減 猪同減
皆盡右中羊異併一百十八右負/中正 牛同減餘四十九餘/負
在/中 價同減餘一兩餘負/在右 分正負以價與/羊同名 左中羊異
併三十中正而/左負 牛異併十三中負/左正 價三兩無減中之/負數
亦分正負以價與/牛同名 皆重列之
如法互乗羊同減盡牛同減餘六十四兩為法價異併三
[056-20a]
百八十四兩為實法除實得牛價六兩以次得羊價猪價
論曰反覆求之皆同減異加别無他術可見古人立法之簡快
竒減偶加辨
方程立法只同名相減異名相加盡之和數有減無併皆/同名也較數有減
有倂或同名或異名也/和較交變故減併相生不論二色三色四色乃至多色
皆一法也今諸書不察偶見瓜梨一例有竒減偶加之
形不得其觧遂執為四色之定法而不知通變使方程
一章之法為徒法而莫可施用深可惜也故覼縷辨之
[056-20b]
今將𤓰梨一問考定如後
假如有𤓰二梨四共價四十文又梨二榴七共價四十文榴
四桃七共價三十文𤓰一桃八共二十四文問各價幾何
畣曰𤓰八文 梨六文 榴四文 桃二文
法以和數列位 依四色有空以省算法求之
[056-21a]
惟甲丁兩行有𤓰如四色故先以相乗 𤓰減盡
甲梨四丁桃十六皆無減 價餘八文 分正負梨/甲
桃丁/故也以價與桃同名同在丁/行故也 𤓰減盡矣而餘行皆
無𤓰則只三色故徑以減餘之數與乙行相對
如法互乗 梨同減盡 榴二十八左/正桃三十二右/負皆
[056-21b]
無減價異併一百七十六文右負/左正
隔行之異名乃同名也以和數列之不分正負
又以餘行無梨則只二色徑以減餘與丙行列之于/後
如法乗減榴減盡餘桃六十八為法價一百三十六文為實
法除實得桃價二文 以丙行桃七價十四文減共三
十文餘十六文悉榴價也榴四除之得榴價四文 以
[056-22a]
乙行榴七價二十八文減共四十二文悉梨價也梨
二除之得梨價六文 以甲行梨四共二十四文減
共四十文除十六文悉𤓰價也𤓰二除之得價八文
論曰此和數變為較數而較數復變和數也何以言之初次
減餘價八文乃桃多于梨之價故曰變為較數也桃十六/價三十
二文梨四價二/十四文差八文何以知之餘數分在兩行也桃十六在丁/行梨四在甲
行/何以知桃多于梨桃與價同在丁行故同名也然所
用分正負者是甲丁兩行之減餘非但以丁行空位而
[056-22b]
立負也又因乙丙𤓰位皆空故用此減餘徑與乙行相對
是省二算也乃徑求也非專用丁行為主也減餘較也乙
行和也一和一較故有異名相併而非以偶行故加也
若第二次減餘則復是和數何也其相併一百七十六文
乃桃榴之共價桃三十二價六十四文榴二/十八價一百十二文共此數而非其較
數故曰復變和數也何以知之桃與榴雖分餘于兩行
而異名然隔行之異名乃同名也乙行榴正價亦正減/餘桃負價亦負兼而
用之變為/同名矣至于立負之非此尤易見盖既變和數無正
[056-23a]
負矣雖兩遇空而無減豈得謂之立負乎又因丙行梨
亦空故徑用減餘與之對減是又省一算非以丁行對
丙行也而顧曰立負榴于丁行誤之誤矣減餘變和丙
行相對是兩和也故有減而無併也而豈以竒行之故
而減也乎哉 今試以甲丁之行易之則加減全非矣
[056-23b]
如法以甲丁行對乗減𤓰盡 桃十六甲/梨四丁/皆
無減 價相減餘八文甲/ 乃分正負以價與桃同
名而重列之與乙行相對
如法乗 桃同減盡 榴六十四左/正梨二十八右/負皆
無減 價同減餘四百二十四文 依前論隔行之異
[056-24a]
名即同名也不分正負而重列之與丙行相對
如法減榴 餘梨六十八為法 四百○八文為實
法除實得梨價六文以次得諸物價皆如前
論曰此但更其前後之行耳而價皆同減無異併可見
竒減偶加之非通法矣 又試以上下之位而更之
[056-24b]
如法以甲丁先乗減去梨盡 餘榴二十八甲/𤓰四
丁/皆無減 價相減餘八十文甲/依前論分正負以
價與榴同名而重列之與乙行相對
[056-25a]
如法乗減榴盡 餘桃一百九十六左/正𤓰一十六右/負
皆無減 價相減餘五百二十文左/正依前論復變和
數不分正負而徑與丙行重列之
如法減桃 餘𤓰六十八為法 價五百四十四文
為實 法除實得𤓰價八文以次得諸物價皆如前
論曰此亦有同減無異加固不以竒偶之行而有别也
[056-25b]
若以甲丁減餘更置之則亦有異併之用如後圖
論曰此下價何以倂異名故也何以異名凡一和一較
方程在和數行者其得必與較首位同名故其較數
之價與首位同名者則亦與和價同名也其與首位
異名者與和價亦異名也
先用丙行何也以有𤓰故可與餘𤓰相減亦可見行次
[056-26a]
之非定也 理之不定乃其一定凡事盡然泥一端
以定之轉不定矣
又論曰此亦復變為和數也何以知之正榴正價皆右
負桃負價皆左以之併為一行則無正負矣盖隔行
如法減桃 餘榴六十八為法 價二百七十二文
[056-26b]
為實 法除實得榴價四文以次得諸物價皆如前
論曰兼此數端知加減非闗行數矣
統宗歌曰四色方程實可誇湏存末位作根芽若遇竒
行湏減價偶行之價要相加諸書仍訛又推而至于
五色六色皆云以末位為主而自首行以往皆與之
加減至其所以加減者又皆以行之竒偶如一行三
行五行竒數也則價與末行減二行四行偶數也則
價與末行加而不言同異名將竒行者皆同名乎偶
[056-27a]
行者皆異名乎未可必也不知彼所設問各行逓空
兩位勢必挨列雖云四色乃四色之有空者耳非四
色之本法也省算卷辨之極/詳可以互發既挨列矣餘行之首一
色皆空不湏乗減惟末行首行相對可以互乗非用
末行乃用上一色相對之行耳使上一色不空者在
中二行而末行反空又當以中行先用矣雖欲以末
行為主得乎
至于第二次重列而乗減者乃用首行末行相減之餘
[056-27b]
也非専用末行也葢兩行相減乃生餘數若謂之用
末行亦可云用首行矣
又因各行多空故徑以減餘與次行乗減得數又徑以
減餘與三行乗減乃省算之法于末行毫不相渉也
且方程之行次非有定也其前後可以互居左右中可
以相易亦何從而定之為末行乎末行無定矣又安
有竒偶之可言乎而以是為加減之定法乎
然則惡乎定曰詳和較以列減餘别同異以定加減苟
[056-28a]
其和數也雖空無減不立正負也苟其較數也雖無
空位分正負也此列減餘之法也但同名者不論何
行皆減但異名者不論何位皆加此定加減之法也
如是而已
法實辨
算家法實皆生于問者之所求如有總物若干總價若
干而問每物若干價則是以物為法價為實也或問
每銀一兩得若干物則是以價為法以物為實也諸
[056-28b]
算盡然則方程可知矣算海説詳曰中餘為法除下
實盖本統宗然其説非也同文算指曰以少除多其
説亦非也何以明之曰方程法實猶諸算之法實也
故必于問者之所求詳之中下多少非可執也
假如和數方程有物若干又物若干共價若干是物之
位在上中而價之位在下也若問每物之價而以物
為法銀為實是中除下也固也或問每銀一兩之物而
以銀為法物為實又當以下除中矣不知問者之所
[056-29a]
求以物求價乎以價求物乎愚故曰中下難執也
又物之價值莫可等計有賤于銀之物以一兩而得數
千百斤有貴于銀之物以數十百金而得一物假如
有貴物若干又若干共價若干是物之數少而銀之
數多也而問每物之價謂之以少除多似也若問每
銀之物不又當以多除少乎又如有賤物若干又若
干共價若干是物之數多而銀之數少也而問每銀
物若干謂以少除多可也若問每物價若干不且以多
[056-29b]
除少乎惟以多除少故有不滿法之實實不滿法故
有以法命之如云每銀一兩于物得幾分之幾者是
也其物多除銀少者則有退除為錢若分釐故曰多
少難拘也
多少中下既不足以定法實則法實安定曰亦惟于問
意詳之而已 今具例如後
論曰方程法實只是以下一位與上中數位相湏為用
耳故有實一而法二其三色者則有實一而法三若
[056-30a]
以下除中者則有法一而實二或法一而實三故用
互乗之法以減之及其用也則只是一法一實而已
二色者互乗而對減其一則一法一實也三色者對
減其一又對減其一亦一法一實也四色五色其法
悉同此方程立法之原也
問河工方九百尺以當築城八百尺城多一工以河工
七百二十尺當城工七百尺城多二工問每工一日
若干尺
[056-30b]
畣曰河工每日六十尺 城工每日五十尺
如法乗減 餘城工五萬四千尺為實 工一千○
八十為法法除實得每工五十尺為城工每日之數
以城工五十尺除右行八百尺得十六工同減負一
工餘十五工以除河工九百尺得每工六十尺為河
工每日之數
[056-31a]
論曰此以下除中也縁所問每工一日土若干尺以工
求土也故以工為法土為實若拘中法下實則法實
反矣
若問每土千尺該用幾工則當以五萬四千尺為法
一千○八十工為實法除實得百分工之二是為每
城工一尺之數以所問每千尺乗之得二十工是為
城工每千尺用工二十日也 若用異同除則以土
千尺乗一千○八十工得一百○八萬工為實以法
[056-31b]
五萬四千尺除之得二十工為城工每千尺之數亦
同
於是以二十工乗八百尺用右行/原列千尺除之得十六
工減負一工餘十五工河工九百尺數也以九百尺
除十五工得百分工之一又三分之二河工每尺數
也以問千尺乗之得十六工又三分工之二為河工
千尺之數 用異乗同除以千尺乗十五工得一萬
五千工九百尺除之得十六工又九之六約為三之
[056-32a]
二亦同
問開渠十七工築堡二十工共以立方計者一千六百
八十尺又渠三十工堡四十工共三千二百尺今欲
計土續工則每百尺得幾工
畣曰開渠每土一百尺二工/半築堡每土一百尺二工
如法乗減 餘堡工八十為實 土四千尺為法
[056-32b]
法除實得每尺百分工之二以百尺乗之得二工為
築堡每百尺之工或異乗同除以百尺乗八十工得/八千為實以法四千尺除之亦得
每百工/二工 以左行堡工四十乗百尺二工除之得二
千尺以減共三千二百尺餘一千二百尺渠土數也
用除渠工三十得百分工之二半以百尺乗之得二
工半為開渠每百尺之工或異乗同除以百尺乗三/十工得三千以一千二百
尺除之亦得每/百尺二工半
論曰此亦以下法除中實也縁所問以土求工故也又
[056-33a]
為以多除少盖土之數原多于工也故退除而得其
分秒而所問者每百故又有異乗同除之用也
併分母辨
自方程笇失傳有可以方程立算亦可以差分諸法立
算者則皆收入諸法而不知用方程如愚末卷所載
方程御襍法是也有實非方程法而列于方程如同
文算指所収菽麥畦工諸互乗之法是也有可以方
程算而不用方程漫以他法强合而漫謂之方程如
[056-33b]
併分母之法是也諸互乗法非方程易知不必辨故
専辨分母
問甲乙二窖不知數但云取乙三之一益甲取甲二之
一益乙則各足二千石
畣曰甲窖一千六百石 乙窖一千二百石
原法曰列位互乗甲得六千石乙得四千石相減餘二
[056-34a]
千石為實併兩分母共五為法除之得四百石以乙
分母三乗之得一千二百石為乙窖以乙窖減二千
石餘八百石以甲分母二乗之得一千六百石為甲
窖
論曰此法不然乃偶合耳若分母為三與四即不可用
或分子為之二之三亦不可用况方程法原無平列
兩色物之理而此獨平列既平列矣又何以先得乙
窖皆不合也今以方程本法御之則無所不合
[056-34b]
依帶分化整為零法列位
如法乗減 甲減盡 餘乙五分為法 餘二千石
為實 法除實得四百石為乙之一分以乙分母三
乗其一分得一千二百石為乙窖 以乙之一分減
二千石餘一千六百石為甲窖
論曰此亦用五分為法也然為得數相減之餘非併分
[056-35a]
母也所用之實亦二千石然為甲分互乗之數相減
非甲乙兩分母互乗相減也
亦先得四百石為乙三分之一然以乙列于中甲列
于上故先減去甲而餘乙為法以先得乙之分若列
乙于上則亦先得甲分矣試更列之以先求甲窖
如法乗减 乙减盡 甲餘五分為法 餘四千石
[056-35b]
為實 法除實得八百石為甲之一分以甲分母二
乗之得一千六百石為甲窖
以甲之一分減二千石餘一千二百石為乙窖
論曰凡方程有各色皆可更列其上下以互求而任先
得其一色何也其互乗而對減者皆實數也若併分
母為法則無實數可言故不可以互求
愚于帶分言之備矣或化整為零如上所列/二例是也或變零從
整或除零附整共有三法凡帶分者皆可施用若併
[056-36a]
分母為法則多所不通矣 凡此皆諸書沿誤而同
文算指亦皆收入未嘗駁正也
試以分母非三與二者求之
假如有句股不知數但云以股四之一益句以句三之
一益股則皆二丈二尺問句股各若干
畣曰句一丈八尺 股一丈六尺
依化整法列位
上 中 下
[056-36b]
如法乗減 餘股十一分為法 四丈四尺為實
法除實得四尺為股之一分以股分母四乗其一分
得一丈六尺為股
以股之一分減共二丈二尺餘一丈八尺為句
論曰此十一為法也若以股列于上則亦十一分為法
也如併分母將以七為法其能合乎
[056-37a]
又試以分子非之一者求之
假如有股與弦不知數但云若取弦六分之二以益股
則五丈五尺若取股三分之二以當弦則少五丈五
尺問若干
畣曰股三丈 弦七丈五尺
法以一和一較依化整法列位
[056-37b]
如法互乗 股同名減盡 弦異名併得二十二分
為法 數異名併得二十七丈五尺為實 法除實
得一丈二尺五寸為弦之一分以弦分母六乗其一
分得七丈五尺為弦 以弦之二分二丈五尺減共
五丈五尺餘三丈為股
論曰此以二十二為法也若以弦列于上則亦二十二
為法也而併分母是將以九為法矣豈不毫釐千里
乎
[056-38a]
以上數則皆不可併分母為法
問者或云甲乙倉粟不知數但知共二千石其甲二之
一與乙三之一等各若干
畣曰甲八百石 乙一千二百石
法以和較襍列位亦用化整為零
徧乗甲同減盡 乙異併五分為法 二千石無減
[056-38b]
為實 法除實為乙之一分 以乙分母三乗其一
分得一千二百石為乙倉 因適足故乙之一分猶
甲之一分也以甲分母二乗之得八百石為甲倉
論曰惟此有似于併母然實非併分母乃併得數之異
名者也又按併母法與方程不同
假如有倉粟取三之一又二之一共計二千石問原數
若干
畣曰原數二千四百石
[056-39a]
法以兩母互乗其子而併之得五為法 以兩母相
乗得六以乗二千石得一萬二千石為實 法除實
得二千四百石為原倉之粟
論曰此即併母法也因兩分子皆一故併母用之實併
兩分母互乗其子之數也盖既曰三分二分其原數
必可以三分之又二分之者也故以兩分母相乗得
[056-39b]
六借為原數之衰原數六則三之一即二也二之一
即三也併而用之借為所取之分如云取原數六分
之五而二千石也六分之五為二千石則其全數必
二千四百石矣此通分法非方程
設問之誤辨
算家設問以為規式意雖引而不發數則實而可稽苟
其稽之而無有真實可言之數則其意不能自明而
何以為式乎至其立法之多違于古皆以不深知算
[056-40a]
理而臆見横生又相因而必至也故以設問為之目
今將同文算指所載井不知深例考定如後餘如此者
尚多不能一一為辨也錢塘吳信民九章比類亦載/是例非同文創立也盖方程
之沿誤/久矣
問井不知深以五等繩度之用甲繩二不及泉借乙繩
一補之及泉用乙繩三則借丙一用丙繩四則借丁
一用丁繩五則借戊一用戊繩六借甲一乃俱及泉
其井深若干五等繩各若干
[056-40b]
原法曰列五行以五繩之數為母借繩一為子先取甲
二乗乙三得六以乗丙得二十四以乗丁得一百二
十以乗戊得七百二十併入子一共七百二十一為
井深積列位
一甲二 乙一 ○ ○ ○ 七百二十一
二○ 乙三 丙一 ○ ○ 七百二十一
三○ ○ 丙四 丁一 ○ 七百二十一
四○ ○ ○ 丁五 戊一 七百二十一
[056-41a]
五甲一 ○負一 ○負一 ○負一 戊六 七百二十一
乃取五行為主而以一二三四俱與相乗
先以一行甲二遍乗五甲甲一得二戊六得十二積/七百二十一得一千四百
四十/二
五行甲一亦遍乗一行對減甲得二減盡乙得一因/五行乙空立負一積七
七百二十一本數以減/五行仍餘七百二十一
次以二行乙三乗五行乙負一得負三戊正十二得/三十六積七百二十一得二
千一百/六十三
[056-41b]
五行乙負一亦乗二行乙三得三對減盡丙一得一/因五行丙空立負一積七百
二十一得本數併入五行/積共二千八百八十四
再以三行丙四乗五行丙負一得四戊正三十六得/一百四十四積二千八百八
十四得一萬一/千五百三十六
五行丙負一亦乗三行丙四得四減盡丁一得一因/五行丁空立負一積得本數
與五行對減餘一/萬○八百一十五
又以四行丁五乗五行丁負一得五戊正一百四十/四得七百二十積一萬○八
百一十五得五萬/四千○七十五
[056-42a]
五行丁負一亦乗四行丁五得五減盡戊一得一併/入五行戊正七百二十共七
百二十一積得本數併入五行積五萬四/千○七十五共五萬四千七百九十六
乃以最後所得求之以積五萬四千七百九十六為
實戊七百二十一為法除之得戊繩七尺六寸以減
四行總積七百二/十一餘六百四十五以丁五除之得丁
繩一丈二尺九寸以減三行積七百二十/一後同餘五百九
十二以丙四除之得丙繩一丈四尺八寸以減二行
積餘五百七十三以乙三除之得乙繩一丈九尺一
[056-42b]
寸以減一行積餘五百三十以甲二除之得甲繩二
丈六尺五寸
論曰此一例中有數誤 一者以末行為主而以一二
三四與之相乗此由不知和較交變而沿竒減偶加
之失誤一 一者謂末行有空故立負由不知有空
徑求而沿立負之非誤二 一者以除法命為井深
而設問不明言丈尺誤三 又輒立母逓相乗加借
子一之法誤四 一例中誤至數端將令學者何所
[056-43a]
措意乎
前之兩誤謂以未行為主而竒/減偶加反立負之法業于𤓰梨諸例辨之綦
詳可以互見今特明後兩誤之非具如後論
凡言百十者皆虚位也其實數以单位為端故单位為
寸則十者尺百者丈若单位為尺則十者丈百者十
丈若單位為丈則十者十丈百者百丈七百二十一
以為井深不知其所謂一者尺乎寸乎丈乎若七百
二十一尺七百二十一寸七百二十一丈相去甚懸
[056-43b]
然其為七百二十一者不殊也先不明言尺寸雖得
數何以命之
詳觀問意乃借井深以知各繩故井深者和數也在各
行中皆所列諸繩之共數必先知此共數然後以乗
減之法求之而各數乃見矣而不先言井深轉借各
繩以求之方程中無此法也故其所得但為七百二
十一之虚率而不能㫁其為丈尺何等亦固然耳
七百二十一亦非井深定率何也倍七百二十一則一
[056-44a]
千四百四十二若三其七百二十一則二千一百六
十三推之以至于無窮凡可以七百二十一除之而
盡者皆可以五等繩相借而及泉也故使其井為一
丈四尺四寸二分之深則戊繩必一尺五寸二分丁
繩必二尺五寸八分丙繩必二尺九寸六分乙繩必
三尺八寸二分甲繩必五尺三寸矣使其井為二十
一丈六尺三寸之深則戊繩二丈二尺八寸丁繩三
丈八尺七寸丙繩四丈四尺四寸乙繩五丈七尺三
[056-44b]
寸甲繩七丈九尺五寸矣皆甲二偕乙一若乙三則
偕丙一若丙四則偕丁一若丁五則偕戊一若戊六
則偕甲一而及泉故曰七百二十一非井深之定率
也
七百二十一者除法也以此為法除井深乗併之數而
得一繩因以知各繩即不得以此命為井深
除法法也井深實也而以法為實乎
以七百二十一為除法乃繩也如所求先得戊繩之數
[056-45a]
則此七百二十一者即是戊繩也其五萬四千七百
九十六者乃七百二十一戊繩之共數也以戊繩七
百二十一為法除其共數而得七十六則是一戊繩
之數也故七百二十一者繩也五萬四千七百九十
六者井深也假如一井深七丈二尺一寸則七十六/井共深五百四十七丈九尺六寸井無
此深乗併而有也數猶戊繩之/七百二十一亦以乗併而得也而顧以繩之積為井
深之積乎
假如井深一丈四尺四寸二分依法求之其為戊繩之
[056-45b]
共數必一百○九丈五尺九寸二分而其戊繩亦必
七百二十一以七百二十一為法除一百○九丈五
尺九寸二分得一尺五寸二分則一戊繩之數矣故
曰七百二十一者非井深也乃除法也繩也繩之為
除法者有定而其所除之井深無定也
又輒立母子乗併之法夫以各繩為母而借繩為子未
大失也盖于三繩中取一即是三之一于四繩取一
亦即四之一也乃謂七百二十一為母相乗而加借
[056-46a]
子則非也盖位既迭空除首位減去外皆母與相乗
乗子與相乗而不相遇至第四次乃相遇而又適當
其變為一和一較之時異名相併故得此數以為除
法耳固不得立此以為通法也
假如問五色方程而各行不空則和較之變多端豈預
知其減併即使各行有空如所列而或為較數則有
減而無併亦將以借子加之乎
又所加之一乃子相乗之數若遇借子為之二之三則
[056-46b]
皆不能徑用其原借之子數也故曰非通法也
今試以井深一丈四尺四寸二分者舉例如後
假如有井深一丈四尺四寸二分以甲乙丙丁戊五等
繩汲之皆不及泉若甲借乙三之一乙借丙四之一
丙借丁五之一丁借戊六之一戊借甲二之一皆及
泉問繩各長若干
法以帶分和數列位
上上 上下 中上 中下 下上 下下
[056-47a]
依空位省算先以一行與五行對乗 甲減盡 乙
一戊十二皆無對不減 和數餘一丈四尺四寸二
[056-47b]
分 乙在首行 戊與一丈四尺四寸二分在五行
分正負列之 和變較也 餘行無甲繩不湏減
徑以減餘與次行相對
依和較相襍法互乗 乙繩同減盡 丙一左/正戊三
十六右/負皆無減 和較數異併五丈七尺六寸八分
右負/左正 復變和數不分正負隔行異名/併故也
[056-48a]
依和數乗 丙繩減盡 丁繩一左/戊繩一百四十
四右/皆無減 和數減餘二十一丈六尺三寸右/又
復變和數也分正負列之
餘行又無丙繩徑以減餘與第四行相對
上 中 下
[056-48b]
依和較相襍乗 丁同減盡 戊異併七百二十一
為法 和較數異併一百○九丈五尺九寸二分為
實 法除實得一尺五寸二分為戊繩六之一 以
減共一丈四尺四寸二分得一丈二尺九寸為丁繩
五除丁繩得二尺五寸八分為丁繩五之一 以
減共一丈四尺四寸二分餘一丈一尺八寸四分為
[056-49a]
丙繩 四除丙繩得二尺九寸六分為丙繩四之一
以減共一丈四尺四寸二分餘一丈一尺四寸六
分為乙繩 三除之得三尺八寸二分為乙繩三之
一 以減共一丈四尺四寸二分得一丈○六寸為
甲繩 二除之得五尺三寸爲甲繩二之一 以
減共一丈四尺四寸二分得九尺一寸二分爲
戊繩
計開
[056-49b]
論曰此亦七百二十一為除法也減併之用與前無異
而井深既别繩數迥殊不先言丈尺何以定之
試又以較數明之
[056-50a]
今有數不知總其五人所分亦不知各數但云取乙三
之一以當甲取丙四之一以當乙取丁五之一以當
丙取戊六之一以當丁取甲二之一以當戊皆不足
七百一十九問若干
畣曰甲一千○三十四 乙九百四十五 丙九百
○四 丁九百二十五 戊一千二百三十六
法以較數列位
依帶分法化整爲零
[056-50b]
如法乗 甲同減盡 乙一左/負戊十二右/負皆無減
同名在隔行仍分正負 較數異併與戊同名 餘
行無甲徑以減餘對第三行
[056-51a]
如法乗 乙同減盡 丙一左/負戊三十六右/負皆無減
以隔行同名分正負 較數異併與戊同名 餘
行無乙徑以減餘對第四行
如法乗 丙同減盡 丁一左/負戊一百四十四右/負皆
[056-51b]
無減 以隔行同名分正負 較數異併仍與戊同
名 餘行無丙徑以減餘對末行
如法乗 丁同減盡 戊同減餘七百一十九為法
較數異併一十四萬八千一百一十四為實 法
除實得二百○五為戊之一分加正七百一十九共
九百二十五為丁數 五除丁數得一百八十五為
[056-52a]
丁之一分加正七百一十九共九百○四為丙數
四除丙數得二百二十六為丙之一分加正七百一
十九共九百四十五為乙數 三除乙數得三百一
十五為乙之一分加正七百一十九共一千○三十
四為甲數 二除甲數得五百一十七加負七百一
十九共一千二百三十六為戊數 六除戊數仍得
二百○六為戊之一分
計開
[056-52b]
論曰此其母與母相乗子與子相乗與前略同但末後
相遇為同減故不以七百二十一為法而以七百一
十九為法無他較數也若依母相乗而併子豈不誤
[056-53a]
哉
且四次乗減其下較皆異倂亦足見竒減偶併之非
又以法同而得數迥異者明之
今有數五宗不知其總但云以乙三之一當甲以丙四
之一當乙以丁五之一當丙以戊六之一當丁皆適
足若以甲二之一偕戊則共數七百二十一問各若
干
法以和較帶分列位 化整為零
[056-53b]
甲同減盡 乙一左/負戊一十二右/正皆無減 一千四
百四十一亦無減 隔行異名即同名也變為和數
重列之與次行對
[056-54a]
乙同減盡 丙一左/負戊三十六右/正四千三百二十六
右/正皆無減 皆隔行異名亦變和數重列與第三行
對
丙同減盡 丁一左/負戊三十六右/正一萬七千三百○
[056-54b]
四右/正皆無減隔行異名仍變和數重列與第四行對
丁同減盡 戊異併七百二十一為法 八萬六千
五百二十無減就為實 法除實得一百二十為戊
六之一即丁數 五除之得二十四為丁五之一即
丙數 四除之得六為丙四之一即乙數 三除之
得二為乙三之一即甲數 半之得一為甲二之一
[056-55a]
以減共七百二十一餘七百二十為戊數
計開
甲二 乙六 丙二十四 丁一百二十 戊七百二十
論曰此亦以七百二十一為法而其各數迥不相類則
以下數之為和為較迥不相同也然則井深者即和
數也而不先言其丈尺顧以除法命之可乎
又試以分子逓借而非之一者明之
今有甲乙丙丁船各十隻以載鹽九千七百七十六引
[056-55b]
俱不足若甲借乙一乙借丙二丙借丁三丁借甲四
則各能載問各船若干
法以和數列位
列後
[056-56a]
甲減盡 乙四右/丁一百左/皆無減 以兩行故分
正負 載鹽餘五萬九千八百五十六左/與丁同名
甲空與減餘對次行
乙同減盡 丙八左/正丁一千右/負俱無減 引異併六
十三萬八千四百六十四右負/左正異名在隔行復變和
數無正負 乙空以減餘對三行
[056-56b]
丙減盡 丁餘九千九百七十六為法 引餘六百
三十萬○四千八百三十二為實 法除實得六百
三十二引為丁船數 以丙借丁船三乗丁數得一
千八百九十六以減共九千九百七十六引餘八千
○八十丙所載也以丙十除之得八百○八引為丙
船數 以乙借丙船二乗丙數得一千六百一十六
[056-57a]
以減共九千九百七十六引餘八千三百六十乙所
載也以乙十除之得八百三十六引為乙船數
以乙船數減共九千九百七十六餘九千一百四十
甲所載也以甲十除之得九百一十四引為甲船數
計開各船每隻載數
甲船九百一十四引
乙船八百三十六引
丙船八百○八引
[056-57b]
丁船六百三十二引
論曰此四色方程逓借法與諸書所載馬騾載米同亦
與同文算指井不知深同但彼誤以除法為井深又
誤立各母逓乗加借子法故設此問以顯其理
此所用除法丁船九千九百七十六猶彼所用除法戊
繩七百二十一也乃除法也非井深也除法有定而
井深無定即如此問九千九百七十六之除法有定
而鹽之數無定也何言乎無定假如以九千九百七
[056-58a]
十六引而倍之則各船之所載亦倍矣以引數半之
船所載亦半矣然其除法之九千九百七十六如故
也若不先言引數何知之
共載九千九百七十六引者鹽數也以九千九百七十
六為法而除者船數也船為法者算家虚立之率鹽
列位者問者現據之實數數雖偶同為用逈别
以各原數為母借數為子是也如甲借乙船一而乙船
原有十即十分之一也謂母相乗而加借子一則非
[056-58b]
法也如此所用除法九千九百七十六何以處之又
如後條馬歩舟師各借二分者又何以處之數雖似
不可施之他數非通法矣
又試以三色例亦用異加得除法者觀之
假如有馬歩舟師不知數但云取騎兵五分之二益歩
取歩卒三分之二益舟取舟師七分之二益騎則皆
得六千七百八十名
畣曰歩卒四千五百名 騎兵五千七百名
[056-59a]
舟師三千七百八十名
法以和數帶分列位
依省笇以左行加二分之一 步卒減盡 騎二分
右/舟師十分○半左/皆無減 共數減餘三千三百
九十左/分餘兩行變較數也 以較數與舟師同名
[056-59b]
中行步卒原空徑以減餘作二色列之
依省算四因左行而退位 騎同減盡 舟師異併
十一分三釐為法 和較數異併六千一百○二為
實 法除實得五百四十為舟師之一分 以分母
七乗之得三千七百八十名為舟師數
以舟師數減共數六千七百八十餘三千所借步卒
[056-60a]
之二分也 二除之分母三乗之得四千五百為歩
卒數
以歩卒數減共數六千七百八十餘二千二百八十
所借騎兵之二分也 二除之分母五乗之得五千
七百名為騎兵數
論曰此雖以異加而得除法然不得竟以子之二加也
故以分子一加者非通法也
[056-60b]
厯算全書卷四十三
欽定四庫全書
厯算全書卷四十三
宣城梅文鼎撰
方程論卷四
刋誤
古之為學也精故其立法也簡而語焉不詳闕所疑而
敬存其舊無臆參焉斯善學也已不得其理而强為之
解以亂其真古人之意乃不可見矣意不可見而訛謬
[056-1b]
相仍如金在沙淘之汰之沙盡而金以出故刋誤次之
方程之誤厥有數端
一曰立負之誤立負誤也四色五色期于立負以為法/誤之誤也自騾馬逓借一問諸書沿訛
而加減之/誤因之矣
一曰加減之誤
同加異減一誤也誤沿于牛羊豕相易之一/問由不知正負之有更也
竒減偶加二誤也誤沿于桃梨問價以/不知和較之交變也
一曰法實之誤以上為法下為實拘也以/法必少實必多亦謬也
[056-2a]
一曰倂分母之誤
一曰設問之誤如井不知深而以除法/為井深問中先已大誤
立負辨
立負非古人法也何以知之有負則有正今立負而不
言正非正負之本㫖也或曰有正則有負則言負可
不言正矣是又不然凡和之變而較也有減其和數
而盡者亦有減其和數而餘者其減而盡者命為適
足而無較數則但言此之為負以見彼之為正可矣
[056-2b]
若減而餘者是有較數也而但言負不言正何以知
其較數必與正物同名乎即使同名而竟不明言其
為正何以分别同異而為加減乎至于以有空位而
立之負則又不可何也和之或變而較也固不必以
空位也但減餘分在兩行而兼用之即變較數矣今
必以有空位者而立之負則無空位者即不立負乎
然則和數之無空位者終于同減而無異併乎將進
退失據矣故曰非古人法也
[056-3a]
凡言正負者分其物以相較也不言正負者合其物以
言數也皆自然而有之名非立之也而立負乎哉夫
不知正負之出于自然而强立之負則同異之㫖淆
而加減之用失種種謬誤縁之以生故謹為之辨
今以諸書所載立負例攷定如左
假如米四石二斗以馬一騾二驢三載之皆不能上坡
若馬借騾一騾借驢一驢借馬一則各能上坡問馬
騾驢力各幾何
[056-3b]
畣曰馬力二石四斗 騾力一石八斗 驢力六斗
法各以和數列位馬借騾一則一馬一驢也騾借驢一/則二騾一驢也驢借馬一則三驢一
馬也各以其本數加借數而/列之干方程法則和數而已
此三色有空法也中行無馬原只二色故不湏乗減
但先以左右兩行首位不空者對乗 又因兩行馬
[056-4a]
數皆一乗皆如故故徑以對減馬減盡 右騾一左
驢三皆無對不減 米各四石二斗亦對減而盡
乃視減餘騾一在右行驢三在左行分在兩行是有
正負也 米亦減盡是正負適足也重列之
論曰此和數變為較數也何以言之兩行之馬相若而
其載物又相若則其所偕以共載之騾一與驢三其
力亦自相若矣故命之適足適足者以兩相較而成
故曰變為較數也然謂之適足可也謂一行俱減盡
[056-4b]
則不可也減盡者同類之物而其數又同故物與數
俱減盡也適足者物非同類而其物之積數則同故
其物不能減盡而數則減盡也物不同而數同故曰
適足也適足者存之為用也物數俱減盡者清出其
一色而不復用也如此三色中雖不能遽知各力然
已知驢三騾一之適相當矣則已清出馬之一色而
變為二色矣此逓減立法之意也
又論曰減餘適足則有正負矣其原列只是和數無正
[056-5a]
負也諸書以逓借一匹之故而列之曰借又别其本
數曰正不知正與負對非與借對也雖逓借一匹其
實是本有之頭匹與所借之頭匹共載此米故曰和
數逮減餘乃變為較耳故減餘適足宜言正負也而
諸書但立負原列和數無正負也而忽分正借又不
立負于減之後而立于其先正也借也立負也三者
相亂而靡有指實古人之法固如是乎哉
次以中行原數與減餘對列 因中行馬空故徑求也
[056-5b]
此和較雜也 減餘分正負 中行原無正負
以減餘騾負一遍乗中行如故較乗和也數雖如故但皆/以乗法之名名之為負
又以中行騾二遍乗減餘得數和乗較也故仍/其正負之名
騾同减盡 驢異併得七為法 四石二斗無減就
為實 法除實得六斗為一驢之力 三因驢力得
一石八斗為一騾之力適足/故也以騾力一石八斗減四
[056-6a]
石二斗餘二石四斗為一馬之力原右/行數
論曰減餘原是騾一與驢三力等乗後得數則騾二與
驢六亦等也然則于中行共力中減去二騾而以相
等之六驢益之其共之四石二斗亦必與原載等也
故併此六驢與原列一驢共七為法以除此四石二
斗而驢力可知也 驢三與騾一既等則三驢之所
載即騾力也 騾與馬各一共四石二斗則減騾力
即馬力也
[056-6b]
又論曰此因中行有空故徑求也使其不空自當與左
行或右行遍乗而減去其馬與其數乃列兩減餘如
二色求之此常法也今中行馬空原只二色恰與減
餘之二色相對故徑相乗減是省一算也諸書皆言
因左行騾空故立負騾一與中行對乗不知左行騾
空而右之騾一無減猶右之驢空而左之驢三無減
也其與中行相對乃用此兩色之減餘非獨用左行
也盖左行有馬中行無馬原無對乗之理亦猶之右
[056-7a]
與中不可對乗惟減餘是二色可以對乗雖云徑求
實自然之理勢也而强立之負以用左行乎
有正斯有負立負騾于左行為與何物相對耶以馬一
為正耶驢三為正耶其馬一驢三皆正耶既無所指
則負為徒立矣
凡言正負者其下數必為正與負之較今所用左行之
四石二斗者為是騾一與驢三相較之數耶騾一與
馬一相較之數耶將合馬一驢三與騾一相較之數
[056-7b]
耶則皆無一合矣
凡物有正負者其較數亦有正負此四石二斗者正耶
負耶若無正負即是和數不應立負騾矣
若以四石二斗為和數則更非理夫以馬一驢三之共
數加一騾力而其數如故理所無也若去一馬用一
騾而與驢三共此米抑又不能馬與騾之力原不同
乃去一馬加一騾而其數如故理所無也然則此四
石二斗安屬耶彼惟不知四石二斗之減盡即為適
[056-8a]
足故誤至此也
又謂右行俱減盡不知減盡必兩行數同如馬一與米
四石二斗也若騾一驢三固未嘗有減也况盡乎方
程立法原以對減有盡不盡而得其朕兆若三色俱
減而盡其算不立矣惟不知有空位者可以徑求而
誤以所用之減餘為是左行之原數故也
凡減盡者兩俱減盡不應右減盡而左行獨存若謂復
用左行之原數何以不用原列之馬一而加一負騾
[056-8b]
以為馬一減去故不用則四石二斗何既減而復存
耶故以立負騾減馬一為用减餘之法則四石二斗
不宜存四石二斗為用原列之法則馬一不宜減負
騾不宜立破兩法而叅用之一不成矣承譌者遷就
多岐抑奚足怪
今試以減餘更置則先得騾力如後圖
[056-9a]
如前法以一和一較遍乗得數 驢同名減盡 騾
異併得七為法 正十二石六斗無減就為實 實
如法而一得一石八斗為騾力以驢三除相當一騾
之力得六斗為驢力任于原列左行或右行如/法減驢力或騾力得馬力
論曰凡減餘重列之數皆可更置互求何則皆實數也
三色減去一色即二色法矣若干減餘之適足加以
四石二斗則不可以互求故知其誤
又試以原列更置之先減去騾如後圖
[056-9b]
如法先以右中遍乗 騾减盡 中行驢一 右行
馬二皆無減分正負列之 載米餘四石二斗在右
行與馬同名 左行騾空故徑與減餘相對 依和
較雜法乗之 驢同減盡馬異併七為法 載米異
[056-10a]
倂十六石八斗為實 法除實得二石四斗為馬力
以馬力減四石二斗餘一石八斗得騾力 以馬
力倍之同減四石二斗餘六斗得驢力
試又更之如後圖
[056-10b]
如前法先以右中兩行遍乗減去驢餘馬一騾六皆
無減分正負載米餘八石四斗在右與騾同名
乃重列之如前法徑與左行相對遍乗 馬同減盡
騾異併七為法 載米異併十二石六斗為實實
如法而一得騾力以次得驢馬力皆如前
論曰凡諸色方程其上下皆可互更如上二圖以空位
徑求之法求之無所不合也
又試以原列無空而減餘適足者為例如後
[056-11a]
假如有三車三槖駝七牛各欲載物六十四石而皆不
能勝若車借駝牛各一駝借車牛各一牛借車駝各
一則皆能載問三者力若干
畣曰車二十四石 槖駝十二石 牛四石
法以和數列位
[056-11b]
如法乗 車皆減盡 甲乙兩行減餘皆在乙行和
數也 乙丙相減餘乙駝二丙牛六是有正負也
載物減盡適足也乙丙載物減盡則不但對減去之/物適相當而其減餘之駝二牛六
其力亦適相當也雖欲/不命之適足不可得矣
乃以和較雜重列之
依一和一較法求得牛三十二為法 載物一百二
[056-12a]
十八石為實 法除實得四石為牛力 牛六共力
二十四石以相當之駝二除之得十二石為駝力
以牛力駝力減六十四石餘四十八石車二除之得
二十四石為車力用右行/原數
論曰此亦以和變較而有適足之數也豈以有空位而
立之負乎可以悟其非矣
試更以較數求之
假如運糧以象馬牛車三種但云接運時以三象所載
[056-12b]
與四牛車二十四馬載之則餘三十六石以八牛車
所載與二象十二馬載之亦餘三十六石以七十八
馬所載與二象二牛車載之亦餘三十六石問各若干
畣曰象七十二石 牛車二十七石 馬三石
法以較數列位
[056-13a]
如法互乗減併重列其餘中行每加二分一則首位/象與右齊同可對減矣其
中左象本同徑以/對減皆省算法也
依省算法求得馬三十載九十石以馬除載得三石
為馬力 馬九十載二百七十石牛車十除之得二
十七石為牛車力 合計牛車四馬二十四共載一
百八十石異加正三十六石象三除之得七十二石
[056-13b]
為象力用右行/原數
論曰此原列較數也而其較數亦有減而適足者然則
先無適足減之而成適足者往往有之矣
惟適足故分正負非以空位而立負也故知減餘之亦
有適足而復用左行者非矣知用減餘而非用左行
則立負之非不攻而破矣
同加異減辨
同名相減則異名相加矣諸書所載忽而同減者忽而
[056-14a]
異減忽而異加者忽而同加豈不謬哉又為之説曰
以正為主則同減而異加以負為主則異減而同加
又為之説曰同名相乗則其下同減而異併異名相
乗則其下異減而同併言之縷然用之紛然而要之
非是也夫同名相減即如盈朒章兩盈兩朒相減也
異名相併即如盈不足相併也豈有同加異減之理
乎所以誤者不知正負交變之法也正負宜變而不
變則首位之異名者何以能對減而盡乎不得不遷
[056-14b]
就其法同加異減矣苟知其變則首位必同名首位
既同名則凡減皆同名凡加皆異名較若畫一何必
紛紛强為之説乎
凡減餘重列有仍其負正如故者亦有更其正負絶非
其故者且有先無正負及其重列而有正負者有先
分正負及其重列之而反不分者若但以初名為定
則加減皆舛矣
假如同減之餘分在兩行而為同名或左餘正右亦餘/正或左餘負右亦
[056-15a]
餘/負則重列必為異名矣必變其一行之名而列之而
其下所餘數必是此二異名物之較數也若無餘數
必是此二異名物相當適足也此以三色言之若四/色以上減餘位數多
者皆倣/此論之
若同減之餘分在兩行而為異名或左餘正而右餘負/或左餘負而右餘正
則重列必為同名矣而其下所餘數必是此二同名
物之和數也此亦以三色言之其/減餘只二色故也則其原列正負之
名皆不用矣
[056-15b]
若異倂者尤為易見何也凡異併者正與負併也正與
負併則如一物矣故重列之際必以一行為主而定
其名或為正或為負或/變和數則無正負若但守初名而不知所變將
一物而名之正又名之負乎必不然矣兼此數端知
正負之交變出于自然非强名也不知正負之變亦/不知和較之變矣
故又有竒減/偶加之誤也
今以諸書所載同加異減例考定如左
假如以牛二羊五作價易猪十三剰價五兩以牛一猪
[056-16a]
一易羊三適足以羊六猪八易牛五不足三兩問價
各若干
畣曰牛價六兩 羊價二兩五錢 猪價一兩五錢
列所問數
先以右行牛正二遍乗中左兩行得數中右首位同/名故正負不
[056-16b]
變右左首位異名故變左行之/正負以從右亦為以少從多
次以中行牛正一遍乗右行皆得原數 乃以中右
兩得數對減 牛各正二同名減盡 羊異名右正/五中
負/六併得十一猪異名右負十三/中正二併得十五 價無減
右正五兩/中適足仍得五兩 于是分正負以價與羊為同
名而重列之羊右正中負猪右負中正故仍為較數/價與羊同為正于右行故仍為同名
次以左行牛負五遍乗右行得數左行既變以從右/則右行不變仍其
正/負乃以左右兩得數對減 牛各正十同名減盡
[056-17a]
羊異名右正廿五/左負十二併得三十七 猪同名右負六十/五左負一
十/六減餘四十九在/右 價同名減右正二十五/兩左正六兩餘十九
兩亦在/右 于是亦分正負亦以價與羊同名而重列
之 羊與餘猪原分正負于右故仍為較數價與羊
同為正于右故同名
列兩減餘
[056-17b]
如法以兩正羊遍乗得數 乃對減 羊同減盡
猪同減餘十六為法 價同減餘二十四兩為實法
除實得一兩五錢為猪價 以猪十五價二十二兩
五錢異加正價五兩共二十七/兩五錢羊十一除之得二兩
五錢為羊價 任于原列中行羊三價七兩五錢内
減猪價一兩五錢餘六兩為牛價
論曰凡列正負可以任意呼之要在知下價之于正負
孰為同名耳若乗後得數則其首列一位必以同名
[056-18a]
而相減故正負有時變而其價之正負從之變矣故
同異加減必以乗後得數而定也如此所列左右行
先為一正一負異名之價而乗後得數必為同名之
價何也兩價皆與牛同名而牛在首列得數必同名
故也若以羊更置首列則兩價得數必異名何也價
與羊于右同名而于左異名也
試更列之于後
上 中上 中下 下
[056-18b]
如法以中行羊與左右兩行互遍乗得數相減 羊
同減皆盡 右中牛異併三十七 猪異併一百十
八 價異併四十五兩價與牛/同名中左牛同減餘九
猪異併三十 價九兩無減與牛/同名
乃以兩減餘各分正負而重列之
[056-19a]
如法以牛互遍乗而變左行之正負以相從 牛同減
盡 猪同減餘四十八為法 價同減餘七十二兩為
實 法除實得猪價以次得牛羊價合問 試又更之
[056-19b]
如法以中行猪與左右兩行互遍乗得數相減 猪同減
皆盡右中羊異併一百十八右負/中正 牛同減餘四十九餘/負
在/中 價同減餘一兩餘負/在右 分正負以價與/羊同名 左中羊異
併三十中正而/左負 牛異併十三中負/左正 價三兩無減中之/負數
亦分正負以價與/牛同名 皆重列之
如法互乗羊同減盡牛同減餘六十四兩為法價異併三
[056-20a]
百八十四兩為實法除實得牛價六兩以次得羊價猪價
論曰反覆求之皆同減異加别無他術可見古人立法之簡快
竒減偶加辨
方程立法只同名相減異名相加盡之和數有減無併皆/同名也較數有減
有倂或同名或異名也/和較交變故減併相生不論二色三色四色乃至多色
皆一法也今諸書不察偶見瓜梨一例有竒減偶加之
形不得其觧遂執為四色之定法而不知通變使方程
一章之法為徒法而莫可施用深可惜也故覼縷辨之
[056-20b]
今將𤓰梨一問考定如後
假如有𤓰二梨四共價四十文又梨二榴七共價四十文榴
四桃七共價三十文𤓰一桃八共二十四文問各價幾何
畣曰𤓰八文 梨六文 榴四文 桃二文
法以和數列位 依四色有空以省算法求之
[056-21a]
惟甲丁兩行有𤓰如四色故先以相乗 𤓰減盡
甲梨四丁桃十六皆無減 價餘八文 分正負梨/甲
桃丁/故也以價與桃同名同在丁/行故也 𤓰減盡矣而餘行皆
無𤓰則只三色故徑以減餘之數與乙行相對
如法互乗 梨同減盡 榴二十八左/正桃三十二右/負皆
[056-21b]
無減價異併一百七十六文右負/左正
隔行之異名乃同名也以和數列之不分正負
又以餘行無梨則只二色徑以減餘與丙行列之于/後
如法乗減榴減盡餘桃六十八為法價一百三十六文為實
法除實得桃價二文 以丙行桃七價十四文減共三
十文餘十六文悉榴價也榴四除之得榴價四文 以
[056-22a]
乙行榴七價二十八文減共四十二文悉梨價也梨
二除之得梨價六文 以甲行梨四共二十四文減
共四十文除十六文悉𤓰價也𤓰二除之得價八文
論曰此和數變為較數而較數復變和數也何以言之初次
減餘價八文乃桃多于梨之價故曰變為較數也桃十六/價三十
二文梨四價二/十四文差八文何以知之餘數分在兩行也桃十六在丁/行梨四在甲
行/何以知桃多于梨桃與價同在丁行故同名也然所
用分正負者是甲丁兩行之減餘非但以丁行空位而
[056-22b]
立負也又因乙丙𤓰位皆空故用此減餘徑與乙行相對
是省二算也乃徑求也非專用丁行為主也減餘較也乙
行和也一和一較故有異名相併而非以偶行故加也
若第二次減餘則復是和數何也其相併一百七十六文
乃桃榴之共價桃三十二價六十四文榴二/十八價一百十二文共此數而非其較
數故曰復變和數也何以知之桃與榴雖分餘于兩行
而異名然隔行之異名乃同名也乙行榴正價亦正減/餘桃負價亦負兼而
用之變為/同名矣至于立負之非此尤易見盖既變和數無正
[056-23a]
負矣雖兩遇空而無減豈得謂之立負乎又因丙行梨
亦空故徑用減餘與之對減是又省一算非以丁行對
丙行也而顧曰立負榴于丁行誤之誤矣減餘變和丙
行相對是兩和也故有減而無併也而豈以竒行之故
而減也乎哉 今試以甲丁之行易之則加減全非矣
[056-23b]
如法以甲丁行對乗減𤓰盡 桃十六甲/梨四丁/皆
無減 價相減餘八文甲/ 乃分正負以價與桃同
名而重列之與乙行相對
如法乗 桃同減盡 榴六十四左/正梨二十八右/負皆
無減 價同減餘四百二十四文 依前論隔行之異
[056-24a]
名即同名也不分正負而重列之與丙行相對
如法減榴 餘梨六十八為法 四百○八文為實
法除實得梨價六文以次得諸物價皆如前
論曰此但更其前後之行耳而價皆同減無異併可見
竒減偶加之非通法矣 又試以上下之位而更之
[056-24b]
如法以甲丁先乗減去梨盡 餘榴二十八甲/𤓰四
丁/皆無減 價相減餘八十文甲/依前論分正負以
價與榴同名而重列之與乙行相對
[056-25a]
如法乗減榴盡 餘桃一百九十六左/正𤓰一十六右/負
皆無減 價相減餘五百二十文左/正依前論復變和
數不分正負而徑與丙行重列之
如法減桃 餘𤓰六十八為法 價五百四十四文
為實 法除實得𤓰價八文以次得諸物價皆如前
論曰此亦有同減無異加固不以竒偶之行而有别也
[056-25b]
若以甲丁減餘更置之則亦有異併之用如後圖
論曰此下價何以倂異名故也何以異名凡一和一較
方程在和數行者其得必與較首位同名故其較數
之價與首位同名者則亦與和價同名也其與首位
異名者與和價亦異名也
先用丙行何也以有𤓰故可與餘𤓰相減亦可見行次
[056-26a]
之非定也 理之不定乃其一定凡事盡然泥一端
以定之轉不定矣
又論曰此亦復變為和數也何以知之正榴正價皆右
負桃負價皆左以之併為一行則無正負矣盖隔行
如法減桃 餘榴六十八為法 價二百七十二文
[056-26b]
為實 法除實得榴價四文以次得諸物價皆如前
論曰兼此數端知加減非闗行數矣
統宗歌曰四色方程實可誇湏存末位作根芽若遇竒
行湏減價偶行之價要相加諸書仍訛又推而至于
五色六色皆云以末位為主而自首行以往皆與之
加減至其所以加減者又皆以行之竒偶如一行三
行五行竒數也則價與末行減二行四行偶數也則
價與末行加而不言同異名將竒行者皆同名乎偶
[056-27a]
行者皆異名乎未可必也不知彼所設問各行逓空
兩位勢必挨列雖云四色乃四色之有空者耳非四
色之本法也省算卷辨之極/詳可以互發既挨列矣餘行之首一
色皆空不湏乗減惟末行首行相對可以互乗非用
末行乃用上一色相對之行耳使上一色不空者在
中二行而末行反空又當以中行先用矣雖欲以末
行為主得乎
至于第二次重列而乗減者乃用首行末行相減之餘
[056-27b]
也非専用末行也葢兩行相減乃生餘數若謂之用
末行亦可云用首行矣
又因各行多空故徑以減餘與次行乗減得數又徑以
減餘與三行乗減乃省算之法于末行毫不相渉也
且方程之行次非有定也其前後可以互居左右中可
以相易亦何從而定之為末行乎末行無定矣又安
有竒偶之可言乎而以是為加減之定法乎
然則惡乎定曰詳和較以列減餘别同異以定加減苟
[056-28a]
其和數也雖空無減不立正負也苟其較數也雖無
空位分正負也此列減餘之法也但同名者不論何
行皆減但異名者不論何位皆加此定加減之法也
如是而已
法實辨
算家法實皆生于問者之所求如有總物若干總價若
干而問每物若干價則是以物為法價為實也或問
每銀一兩得若干物則是以價為法以物為實也諸
[056-28b]
算盡然則方程可知矣算海説詳曰中餘為法除下
實盖本統宗然其説非也同文算指曰以少除多其
説亦非也何以明之曰方程法實猶諸算之法實也
故必于問者之所求詳之中下多少非可執也
假如和數方程有物若干又物若干共價若干是物之
位在上中而價之位在下也若問每物之價而以物
為法銀為實是中除下也固也或問每銀一兩之物而
以銀為法物為實又當以下除中矣不知問者之所
[056-29a]
求以物求價乎以價求物乎愚故曰中下難執也
又物之價值莫可等計有賤于銀之物以一兩而得數
千百斤有貴于銀之物以數十百金而得一物假如
有貴物若干又若干共價若干是物之數少而銀之
數多也而問每物之價謂之以少除多似也若問每
銀之物不又當以多除少乎又如有賤物若干又若
干共價若干是物之數多而銀之數少也而問每銀
物若干謂以少除多可也若問每物價若干不且以多
[056-29b]
除少乎惟以多除少故有不滿法之實實不滿法故
有以法命之如云每銀一兩于物得幾分之幾者是
也其物多除銀少者則有退除為錢若分釐故曰多
少難拘也
多少中下既不足以定法實則法實安定曰亦惟于問
意詳之而已 今具例如後
論曰方程法實只是以下一位與上中數位相湏為用
耳故有實一而法二其三色者則有實一而法三若
[056-30a]
以下除中者則有法一而實二或法一而實三故用
互乗之法以減之及其用也則只是一法一實而已
二色者互乗而對減其一則一法一實也三色者對
減其一又對減其一亦一法一實也四色五色其法
悉同此方程立法之原也
問河工方九百尺以當築城八百尺城多一工以河工
七百二十尺當城工七百尺城多二工問每工一日
若干尺
[056-30b]
畣曰河工每日六十尺 城工每日五十尺
如法乗減 餘城工五萬四千尺為實 工一千○
八十為法法除實得每工五十尺為城工每日之數
以城工五十尺除右行八百尺得十六工同減負一
工餘十五工以除河工九百尺得每工六十尺為河
工每日之數
[056-31a]
論曰此以下除中也縁所問每工一日土若干尺以工
求土也故以工為法土為實若拘中法下實則法實
反矣
若問每土千尺該用幾工則當以五萬四千尺為法
一千○八十工為實法除實得百分工之二是為每
城工一尺之數以所問每千尺乗之得二十工是為
城工每千尺用工二十日也 若用異同除則以土
千尺乗一千○八十工得一百○八萬工為實以法
[056-31b]
五萬四千尺除之得二十工為城工每千尺之數亦
同
於是以二十工乗八百尺用右行/原列千尺除之得十六
工減負一工餘十五工河工九百尺數也以九百尺
除十五工得百分工之一又三分之二河工每尺數
也以問千尺乗之得十六工又三分工之二為河工
千尺之數 用異乗同除以千尺乗十五工得一萬
五千工九百尺除之得十六工又九之六約為三之
[056-32a]
二亦同
問開渠十七工築堡二十工共以立方計者一千六百
八十尺又渠三十工堡四十工共三千二百尺今欲
計土續工則每百尺得幾工
畣曰開渠每土一百尺二工/半築堡每土一百尺二工
如法乗減 餘堡工八十為實 土四千尺為法
[056-32b]
法除實得每尺百分工之二以百尺乗之得二工為
築堡每百尺之工或異乗同除以百尺乗八十工得/八千為實以法四千尺除之亦得
每百工/二工 以左行堡工四十乗百尺二工除之得二
千尺以減共三千二百尺餘一千二百尺渠土數也
用除渠工三十得百分工之二半以百尺乗之得二
工半為開渠每百尺之工或異乗同除以百尺乗三/十工得三千以一千二百
尺除之亦得每/百尺二工半
論曰此亦以下法除中實也縁所問以土求工故也又
[056-33a]
為以多除少盖土之數原多于工也故退除而得其
分秒而所問者每百故又有異乗同除之用也
併分母辨
自方程笇失傳有可以方程立算亦可以差分諸法立
算者則皆收入諸法而不知用方程如愚末卷所載
方程御襍法是也有實非方程法而列于方程如同
文算指所収菽麥畦工諸互乗之法是也有可以方
程算而不用方程漫以他法强合而漫謂之方程如
[056-33b]
併分母之法是也諸互乗法非方程易知不必辨故
専辨分母
問甲乙二窖不知數但云取乙三之一益甲取甲二之
一益乙則各足二千石
畣曰甲窖一千六百石 乙窖一千二百石
原法曰列位互乗甲得六千石乙得四千石相減餘二
[056-34a]
千石為實併兩分母共五為法除之得四百石以乙
分母三乗之得一千二百石為乙窖以乙窖減二千
石餘八百石以甲分母二乗之得一千六百石為甲
窖
論曰此法不然乃偶合耳若分母為三與四即不可用
或分子為之二之三亦不可用况方程法原無平列
兩色物之理而此獨平列既平列矣又何以先得乙
窖皆不合也今以方程本法御之則無所不合
[056-34b]
依帶分化整為零法列位
如法乗減 甲減盡 餘乙五分為法 餘二千石
為實 法除實得四百石為乙之一分以乙分母三
乗其一分得一千二百石為乙窖 以乙之一分減
二千石餘一千六百石為甲窖
論曰此亦用五分為法也然為得數相減之餘非併分
[056-35a]
母也所用之實亦二千石然為甲分互乗之數相減
非甲乙兩分母互乗相減也
亦先得四百石為乙三分之一然以乙列于中甲列
于上故先減去甲而餘乙為法以先得乙之分若列
乙于上則亦先得甲分矣試更列之以先求甲窖
如法乗减 乙减盡 甲餘五分為法 餘四千石
[056-35b]
為實 法除實得八百石為甲之一分以甲分母二
乗之得一千六百石為甲窖
以甲之一分減二千石餘一千二百石為乙窖
論曰凡方程有各色皆可更列其上下以互求而任先
得其一色何也其互乗而對減者皆實數也若併分
母為法則無實數可言故不可以互求
愚于帶分言之備矣或化整為零如上所列/二例是也或變零從
整或除零附整共有三法凡帶分者皆可施用若併
[056-36a]
分母為法則多所不通矣 凡此皆諸書沿誤而同
文算指亦皆收入未嘗駁正也
試以分母非三與二者求之
假如有句股不知數但云以股四之一益句以句三之
一益股則皆二丈二尺問句股各若干
畣曰句一丈八尺 股一丈六尺
依化整法列位
上 中 下
[056-36b]
如法乗減 餘股十一分為法 四丈四尺為實
法除實得四尺為股之一分以股分母四乗其一分
得一丈六尺為股
以股之一分減共二丈二尺餘一丈八尺為句
論曰此十一為法也若以股列于上則亦十一分為法
也如併分母將以七為法其能合乎
[056-37a]
又試以分子非之一者求之
假如有股與弦不知數但云若取弦六分之二以益股
則五丈五尺若取股三分之二以當弦則少五丈五
尺問若干
畣曰股三丈 弦七丈五尺
法以一和一較依化整法列位
[056-37b]
如法互乗 股同名減盡 弦異名併得二十二分
為法 數異名併得二十七丈五尺為實 法除實
得一丈二尺五寸為弦之一分以弦分母六乗其一
分得七丈五尺為弦 以弦之二分二丈五尺減共
五丈五尺餘三丈為股
論曰此以二十二為法也若以弦列于上則亦二十二
為法也而併分母是將以九為法矣豈不毫釐千里
乎
[056-38a]
以上數則皆不可併分母為法
問者或云甲乙倉粟不知數但知共二千石其甲二之
一與乙三之一等各若干
畣曰甲八百石 乙一千二百石
法以和較襍列位亦用化整為零
徧乗甲同減盡 乙異併五分為法 二千石無減
[056-38b]
為實 法除實為乙之一分 以乙分母三乗其一
分得一千二百石為乙倉 因適足故乙之一分猶
甲之一分也以甲分母二乗之得八百石為甲倉
論曰惟此有似于併母然實非併分母乃併得數之異
名者也又按併母法與方程不同
假如有倉粟取三之一又二之一共計二千石問原數
若干
畣曰原數二千四百石
[056-39a]
法以兩母互乗其子而併之得五為法 以兩母相
乗得六以乗二千石得一萬二千石為實 法除實
得二千四百石為原倉之粟
論曰此即併母法也因兩分子皆一故併母用之實併
兩分母互乗其子之數也盖既曰三分二分其原數
必可以三分之又二分之者也故以兩分母相乗得
[056-39b]
六借為原數之衰原數六則三之一即二也二之一
即三也併而用之借為所取之分如云取原數六分
之五而二千石也六分之五為二千石則其全數必
二千四百石矣此通分法非方程
設問之誤辨
算家設問以為規式意雖引而不發數則實而可稽苟
其稽之而無有真實可言之數則其意不能自明而
何以為式乎至其立法之多違于古皆以不深知算
[056-40a]
理而臆見横生又相因而必至也故以設問為之目
今將同文算指所載井不知深例考定如後餘如此者
尚多不能一一為辨也錢塘吳信民九章比類亦載/是例非同文創立也盖方程
之沿誤/久矣
問井不知深以五等繩度之用甲繩二不及泉借乙繩
一補之及泉用乙繩三則借丙一用丙繩四則借丁
一用丁繩五則借戊一用戊繩六借甲一乃俱及泉
其井深若干五等繩各若干
[056-40b]
原法曰列五行以五繩之數為母借繩一為子先取甲
二乗乙三得六以乗丙得二十四以乗丁得一百二
十以乗戊得七百二十併入子一共七百二十一為
井深積列位
一甲二 乙一 ○ ○ ○ 七百二十一
二○ 乙三 丙一 ○ ○ 七百二十一
三○ ○ 丙四 丁一 ○ 七百二十一
四○ ○ ○ 丁五 戊一 七百二十一
[056-41a]
五甲一 ○負一 ○負一 ○負一 戊六 七百二十一
乃取五行為主而以一二三四俱與相乗
先以一行甲二遍乗五甲甲一得二戊六得十二積/七百二十一得一千四百
四十/二
五行甲一亦遍乗一行對減甲得二減盡乙得一因/五行乙空立負一積七
七百二十一本數以減/五行仍餘七百二十一
次以二行乙三乗五行乙負一得負三戊正十二得/三十六積七百二十一得二
千一百/六十三
[056-41b]
五行乙負一亦乗二行乙三得三對減盡丙一得一/因五行丙空立負一積七百
二十一得本數併入五行/積共二千八百八十四
再以三行丙四乗五行丙負一得四戊正三十六得/一百四十四積二千八百八
十四得一萬一/千五百三十六
五行丙負一亦乗三行丙四得四減盡丁一得一因/五行丁空立負一積得本數
與五行對減餘一/萬○八百一十五
又以四行丁五乗五行丁負一得五戊正一百四十/四得七百二十積一萬○八
百一十五得五萬/四千○七十五
[056-42a]
五行丁負一亦乗四行丁五得五減盡戊一得一併/入五行戊正七百二十共七
百二十一積得本數併入五行積五萬四/千○七十五共五萬四千七百九十六
乃以最後所得求之以積五萬四千七百九十六為
實戊七百二十一為法除之得戊繩七尺六寸以減
四行總積七百二/十一餘六百四十五以丁五除之得丁
繩一丈二尺九寸以減三行積七百二十/一後同餘五百九
十二以丙四除之得丙繩一丈四尺八寸以減二行
積餘五百七十三以乙三除之得乙繩一丈九尺一
[056-42b]
寸以減一行積餘五百三十以甲二除之得甲繩二
丈六尺五寸
論曰此一例中有數誤 一者以末行為主而以一二
三四與之相乗此由不知和較交變而沿竒減偶加
之失誤一 一者謂末行有空故立負由不知有空
徑求而沿立負之非誤二 一者以除法命為井深
而設問不明言丈尺誤三 又輒立母逓相乗加借
子一之法誤四 一例中誤至數端將令學者何所
[056-43a]
措意乎
前之兩誤謂以未行為主而竒/減偶加反立負之法業于𤓰梨諸例辨之綦
詳可以互見今特明後兩誤之非具如後論
凡言百十者皆虚位也其實數以单位為端故单位為
寸則十者尺百者丈若单位為尺則十者丈百者十
丈若單位為丈則十者十丈百者百丈七百二十一
以為井深不知其所謂一者尺乎寸乎丈乎若七百
二十一尺七百二十一寸七百二十一丈相去甚懸
[056-43b]
然其為七百二十一者不殊也先不明言尺寸雖得
數何以命之
詳觀問意乃借井深以知各繩故井深者和數也在各
行中皆所列諸繩之共數必先知此共數然後以乗
減之法求之而各數乃見矣而不先言井深轉借各
繩以求之方程中無此法也故其所得但為七百二
十一之虚率而不能㫁其為丈尺何等亦固然耳
七百二十一亦非井深定率何也倍七百二十一則一
[056-44a]
千四百四十二若三其七百二十一則二千一百六
十三推之以至于無窮凡可以七百二十一除之而
盡者皆可以五等繩相借而及泉也故使其井為一
丈四尺四寸二分之深則戊繩必一尺五寸二分丁
繩必二尺五寸八分丙繩必二尺九寸六分乙繩必
三尺八寸二分甲繩必五尺三寸矣使其井為二十
一丈六尺三寸之深則戊繩二丈二尺八寸丁繩三
丈八尺七寸丙繩四丈四尺四寸乙繩五丈七尺三
[056-44b]
寸甲繩七丈九尺五寸矣皆甲二偕乙一若乙三則
偕丙一若丙四則偕丁一若丁五則偕戊一若戊六
則偕甲一而及泉故曰七百二十一非井深之定率
也
七百二十一者除法也以此為法除井深乗併之數而
得一繩因以知各繩即不得以此命為井深
除法法也井深實也而以法為實乎
以七百二十一為除法乃繩也如所求先得戊繩之數
[056-45a]
則此七百二十一者即是戊繩也其五萬四千七百
九十六者乃七百二十一戊繩之共數也以戊繩七
百二十一為法除其共數而得七十六則是一戊繩
之數也故七百二十一者繩也五萬四千七百九十
六者井深也假如一井深七丈二尺一寸則七十六/井共深五百四十七丈九尺六寸井無
此深乗併而有也數猶戊繩之/七百二十一亦以乗併而得也而顧以繩之積為井
深之積乎
假如井深一丈四尺四寸二分依法求之其為戊繩之
[056-45b]
共數必一百○九丈五尺九寸二分而其戊繩亦必
七百二十一以七百二十一為法除一百○九丈五
尺九寸二分得一尺五寸二分則一戊繩之數矣故
曰七百二十一者非井深也乃除法也繩也繩之為
除法者有定而其所除之井深無定也
又輒立母子乗併之法夫以各繩為母而借繩為子未
大失也盖于三繩中取一即是三之一于四繩取一
亦即四之一也乃謂七百二十一為母相乗而加借
[056-46a]
子則非也盖位既迭空除首位減去外皆母與相乗
乗子與相乗而不相遇至第四次乃相遇而又適當
其變為一和一較之時異名相併故得此數以為除
法耳固不得立此以為通法也
假如問五色方程而各行不空則和較之變多端豈預
知其減併即使各行有空如所列而或為較數則有
減而無併亦將以借子加之乎
又所加之一乃子相乗之數若遇借子為之二之三則
[056-46b]
皆不能徑用其原借之子數也故曰非通法也
今試以井深一丈四尺四寸二分者舉例如後
假如有井深一丈四尺四寸二分以甲乙丙丁戊五等
繩汲之皆不及泉若甲借乙三之一乙借丙四之一
丙借丁五之一丁借戊六之一戊借甲二之一皆及
泉問繩各長若干
法以帶分和數列位
上上 上下 中上 中下 下上 下下
[056-47a]
依空位省算先以一行與五行對乗 甲減盡 乙
一戊十二皆無對不減 和數餘一丈四尺四寸二
[056-47b]
分 乙在首行 戊與一丈四尺四寸二分在五行
分正負列之 和變較也 餘行無甲繩不湏減
徑以減餘與次行相對
依和較相襍法互乗 乙繩同減盡 丙一左/正戊三
十六右/負皆無減 和較數異併五丈七尺六寸八分
右負/左正 復變和數不分正負隔行異名/併故也
[056-48a]
依和數乗 丙繩減盡 丁繩一左/戊繩一百四十
四右/皆無減 和數減餘二十一丈六尺三寸右/又
復變和數也分正負列之
餘行又無丙繩徑以減餘與第四行相對
上 中 下
[056-48b]
依和較相襍乗 丁同減盡 戊異併七百二十一
為法 和較數異併一百○九丈五尺九寸二分為
實 法除實得一尺五寸二分為戊繩六之一 以
減共一丈四尺四寸二分得一丈二尺九寸為丁繩
五除丁繩得二尺五寸八分為丁繩五之一 以
減共一丈四尺四寸二分餘一丈一尺八寸四分為
[056-49a]
丙繩 四除丙繩得二尺九寸六分為丙繩四之一
以減共一丈四尺四寸二分餘一丈一尺四寸六
分為乙繩 三除之得三尺八寸二分為乙繩三之
一 以減共一丈四尺四寸二分得一丈○六寸為
甲繩 二除之得五尺三寸爲甲繩二之一 以
減共一丈四尺四寸二分得九尺一寸二分爲
戊繩
計開
[056-49b]
論曰此亦七百二十一為除法也減併之用與前無異
而井深既别繩數迥殊不先言丈尺何以定之
試又以較數明之
[056-50a]
今有數不知總其五人所分亦不知各數但云取乙三
之一以當甲取丙四之一以當乙取丁五之一以當
丙取戊六之一以當丁取甲二之一以當戊皆不足
七百一十九問若干
畣曰甲一千○三十四 乙九百四十五 丙九百
○四 丁九百二十五 戊一千二百三十六
法以較數列位
依帶分法化整爲零
[056-50b]
如法乗 甲同減盡 乙一左/負戊十二右/負皆無減
同名在隔行仍分正負 較數異併與戊同名 餘
行無甲徑以減餘對第三行
[056-51a]
如法乗 乙同減盡 丙一左/負戊三十六右/負皆無減
以隔行同名分正負 較數異併與戊同名 餘
行無乙徑以減餘對第四行
如法乗 丙同減盡 丁一左/負戊一百四十四右/負皆
[056-51b]
無減 以隔行同名分正負 較數異併仍與戊同
名 餘行無丙徑以減餘對末行
如法乗 丁同減盡 戊同減餘七百一十九為法
較數異併一十四萬八千一百一十四為實 法
除實得二百○五為戊之一分加正七百一十九共
九百二十五為丁數 五除丁數得一百八十五為
[056-52a]
丁之一分加正七百一十九共九百○四為丙數
四除丙數得二百二十六為丙之一分加正七百一
十九共九百四十五為乙數 三除乙數得三百一
十五為乙之一分加正七百一十九共一千○三十
四為甲數 二除甲數得五百一十七加負七百一
十九共一千二百三十六為戊數 六除戊數仍得
二百○六為戊之一分
計開
[056-52b]
論曰此其母與母相乗子與子相乗與前略同但末後
相遇為同減故不以七百二十一為法而以七百一
十九為法無他較數也若依母相乗而併子豈不誤
[056-53a]
哉
且四次乗減其下較皆異倂亦足見竒減偶併之非
又以法同而得數迥異者明之
今有數五宗不知其總但云以乙三之一當甲以丙四
之一當乙以丁五之一當丙以戊六之一當丁皆適
足若以甲二之一偕戊則共數七百二十一問各若
干
法以和較帶分列位 化整為零
[056-53b]
甲同減盡 乙一左/負戊一十二右/正皆無減 一千四
百四十一亦無減 隔行異名即同名也變為和數
重列之與次行對
[056-54a]
乙同減盡 丙一左/負戊三十六右/正四千三百二十六
右/正皆無減 皆隔行異名亦變和數重列與第三行
對
丙同減盡 丁一左/負戊三十六右/正一萬七千三百○
[056-54b]
四右/正皆無減隔行異名仍變和數重列與第四行對
丁同減盡 戊異併七百二十一為法 八萬六千
五百二十無減就為實 法除實得一百二十為戊
六之一即丁數 五除之得二十四為丁五之一即
丙數 四除之得六為丙四之一即乙數 三除之
得二為乙三之一即甲數 半之得一為甲二之一
[056-55a]
以減共七百二十一餘七百二十為戊數
計開
甲二 乙六 丙二十四 丁一百二十 戊七百二十
論曰此亦以七百二十一為法而其各數迥不相類則
以下數之為和為較迥不相同也然則井深者即和
數也而不先言其丈尺顧以除法命之可乎
又試以分子逓借而非之一者明之
今有甲乙丙丁船各十隻以載鹽九千七百七十六引
[056-55b]
俱不足若甲借乙一乙借丙二丙借丁三丁借甲四
則各能載問各船若干
法以和數列位
列後
[056-56a]
甲減盡 乙四右/丁一百左/皆無減 以兩行故分
正負 載鹽餘五萬九千八百五十六左/與丁同名
甲空與減餘對次行
乙同減盡 丙八左/正丁一千右/負俱無減 引異併六
十三萬八千四百六十四右負/左正異名在隔行復變和
數無正負 乙空以減餘對三行
[056-56b]
丙減盡 丁餘九千九百七十六為法 引餘六百
三十萬○四千八百三十二為實 法除實得六百
三十二引為丁船數 以丙借丁船三乗丁數得一
千八百九十六以減共九千九百七十六引餘八千
○八十丙所載也以丙十除之得八百○八引為丙
船數 以乙借丙船二乗丙數得一千六百一十六
[056-57a]
以減共九千九百七十六引餘八千三百六十乙所
載也以乙十除之得八百三十六引為乙船數
以乙船數減共九千九百七十六餘九千一百四十
甲所載也以甲十除之得九百一十四引為甲船數
計開各船每隻載數
甲船九百一十四引
乙船八百三十六引
丙船八百○八引
[056-57b]
丁船六百三十二引
論曰此四色方程逓借法與諸書所載馬騾載米同亦
與同文算指井不知深同但彼誤以除法為井深又
誤立各母逓乗加借子法故設此問以顯其理
此所用除法丁船九千九百七十六猶彼所用除法戊
繩七百二十一也乃除法也非井深也除法有定而
井深無定即如此問九千九百七十六之除法有定
而鹽之數無定也何言乎無定假如以九千九百七
[056-58a]
十六引而倍之則各船之所載亦倍矣以引數半之
船所載亦半矣然其除法之九千九百七十六如故
也若不先言引數何知之
共載九千九百七十六引者鹽數也以九千九百七十
六為法而除者船數也船為法者算家虚立之率鹽
列位者問者現據之實數數雖偶同為用逈别
以各原數為母借數為子是也如甲借乙船一而乙船
原有十即十分之一也謂母相乗而加借子一則非
[056-58b]
法也如此所用除法九千九百七十六何以處之又
如後條馬歩舟師各借二分者又何以處之數雖似
不可施之他數非通法矣
又試以三色例亦用異加得除法者觀之
假如有馬歩舟師不知數但云取騎兵五分之二益歩
取歩卒三分之二益舟取舟師七分之二益騎則皆
得六千七百八十名
畣曰歩卒四千五百名 騎兵五千七百名
[056-59a]
舟師三千七百八十名
法以和數帶分列位
依省笇以左行加二分之一 步卒減盡 騎二分
右/舟師十分○半左/皆無減 共數減餘三千三百
九十左/分餘兩行變較數也 以較數與舟師同名
[056-59b]
中行步卒原空徑以減餘作二色列之
依省算四因左行而退位 騎同減盡 舟師異併
十一分三釐為法 和較數異併六千一百○二為
實 法除實得五百四十為舟師之一分 以分母
七乗之得三千七百八十名為舟師數
以舟師數減共數六千七百八十餘三千所借步卒
[056-60a]
之二分也 二除之分母三乗之得四千五百為歩
卒數
以歩卒數減共數六千七百八十餘二千二百八十
所借騎兵之二分也 二除之分母五乗之得五千
七百名為騎兵數
論曰此雖以異加而得除法然不得竟以子之二加也
故以分子一加者非通法也
[056-60b]
厯算全書卷四十三