[053-1a] 
欽定四庫全書
厯算全書卷四十
宣城梅文鼎撰
方程論卷一
正名
名不正則言不順諸本方程皆以二色三色四色等分
欵立法而不分和較宜其端緒紛糾而説之滋謬也故
先正其名
[053-1b]
正名有四一和數二較數三和較雜四和較交變和
者無正負如只云某物如干某物如干共價如干以
問每物各價者是也較者有正負如云以某物如干
與某物如干相較多價如干或少價如干或相當適
足者是也雜者半有正負半無正負如一行云某物
某物各如干共價如干而其一行則又云以某物如
干較某物如干差價如干或價相當適足者是也變
者或先無正負而變為有正負或先有正負變而無
[053-2a]
正負三色以往重列減餘兼用兩行者是也
總論曰萬筭皆生于和較和較可以御萬算分合之義
也萬物之未形一而已矣一且未有况萬乎及其有
也有一則有二有二則有三自此以至于無窮而數
生焉矣和者諸數之合也較者諸數之分也分則有
差故謂之較較與和相求而法立焉矣故一與一和
則二也一與二和則三也一與二之較一也一與三
之較二也萬算雖多凖此矣故和較者萬算之綱也
[053-2b]
算之用至于句股方程至矣盡矣窺髙致逺探賾窮
幽無所不備然其用不出于和較且以方程言之凡
方程列位皆以下位為之端如所列下一位為上中
兩位之總價則和也若下一位為上中兩位相差之
價則較也較故分正負和故不分正負雖不立正負
然必以兩和互乘對減以得其差然後其數可得而
知矣故三色以往先無正負者有時而正負立焉故
方程之法以和求較而已矣較者易知和者難知和
[053-3a]
之中有較較之中又有較此萬數之所由生萬法之
所由起
和數方程例
方程用互乘對減與差分章貴賤相和法同但貴賤相
和有總物總價又有每物每價不過以帶分之故難
用匿價分身而變為換影之術耳方程則有總物總
價而無每數又有三色四色以至多色頭緒紛然自
非逓減何取之此古人别立一章之意也
[053-3b]
用法曰二色者任以一色列于上以一色列于中以總
價列于下于是以列上者為乘法左右互乘又互遍
乘中下得數左右對減其上一色必兩相若而減盡
其中一色對減必有相差之數下價對減亦必有相
差之數數相差則減不能盡于是取其餘數以為用
一為法一為實以法除實而得中一色每價乃以中
價乘原列中物得中物總價以中物總價減原列兩
色之總價得上物總價以原列上物除之得上一色
[053-4a]
每價若更以中一色列于上依法求之亦先得上/一色價矣故上中之位可以互更也詳見後
假如有山田三畝塲地六畝共折輸糧實田五畝七分
又有山田五畝塲地三畝共折實田五畝五分問田
地每畝折實科則各如干
畣曰每山田一畝折實田九分每地一畝折實田三
分畝之一
法各列位
上 中 下
[053-4b]
先以右上田三畝為法遍乗左行得數
次以左上田五畝為法遍乗右行得數 上位各得
田十五畝對減盡 中位左得地九畝去減右行三
十畝餘地二十一畝為法下位左折田得十六畝五
分去減右行二十三畝五分餘折田七畝為實 以
法除實不滿法約為三之一為地每畝折實田之數
[053-5a]
地一畝折田三分三釐三毫/不盡即地三畝折田一畝也 就以右行折實田共
四畝七分内除原地六畝折實田二畝餘二畝七分
以右上田三畝除之得九分為田每畝折實之數或/以
左行折田内減左原地三畝該折實田一畝餘四畝/五分以左上田五畝除之亦得九分為田每畝折實
之/數
論曰以右上田三畝遍乘左行得數是各三之也為五
畝田者三畝三畝地者三則為田地共折實五畝五
分者亦三也
[053-5b]
以左上田五畝遍乘右行得數是各五之也為三畝
田者五為六畝地者五則為田地折實共四畝七分
者亦五也
于以對減而上位田各十五畝減而盡則其數同也
惟中位地餘二十一畝在右行則是右行之地多于
左行之地二十一畝也
而下位折實數亦餘七畝在右行則是右行折實之
數亦多于左行折實之數七畝也
[053-6a]
合而觀之此所餘折實七畝者正是餘地二十一畝
之所折也
此以田地問折數故以地二十一畝為法折七畝為
實也若以折數問原田地則以折七畝為法地二十
一畝為實法除實得每折一畝原地三畝于是以右
地六畝折二畝減折四畝七分餘二畝七分為法除
右田三畝得每折一畝原田一畝又九分畝之一即
一分一釐一毫一一不盡也
[053-6b]
若更置以地列于上則先得田折數如後圖
上 中 下
先以左上地三畝遍乗右行得數
次以右上地六畝遍乗左行得數 上位各得地十
八畝對減盡 中位左得田三十畝内減去右得九
畝餘二十一畝為法 下位折田左得三十三畝内
[053-7a]
減去右得十四畝一分餘十八畝九分為實 以法
除實得九分為田每畝折實數
就以右田三畝折二畝七分減右折實共四畝七分
餘二畝以右上地六畝除之不滿法命為三分畝之
一為地每畝折實數或于左行折實五畝五分内減/去左田五畝該折四畝五分餘
一畝以左地三畝除之亦/得地折實每畝三之一
論曰以右上地六畝遍乗左行是各六之也為三畝地
者六為五畝田者六為地三畝田五畝之折實田共
[053-7b]
五畝五分者亦六也以左上地三畝遍乗右行是各
三之也為地六畝者三為田三畝者三為地六畝田
三畝之折實共四畝七分者亦三也以之對減而地
在上位者各十八畝既對減而盡則其各十八畝之
折實在折實共數中者亦必對減而盡也田在中位
者既對減去九畝而僅餘左行之二十一畝則其各
九畝之折實在共數中者亦必對減而盡也由是以
觀則其所餘之左下折田十八畝九分正是左中餘
[053-8a]
田二十一畝之所折也故以餘田二十一畝為法而
以餘折田十八畝九分為實即田之折數可知知田
數知地畝矣
若以折問田畝則一十八畝九分折為法二十一畝
田為實實如法而一得每折一畝原田一畝又九分
之一于是以分母九通右行田三畝得二十七分而
以一畝又九分之一共一十分為法除之得二畝七
分以減共折四畝七分餘折二畝以除右地六畝得
[053-8b]
每折一畝原地三畝以上二色例也三色四色以至/多色凡和數者皆同但須重例
減餘以求之今不悉/具于後諸條中詳之
較數方程例
凡較數方程分正負之價與盈朒畧同但盈朒章有盈
朒又有出率方程則但有總物與盈朒而無每出之
率又兼數色所以不同又盈朒者是有每率而不知
總所言盈朒適足是總計所出以與原立總價相較
之數也方程正負則是兩總物自相較之數若不立
[053-9a]
正負則下價之與上物不知其孰為同異矣此正負
之法異于盈朒也負與正對所以分别同異盖對數/之所餘即正數之所欠故謂之負
與負責之負畧相似老子言萬物負陰而抱陽盖正/即正面負即反面也開方法有負隅言隅之空隙也
郭太史厯經三差法有負減言反减也本于平差内/減去立差今立差反多于平差故于立差内反減平
差是為負减兼此數端/而正負之義可見矣
法曰任以一色為正則以相當之一色為負此據二色/者言之三
色以上或以一色與多色相當或以/多色與多色相當其法皆同二色正物之價多為
正價負物之價多為負價正與負為異名異名相併
[053-9b]
正與正負與負為同名同名相減
首位同名者仍其正負不變首位同數同名即/可減去此正法也
首位異名變其一一以相從首位亦同數但不同名/故變而同之則亦同數
同名而可減盡矣首位既變則其行内皆從而變此/通法也盖必如是則同減異加始歸畫一而于和較
交變之用/尤便也
其法皆于互乗時以得數變之蓋減併只用得數也
只變一行其相對之行不必再變二色三色以至多
色並同何也三色以上行數雖多而乘併之用皆以
[053-10a]
各相對之一行論同異即同二色之理
論曰和數方程有減無併皆同名故也較數方程有減
有併或同名或異名也減併者方程之綱要正負淆
則同異之名混而併減皆失矣今諸本所言正負同
異誃離舛錯雖加減得數皆偶合耳西人論句股三
角八線割圜幾何原本可謂詳矣矣至方程增立諸
率亦復草草未窮其故也
用法曰以一色列于上以相當之一色列于中任以一
[053-10b]
色為主而分正負此亦以二色為例三色以上皆以/兩相當者主其一以分正負皆與
二色/法同
以兩色相較之價列于下以正物為主而分同異或
正物所多之價命之為正或正物所少之價命之為
負正物之所少即/負物之所多或正物負物之價兩相若命之適
足則空位列之亦以列上位者為乘法左右互乘遍
乘中下以首位為主而變正負得數對減其上一色
必數相若且又同名而減盡中一色與下價或同名
[053-11a]
或異名異名者併之同名者對減取其減併之數以
為用一為法一為實以法除實得中一色每價以原
列中物乗之得中物總價以與原列下價同名相減
異名相併得數以原列上物除之得上一色每價其/上
中亦可/互求
假如以研七枚換筆三矢研多價四百八十文若以筆
九矢換研三枚筆多價一百八十文問筆研價各如
干
[053-11b]
畣曰筆每矢價五十文 研每枚價九十文
法各列位
上 中 下
先以左行研負三遍乗右行得數首位異名須變一/行以相從故研正
變為負筆負變為正價正/變為負皆于得數變之
次以右行研正七遍乗左行得數右行既變則左行/不必再變故研負
[053-12a]
筆正價正/皆仍舊
于是以上研各負二十一同名相減盡 次以中筆
兩正同名相減餘五十四為法 再以下價左正右
負異名相併得二千七百為實 以法除實得五十
文為筆價 以左行筆正九乘筆價得四百五十内
減同名價一百八十餘二百七十以左研負三除之
得九十為研價或以右筆負三共價一百五十加異
名價正四百八十共六百三十以右研七除之亦得
[053-12b]
研價九十
論曰左行原是九筆多于三研一百八十文乘後得數
則是六十三筆多于二十一研共一千二百六十文
也右行原是七研多于三筆四百八十文乘後得數
則是九筆少于二十一研一千四百四十文也于是
以兩行得數較之上位研負二十一兩行盡同研之
數同則其價亦同惟中位筆數左行多五十四枝則
是左行筆多價一千二百六十文者以多此五十四
[053-13a]
筆而右行筆少價一千四百四十文者以少此五十
四筆也夫右行筆價原少于二十一研者一千四百
四十文以左行多五十四筆而反多于二十一研者
一千二百六十文是此五十四筆既補却右行之所
少而仍多此數也故併右行之所多共此二千七百
以為五十四筆之價知筆價知研價矣
若先求研價者以研列中為除法以筆列上為乗法
如後圖
[053-13b]
問者或云筆三矢換研七枚少價四百八十文又有研
三枚以換筆九矢少價一百八十文則其下價為兩
負四百八十是筆少于研之價/一百八十是研少于筆之價
先以左行筆負九徧乗右行得數首位異名宜變一/行故其正負皆更
之/
次以右行筆正三徧乗左得數右變則左不變/故正負皆仍之
[053-14a]
于是以得數較其同異而為之減併 筆各負二十
七同名減盡研正同名相減餘五十四為法 價正
負異名併得四千八百六十為實 實如法而一得
九十為研價 以研價乗左正研三得二百七十異
加價負一百八十共四百五十以左負筆九除之得
五十為筆價或以右研七價六百三十與價四百八
十同減餘一百五十以筆三除之亦得筆價五十
論曰左行原是研三少于筆九者一百八十文乗後得
[053-14b]
數則是九研少于二十七筆者五百四十文也 右
行原是三筆少于七研者四百八十文乗後得數則
是六十三研多于二十七筆者四千三百二十文也
夫兩行筆皆二十七則其價同也而右行研價多于
筆四千三百二十文左行研價反少于筆五百四十
文是兩行研價相差者共四千八百六十文也推求
其説則只是兩行中相差五十四研之故也故減去
相同之筆用此相差之研以除此相差之研價而每
[053-15a]
研之價可知矣
若如難題所列以研為正筆為負問者當云以七研
換三筆研多價四百八十以三研換九筆研少價一
百八十文則價右正左負難題係/書名
左右研正徧乗得數首位本同名故/其正負皆不變研減盡筆餘五
十四為法價異併二千七百為實法除實得筆價以
[053-15b]
次得研價如前若以筆為正研為負則其價右負左
正
依法先得研價如第一圖
以前四圖或以筆為正或以筆為負或以研為正或
以研為負或以價為兩正或以價為兩負或以價為
一正一負其所呼正負之名無一同者要其為同異
[053-16a]
加減之用則一也
試以一行中同異言之其左行之價必與筆同名何
也左行之價乃筆多于研之數也故與筆同名而與
研異名也 其右行之價必與研同名何也右行之
價乃研多于筆之數也故與研同名而與筆異名也
試以兩行中同異言之其上位皆減盡其中位皆相
減為法其下價皆相併為實其減也皆以同名其研
也皆以異名 此下價異併例也
[053-16b]
假如有大小餘句不知數但云倍小餘句以當三大餘
句則不及一丈五尺三寸若倍大餘句則如七小餘
句
畣曰大餘句六尺三寸 小餘句一尺八寸
法以正負列位
先以左小餘句負七徧乗右得數首位異名宜變以/相從故小句變負
[053-17a]
大句下負/數皆變正
次以右小餘句正二徧乗左得數右行既變則此行/不變下適足無乗
亦無/正負 乗訖乃較之 小餘句各十四同減盡 大
餘句同減餘一十七為法 下正數十丈零七尺一
分無對不減就為實 以法除實得六尺三寸為大
餘句 乃置左行二大句該一丈二尺六寸以左行
相當適足之七小句除之得一尺八寸為小餘句或/用
右行三大句該一丈八尺九寸以同名負一丈五尺/三寸減之餘三尺六寸以右行二小句除之亦得一
[053-17b]
尺八/寸合問
論曰以左小句徧乗右是各七之也為小句二大句三
者七其相較之數亦七也 以右小句徧乗左是各
二之也為小句七大句二者二其相當適足者亦二
也但以首位必同名然後可減故以右小句正變而
為負以從左名也小句變為負則所與相較之大句
不得不變而正矣 于是小句同減盡大句同名減
去四餘右行正十七下較數無減仍餘十丈○七尺
[053-18a]
一寸然則此所餘者正是減餘大句之數矣何也小
句十四左右皆同若只如左行四大句則與小句相
當適足矣而今右行獨餘此較數者非以右多十七
大句之故乎
試以大句列于上則先得小句如後圖
如法左乗右更其正負 右乗左仍其正負 大句
[053-18b]
同減盡 小句同減餘正一十七在左行為法 下
較數負三丈○六寸在右行無對不減就用為實以
法除實得一尺八寸為小句 就以左行小句七該
一丈二尺六寸以左相當適足之大句二除之得六
尺三寸為大句或于右行正一丈五尺三寸加異名/小句負二該三尺六寸共一丈八尺
九寸以右大句三除/之亦得六尺三寸
論曰左行原是小句七以當大句二適足今以右大句
乗而各三之則是小句二十一以當大句六而亦適
[053-19a]
足也 右行原是大句三以當小句二而大句多一
丈五尺三寸今以左大句乗而各二之則是大句六
以當小句四而多三丈○六寸也 以兩行之得數
較之大句既減盡惟左行之小句餘一十七則是左
行得數所以相當適足者以多此十七小句之故而
右行小句得數小于大句三丈○六寸者以少此十
七小句之故也然則此三丈○六寸者正是十七小
句之數也依此論可見左行之所多即右行之所/少故左行名正者用于右行即為負而
[053-19b]
隔行之異名/即為同名
此下較無減例也
假如有大小方積不知數但云一大方積以當二小方
積多數八十九若以三大方積當七小方積仍多二
百五十一
畣曰大方積一百二十一 小方積一十六
法以正負列位
上 中 下
[053-20a]
先以右大積一徧乗左行皆如原數 次以左大積
三徧乗右行得數首位同名故兩/行正負皆不變 大積同減盡
小積同減餘一為法較數同減餘一十六為實 法
除實仍得一十六為小積 以右行小積負二該三
十二加異名正八十九共一百二十一為大積或以/左行
小積負七該一百一十二加異名正二百五十一共/三百六十三以左大積三除之亦得一百二十一為
[053-20b]
大/積
論曰左行原是大積三多于七小積者二百五十一乗
後得數亦同 右行原是大積一多于二小積者八
十九乗後得數則是大積三多于六小積者二百六
十七也 于是以兩行對勘其大積既減盡惟小積
左行餘負一其下較數則右行餘正十六夫此十六
數者與大積同名是右行大積之數也右行少一小
積而大積之盈數多十六左行多一小積而大積之
[053-21a]
盈數少十六然則此十六數者正是此一小積之數
矣若以小方積為正則其下較數為兩負皆小積所/少之數也
故皆/為負
上 中 下
依法徧乗對減餘大積一為法 餘負一百二十一
為實 法除實不動就以一百二十一為大積 右
[053-21b]
大積一該一百二十一同名減負八十九餘三十二
以小積二除之得一十六為小積
此是右行多一大方積故多一同名之數一百二十
一同在一行易知不須重論
以上二圖正負所呼迥異然所同者兩行之較數皆
與大方積同名何也皆大方積多于小方積之數故
與大方積同名而與小方積異名也
此下較同減例也
[053-22a]
總論曰凡較數方程原列較數是本行中正與負之較
也其乗後得數同減異加而得者則是兩行中正與
正之較或負與負之較也故本行中以異名相較而
兩行對減或加是以兩行之同名相較
假如原列較數與正物同名是正多于負之較也若列
較與負同名是負多于正之較也故曰本行中異名
相較也
假如乗後得數而兩行之較數皆與正物同名則兩較
[053-22b]
亦自同名乃以之對減而餘在一行則知此一行正
物必多于對行之正物而其所多之數即如此所餘
之較數矣
假如兩行較數皆與負物同名則兩較亦自同名以之
對減而餘在一行則知此一行負物必多于對行之
負物而其所多之數正是此所餘之較數矣此同名
相減之理也
假如右行較數與正同名而左行較數却與負同名則
[053-23a]
一是正多于負之數而一是負多于正之數也夫正
與負原相待負多于正之數即正少于負之數也于
是用異名相加法以左行負多于正之數變為正少
于負之數以相併則知右行之正數必多于左行之
正物而其所多幾何正是此兩較之併數矣此異名
相加之理也
合同減異併而觀之總是兩行中同名相較也
又論曰較數方程以兩相較而為用雖有三色四色乃
[053-23b]
至多色其相較也必兩此正負所由立也立正負以
别同異猶彼我也夫彼我者豈有一定之稱哉以此
為正則以彼為負若以彼為正則此反為負矣正負
之相呼猶彼我之相視也故曰無定雖然無定者正負
有定者同異其無定者在未立正負之先其有定者
在既立正負之後既以一為主則同乎此者皆同名
異乎此者皆異名矣是故無定而實有定也
今試以所列方程最下位觀之其言正負者必上物
[053-24a]
之較數也不言正負者必上物之和數也較數有盈
有朒有適足和則否
假如下價盈則為正正與正同名試於正物價之中減
去下同名正價之盈則所餘之價必與負物之價相
當矣 正與負異名試又取上負物之價以加下異
名正價則又必與正物之價相當矣
假如下價朒則為負正物之朒負/物之盈也負與負同名試於負
物價之中減去下同名負價則所餘之價必與正物
[053-24b]
之價相當矣 負與正異名試又取上正物之何以
加下異名負價又必與負物之價相當矣
假如下價適足空位無盈朒則其上正負物價必自相
當
又論曰正負之術分别同異全在有交變之法以通其
窮要其為用惟在使兩行之首位同名而已何也方
程以互乗遞減立法每乗一次即減去一色然惟和
數則一乗之後即可對減若較數則有同數而不同
[053-25a]
名之時若不減首位即不成方程若徑以異名而減
勢必以同名而併法不畫一而于後條和較交變之
時益混淆而難用故以法變之使首位之同數者無
不同名而仍為同名利減焉首位既以同名減則凡
減者皆同名凡併者皆異名而其法畫一矣故首位
既變則行内之正負皆變何也從首位也行内之正
負既皆從首位而變由是而原與首位同名者皆與
隔行之首位同名也原與首位異名者即與隔行之
[053-25b]
首位異名也如此則隔行之同減異併亦清矣正負
猶陰陽也牝牡也各行中各有正負猶兩儀之生四
象也乗而交變猶剛柔相推而生變化也隔行之正
本行以為負隔行之負本行以為正真陰真陽互居
其宅也同名相減者陰陽之偏不得其配也異名相
併者陰陽得類雌雄相食也是皆有自然之理焉可
以思古人立法之原矣
以上亦以二色者舉例三色以上乃至多色正負/之用尤顯詳具諸卷中兹不贅列然其理著矣
[053-26a]
和較相襍方程例
方程之用以御隠襍妙在襍與變知其襍則襍而不用
矣知其變則變而不失其常矣諸書所論胥未及此
故求之甚詳去之愈逺也
用法曰凡方程和較襍者和較從和法列之不立正負
較數從較法列之明立正負 其偏乗得數後在
較數行中者仍其正負之名在和較行中者皆變從
乗法之名和數原無正負則無可變但乗後得數取/其與較數之首位同名而已首位既同名
[053-26b]
下不得不/同名矣
凡兩較者下價或有減有併而中物只同減若一和
一較者下價亦有減有併而中物皆異併此以兩色
言之三色以上隨數通變皆以同異名御之
假如有大小句不知數但云三其大句倍其小句共三
丈三尺若倍大句則如六小句問若干
畣曰大句九尺 小句三尺
法以一和一變列位適足者以相較而/得名即同較義
[053-27a]
右行和數也不立正負 左行較數也明立正負
右乗左而三之和乗較也故其正負皆如故
左乗右而二之較乗和也故得數皆為正從乗法之
名也 如法遍乗訖以兩行對勘 大句同名相減
盡 小句異名相併得二十二為法 正數六丈六
尺無減就為實 法除實得三尺為小句 以左行
[053-27b]
小句六共一丈八尺為實以大句二為法除之得九
尺為大句或于右行共三丈三尺内同減小句二共/六尺餘二丈七尺以大句三除之亦得九
尺/
論曰右行大句三小句二共三丈三尺乗後得數則是
六大句四小句共六丈六尺也 左行大句二小句
六其數相當乗後得數則是六大句十八小句亦相
當適足也 于以對減而兩大句同減盡則其數同
也而右行正數猶有六丈六尺左則無有其故何也
[053-28a]
右行正數中有小句四而左則無且不惟無之而
已其相對之負數反有十八小句焉是左行正數
又自除却十八小句之數也右行正數多四小句
左行正數又自除却十八小句則是右行正數之
多于左行正數者二十二小句也故併此二十二
小句為右行所多之正物其六丈六尺則右行之
正數也以正物除正數而小句可知知小句知大
句矣
[053-28b]
又細攷之六大句合四小句共六丈六尺則以與六
大句相當之十八小句合四小句亦必六丈六尺也
此亦西儒比例之理而以同異名盡之可見古人用
法之簡快試更列之以小句居上則先得大句亦同
上 中 下
先以右小句二徧乗左行得數和乗較也故/仍其正負
[053-29a]
次以左小句六徧乗右行得數較乗和也故皆命/為負與乗法同名兩
小句同減盡 兩大句異併二十二為法 負數十
九丈八尺無減就為實法除實得大句九尺 以右
行大句三該二丈七尺減共三丈三尺餘六尺以小
二句除之得小句三尺
論曰小句互乗之後則其數同也小句數同則負數亦
同而右行之負數獨有十九丈八尺左則無有者以
右之負數中有大句十八而左則無不惟無也其所
[053-29b]
對之正數中反有大句四是左行負數中又原少四
大句也右負數多十八大句左負數少四大句是右
之負數多于左之負數者共二十二大句也然則右
之負數獨有此十九丈八尺者正是此二十二大句
之數也
此和數與適足偕也
假如有江湖兩色船載物不知數但云江船五以較湖
船一則江多二千八百石江船三湖船五則共載二
[053-30a]
千八百石問船力若干 畣曰江船六百石 湖船
二百石
法以一和一較列位
如法左右徧乗得數
江船同減盡 湖船異併二十八為法 載物同減
餘五千六百石為實 法除實得二百石為湖船數
[053-30b]
以湖船數加右行異名正二千八百共三千石以
右江船五除之得江船數六百石或以湖船五共一/千石同減左行二
千八百石餘一千八百石以/左江船三除之亦得六百石
論曰徧乗後江船數同則其載數亦同今以兩正數相
減而左多五千六百者以左正數中有湖船二十五
而右則無不惟無也其所對之負數中反有湖船三
是右行正數中又自少三湖船也左多二十五右少
三是左正數多于右數者共二十八湖船也然則左
[053-31a]
之正數獨多五千六百者正此二十八湖船之數也
此和數偕一正也負亦同
和變交變方程例
凡方程三色以上以減餘重列則有和變較較變和者不可不
察也 若非和較之襍則二色方程之中物有減無併矣若
非和較之變則三色四色方程和數者有減無倂矣夫
和數較數非自我命之名也其下價之為和為較不可誣也
用法曰和變較者但和數減餘有分在兩行者兼而用
[053-31b]
之即變較數也 和既變較即以較數法列之其法
以一行之餘數命為正以一行之餘數命為負 其
下餘價以與中位餘物同在一行者即為同名從其
正負而命之 若下價減盡無餘者命為適足
若減餘只在一行者無變也只用和數法
較變和者但視較數減餘或有一行内皆正或皆負
者即變和數也即如和數法列之不立正負其較數/異併者
以一行為主而以隔行之/之異名從本行為同名
[053-32a]
若減餘行内有正負者無變也只用較數法
若有兩異併而一位左正右負一位右正左負亦仍
為較數不變雖減餘分在兩行而一行餘正物一行
餘負物亦和數也何也隔行之異名乃同名也
若減餘同名而分餘于兩行即仍為較數不變何也
隔行之同名乃異名也
若兩異併皆左正右負或皆左負右正亦和數也
和較重列有俱變為較者有只變一行為較而餘行
[053-32b]
如故者較數重列有俱變為和者有只變一行為和
而其餘如故者皆如上法以和較襍列之
若四色以上有和變較較復變和者有較變和和復
變較者皆以前法御之
假如以衡校弓弩之力但云大神臂弓二弩九小弓二
共重七百一十斤又有神臂弓三弩二小弓八共五
百二十五斤又有神臂弓五弩三小弓二共五百一
十五斤問各力
[053-33a]
畣曰大神臂弓力五十五斤 弩力六十斤 小弓
力三十斤
法先以和較列位凡三色者可任以一行為主與餘二/行數相乗而減併之故前後之行可
互更也詳/見第三卷
先以中行神臂弓二為法徧乗左右得數此以中行/為主與左
[053-33b]
右互乗取其行間/易為減併之用也
次以右行神臂三徧乗中行得數與中行對減 神
臂弓中右各六對減盡 中弩二十七内減去右弩
四餘二十三中行/餘也 中小弓六去減右小弓十六餘
十右行/餘也 中力二千一百三十内減去右一千○五
十餘一千○八十斤中行/餘也
以上減餘分在兩行已變較數矣即用較數之法分
正負列之而以弩與力命為同名弩與力同在/中行故也
[053-34a]
次以左行神臂五徧乗中行得數而以中左兩行對
減 神臂弓各十減而盡 中弩得四十五内減去
左行弩六餘三十九
中行小弓得十内減去左小弓四餘六 中力得三
千五百五十内減去左一千○三十餘二千五百二
十斤
以上減餘俱在中行仍為和數也不分正負
論曰此和數方程變為一和一較也何也中右得數兩
[053-34b]
大弓減盡則其力相若也弩數相減而餘在中行是
中行之弩力多于右行也小弓相減而餘在右行是
右行小弓之力多于中行也弩力中多于右小弓力
右多于中而今共力相減惟中多一千○八十斤則
是此一千○八十斤者非餘弩餘弓之共數而餘弩
所多于餘弓之較數也雖欲不分正負不可得也
如中左對減而餘弩餘小弓俱在中行則中行之餘
力二千五百二十斤者仍為餘弩餘小弓共數無正
[053-35a]
負之可分也故以此兩減餘者依和較雜法重列而
求之
如前對減既于共力中清出首一色大神臂弓不與
弩小弓雜矣然所餘之力尚為弩小弓共數與其較
數而未能分别此二色之每數也故必重測
依和較雜法以左右餘弩互徧乗得數左乗右和乗/較也故仍其
[053-35b]
正負右乗左較乗和也故/變從乗法之名皆曰正
弩同減盡 小弓異併五百二十八為法 力同減
餘一萬五千八百四十為實 法除實得三十斤為
小弓力 以小弓力乗右行餘小弓十得三百斤異
如力正一千○八十斤共一千三百八十斤以餘弩
二十三除之得六十斤為弩力或于左行共力二千/五百二十斤内同減
小弓六該一百八十斤餘二千三百四十斤以餘弩/三千九除之得六十斤亦同即此可見兩減餘之為
一和/一較乃于原列任取右行八小弓力二百四十斤二
[053-36a]
弩力一百二十斤以減共力五百二十五斤餘一百
六十五斤以大神臂弓三除之得五十五斤為大神
臂弓力
論曰兩弩正數同而其力不同者小弓之故也左行和
數也是弩偕小弓之力也右行較數也是弩力中減
去小弓之力而餘者也合而觀之則是左行之弩力
有小弓一百三十八以為之益而右行之弩力反減
去小弓三百九十然則左行正數之多于右行者凡
[053-36b]
共差小弓五百二十八而左行正數所以多于右行
一萬五千八百四十斤者正是此小弓五百二十八
之力也
凡此減餘之數亦可互求若更置之以小弓列上則
先得弩力如後圖
上 中 下
[053-37a]
依法右左徧乗得數左乗右和乗較也故仍其正負/右乗左較乗和也故變從乗法
之名皆名/之曰負
小弓同減盡 弩異併得五百二十八為法 力異
併得三萬一千六百八十為實 法除實得六十斤
為弩力 以弩力乗右行弩二十三得一千三百八
十斤同減正一千○八十斤餘三百斤以小弓十除
之得小弓力
論曰兩小弓同名負其數既同而左行負數之力有若
[053-37b]
干右則無之而且反小于正數之力若干者何也以
左行負數中有弩三百九十右則無之而其所對之
正數反有弩一百三十八以為之除算則是左負數
之多于右者共五百二十八弩也右負數少此五百
二十八弩而正數力遂多六千四百八十斤左負數
多此五百二十八弩則不但補却右行之所少而又
自有力二萬五千二百斤然則左行共多于右三萬
一千六百八十斤者正是此五百二十八弩之力也
[053-38a]
此三色和變較例也四色以上襍/見諸卷中
問有甲乙丙三數甲加七十三得為乙丙數者倍乙加
七十三得為甲丙數者三丙加七十三得為甲乙數
者四其本數各幾何 畣曰甲七 乙十七 丙廿三
法先以較數列位
[053-38b]
先以中行甲正一遍乗右左得數皆如故只變中行/故兩行之
正負俱不變又是一數/為乗法故數亦不變
次以右行甲負三徧乗中行次以左行甲負四徧乗
中行各得數左右既省不變故變中行以從/之首位變負下三位俱變正
次以中右得數相減併 甲同減盡 中乙得正六
同減左得正一餘正五 中丙得正六異併右得負
三共得正九中較數得正二百一十九異併右負七
十三共得正二百九十二
[053-39a]
次以中左得數相減併 甲同減盡 中乙得正八
異併左得負四共得正十二 中丙得正八同減左
得正一餘七正 中較數得正二百九十二異併左
負七十三共得正三百六十五以上減併之數皆同
名又皆在一行知已變為和數重列之不分正負依/此
顯雖同名而或乙正在中丙正在左即不/得變和數也何也左行之正中行之負也
論曰此較數變為和數也以中右之得數言之中行六
个乙六个丙共多于三个甲者二百一十九右行一
[053-39b]
个乙少于三个甲三个丙者七十三于是兩相對較
則兩行之甲皆三个其數本同而中行之乙丙多于
甲二百一十九者因中行之乙多于右行之乙者五
个又有同名之丙六个以益之而中行之甲又非若
右行之甲與三个丙同名是又少三个丙也夫甲股
内少則乙丙股内多合而觀之則是中行之乙丙股
内共多五个乙九个丙而右行之乙股内共少此五
个乙九个丙也夫中行之乙丙股内多五个乙九个
[053-40a]
丙便多于三个甲者二百一十九右行之乙股内少
五个乙九个丙則不惟不多而反少于三个甲者七
十三然則併此多二百一十九少七十三共二百九
十二者正是此五个乙九个丙之共數而非其較數
也故不分正負
又以中左之得數言之中行正數是八个乙八个丙負
數是四个甲而正數多者二百九十二左行正數是
一个丙負數是四个甲四个乙而正數少者七十三
[053-40b]
于是兩相對勘則兩行負數之甲皆四个其數本同
惟中行之正數内比左正數多七个丙又加八个乙
而中行之負數又比左負數少四个乙合而觀之是
中行之正數比左行共多十二个乙與七个丙而左
行之正數比中行共少十二个乙七个丙也然則中
行正數之多于負數二百九十二者以多此十二个
乙七个丙而左行正數之反少于負數七十三者以
少此十二个乙七个丙也則是併此多二百九十二
[053-41a]
少七十三之數共三百六十五者正是此十二个乙
七个丙之共數而非其較數也故亦不分正負
如法以乙數左右互徧乗得數相減無正負故/有減無併
乙減盡 丙減餘七十三為法 下位餘一千六百
七十九為實 法除實得二十三為丙數以丙數
乗左行 丙七得一百六十一以減共三百六十
[053-41b]
五餘二百○四以左乙十二除之得一十七為乙數
又以乙數異加原列右行負七十三共九十内減原
右行丙三該六十九餘二十一以原右行甲三除之
得七為甲數
論曰此同文算指所立疊借互徵設問之一也原法繁
重今改用方程簡易如此
此所設問三色方程耳以西術求之已不勝其難况
四色以往乃至多色乎此亦足見方程之不可廢而
[053-42a]
古人别立一章之誠有實用也
此三色較變和例也 四色以往至于多色則其變
益多要不出于和較例具後諸卷中兹不詳列
[053-42b]
厯算全書卷四十
欽定四庫全書
厯算全書卷四十
宣城梅文鼎撰
方程論卷一
正名
名不正則言不順諸本方程皆以二色三色四色等分
欵立法而不分和較宜其端緒紛糾而説之滋謬也故
先正其名
[053-1b]
正名有四一和數二較數三和較雜四和較交變和
者無正負如只云某物如干某物如干共價如干以
問每物各價者是也較者有正負如云以某物如干
與某物如干相較多價如干或少價如干或相當適
足者是也雜者半有正負半無正負如一行云某物
某物各如干共價如干而其一行則又云以某物如
干較某物如干差價如干或價相當適足者是也變
者或先無正負而變為有正負或先有正負變而無
[053-2a]
正負三色以往重列減餘兼用兩行者是也
總論曰萬筭皆生于和較和較可以御萬算分合之義
也萬物之未形一而已矣一且未有况萬乎及其有
也有一則有二有二則有三自此以至于無窮而數
生焉矣和者諸數之合也較者諸數之分也分則有
差故謂之較較與和相求而法立焉矣故一與一和
則二也一與二和則三也一與二之較一也一與三
之較二也萬算雖多凖此矣故和較者萬算之綱也
[053-2b]
算之用至于句股方程至矣盡矣窺髙致逺探賾窮
幽無所不備然其用不出于和較且以方程言之凡
方程列位皆以下位為之端如所列下一位為上中
兩位之總價則和也若下一位為上中兩位相差之
價則較也較故分正負和故不分正負雖不立正負
然必以兩和互乘對減以得其差然後其數可得而
知矣故三色以往先無正負者有時而正負立焉故
方程之法以和求較而已矣較者易知和者難知和
[053-3a]
之中有較較之中又有較此萬數之所由生萬法之
所由起
和數方程例
方程用互乘對減與差分章貴賤相和法同但貴賤相
和有總物總價又有每物每價不過以帶分之故難
用匿價分身而變為換影之術耳方程則有總物總
價而無每數又有三色四色以至多色頭緒紛然自
非逓減何取之此古人别立一章之意也
[053-3b]
用法曰二色者任以一色列于上以一色列于中以總
價列于下于是以列上者為乘法左右互乘又互遍
乘中下得數左右對減其上一色必兩相若而減盡
其中一色對減必有相差之數下價對減亦必有相
差之數數相差則減不能盡于是取其餘數以為用
一為法一為實以法除實而得中一色每價乃以中
價乘原列中物得中物總價以中物總價減原列兩
色之總價得上物總價以原列上物除之得上一色
[053-4a]
每價若更以中一色列于上依法求之亦先得上/一色價矣故上中之位可以互更也詳見後
假如有山田三畝塲地六畝共折輸糧實田五畝七分
又有山田五畝塲地三畝共折實田五畝五分問田
地每畝折實科則各如干
畣曰每山田一畝折實田九分每地一畝折實田三
分畝之一
法各列位
上 中 下
[053-4b]
先以右上田三畝為法遍乗左行得數
次以左上田五畝為法遍乗右行得數 上位各得
田十五畝對減盡 中位左得地九畝去減右行三
十畝餘地二十一畝為法下位左折田得十六畝五
分去減右行二十三畝五分餘折田七畝為實 以
法除實不滿法約為三之一為地每畝折實田之數
[053-5a]
地一畝折田三分三釐三毫/不盡即地三畝折田一畝也 就以右行折實田共
四畝七分内除原地六畝折實田二畝餘二畝七分
以右上田三畝除之得九分為田每畝折實之數或/以
左行折田内減左原地三畝該折實田一畝餘四畝/五分以左上田五畝除之亦得九分為田每畝折實
之/數
論曰以右上田三畝遍乘左行得數是各三之也為五
畝田者三畝三畝地者三則為田地共折實五畝五
分者亦三也
[053-5b]
以左上田五畝遍乘右行得數是各五之也為三畝
田者五為六畝地者五則為田地折實共四畝七分
者亦五也
于以對減而上位田各十五畝減而盡則其數同也
惟中位地餘二十一畝在右行則是右行之地多于
左行之地二十一畝也
而下位折實數亦餘七畝在右行則是右行折實之
數亦多于左行折實之數七畝也
[053-6a]
合而觀之此所餘折實七畝者正是餘地二十一畝
之所折也
此以田地問折數故以地二十一畝為法折七畝為
實也若以折數問原田地則以折七畝為法地二十
一畝為實法除實得每折一畝原地三畝于是以右
地六畝折二畝減折四畝七分餘二畝七分為法除
右田三畝得每折一畝原田一畝又九分畝之一即
一分一釐一毫一一不盡也
[053-6b]
若更置以地列于上則先得田折數如後圖
上 中 下
先以左上地三畝遍乗右行得數
次以右上地六畝遍乗左行得數 上位各得地十
八畝對減盡 中位左得田三十畝内減去右得九
畝餘二十一畝為法 下位折田左得三十三畝内
[053-7a]
減去右得十四畝一分餘十八畝九分為實 以法
除實得九分為田每畝折實數
就以右田三畝折二畝七分減右折實共四畝七分
餘二畝以右上地六畝除之不滿法命為三分畝之
一為地每畝折實數或于左行折實五畝五分内減/去左田五畝該折四畝五分餘
一畝以左地三畝除之亦/得地折實每畝三之一
論曰以右上地六畝遍乗左行是各六之也為三畝地
者六為五畝田者六為地三畝田五畝之折實田共
[053-7b]
五畝五分者亦六也以左上地三畝遍乗右行是各
三之也為地六畝者三為田三畝者三為地六畝田
三畝之折實共四畝七分者亦三也以之對減而地
在上位者各十八畝既對減而盡則其各十八畝之
折實在折實共數中者亦必對減而盡也田在中位
者既對減去九畝而僅餘左行之二十一畝則其各
九畝之折實在共數中者亦必對減而盡也由是以
觀則其所餘之左下折田十八畝九分正是左中餘
[053-8a]
田二十一畝之所折也故以餘田二十一畝為法而
以餘折田十八畝九分為實即田之折數可知知田
數知地畝矣
若以折問田畝則一十八畝九分折為法二十一畝
田為實實如法而一得每折一畝原田一畝又九分
之一于是以分母九通右行田三畝得二十七分而
以一畝又九分之一共一十分為法除之得二畝七
分以減共折四畝七分餘折二畝以除右地六畝得
[053-8b]
每折一畝原地三畝以上二色例也三色四色以至/多色凡和數者皆同但須重例
減餘以求之今不悉/具于後諸條中詳之
較數方程例
凡較數方程分正負之價與盈朒畧同但盈朒章有盈
朒又有出率方程則但有總物與盈朒而無每出之
率又兼數色所以不同又盈朒者是有每率而不知
總所言盈朒適足是總計所出以與原立總價相較
之數也方程正負則是兩總物自相較之數若不立
[053-9a]
正負則下價之與上物不知其孰為同異矣此正負
之法異于盈朒也負與正對所以分别同異盖對數/之所餘即正數之所欠故謂之負
與負責之負畧相似老子言萬物負陰而抱陽盖正/即正面負即反面也開方法有負隅言隅之空隙也
郭太史厯經三差法有負減言反减也本于平差内/減去立差今立差反多于平差故于立差内反減平
差是為負减兼此數端/而正負之義可見矣
法曰任以一色為正則以相當之一色為負此據二色/者言之三
色以上或以一色與多色相當或以/多色與多色相當其法皆同二色正物之價多為
正價負物之價多為負價正與負為異名異名相併
[053-9b]
正與正負與負為同名同名相減
首位同名者仍其正負不變首位同數同名即/可減去此正法也
首位異名變其一一以相從首位亦同數但不同名/故變而同之則亦同數
同名而可減盡矣首位既變則其行内皆從而變此/通法也盖必如是則同減異加始歸畫一而于和較
交變之用/尤便也
其法皆于互乗時以得數變之蓋減併只用得數也
只變一行其相對之行不必再變二色三色以至多
色並同何也三色以上行數雖多而乘併之用皆以
[053-10a]
各相對之一行論同異即同二色之理
論曰和數方程有減無併皆同名故也較數方程有減
有併或同名或異名也減併者方程之綱要正負淆
則同異之名混而併減皆失矣今諸本所言正負同
異誃離舛錯雖加減得數皆偶合耳西人論句股三
角八線割圜幾何原本可謂詳矣矣至方程增立諸
率亦復草草未窮其故也
用法曰以一色列于上以相當之一色列于中任以一
[053-10b]
色為主而分正負此亦以二色為例三色以上皆以/兩相當者主其一以分正負皆與
二色/法同
以兩色相較之價列于下以正物為主而分同異或
正物所多之價命之為正或正物所少之價命之為
負正物之所少即/負物之所多或正物負物之價兩相若命之適
足則空位列之亦以列上位者為乘法左右互乘遍
乘中下以首位為主而變正負得數對減其上一色
必數相若且又同名而減盡中一色與下價或同名
[053-11a]
或異名異名者併之同名者對減取其減併之數以
為用一為法一為實以法除實得中一色每價以原
列中物乗之得中物總價以與原列下價同名相減
異名相併得數以原列上物除之得上一色每價其/上
中亦可/互求
假如以研七枚換筆三矢研多價四百八十文若以筆
九矢換研三枚筆多價一百八十文問筆研價各如
干
[053-11b]
畣曰筆每矢價五十文 研每枚價九十文
法各列位
上 中 下
先以左行研負三遍乗右行得數首位異名須變一/行以相從故研正
變為負筆負變為正價正/變為負皆于得數變之
次以右行研正七遍乗左行得數右行既變則左行/不必再變故研負
[053-12a]
筆正價正/皆仍舊
于是以上研各負二十一同名相減盡 次以中筆
兩正同名相減餘五十四為法 再以下價左正右
負異名相併得二千七百為實 以法除實得五十
文為筆價 以左行筆正九乘筆價得四百五十内
減同名價一百八十餘二百七十以左研負三除之
得九十為研價或以右筆負三共價一百五十加異
名價正四百八十共六百三十以右研七除之亦得
[053-12b]
研價九十
論曰左行原是九筆多于三研一百八十文乘後得數
則是六十三筆多于二十一研共一千二百六十文
也右行原是七研多于三筆四百八十文乘後得數
則是九筆少于二十一研一千四百四十文也于是
以兩行得數較之上位研負二十一兩行盡同研之
數同則其價亦同惟中位筆數左行多五十四枝則
是左行筆多價一千二百六十文者以多此五十四
[053-13a]
筆而右行筆少價一千四百四十文者以少此五十
四筆也夫右行筆價原少于二十一研者一千四百
四十文以左行多五十四筆而反多于二十一研者
一千二百六十文是此五十四筆既補却右行之所
少而仍多此數也故併右行之所多共此二千七百
以為五十四筆之價知筆價知研價矣
若先求研價者以研列中為除法以筆列上為乗法
如後圖
[053-13b]
問者或云筆三矢換研七枚少價四百八十文又有研
三枚以換筆九矢少價一百八十文則其下價為兩
負四百八十是筆少于研之價/一百八十是研少于筆之價
先以左行筆負九徧乗右行得數首位異名宜變一/行故其正負皆更
之/
次以右行筆正三徧乗左得數右變則左不變/故正負皆仍之
[053-14a]
于是以得數較其同異而為之減併 筆各負二十
七同名減盡研正同名相減餘五十四為法 價正
負異名併得四千八百六十為實 實如法而一得
九十為研價 以研價乗左正研三得二百七十異
加價負一百八十共四百五十以左負筆九除之得
五十為筆價或以右研七價六百三十與價四百八
十同減餘一百五十以筆三除之亦得筆價五十
論曰左行原是研三少于筆九者一百八十文乗後得
[053-14b]
數則是九研少于二十七筆者五百四十文也 右
行原是三筆少于七研者四百八十文乗後得數則
是六十三研多于二十七筆者四千三百二十文也
夫兩行筆皆二十七則其價同也而右行研價多于
筆四千三百二十文左行研價反少于筆五百四十
文是兩行研價相差者共四千八百六十文也推求
其説則只是兩行中相差五十四研之故也故減去
相同之筆用此相差之研以除此相差之研價而每
[053-15a]
研之價可知矣
若如難題所列以研為正筆為負問者當云以七研
換三筆研多價四百八十以三研換九筆研少價一
百八十文則價右正左負難題係/書名
左右研正徧乗得數首位本同名故/其正負皆不變研減盡筆餘五
十四為法價異併二千七百為實法除實得筆價以
[053-15b]
次得研價如前若以筆為正研為負則其價右負左
正
依法先得研價如第一圖
以前四圖或以筆為正或以筆為負或以研為正或
以研為負或以價為兩正或以價為兩負或以價為
一正一負其所呼正負之名無一同者要其為同異
[053-16a]
加減之用則一也
試以一行中同異言之其左行之價必與筆同名何
也左行之價乃筆多于研之數也故與筆同名而與
研異名也 其右行之價必與研同名何也右行之
價乃研多于筆之數也故與研同名而與筆異名也
試以兩行中同異言之其上位皆減盡其中位皆相
減為法其下價皆相併為實其減也皆以同名其研
也皆以異名 此下價異併例也
[053-16b]
假如有大小餘句不知數但云倍小餘句以當三大餘
句則不及一丈五尺三寸若倍大餘句則如七小餘
句
畣曰大餘句六尺三寸 小餘句一尺八寸
法以正負列位
先以左小餘句負七徧乗右得數首位異名宜變以/相從故小句變負
[053-17a]
大句下負/數皆變正
次以右小餘句正二徧乗左得數右行既變則此行/不變下適足無乗
亦無/正負 乗訖乃較之 小餘句各十四同減盡 大
餘句同減餘一十七為法 下正數十丈零七尺一
分無對不減就為實 以法除實得六尺三寸為大
餘句 乃置左行二大句該一丈二尺六寸以左行
相當適足之七小句除之得一尺八寸為小餘句或/用
右行三大句該一丈八尺九寸以同名負一丈五尺/三寸減之餘三尺六寸以右行二小句除之亦得一
[053-17b]
尺八/寸合問
論曰以左小句徧乗右是各七之也為小句二大句三
者七其相較之數亦七也 以右小句徧乗左是各
二之也為小句七大句二者二其相當適足者亦二
也但以首位必同名然後可減故以右小句正變而
為負以從左名也小句變為負則所與相較之大句
不得不變而正矣 于是小句同減盡大句同名減
去四餘右行正十七下較數無減仍餘十丈○七尺
[053-18a]
一寸然則此所餘者正是減餘大句之數矣何也小
句十四左右皆同若只如左行四大句則與小句相
當適足矣而今右行獨餘此較數者非以右多十七
大句之故乎
試以大句列于上則先得小句如後圖
如法左乗右更其正負 右乗左仍其正負 大句
[053-18b]
同減盡 小句同減餘正一十七在左行為法 下
較數負三丈○六寸在右行無對不減就用為實以
法除實得一尺八寸為小句 就以左行小句七該
一丈二尺六寸以左相當適足之大句二除之得六
尺三寸為大句或于右行正一丈五尺三寸加異名/小句負二該三尺六寸共一丈八尺
九寸以右大句三除/之亦得六尺三寸
論曰左行原是小句七以當大句二適足今以右大句
乗而各三之則是小句二十一以當大句六而亦適
[053-19a]
足也 右行原是大句三以當小句二而大句多一
丈五尺三寸今以左大句乗而各二之則是大句六
以當小句四而多三丈○六寸也 以兩行之得數
較之大句既減盡惟左行之小句餘一十七則是左
行得數所以相當適足者以多此十七小句之故而
右行小句得數小于大句三丈○六寸者以少此十
七小句之故也然則此三丈○六寸者正是十七小
句之數也依此論可見左行之所多即右行之所/少故左行名正者用于右行即為負而
[053-19b]
隔行之異名/即為同名
此下較無減例也
假如有大小方積不知數但云一大方積以當二小方
積多數八十九若以三大方積當七小方積仍多二
百五十一
畣曰大方積一百二十一 小方積一十六
法以正負列位
上 中 下
[053-20a]
先以右大積一徧乗左行皆如原數 次以左大積
三徧乗右行得數首位同名故兩/行正負皆不變 大積同減盡
小積同減餘一為法較數同減餘一十六為實 法
除實仍得一十六為小積 以右行小積負二該三
十二加異名正八十九共一百二十一為大積或以/左行
小積負七該一百一十二加異名正二百五十一共/三百六十三以左大積三除之亦得一百二十一為
[053-20b]
大/積
論曰左行原是大積三多于七小積者二百五十一乗
後得數亦同 右行原是大積一多于二小積者八
十九乗後得數則是大積三多于六小積者二百六
十七也 于是以兩行對勘其大積既減盡惟小積
左行餘負一其下較數則右行餘正十六夫此十六
數者與大積同名是右行大積之數也右行少一小
積而大積之盈數多十六左行多一小積而大積之
[053-21a]
盈數少十六然則此十六數者正是此一小積之數
矣若以小方積為正則其下較數為兩負皆小積所/少之數也
故皆/為負
上 中 下
依法徧乗對減餘大積一為法 餘負一百二十一
為實 法除實不動就以一百二十一為大積 右
[053-21b]
大積一該一百二十一同名減負八十九餘三十二
以小積二除之得一十六為小積
此是右行多一大方積故多一同名之數一百二十
一同在一行易知不須重論
以上二圖正負所呼迥異然所同者兩行之較數皆
與大方積同名何也皆大方積多于小方積之數故
與大方積同名而與小方積異名也
此下較同減例也
[053-22a]
總論曰凡較數方程原列較數是本行中正與負之較
也其乗後得數同減異加而得者則是兩行中正與
正之較或負與負之較也故本行中以異名相較而
兩行對減或加是以兩行之同名相較
假如原列較數與正物同名是正多于負之較也若列
較與負同名是負多于正之較也故曰本行中異名
相較也
假如乗後得數而兩行之較數皆與正物同名則兩較
[053-22b]
亦自同名乃以之對減而餘在一行則知此一行正
物必多于對行之正物而其所多之數即如此所餘
之較數矣
假如兩行較數皆與負物同名則兩較亦自同名以之
對減而餘在一行則知此一行負物必多于對行之
負物而其所多之數正是此所餘之較數矣此同名
相減之理也
假如右行較數與正同名而左行較數却與負同名則
[053-23a]
一是正多于負之數而一是負多于正之數也夫正
與負原相待負多于正之數即正少于負之數也于
是用異名相加法以左行負多于正之數變為正少
于負之數以相併則知右行之正數必多于左行之
正物而其所多幾何正是此兩較之併數矣此異名
相加之理也
合同減異併而觀之總是兩行中同名相較也
又論曰較數方程以兩相較而為用雖有三色四色乃
[053-23b]
至多色其相較也必兩此正負所由立也立正負以
别同異猶彼我也夫彼我者豈有一定之稱哉以此
為正則以彼為負若以彼為正則此反為負矣正負
之相呼猶彼我之相視也故曰無定雖然無定者正負
有定者同異其無定者在未立正負之先其有定者
在既立正負之後既以一為主則同乎此者皆同名
異乎此者皆異名矣是故無定而實有定也
今試以所列方程最下位觀之其言正負者必上物
[053-24a]
之較數也不言正負者必上物之和數也較數有盈
有朒有適足和則否
假如下價盈則為正正與正同名試於正物價之中減
去下同名正價之盈則所餘之價必與負物之價相
當矣 正與負異名試又取上負物之價以加下異
名正價則又必與正物之價相當矣
假如下價朒則為負正物之朒負/物之盈也負與負同名試於負
物價之中減去下同名負價則所餘之價必與正物
[053-24b]
之價相當矣 負與正異名試又取上正物之何以
加下異名負價又必與負物之價相當矣
假如下價適足空位無盈朒則其上正負物價必自相
當
又論曰正負之術分别同異全在有交變之法以通其
窮要其為用惟在使兩行之首位同名而已何也方
程以互乗遞減立法每乗一次即減去一色然惟和
數則一乗之後即可對減若較數則有同數而不同
[053-25a]
名之時若不減首位即不成方程若徑以異名而減
勢必以同名而併法不畫一而于後條和較交變之
時益混淆而難用故以法變之使首位之同數者無
不同名而仍為同名利減焉首位既以同名減則凡
減者皆同名凡併者皆異名而其法畫一矣故首位
既變則行内之正負皆變何也從首位也行内之正
負既皆從首位而變由是而原與首位同名者皆與
隔行之首位同名也原與首位異名者即與隔行之
[053-25b]
首位異名也如此則隔行之同減異併亦清矣正負
猶陰陽也牝牡也各行中各有正負猶兩儀之生四
象也乗而交變猶剛柔相推而生變化也隔行之正
本行以為負隔行之負本行以為正真陰真陽互居
其宅也同名相減者陰陽之偏不得其配也異名相
併者陰陽得類雌雄相食也是皆有自然之理焉可
以思古人立法之原矣
以上亦以二色者舉例三色以上乃至多色正負/之用尤顯詳具諸卷中兹不贅列然其理著矣
[053-26a]
和較相襍方程例
方程之用以御隠襍妙在襍與變知其襍則襍而不用
矣知其變則變而不失其常矣諸書所論胥未及此
故求之甚詳去之愈逺也
用法曰凡方程和較襍者和較從和法列之不立正負
較數從較法列之明立正負 其偏乗得數後在
較數行中者仍其正負之名在和較行中者皆變從
乗法之名和數原無正負則無可變但乗後得數取/其與較數之首位同名而已首位既同名
[053-26b]
下不得不/同名矣
凡兩較者下價或有減有併而中物只同減若一和
一較者下價亦有減有併而中物皆異併此以兩色
言之三色以上隨數通變皆以同異名御之
假如有大小句不知數但云三其大句倍其小句共三
丈三尺若倍大句則如六小句問若干
畣曰大句九尺 小句三尺
法以一和一變列位適足者以相較而/得名即同較義
[053-27a]
右行和數也不立正負 左行較數也明立正負
右乗左而三之和乗較也故其正負皆如故
左乗右而二之較乗和也故得數皆為正從乗法之
名也 如法遍乗訖以兩行對勘 大句同名相減
盡 小句異名相併得二十二為法 正數六丈六
尺無減就為實 法除實得三尺為小句 以左行
[053-27b]
小句六共一丈八尺為實以大句二為法除之得九
尺為大句或于右行共三丈三尺内同減小句二共/六尺餘二丈七尺以大句三除之亦得九
尺/
論曰右行大句三小句二共三丈三尺乗後得數則是
六大句四小句共六丈六尺也 左行大句二小句
六其數相當乗後得數則是六大句十八小句亦相
當適足也 于以對減而兩大句同減盡則其數同
也而右行正數猶有六丈六尺左則無有其故何也
[053-28a]
右行正數中有小句四而左則無且不惟無之而
已其相對之負數反有十八小句焉是左行正數
又自除却十八小句之數也右行正數多四小句
左行正數又自除却十八小句則是右行正數之
多于左行正數者二十二小句也故併此二十二
小句為右行所多之正物其六丈六尺則右行之
正數也以正物除正數而小句可知知小句知大
句矣
[053-28b]
又細攷之六大句合四小句共六丈六尺則以與六
大句相當之十八小句合四小句亦必六丈六尺也
此亦西儒比例之理而以同異名盡之可見古人用
法之簡快試更列之以小句居上則先得大句亦同
上 中 下
先以右小句二徧乗左行得數和乗較也故/仍其正負
[053-29a]
次以左小句六徧乗右行得數較乗和也故皆命/為負與乗法同名兩
小句同減盡 兩大句異併二十二為法 負數十
九丈八尺無減就為實法除實得大句九尺 以右
行大句三該二丈七尺減共三丈三尺餘六尺以小
二句除之得小句三尺
論曰小句互乗之後則其數同也小句數同則負數亦
同而右行之負數獨有十九丈八尺左則無有者以
右之負數中有大句十八而左則無不惟無也其所
[053-29b]
對之正數中反有大句四是左行負數中又原少四
大句也右負數多十八大句左負數少四大句是右
之負數多于左之負數者共二十二大句也然則右
之負數獨有此十九丈八尺者正是此二十二大句
之數也
此和數與適足偕也
假如有江湖兩色船載物不知數但云江船五以較湖
船一則江多二千八百石江船三湖船五則共載二
[053-30a]
千八百石問船力若干 畣曰江船六百石 湖船
二百石
法以一和一較列位
如法左右徧乗得數
江船同減盡 湖船異併二十八為法 載物同減
餘五千六百石為實 法除實得二百石為湖船數
[053-30b]
以湖船數加右行異名正二千八百共三千石以
右江船五除之得江船數六百石或以湖船五共一/千石同減左行二
千八百石餘一千八百石以/左江船三除之亦得六百石
論曰徧乗後江船數同則其載數亦同今以兩正數相
減而左多五千六百者以左正數中有湖船二十五
而右則無不惟無也其所對之負數中反有湖船三
是右行正數中又自少三湖船也左多二十五右少
三是左正數多于右數者共二十八湖船也然則左
[053-31a]
之正數獨多五千六百者正此二十八湖船之數也
此和數偕一正也負亦同
和變交變方程例
凡方程三色以上以減餘重列則有和變較較變和者不可不
察也 若非和較之襍則二色方程之中物有減無併矣若
非和較之變則三色四色方程和數者有減無倂矣夫
和數較數非自我命之名也其下價之為和為較不可誣也
用法曰和變較者但和數減餘有分在兩行者兼而用
[053-31b]
之即變較數也 和既變較即以較數法列之其法
以一行之餘數命為正以一行之餘數命為負 其
下餘價以與中位餘物同在一行者即為同名從其
正負而命之 若下價減盡無餘者命為適足
若減餘只在一行者無變也只用和數法
較變和者但視較數減餘或有一行内皆正或皆負
者即變和數也即如和數法列之不立正負其較數/異併者
以一行為主而以隔行之/之異名從本行為同名
[053-32a]
若減餘行内有正負者無變也只用較數法
若有兩異併而一位左正右負一位右正左負亦仍
為較數不變雖減餘分在兩行而一行餘正物一行
餘負物亦和數也何也隔行之異名乃同名也
若減餘同名而分餘于兩行即仍為較數不變何也
隔行之同名乃異名也
若兩異併皆左正右負或皆左負右正亦和數也
和較重列有俱變為較者有只變一行為較而餘行
[053-32b]
如故者較數重列有俱變為和者有只變一行為和
而其餘如故者皆如上法以和較襍列之
若四色以上有和變較較復變和者有較變和和復
變較者皆以前法御之
假如以衡校弓弩之力但云大神臂弓二弩九小弓二
共重七百一十斤又有神臂弓三弩二小弓八共五
百二十五斤又有神臂弓五弩三小弓二共五百一
十五斤問各力
[053-33a]
畣曰大神臂弓力五十五斤 弩力六十斤 小弓
力三十斤
法先以和較列位凡三色者可任以一行為主與餘二/行數相乗而減併之故前後之行可
互更也詳/見第三卷
先以中行神臂弓二為法徧乗左右得數此以中行/為主與左
[053-33b]
右互乗取其行間/易為減併之用也
次以右行神臂三徧乗中行得數與中行對減 神
臂弓中右各六對減盡 中弩二十七内減去右弩
四餘二十三中行/餘也 中小弓六去減右小弓十六餘
十右行/餘也 中力二千一百三十内減去右一千○五
十餘一千○八十斤中行/餘也
以上減餘分在兩行已變較數矣即用較數之法分
正負列之而以弩與力命為同名弩與力同在/中行故也
[053-34a]
次以左行神臂五徧乗中行得數而以中左兩行對
減 神臂弓各十減而盡 中弩得四十五内減去
左行弩六餘三十九
中行小弓得十内減去左小弓四餘六 中力得三
千五百五十内減去左一千○三十餘二千五百二
十斤
以上減餘俱在中行仍為和數也不分正負
論曰此和數方程變為一和一較也何也中右得數兩
[053-34b]
大弓減盡則其力相若也弩數相減而餘在中行是
中行之弩力多于右行也小弓相減而餘在右行是
右行小弓之力多于中行也弩力中多于右小弓力
右多于中而今共力相減惟中多一千○八十斤則
是此一千○八十斤者非餘弩餘弓之共數而餘弩
所多于餘弓之較數也雖欲不分正負不可得也
如中左對減而餘弩餘小弓俱在中行則中行之餘
力二千五百二十斤者仍為餘弩餘小弓共數無正
[053-35a]
負之可分也故以此兩減餘者依和較雜法重列而
求之
如前對減既于共力中清出首一色大神臂弓不與
弩小弓雜矣然所餘之力尚為弩小弓共數與其較
數而未能分别此二色之每數也故必重測
依和較雜法以左右餘弩互徧乗得數左乗右和乗/較也故仍其
[053-35b]
正負右乗左較乗和也故/變從乗法之名皆曰正
弩同減盡 小弓異併五百二十八為法 力同減
餘一萬五千八百四十為實 法除實得三十斤為
小弓力 以小弓力乗右行餘小弓十得三百斤異
如力正一千○八十斤共一千三百八十斤以餘弩
二十三除之得六十斤為弩力或于左行共力二千/五百二十斤内同減
小弓六該一百八十斤餘二千三百四十斤以餘弩/三千九除之得六十斤亦同即此可見兩減餘之為
一和/一較乃于原列任取右行八小弓力二百四十斤二
[053-36a]
弩力一百二十斤以減共力五百二十五斤餘一百
六十五斤以大神臂弓三除之得五十五斤為大神
臂弓力
論曰兩弩正數同而其力不同者小弓之故也左行和
數也是弩偕小弓之力也右行較數也是弩力中減
去小弓之力而餘者也合而觀之則是左行之弩力
有小弓一百三十八以為之益而右行之弩力反減
去小弓三百九十然則左行正數之多于右行者凡
[053-36b]
共差小弓五百二十八而左行正數所以多于右行
一萬五千八百四十斤者正是此小弓五百二十八
之力也
凡此減餘之數亦可互求若更置之以小弓列上則
先得弩力如後圖
上 中 下
[053-37a]
依法右左徧乗得數左乗右和乗較也故仍其正負/右乗左較乗和也故變從乗法
之名皆名/之曰負
小弓同減盡 弩異併得五百二十八為法 力異
併得三萬一千六百八十為實 法除實得六十斤
為弩力 以弩力乗右行弩二十三得一千三百八
十斤同減正一千○八十斤餘三百斤以小弓十除
之得小弓力
論曰兩小弓同名負其數既同而左行負數之力有若
[053-37b]
干右則無之而且反小于正數之力若干者何也以
左行負數中有弩三百九十右則無之而其所對之
正數反有弩一百三十八以為之除算則是左負數
之多于右者共五百二十八弩也右負數少此五百
二十八弩而正數力遂多六千四百八十斤左負數
多此五百二十八弩則不但補却右行之所少而又
自有力二萬五千二百斤然則左行共多于右三萬
一千六百八十斤者正是此五百二十八弩之力也
[053-38a]
此三色和變較例也四色以上襍/見諸卷中
問有甲乙丙三數甲加七十三得為乙丙數者倍乙加
七十三得為甲丙數者三丙加七十三得為甲乙數
者四其本數各幾何 畣曰甲七 乙十七 丙廿三
法先以較數列位
[053-38b]
先以中行甲正一遍乗右左得數皆如故只變中行/故兩行之
正負俱不變又是一數/為乗法故數亦不變
次以右行甲負三徧乗中行次以左行甲負四徧乗
中行各得數左右既省不變故變中行以從/之首位變負下三位俱變正
次以中右得數相減併 甲同減盡 中乙得正六
同減左得正一餘正五 中丙得正六異併右得負
三共得正九中較數得正二百一十九異併右負七
十三共得正二百九十二
[053-39a]
次以中左得數相減併 甲同減盡 中乙得正八
異併左得負四共得正十二 中丙得正八同減左
得正一餘七正 中較數得正二百九十二異併左
負七十三共得正三百六十五以上減併之數皆同
名又皆在一行知已變為和數重列之不分正負依/此
顯雖同名而或乙正在中丙正在左即不/得變和數也何也左行之正中行之負也
論曰此較數變為和數也以中右之得數言之中行六
个乙六个丙共多于三个甲者二百一十九右行一
[053-39b]
个乙少于三个甲三个丙者七十三于是兩相對較
則兩行之甲皆三个其數本同而中行之乙丙多于
甲二百一十九者因中行之乙多于右行之乙者五
个又有同名之丙六个以益之而中行之甲又非若
右行之甲與三个丙同名是又少三个丙也夫甲股
内少則乙丙股内多合而觀之則是中行之乙丙股
内共多五个乙九个丙而右行之乙股内共少此五
个乙九个丙也夫中行之乙丙股内多五个乙九个
[053-40a]
丙便多于三个甲者二百一十九右行之乙股内少
五个乙九个丙則不惟不多而反少于三个甲者七
十三然則併此多二百一十九少七十三共二百九
十二者正是此五个乙九个丙之共數而非其較數
也故不分正負
又以中左之得數言之中行正數是八个乙八个丙負
數是四个甲而正數多者二百九十二左行正數是
一个丙負數是四个甲四个乙而正數少者七十三
[053-40b]
于是兩相對勘則兩行負數之甲皆四个其數本同
惟中行之正數内比左正數多七个丙又加八个乙
而中行之負數又比左負數少四个乙合而觀之是
中行之正數比左行共多十二个乙與七个丙而左
行之正數比中行共少十二个乙七个丙也然則中
行正數之多于負數二百九十二者以多此十二个
乙七个丙而左行正數之反少于負數七十三者以
少此十二个乙七个丙也則是併此多二百九十二
[053-41a]
少七十三之數共三百六十五者正是此十二个乙
七个丙之共數而非其較數也故亦不分正負
如法以乙數左右互徧乗得數相減無正負故/有減無併
乙減盡 丙減餘七十三為法 下位餘一千六百
七十九為實 法除實得二十三為丙數以丙數
乗左行 丙七得一百六十一以減共三百六十
[053-41b]
五餘二百○四以左乙十二除之得一十七為乙數
又以乙數異加原列右行負七十三共九十内減原
右行丙三該六十九餘二十一以原右行甲三除之
得七為甲數
論曰此同文算指所立疊借互徵設問之一也原法繁
重今改用方程簡易如此
此所設問三色方程耳以西術求之已不勝其難况
四色以往乃至多色乎此亦足見方程之不可廢而
[053-42a]
古人别立一章之誠有實用也
此三色較變和例也 四色以往至于多色則其變
益多要不出于和較例具後諸卷中兹不詳列
[053-42b]
厯算全書卷四十