[044-1a] 
欽定四庫全書
厯算全書巻三十八
宣城梅文鼎撰
筆算巻五
開平方法
測量句股全恃開方開方有平有立而平之用博以其
有實無法故别為一術以佐乘除之所窮
平方者面羃也其形正方故亦為自乘之積開平方者以
[044-1b]
自乘之積求正方之邉故西法謂之測面其邉謂之方根
法先列實 依除法作兩直線以所用方積列於右直
線之右自上而下至單位止無單作○
次作㸃定位 自單位作一㸃起毎隔一位㸃之有一
㸃則商一位如有二㸃則商數有十/有三㸃則商數有百
次定初商 皆自原實最上一㸃截定為初商之實如/㸃
在首位即以一位為初商實㸃/在次位即合兩位為初商實以自乘數約而商之皆
以㸃處為本位㸃上一位為進位本位者單數也如一/商一四商二九商三
[044-2a]
其自乘皆本位不論百與萬以上皆作單數用進位者十數也/如一六商四二五商五以至八一商九其自乘皆有進位不論
千與萬以上上/皆作十數用
又法 以初商實入表皆視初商實有與表同數或稍大於表
數者用之以命初商如一商一四商二此與表數相同也如二/三亦商一五六七八皆商二此比表數稍
大也若至九則商三又為相同之數矣十至十五皆商三/皆比表數稍大至十六商四又為相同之數他皆倣此
初商表凡初商三以下減積在本位四/以上減積合兩位此表明之
[044-2b]
用表㨗法但視初商實不滿表上自乘積者退一格即商數/如不滿○四即商一不滿○九即商二他倣此
既得商數即書於左直線之右皆對初㸃之進位書之凡商得/一二三
四書於㸃/之上一位五以上又進一位凡商得五六七八九/書於㸃之上兩位
次減實 以初商數自乘書於左直線之左皆以本位對初㸃
如初商一二三自乘一四九皆本位即對初㸃書之如初/商四五六七八九其自乘皆有進位則以下一字對初㸃
就以此命為減數以對減右直線所列方積如減積不盡則有次商
次商之法 倍初商得數為次商亷法對原實位書於右直線
之左視實冇二㸃則初商是十有三㸃初商是百四㸃初商是/千各取倍數對原列方積千百十零之位書之倍而言十
[044-3a]
者亦進/位對之截原實第二㸃為次商之實次商減積/至此㸃止以廉法約實為
次商數並依除/法約之挨書於初商之下即用次商數為隅法亦書於
廉法之下為次商廉隅共法省曰次/商法以與次商數相乘書其數
於左直線之左皆以法首位所乘之進位對次商數書之若言/如之數亦以○位對之法有幾位徧乘而挨書
之㸃至次㸃止上又法先以法尾位隅法乘次商數以本位對/次 書之進位 一字書之依乘法例自下而上法有幾位皆
徧乘而迭進書之/至次商數止亦同命為次商減積數以對減右直線餘積而定
次商皆减積至/次㸃止如減數大於餘積則改次商亦改/隅法如上乘減及
減而止次商減積不盡則有三商
[044-3b]
三商之法 合初商次商數倍之為廉法簡法只以隅法加倍/増入次商法内即三
商廉/法截原實第三㸃為三商之實三商減積至/三㸃而止餘並同次商如
減積不盡則有四商
四商以上並同三商法
審○位之法 若次商廉法大於苐二㸃以上餘積或數適相同是商
得○位也凡商得一數者其減積必與廉法同而多一數以為/隅故僅同者無隅積也即不能商一數而成○位
則書○於初商之下以當次商亦增○於亷法之下為三商亷
法三商以上有○並同若應商幾位而於初商或次商即已減積/至盡是末幾位皆商得○也俱補作○
[044-4a]
命分之法 若已商得單數而仍有餘積當以法命之以商得/方根倍
之加隅一為分母不盡之/數為分子命為幾分之幾雖未商得單數而餘積甚少不能成
單一數亦以法命之前審○位云亷法大於餘積者但取第二/㸃以上相較不論千百十零其所謂不能
商一數者或是一千或是一百不拘定是/單一也故商○之後仍有所商與此不同
還原法以商得方根自之有不盡者以不盡之數加入之即得原實
又簡法作直線於左方以應減之積依併法併之必合原實有
不盡數亦加入之並同除法還原
初商本位式凡初商一二三者減積言如在本位然初商/一二三四者書商數於㸃之上一位 以書
[044-4b]
商數之位言之亦本位也兩/本位法此一式中皆可明之
假如有方田積二百五十六步問每面方若干
答曰每面方十六步
列實作兩直線列方積於右直線之右/
作㸃定位自單位起毎隔一位作一㸃共/兩㸃宜商兩次 初商是十
[044-5a]
初商㸃在實首位即以實首位○二為初商實以自/乘數約之得一為初商初商是一宜對㸃上一
位書於左直線之右有兩㸃初商是一十自乘一百/為減數書左線之左遙對右行初㸃○二百書之就
以對減初商實於二百内減一百仍餘/餘一百改書之初商減積未盡有次商
次商倍初商一十作二十對原列方積十步位書於/右線之左為亷法 以第二㸃餘實一五六為
次商實用亷法約實可商七步因無隅積只約六步/為次商以書於初商之下即用六步為隅法以書於
亷法之下合亷隅共二十六步為次商法以乘次商/六步得亷積一百二十步隅積三十六步皆對次商
位書起每挨一位書之至次㸃止共得次/商減數一百五十六以對減餘實恰盡共開得平
方根一十六步合問
[044-5b]
甲乙丙丁四形合為正方形四面皆一/十六步
甲分形正方四而皆十步積一百步即/初商積
丙丁二分形皆長方廣六步長十步積/六十步兩形共積
一百二十步/即次商廉積
乙小分形亦正方面皆六步積三十六/步即次商隅積
自乘還原法置方一十六步為實即以
十六步為法乘之得二百五十六步合
原數
[044-6a]
初商進位式凡初商四五六七八九減積言十在進位凡/初商五六七八九書商數於㸃之上兩位
書商數以㸃上一位為本位則此其/進位也兩進位法此一式中皆有之
假如方積三十五萬八千八百零一尺問方若干
答曰方五百九十九步
列位同/前
作㸃定位有三㸃宜商三/次初商是百
[044-6b]
初商㸃在實次位即合兩位三五為初商實入表表中有小/於三五者是二五其方根五即以五為初商數對實初
㸃上兩位書左直綫之右又即以表中自乘數二五遙對實/三五書於左直綫之左就以對減初商實餘一○改書之以
待次/商
次商倍初商五百作一千○百對實千百位書於右直綫之/左為亷法 以第二㸃上餘實一○八八為次商實用
亷法約之得九為次商續書於初商之下即以次商九為隅/法書亷法之下合亷隅共一○九為次商法以乘次商九得
亷積九隅積八一對次商位書起至次㸃止共得減數九/萬八千一百以減次商實餘一○七改書之以待三商
三商以次商隅法九十倍作一百八十於次商法一千之下/抹去○九改書一八共一一入為亷法 以第三㸃上
餘積一○七○一為三商實用亷法約之得九為三商續書/於次商下即以三商九為隅法書於亷法之下合亷隅共一
[044-7a]
一八九為三商法以乘三商九步得亷積一萬○六百二十/隅積八十一對三商位書起至第三㸃止共得減數一萬○
七百○一以對/減三商實恰盡凡開得方根五百九十九尺
初商甲方五百尺積/二十五萬尺
次商丁/戊二亷各長五百尺濶九/十尺共積九萬尺
隅乙方九十尺積/八千一百尺
三商已/庚二亷各長五百九十尺濶/九尺共積一萬○六
百二/十尺隅丙方九尺積/八十一尺
七形合成正方共積三十五萬八千/八百○一○
[044-7b]
商○位式
假如方積八十二萬六千二百八十一尺問方若干
答曰九百○九尺
列位
作㸃定位並同/前條
[044-8a]
初商㸃在次位合兩位八二為初商實表入表得八一小於/八二其方根九即為初商在五以上對初㸃上兩位書
之亦以表數八一對實八二書於左綫之/左以減初商實餘○一改書之以待次商
次商倍初商九百作一千八百對原實位書之為亷法以第/三㸃上餘實○一六二為次商實以亷法約之法大實
小不能商一數是商得○位也紀○於初/商之下即於實首位銷去一○餘俟三商
三商因次商是○增○於廉法之下共一八○為亷法以第/三㸃上餘實一六二八一為三商實用亷法約實得九
尺為三商書於次商○之下即以九為隅法書於亷法之下/共亷隅法一八○九以乘三商九得亷積一萬六千二百隅
積八十一減/三商實恰盡凡開得方根九百○九尺
計開
[044-8b]
初商方九百尺 積八十一萬尺
續商亷各濶九尺/長九百尺共積一萬六千/二百尺 隅方九尺積八十/一尺
通共八十二萬六千二百八十一尺
假如方積二十五億○七百○○萬四千九百尺問方若干
答曰五萬○七十尺
列位原積尾位是百/補作兩○列之
作㸃定位有五㸃當商五/次 初商是萬
[044-9a]
初商以實首兩位二五為初商實入表得五為初商/書於㸃上兩位次以自乘數對實列之相減盡
次商倍初商五萬尺得一十○萬為亷法對原實位書之以/第二㸃上餘實○○○七為次商實實有三○無可商
是次商○也書○於初商五之下/亦於實首銷去一○以待三商
三商因次商○增○於亷法下得一○○為亷法○以第三/㸃上餘實○○七○○為三商實實仍有兩 位是三
商亦○也又書○於次商○之下/於實首復銷去一○以待四商
四商因三商亦○又增○於亷法之下得一○○○為亷法/ 以第四㸃上○七○○四九為四商實用亷法約之
得七十尺書於三商○之下即以七為隅法增於亷法下共/亷隅法一○○○七以乘四商七得亷積七百萬隅積四千
九百以對減/四商實恰盡
[044-9b]
五商五㸃宜有五商而四商已減/實盡無可商作○於四商
凡開得方根五萬○○七十○尺
命分式
假如方積五百七十六萬四千八百尺問方根若干
答曰二千四百尺又四千八百○一/分尺之四千八百
列位實盡於百位如前/法補作兩圏列之
作㸃定位有四㸃宜商四/次初商是千
[044-10a]
初商以實首○五為初商實入表得二為初商以/自乘數○四減實○五改書餘一以待次商
次商倍初商二千得四千為亷法約以第二㸃上餘/實一七六為次商實用廉法 之得四為次商
即以為隅法書廉法下共亷隅法四四以乘次商四/得亷積一百六十萬隅積一十六萬共減積一百七
十六萬次/商實減盡
三商倍次商隅法四作八增入次商法共四八為三/商亷法以第三㸃上餘實○○四八為三商實
有兩○無可商作○於三商/位消去實首一○以待四商
四商三商○亦增○於亷法下共四八○為亷法與/以第四㸃上餘實○四八○○為四商實僅
亷法相同是無隅積也不能商一數作○於四商位/其不盡之數以法命之法以亷法四千八百○加隅
[044-10b]
一共四千八百○一為命分之母以不盡之數四千/八百為分子命為四千八百○一分尺之四千八百
即一尺/弱也
共開得平方二千四百尺又四千八百○一之四千
八百
此雖未開至單尺之位而餘實甚少不能成一單尺故
即以法命之若餘實是四千八百○一尺則商得平方
二千四百○一尺矣今止四千八百尺是少一尺故不
能成一單尺也
[044-11a]
開方分秒凡開方欲知分秒法於餘實下毎増兩○位則/多開一位為分秒之數 平方之積尺有百寸
寸有百分皆以百/為母故增兩○
假如有平方積二十四尺平方開之得方四尺不盡八尺問分
[044-11b]
秒若干 答曰方四尺零八寸九分八釐九毫有竒
如常列位作㸃㸃在次位即以
二四兩位合商得方四尺減其
自乘一十六尺餘八尺用命分
法以商四尺倍作八尺又加隅
一得九為命分母不盡為分子
命為方四尺又九分尺之八
[044-12a]
今欲知其寸九分尺之八者是以尺作九分而今有其八/言毎方四尺之外仍𢃄此畸零是其中有寸
法於餘實下加兩○化八尺為八百寸毎尺縱横十/寸故其積百
寸/用為次商實以初商四尺倍之得八尺亦化八十
寸商數是毎邉之/數故尺只十寸對餘實十寸位書之即第一/○位為亷
法用廉法約實可商九寸因恐無隅積只商八寸書
於初商四尺之下亦即以次商八寸為隅法書於廉
法八十寸之下共亷隅八十八寸以乘次商八寸得
亷積六百四十寸隅積六十四寸共亷隅積七百○
[044-12b]
四寸自次商位書起至第二○位止以對減餘實仍
餘九十六寸命為竒數
凡商得毎方四尺八寸有奇
再求其分
法於實下又加兩○以餘九十六寸化九千六百分解/見
上/為三商實 商數四尺八寸亦化四百八十分倍
之為九百六十分移對餘實百分十分之位書之為
亷法以亷法約實商得九分為三商書次商之下亦
[044-13a]
即以三商九分為隅法書於亷法九百六十分之下
共亷隅九百六十九分以乘三商九分得亷積八千
六百四十分隅積八十一分共積八千七百二十一
分自三商位書起至第四○位止以對減餘實仍餘
八百七十九分命為竒數
凡商得每方四尺八寸九分有竒
再求其釐
法於餘實下又加兩○以餘八百七十九分化八萬
[044-13b]
七千九百釐為四商實 次倍商數四尺八寸九分
作九尺七寸八分化為九千七百八十釐移對餘實
依千百十之位書之為亷法 用亷法約實得八釐
為四商書於三商之下即以四商八為隅法增於亷
法末共亷隅法九千七百八十八釐以乘四商八釐
得亷積七萬八千二百四十釐隅積六十四釐自四
商位書起至第六○位止以減餘實仍餘九千五百
九十六釐
[044-14a]
凡商得每方四尺八寸九分八釐有竒
再求其毫
如法於餘實下又加兩○化餘實為九十五萬九千六
百毫為五商實 次倍商數四八九八作九尺七寸
九分六釐化為九萬七千九百六十毫為亷法移對
餘實萬千百十之位書之用亷法約實得九毫為五
商書四商下亦即以五商九為隅法增入亷法下共
亷隅九萬七千九百六十九毫以乘五商九毫得亷
[044-14b]
積八十八萬一千六百四十毫隅積八十一毫對五
商位書起至第八○位止以減餘實仍餘七萬七千
八百七十九毫
凡商得方四尺八寸九分八釐九毫又九萬七千九百
七十九之七萬七千八百七十九即竒數也
右單數下已開四位尺為單位析為寸/分釐毫凡四位其不盡者
是不滿一毫之數于單數為十萬分之一如欲再/求忽微
亦如/上法
[044-15a]
[044-15b]
開方𢃄縱𢃄縱者長方形也以方為濶加縱數為長其法/與開方無異但須以商得數乘縱數為縱積併
入方積以減原積不及減者改商之其次商亦倍初/商加縱為亷法但倍方而不倍縱 三商以上並同
假如有長田積六百二十四步濶不及長二步問長濶各若干
答曰長二十六步濶二十四步
[044-16a]
列位以實列右綫之右步以縱二步/列右綫之左對實 位列之
如常作㸃定位
初商以○六為初商實商得二十步自乘應減方積/四百步又以商數乘縱二步得縱積四十步如
法列之以減原實仍/餘一百八十四步
次商倍初商二十步作四十步加縱二步共四十二/歩為亷法以約餘實得商四步即以為隅法合
亷隅縱共四十六用乘次商四得亷積一百六十步/隅積十六步縱積八步共減積一百八十四步恰盡
命為濶二十四步 加縱二步為長二十六步
合問
[044-16b]
以圖明之
甲為初商方形長濶各二十/步積四十步
已初商縱形濶二步四長亦二/十步積 十步
戊丙並次商廉長各二十步十濶/四步 積八 步
乙次商隅方四步步積/一十六
丁次商縱亷長四步八濶二/步 積 步
以上五者合之為一長方形步/共長二十六步 濶二十四
積六百二十/四步合原數
[044-17a]
若縱數有比例可求者先以比例分其積平方開之得
濶因以知長
假如有直田積四百五十步但云長多濶一倍問長濶
若干
答曰濶十五步 長三十步
法平分其積得二百二十五步平方開之得濶十五
步
置濶十五步倍之得長三十步合問
[044-17b]
假如有長田積二百五十二步但云長比濶多四分之
三問長若干
答曰 濶一十二步長二十一步
法以多三分加分母四共七為法以分母四乘積為
實法除實得一百四十四步開方得濶一十二步
置濶一十二步七因四除之得二十一步為長長比/濶多
九步於十二步/為四分之三
[044-18a]
開立方法
平方者方田之屬也但取面羃之積立方者方倉之屬
也必求其内容之積故平方曰面立方曰體有面而後
有體有線而後有面故皆以線為根
假如長二尺者線數也線有長短而無廣狹若以此線
横展之長亦二尺濶亦二尺則其積四尺為面面者平
方形也面有濶狹而無厚薄又以此面層累而厚之長
濶皆二尺高亦二尺則其積八尺為體體者立方形也
[044-18b]
立方有虚有實如築方臺則實鑿方池作方窖則虚然
其立方之積數一也
法先立位同平/方 作㸃自單位起每隔二位㸃之/以最上一㸃為初商實 定
位視有若干㸃則商幾位如有二㸃則商/數有十有五㸃則商數有百並同平方
初商法 以自乘再乘數約而商之如一商一八商二/二七商三之類
書商數於左線之右凡商得一數者書於㸃上一位商/得二三四五者書於㸃上兩位商
得六七八九者/書於㸃上三位即以自乘再乘數書於左線之左以對
減初商實初商減積/至初㸃止
[044-19a]
次商法 以初商自乘而三之為平亷法亦曰/方法 以初商三之
為長亷法亦曰/亷法皆對原實千百位書之 截第二㸃上餘實為
次商實次商減積/至次㸃止以平亷法約實得次商列初/商下即以次商為隅
法列長亷次亦按千百/位列之乃以次商乘平亷法為平亷積又以次
商自乘以乘長亷及隅法為長亷小隅積俱挨書之以減餘積
不及減者改商
三商法 以餘實另列之 合初商次商自乘而三之為平亷
法 合初商次商三之為長亷法 截第三㸃上餘實為三商
[044-19b]
實三商減積/至此㸃止 亦即以三商為隅法餘並/同前
四商以上並同三商
命分法 合平亷長亷法再加隅一為命分母不盡之數為命
分子並同/平方
還原法 置商數自乘得數再以商數乘之即合原實有不盡者以不/盡之數加入之
初商表用法與平/方表同
[044-20a]
[044-20b]
假如立方積五千八百三十二尺問方若干
答曰方一十八尺
列實
作㸃定位有兩㸃初/商是十
[044-21a]
初商以五千為初商實約商一十自乘再/乘得一千為應减積減原實餘四千
次商以初商自乘而三之得三百為平亷法二又以初商三/之得三十為長亷法 以平亷法約第 㸃上餘實得
八尺為次商即以為隅法並如法列之乃以次商乘平亷法/得二千四百為平亷積又以次商自乘得六十四以乘長亷
及隅法得長廉一千九百二十隅積五百/一十二共減積四千八百三十二恰盡
[044-21b]
以圖明之
甲為初商方形長濶皆十尺/積一千尺
乙為次商平亷凡三以輔於
方之三面長濶皆十尺厚八/尺積八百尺共積
二千四/百尺
丙為次商長亷亦三以輔三
平亷之隙長十尺濶與厚皆/八尺積六百四十
尺共積一千/九百二十尺
[044-22a]
丁為次商隅如小立方以補三長亷之隙長濶高皆八尺積/五百一十二尺
假如立方積二千二百五十九億七千七百八十一萬一千五
百七十尺問方根若干答曰方六千零九十尺又一億一千/一百二十八
萬二千五百七十一之一億一千/一百二十八萬二千五百七十
列實實尾無單/位補作○
作㸃定位有四/㸃初
商是/
千
[044-22b]
初商合實三位約之商六千對初㸃上三位列之以六千自/乘再乘得減積二千一百六十億其餘積改書以待次
商/
次商日乘初商而三之得一億○八百萬為平亷法位/以初商三之得一萬八千為長亷法各對原實
列之次以第二㸃上餘實為次商實實首有兩○無可/商是 商○也作○於初商之下即於實首消去兩○
餘俟/三商
三商次商○即以次商法為三商法尺以第三㸃上餘實為/三商實以平亷法約之商九十 即以為隅法對實十
位列之乃以九十乘平亷法得平亷積九十七億二千萬又/以九十自乘得八千一百以乘長亷及隅法得長亷積一億
四千五百八十萬隅積七十二萬九千共/減積九十八億六千六百五十二萬九千
[044-23a]
四商以第四㸃上餘實另列之二合三次商數六○九自乘/而三之得一億一千一百 十六萬四千三百為平亷
法得又以六○九三/之 一萬八千二百
七十為長亷法亷以/法約實僅與兩 法
之數相同無隅積不/能成一單數以法命
之合平廉長亷數加/隅一為命分母餘實
為命/分子
命為立方六千○九十尺又一億一千一百二十八萬二千/五百七十一尺之一億一千一
百二十八萬二/千五百七十
[044-23b]
自乘 再乘
厯算全書卷三十八
欽定四庫全書
厯算全書巻三十八
宣城梅文鼎撰
筆算巻五
開平方法
測量句股全恃開方開方有平有立而平之用博以其
有實無法故别為一術以佐乘除之所窮
平方者面羃也其形正方故亦為自乘之積開平方者以
[044-1b]
自乘之積求正方之邉故西法謂之測面其邉謂之方根
法先列實 依除法作兩直線以所用方積列於右直
線之右自上而下至單位止無單作○
次作㸃定位 自單位作一㸃起毎隔一位㸃之有一
㸃則商一位如有二㸃則商數有十/有三㸃則商數有百
次定初商 皆自原實最上一㸃截定為初商之實如/㸃
在首位即以一位為初商實㸃/在次位即合兩位為初商實以自乘數約而商之皆
以㸃處為本位㸃上一位為進位本位者單數也如一/商一四商二九商三
[044-2a]
其自乘皆本位不論百與萬以上皆作單數用進位者十數也/如一六商四二五商五以至八一商九其自乘皆有進位不論
千與萬以上上/皆作十數用
又法 以初商實入表皆視初商實有與表同數或稍大於表
數者用之以命初商如一商一四商二此與表數相同也如二/三亦商一五六七八皆商二此比表數稍
大也若至九則商三又為相同之數矣十至十五皆商三/皆比表數稍大至十六商四又為相同之數他皆倣此
初商表凡初商三以下減積在本位四/以上減積合兩位此表明之
[044-2b]
用表㨗法但視初商實不滿表上自乘積者退一格即商數/如不滿○四即商一不滿○九即商二他倣此
既得商數即書於左直線之右皆對初㸃之進位書之凡商得/一二三
四書於㸃/之上一位五以上又進一位凡商得五六七八九/書於㸃之上兩位
次減實 以初商數自乘書於左直線之左皆以本位對初㸃
如初商一二三自乘一四九皆本位即對初㸃書之如初/商四五六七八九其自乘皆有進位則以下一字對初㸃
就以此命為減數以對減右直線所列方積如減積不盡則有次商
次商之法 倍初商得數為次商亷法對原實位書於右直線
之左視實冇二㸃則初商是十有三㸃初商是百四㸃初商是/千各取倍數對原列方積千百十零之位書之倍而言十
[044-3a]
者亦進/位對之截原實第二㸃為次商之實次商減積/至此㸃止以廉法約實為
次商數並依除/法約之挨書於初商之下即用次商數為隅法亦書於
廉法之下為次商廉隅共法省曰次/商法以與次商數相乘書其數
於左直線之左皆以法首位所乘之進位對次商數書之若言/如之數亦以○位對之法有幾位徧乘而挨書
之㸃至次㸃止上又法先以法尾位隅法乘次商數以本位對/次 書之進位 一字書之依乘法例自下而上法有幾位皆
徧乘而迭進書之/至次商數止亦同命為次商減積數以對減右直線餘積而定
次商皆减積至/次㸃止如減數大於餘積則改次商亦改/隅法如上乘減及
減而止次商減積不盡則有三商
[044-3b]
三商之法 合初商次商數倍之為廉法簡法只以隅法加倍/増入次商法内即三
商廉/法截原實第三㸃為三商之實三商減積至/三㸃而止餘並同次商如
減積不盡則有四商
四商以上並同三商法
審○位之法 若次商廉法大於苐二㸃以上餘積或數適相同是商
得○位也凡商得一數者其減積必與廉法同而多一數以為/隅故僅同者無隅積也即不能商一數而成○位
則書○於初商之下以當次商亦增○於亷法之下為三商亷
法三商以上有○並同若應商幾位而於初商或次商即已減積/至盡是末幾位皆商得○也俱補作○
[044-4a]
命分之法 若已商得單數而仍有餘積當以法命之以商得/方根倍
之加隅一為分母不盡之/數為分子命為幾分之幾雖未商得單數而餘積甚少不能成
單一數亦以法命之前審○位云亷法大於餘積者但取第二/㸃以上相較不論千百十零其所謂不能
商一數者或是一千或是一百不拘定是/單一也故商○之後仍有所商與此不同
還原法以商得方根自之有不盡者以不盡之數加入之即得原實
又簡法作直線於左方以應減之積依併法併之必合原實有
不盡數亦加入之並同除法還原
初商本位式凡初商一二三者減積言如在本位然初商/一二三四者書商數於㸃之上一位 以書
[044-4b]
商數之位言之亦本位也兩/本位法此一式中皆可明之
假如有方田積二百五十六步問每面方若干
答曰每面方十六步
列實作兩直線列方積於右直線之右/
作㸃定位自單位起毎隔一位作一㸃共/兩㸃宜商兩次 初商是十
[044-5a]
初商㸃在實首位即以實首位○二為初商實以自/乘數約之得一為初商初商是一宜對㸃上一
位書於左直線之右有兩㸃初商是一十自乘一百/為減數書左線之左遙對右行初㸃○二百書之就
以對減初商實於二百内減一百仍餘/餘一百改書之初商減積未盡有次商
次商倍初商一十作二十對原列方積十步位書於/右線之左為亷法 以第二㸃餘實一五六為
次商實用亷法約實可商七步因無隅積只約六步/為次商以書於初商之下即用六步為隅法以書於
亷法之下合亷隅共二十六步為次商法以乘次商/六步得亷積一百二十步隅積三十六步皆對次商
位書起每挨一位書之至次㸃止共得次/商減數一百五十六以對減餘實恰盡共開得平
方根一十六步合問
[044-5b]
甲乙丙丁四形合為正方形四面皆一/十六步
甲分形正方四而皆十步積一百步即/初商積
丙丁二分形皆長方廣六步長十步積/六十步兩形共積
一百二十步/即次商廉積
乙小分形亦正方面皆六步積三十六/步即次商隅積
自乘還原法置方一十六步為實即以
十六步為法乘之得二百五十六步合
原數
[044-6a]
初商進位式凡初商四五六七八九減積言十在進位凡/初商五六七八九書商數於㸃之上兩位
書商數以㸃上一位為本位則此其/進位也兩進位法此一式中皆有之
假如方積三十五萬八千八百零一尺問方若干
答曰方五百九十九步
列位同/前
作㸃定位有三㸃宜商三/次初商是百
[044-6b]
初商㸃在實次位即合兩位三五為初商實入表表中有小/於三五者是二五其方根五即以五為初商數對實初
㸃上兩位書左直綫之右又即以表中自乘數二五遙對實/三五書於左直綫之左就以對減初商實餘一○改書之以
待次/商
次商倍初商五百作一千○百對實千百位書於右直綫之/左為亷法 以第二㸃上餘實一○八八為次商實用
亷法約之得九為次商續書於初商之下即以次商九為隅/法書亷法之下合亷隅共一○九為次商法以乘次商九得
亷積九隅積八一對次商位書起至次㸃止共得減數九/萬八千一百以減次商實餘一○七改書之以待三商
三商以次商隅法九十倍作一百八十於次商法一千之下/抹去○九改書一八共一一入為亷法 以第三㸃上
餘積一○七○一為三商實用亷法約之得九為三商續書/於次商下即以三商九為隅法書於亷法之下合亷隅共一
[044-7a]
一八九為三商法以乘三商九步得亷積一萬○六百二十/隅積八十一對三商位書起至第三㸃止共得減數一萬○
七百○一以對/減三商實恰盡凡開得方根五百九十九尺
初商甲方五百尺積/二十五萬尺
次商丁/戊二亷各長五百尺濶九/十尺共積九萬尺
隅乙方九十尺積/八千一百尺
三商已/庚二亷各長五百九十尺濶/九尺共積一萬○六
百二/十尺隅丙方九尺積/八十一尺
七形合成正方共積三十五萬八千/八百○一○
[044-7b]
商○位式
假如方積八十二萬六千二百八十一尺問方若干
答曰九百○九尺
列位
作㸃定位並同/前條
[044-8a]
初商㸃在次位合兩位八二為初商實表入表得八一小於/八二其方根九即為初商在五以上對初㸃上兩位書
之亦以表數八一對實八二書於左綫之/左以減初商實餘○一改書之以待次商
次商倍初商九百作一千八百對原實位書之為亷法以第/三㸃上餘實○一六二為次商實以亷法約之法大實
小不能商一數是商得○位也紀○於初/商之下即於實首位銷去一○餘俟三商
三商因次商是○增○於廉法之下共一八○為亷法以第/三㸃上餘實一六二八一為三商實用亷法約實得九
尺為三商書於次商○之下即以九為隅法書於亷法之下/共亷隅法一八○九以乘三商九得亷積一萬六千二百隅
積八十一減/三商實恰盡凡開得方根九百○九尺
計開
[044-8b]
初商方九百尺 積八十一萬尺
續商亷各濶九尺/長九百尺共積一萬六千/二百尺 隅方九尺積八十/一尺
通共八十二萬六千二百八十一尺
假如方積二十五億○七百○○萬四千九百尺問方若干
答曰五萬○七十尺
列位原積尾位是百/補作兩○列之
作㸃定位有五㸃當商五/次 初商是萬
[044-9a]
初商以實首兩位二五為初商實入表得五為初商/書於㸃上兩位次以自乘數對實列之相減盡
次商倍初商五萬尺得一十○萬為亷法對原實位書之以/第二㸃上餘實○○○七為次商實實有三○無可商
是次商○也書○於初商五之下/亦於實首銷去一○以待三商
三商因次商○增○於亷法下得一○○為亷法○以第三/㸃上餘實○○七○○為三商實實仍有兩 位是三
商亦○也又書○於次商○之下/於實首復銷去一○以待四商
四商因三商亦○又增○於亷法之下得一○○○為亷法/ 以第四㸃上○七○○四九為四商實用亷法約之
得七十尺書於三商○之下即以七為隅法增於亷法下共/亷隅法一○○○七以乘四商七得亷積七百萬隅積四千
九百以對減/四商實恰盡
[044-9b]
五商五㸃宜有五商而四商已減/實盡無可商作○於四商
凡開得方根五萬○○七十○尺
命分式
假如方積五百七十六萬四千八百尺問方根若干
答曰二千四百尺又四千八百○一/分尺之四千八百
列位實盡於百位如前/法補作兩圏列之
作㸃定位有四㸃宜商四/次初商是千
[044-10a]
初商以實首○五為初商實入表得二為初商以/自乘數○四減實○五改書餘一以待次商
次商倍初商二千得四千為亷法約以第二㸃上餘/實一七六為次商實用廉法 之得四為次商
即以為隅法書廉法下共亷隅法四四以乘次商四/得亷積一百六十萬隅積一十六萬共減積一百七
十六萬次/商實減盡
三商倍次商隅法四作八增入次商法共四八為三/商亷法以第三㸃上餘實○○四八為三商實
有兩○無可商作○於三商/位消去實首一○以待四商
四商三商○亦增○於亷法下共四八○為亷法與/以第四㸃上餘實○四八○○為四商實僅
亷法相同是無隅積也不能商一數作○於四商位/其不盡之數以法命之法以亷法四千八百○加隅
[044-10b]
一共四千八百○一為命分之母以不盡之數四千/八百為分子命為四千八百○一分尺之四千八百
即一尺/弱也
共開得平方二千四百尺又四千八百○一之四千
八百
此雖未開至單尺之位而餘實甚少不能成一單尺故
即以法命之若餘實是四千八百○一尺則商得平方
二千四百○一尺矣今止四千八百尺是少一尺故不
能成一單尺也
[044-11a]
開方分秒凡開方欲知分秒法於餘實下毎増兩○位則/多開一位為分秒之數 平方之積尺有百寸
寸有百分皆以百/為母故增兩○
假如有平方積二十四尺平方開之得方四尺不盡八尺問分
[044-11b]
秒若干 答曰方四尺零八寸九分八釐九毫有竒
如常列位作㸃㸃在次位即以
二四兩位合商得方四尺減其
自乘一十六尺餘八尺用命分
法以商四尺倍作八尺又加隅
一得九為命分母不盡為分子
命為方四尺又九分尺之八
[044-12a]
今欲知其寸九分尺之八者是以尺作九分而今有其八/言毎方四尺之外仍𢃄此畸零是其中有寸
法於餘實下加兩○化八尺為八百寸毎尺縱横十/寸故其積百
寸/用為次商實以初商四尺倍之得八尺亦化八十
寸商數是毎邉之/數故尺只十寸對餘實十寸位書之即第一/○位為亷
法用廉法約實可商九寸因恐無隅積只商八寸書
於初商四尺之下亦即以次商八寸為隅法書於廉
法八十寸之下共亷隅八十八寸以乘次商八寸得
亷積六百四十寸隅積六十四寸共亷隅積七百○
[044-12b]
四寸自次商位書起至第二○位止以對減餘實仍
餘九十六寸命為竒數
凡商得毎方四尺八寸有奇
再求其分
法於實下又加兩○以餘九十六寸化九千六百分解/見
上/為三商實 商數四尺八寸亦化四百八十分倍
之為九百六十分移對餘實百分十分之位書之為
亷法以亷法約實商得九分為三商書次商之下亦
[044-13a]
即以三商九分為隅法書於亷法九百六十分之下
共亷隅九百六十九分以乘三商九分得亷積八千
六百四十分隅積八十一分共積八千七百二十一
分自三商位書起至第四○位止以對減餘實仍餘
八百七十九分命為竒數
凡商得每方四尺八寸九分有竒
再求其釐
法於餘實下又加兩○以餘八百七十九分化八萬
[044-13b]
七千九百釐為四商實 次倍商數四尺八寸九分
作九尺七寸八分化為九千七百八十釐移對餘實
依千百十之位書之為亷法 用亷法約實得八釐
為四商書於三商之下即以四商八為隅法增於亷
法末共亷隅法九千七百八十八釐以乘四商八釐
得亷積七萬八千二百四十釐隅積六十四釐自四
商位書起至第六○位止以減餘實仍餘九千五百
九十六釐
[044-14a]
凡商得每方四尺八寸九分八釐有竒
再求其毫
如法於餘實下又加兩○化餘實為九十五萬九千六
百毫為五商實 次倍商數四八九八作九尺七寸
九分六釐化為九萬七千九百六十毫為亷法移對
餘實萬千百十之位書之用亷法約實得九毫為五
商書四商下亦即以五商九為隅法增入亷法下共
亷隅九萬七千九百六十九毫以乘五商九毫得亷
[044-14b]
積八十八萬一千六百四十毫隅積八十一毫對五
商位書起至第八○位止以減餘實仍餘七萬七千
八百七十九毫
凡商得方四尺八寸九分八釐九毫又九萬七千九百
七十九之七萬七千八百七十九即竒數也
右單數下已開四位尺為單位析為寸/分釐毫凡四位其不盡者
是不滿一毫之數于單數為十萬分之一如欲再/求忽微
亦如/上法
[044-15a]
[044-15b]
開方𢃄縱𢃄縱者長方形也以方為濶加縱數為長其法/與開方無異但須以商得數乘縱數為縱積併
入方積以減原積不及減者改商之其次商亦倍初/商加縱為亷法但倍方而不倍縱 三商以上並同
假如有長田積六百二十四步濶不及長二步問長濶各若干
答曰長二十六步濶二十四步
[044-16a]
列位以實列右綫之右步以縱二步/列右綫之左對實 位列之
如常作㸃定位
初商以○六為初商實商得二十步自乘應減方積/四百步又以商數乘縱二步得縱積四十步如
法列之以減原實仍/餘一百八十四步
次商倍初商二十步作四十步加縱二步共四十二/歩為亷法以約餘實得商四步即以為隅法合
亷隅縱共四十六用乘次商四得亷積一百六十步/隅積十六步縱積八步共減積一百八十四步恰盡
命為濶二十四步 加縱二步為長二十六步
合問
[044-16b]
以圖明之
甲為初商方形長濶各二十/步積四十步
已初商縱形濶二步四長亦二/十步積 十步
戊丙並次商廉長各二十步十濶/四步 積八 步
乙次商隅方四步步積/一十六
丁次商縱亷長四步八濶二/步 積 步
以上五者合之為一長方形步/共長二十六步 濶二十四
積六百二十/四步合原數
[044-17a]
若縱數有比例可求者先以比例分其積平方開之得
濶因以知長
假如有直田積四百五十步但云長多濶一倍問長濶
若干
答曰濶十五步 長三十步
法平分其積得二百二十五步平方開之得濶十五
步
置濶十五步倍之得長三十步合問
[044-17b]
假如有長田積二百五十二步但云長比濶多四分之
三問長若干
答曰 濶一十二步長二十一步
法以多三分加分母四共七為法以分母四乘積為
實法除實得一百四十四步開方得濶一十二步
置濶一十二步七因四除之得二十一步為長長比/濶多
九步於十二步/為四分之三
[044-18a]
開立方法
平方者方田之屬也但取面羃之積立方者方倉之屬
也必求其内容之積故平方曰面立方曰體有面而後
有體有線而後有面故皆以線為根
假如長二尺者線數也線有長短而無廣狹若以此線
横展之長亦二尺濶亦二尺則其積四尺為面面者平
方形也面有濶狹而無厚薄又以此面層累而厚之長
濶皆二尺高亦二尺則其積八尺為體體者立方形也
[044-18b]
立方有虚有實如築方臺則實鑿方池作方窖則虚然
其立方之積數一也
法先立位同平/方 作㸃自單位起每隔二位㸃之/以最上一㸃為初商實 定
位視有若干㸃則商幾位如有二㸃則商/數有十有五㸃則商數有百並同平方
初商法 以自乘再乘數約而商之如一商一八商二/二七商三之類
書商數於左線之右凡商得一數者書於㸃上一位商/得二三四五者書於㸃上兩位商
得六七八九者/書於㸃上三位即以自乘再乘數書於左線之左以對
減初商實初商減積/至初㸃止
[044-19a]
次商法 以初商自乘而三之為平亷法亦曰/方法 以初商三之
為長亷法亦曰/亷法皆對原實千百位書之 截第二㸃上餘實為
次商實次商減積/至次㸃止以平亷法約實得次商列初/商下即以次商為隅
法列長亷次亦按千百/位列之乃以次商乘平亷法為平亷積又以次
商自乘以乘長亷及隅法為長亷小隅積俱挨書之以減餘積
不及減者改商
三商法 以餘實另列之 合初商次商自乘而三之為平亷
法 合初商次商三之為長亷法 截第三㸃上餘實為三商
[044-19b]
實三商減積/至此㸃止 亦即以三商為隅法餘並/同前
四商以上並同三商
命分法 合平亷長亷法再加隅一為命分母不盡之數為命
分子並同/平方
還原法 置商數自乘得數再以商數乘之即合原實有不盡者以不/盡之數加入之
初商表用法與平/方表同
[044-20a]
[044-20b]
假如立方積五千八百三十二尺問方若干
答曰方一十八尺
列實
作㸃定位有兩㸃初/商是十
[044-21a]
初商以五千為初商實約商一十自乘再/乘得一千為應减積減原實餘四千
次商以初商自乘而三之得三百為平亷法二又以初商三/之得三十為長亷法 以平亷法約第 㸃上餘實得
八尺為次商即以為隅法並如法列之乃以次商乘平亷法/得二千四百為平亷積又以次商自乘得六十四以乘長亷
及隅法得長廉一千九百二十隅積五百/一十二共減積四千八百三十二恰盡
[044-21b]
以圖明之
甲為初商方形長濶皆十尺/積一千尺
乙為次商平亷凡三以輔於
方之三面長濶皆十尺厚八/尺積八百尺共積
二千四/百尺
丙為次商長亷亦三以輔三
平亷之隙長十尺濶與厚皆/八尺積六百四十
尺共積一千/九百二十尺
[044-22a]
丁為次商隅如小立方以補三長亷之隙長濶高皆八尺積/五百一十二尺
假如立方積二千二百五十九億七千七百八十一萬一千五
百七十尺問方根若干答曰方六千零九十尺又一億一千/一百二十八
萬二千五百七十一之一億一千/一百二十八萬二千五百七十
列實實尾無單/位補作○
作㸃定位有四/㸃初
商是/
千
[044-22b]
初商合實三位約之商六千對初㸃上三位列之以六千自/乘再乘得減積二千一百六十億其餘積改書以待次
商/
次商日乘初商而三之得一億○八百萬為平亷法位/以初商三之得一萬八千為長亷法各對原實
列之次以第二㸃上餘實為次商實實首有兩○無可/商是 商○也作○於初商之下即於實首消去兩○
餘俟/三商
三商次商○即以次商法為三商法尺以第三㸃上餘實為/三商實以平亷法約之商九十 即以為隅法對實十
位列之乃以九十乘平亷法得平亷積九十七億二千萬又/以九十自乘得八千一百以乘長亷及隅法得長亷積一億
四千五百八十萬隅積七十二萬九千共/減積九十八億六千六百五十二萬九千
[044-23a]
四商以第四㸃上餘實另列之二合三次商數六○九自乘/而三之得一億一千一百 十六萬四千三百為平亷
法得又以六○九三/之 一萬八千二百
七十為長亷法亷以/法約實僅與兩 法
之數相同無隅積不/能成一單數以法命
之合平廉長亷數加/隅一為命分母餘實
為命/分子
命為立方六千○九十尺又一億一千一百二十八萬二千/五百七十一尺之一億一千一
百二十八萬二/千五百七十
[044-23b]
自乘 再乘
厯算全書卷三十八