[043-1a] 
欽定四庫全書
厯算全書巻三十七
宣城梅文鼎撰
筆算巻四
通分法併減乘除並有子母通分之用故别自為/巻其畸零以十百千萬為等者不用此法
凡整數下有零分而不以十分成整當用通分其法以
一整數剖為若干分是為母數其所𢃄零分在母數中
得幾分之幾是為子數
[043-1b]
通分子母列位法
通分列位其法有三曰化整為零曰以整𢃄零曰收零
為整
假如有物一斤四兩則以一斤通為十六兩加入所𢃄
四兩共二十兩而列之
二○斤以十六兩為母其所𢃄四兩是子今/化斤為兩則可乘除謂之以母從子也
若欲通為銖則以毎兩二十四銖為母通二十兩為四
百八十銖
[043-2a]
四八○此以斤通為兩兩又通/為銖是兩次用通分也
若畸零累析有用通分三次四次以上者准此論之
如皇極經世一元有十二㑹一㑹有三十運兩次通之
則一元有三百六十運 一運有十二世一世有三十
年兩次通之則一運有三百六十年
若以元通為年則用四次元通為㑹㑹又通為運運又/通為世世又通為年是四次
用通/分也通得十二萬九千六百為一元年數
假如古歴十九年七閏謂之一章其月謂之章月
[043-2b]
二三五此以毎年十二月通十九得二百二十八月加/入閏七月共得二百三十五月為一章之月
右化整為零 古通分法曰通以分母納以分子盖
言以分母通其整數而以所𢃄零分加入也然亦有
不納子而但通其整之時既以分母通之則整數不
用全化為分故西學謂之化法
别有變零為整之法與此化整為零之法似同而實
不同所以為零乘之用盖化整則全化為零而不用
整變零則全變為整而不用零其數則同謂自一至/九之數
[043-3a]
其等則異謂如零陞為單/單陞為十之類詳見零除條
凡通分化整為零以便乘除不必更書其母若列位本法以整
𢃄零當以母數子數並而書之曰幾分之幾若分下𢃄有小分/則曰幾分之幾又
幾分分/之幾
假如有整數二十五𢃄有零分為整數十二分之七又仍𢃄零
秒為分數三十分之十四
此如歴算法一週十二宫一宫三十度今/算得星行二十五週又七宫十四度也
假如有整數十六又𢃄零數為整數七分之五
[043-3b]
此以一整數剖為七分而所𢃄零分/適得其五也七為分母五為分子
假如有零數為整數三十分之十四又𢃄有小分為分數六之
五
此原無整數但有分又有小分其分以三十/為母十四為子是一整數剖為三十而得其
十四也小分以六為母五為子是一大分又/剖為六而得其五也小分母古謂之秒母
右以整𢃄零
凡母數必大於子數其常也乗除之後有子數反多者法當以
母數收之為整而𢃄其零
[043-4a]
假如有零分十六其分母九此以子數反大當/以母數收為整
九之/十六 收得一九之/七 十六分内除九分收為整餘七/分是為整一又九分之七也
假如方田之法以方五尺為步其積二十五尺今有積七十尺
步法二十五尺而積有七/十尺子數反多法當收整
七十尺内除五十尺收為二步剩二十尺不/能成步是為整二步又二十五分步之二十
假如古厯法以十九年為一章四章為一蔀今距
元中積一
百年問在第幾蔀第幾章
畣曰第二蔀第二章之第六年
[043-4b]
法先以章法十九收九十五年成五章剰五/年 次以蔀法四收四章成一蔀剩一章
通列之成一蔀一章零五年是為已過之/數今正在交第二蔀第二章之第六年也
右收零為整凡欲乗除必化整為零既乘除矣仍/必收零為整此二者相須為用也
此外仍有除零附整之法其法以分母為法分子為實實如
法而一得零數為整數十分之幾或百分千分萬分之幾所
謂退除為分秒也見除法命分
通分併子法
通分併子其類有三曰母同者曰母不同者曰大分又
[043-5a]
𢃄小分者而所以併之之法有七曰徑併法曰變分母
法曰互乗法曰連乘法曰維乘法曰截并法曰通母納
子法
徑併法
凡分母數同者徑并其子併滿母數收為整數在三宗以上而/母同者皆可徑并
其子或大分之下𢃄有小/分而分母同者並用此法
假如有絲五分斤之四又五分斤之三併之若干
畣曰整一斤又五分/斤之二
[043-5b]
此因兩母同為五故徑併其子且/子數七母數五是子滿母數而
有餘也當以母數收之得整一零/五之二
以上分母同者徑併其子為通分併法之一類
變分母法
凡分母不同而有比例可求者變而同之可省互乘
假如有數六之/三又加四之/一共若干
畣曰共四之三
[043-6a]
法以六之三母子各損三之一變為四/之二則兩母同為四而其子可併矣
所以然者四與六是倍半比/例故去三分之一即相同也
假如有金八分兩/之五又四分兩/之三併之若干
答曰一兩又八分兩之三
八與四為折半比例然不以八折半/者其子奇數不可半也故以四之三
加倍即母數齊/同可相併矣
[043-6b]
互乘法
凡分母不同而無比例可求者先互乘以同其母再以母互乘
其子而併之數在三宗以上而母/不同者皆可用此法
假如有物四分石/之三又七分石/之四共若干 答曰整一石又卄八分/石之九
先以右母四互乘左母七得卄八/又互乘子四得十六變七之四為
卄八之十六三次以左母七互乘/右母四及子 變四之二為卄八
之卄一之兩母既同遂併其子為/二十八 三十七
以滿共母二十八収為整一仍餘/九
[043-7a]
凡三母内有兩母相乘與餘一母同者祇用一互乘即可相併
假如有甲乙丙丁四數乙得甲七之/六丙得甲五之/四丁得甲卅五/之二
十/三若合乙丙丁三數得甲數若干 答曰得甲數二又三十五/之十一
法以乙丙兩母相乘三十五與丁/母同數即用乙母七互乘丙五之
四得三十五之卄八丙母五互乘/乙七之六得三十五之三十以併
丁三十五之二十三共得卅五之/八十一以滿母卅五成整數合問
歸/整得甲數二又卅五/之十一
連乘法
[043-7b]
凡數三宗以上者用母連乘為共母又以各母除之得數以乘
其子為子而併之併滿共母收為整
假如有數六之/四又加三之/一又加五之/四併之若干
答曰整一又九十之/七十二 法以六乘三得一十八又以五/乘之得九十為連乘之共母
即六除共母得數以/乘之四之數
即三乘共母得數以/乘之一之數
即五除共母得數以/乘之四之數
歸整得一又九十之/七十二
[043-8a]
觧曰此即互乘也試以五互乘六之四得三十之二十一又/以三互乗之即成九十之六十 以六互乗三之 得
十八之六又以五互乘之即成九十之三十九以六互乗五/之四得三十之二十四又以三互乗之即成 十之七十二
維乘法此古維乘法也與母除共/母以乘子之法所得同
假如錢糧一次完過九分/之一又完四分/之一又完六分/之一又完六分/之一又完
七分/之一問共完若干 答曰五百○四之四百零一約為十分/之八稍弱
[043-8b]
法以八乘六得四十八再以七乘之得三百卅六又以九乘/之得三千○卄四又以四乘之即得一萬二千○九十六
約為五百○四之四百○一卄四/約之
[043-9a]
解曰此即連乘法也但因分子皆為之一故即/以母除共母之數為子相併而省一乗
試用維乘所得亦同
[043-9b]
截併法
凡數件中有分母同者先取出併之然後與各件並列
則五件可作四件用六件以/上倣論而共母亦簡
如前圖有八之一四之一為加倍比例可先取併之用/變
分母/法
乃重列之原數五宗今作四/宗入算餘並同前
[043-10a]
解曰共母原/係一萬二千
○九十六今/只三千○二
十四簡四之/三故所得之
子皆於前式/為四之一
凡宗數繁多而分母又各不同者可分作幾次併之
假如有物四宗甲數五分斤/之三乙數六分斤/之一丙數三分斤/之二丁數七/分
斤之/四併之若干
[043-10b]
答曰整二斤又六百三十分斤之三
如上圖依法互乘以四宗併作兩宗乃重列之
以上分母不同者為通分併子之又一類
[043-11a]
大分𢃄小分併法
凡大分之下𢃄有小分而母相同者如法併之自小分起滿小
分之母進為大分滿大分之母進為整
若大分之母同而小分母不同者用互乘法使其同餘如/上法
若大分母不同者即通大分為小分再用互乘以同之
假如西厯以一日分二十四小時一時又析為六十分今算得
中㑹二十九日十七時三十六分實㑹該加七時四十分
依法併之得三十日零一時一十六分
[043-11b]
原二九 卄四之/一七 六十之/三六 時為大分大分之母二十四/時下為小分小分之母六十
加 丨丨卄四之/ ○□ 六十之/四十 先併小分得七十六以滿六/十進為一時仍餘十六分
併得三○日○一時十六分 次併大分得二十五時以滿/二十四進為一日仍餘一時
假如修築河堤新修七里○六十六歩一尺舊堤原存一十二
里二百九十三步四尺問堤長若干答曰長二十里
新修○七 ○六六 一 里法三百六十步法五先併/尺一四共五進一步次併步
原存□□ □□□ 四 共三百六十進一里次併里/二七及所進之一共十里併
共長二○里○○○步○尺 原十里是為堤長二十里合/問
[043-12a]
假如有硃砂八斤十兩○九銖又有三斤五兩十八銖共若干
答曰十二斤○三銖
八 一○ ○九 銖滿二十四進一兩/餘三兩滿十六進一
□ ○□ □八 斤斤共十二是為一/十二斤○三銖合問
共一二斤○○兩○三銖
右大小分母俱同故徑以子併
假如甲數九之/四又小分五之/四乙數九之/八又小分八之/三併之若干
答曰整一又九之四又小分四十之七
[043-12b]
先同其小分之母
先以小分母相乘得四十/為共母 又互乘其子變
五之四為四十之三十二/變八之三為四十之十五
小分母既同乃重列而併之餘同/上
併/之得九之十二又四十之四十七
歸整一又九之/四又小分四十之七 小分滿四卜收為大分/一大分滿九收為整一
[043-13a]
右係大分母同而小分之母不同故互乘之使其同
假如有田二坵甲坵二畝又四分/畝之三又小分五之/一丙坵一畝又三/分畝
之/二又小分四之/三併之若干
答曰整四畝又六十分畝/之四十三
先以甲小分母五通大分四之三為小分二十之十五加入
原𢃄小分一共二十之一十六為甲數
又以丙小分四通大分三之二為小分十二之八加入原𢃄
小分三共十二之十一為丙數
[043-13b]
解曰此即古通分納子之法也以大分盡通為小/分而納小分焉實則以小分陞為大分也
併/得三又 二百四十之四百一十二
歸整四又二百四十之/一百七十二約為六十之四十三
右係大分母不同故盡通為小分而併之
以上大分𢃄小分法為通分併子之又一類
凡通分併法以通分減法還原互見/後除
[043-14a]
通分子母減法
通分減法亦有三類曰母同者曰母不同者曰大分𢃄小分者
而其減之之法有五曰徑減法曰變分母法曰互乘法曰子乘
母除法曰通母納子法併之與減猶乘之與除可以互相還原/相反而適相成也故所用之法皆同
徑減法數在三宗以上而/母同者並用此法
凡分母同者徑以相減不足減者以分母通整數減之
假如有紵絲一疋零五分疋/之三用過五分疋之三問仍存若干
答曰五分疋之四
[043-14b]
原一 五之二 此以之三減之二則減數反/大於原數不足減以借法作
減 五之三 㸃於疋位借原數一疋通作/五分併之二共成五之七内
存○ 五之四 減去五之三仍存五之四合/問
以上分母同者徑以對減為通分減法之一類
變分母法
凡分母有可以比例言者以比例同之可省互乘
假如有數六之三又有數四之三其較若干
答曰四之一
[043-15a]
較 四 之一
假如有整數一零八之三減去四之三該存若干
答曰八之五
整數一 八 之/三 通/為八 之十/一
減數 四 之/三 變八 之六
存數 八 之五
[043-15b]
互乘法
凡分母不同者先互乘以同其母冄以母互乗其子而減之
假如有兩數甲五之三乙七之四不知誰多
法以兩分母五七相乘得/三十五為共母又互乘其
子變甲數為三十五之二/十一變乙數為三十五之
二十以相減則乙不及甲/者其較為三十五分之一
甲多 三十五之 一
凡分母同者視其子為大小子數大者即/大小者即小若子同而母不同者
[043-16a]
反是母數大者/子數反小亦以互乘見之如後圖
甲六之四/乙五之四互得三十之二十/之卄四 丙四之三/丁五之三互得二十之十五/十二
乙多 三十分之四 丙多 二十分之三
右二則以分相較而辨其多寡即古課分之法也
凡三母内有兩母相乘與餘一母同者只用一互乘即可相減
假如有甲數二又三十五/之十一乙得甲七之/六丙得甲五之/四餘為丁數
該若干
答曰丁得甲三十五之二十三
[043-16b]
先以分母通整數/為分而納入分子
次以減數分母相/乘為共母又互乘
其子而併之是為/三十五之五十八
丁存 三十五之卄三 以減甲數仍餘三/十五之卄三合問
子乘母除法
凡分母有可以相除者以分母除其分母得數轉以乘
子而減之其餘數仍以分母除之即得約分之數若原
係兩分母互乘而併者用此法可知原母數在三宗以/上而母不同
[043-17a]
者並用此法/可代維乘
假如有沉香一石零二十八分/石之九用去七分石之四該餘
若干
存 卄八 之 二十一 約為四之三
法以分母通共數一為二十八併子之九共三十七變共數/為二十八之三十七 又以減分母七除共數之分母二十
[043-17b]
八得存數原母四以乘減分子四得十六變減數為二十八/之十六兩相減得所存數為二十一於是仍以減分母七除
之得存數原子三/變存數為四之三
論曰此亦變分母法也其數與互乘所得無異但用互乘則/數益煩故用子乘母除之法變七之四為二十八之十六母
既相同即可以相減矣若互用異/乘同除則成三率之比例如後圖
一率分母/七 法以子之四乘所變分母二十八得一百
二率分子/四 十二為實分母七為法除之得所變分子
三率分母/卄八 為十六其比例為七與四若二十八與十
四率分子/十六 六也
[043-18a]
又論曰存數不用約分法而竟以分母七除何也曰約分之
法以對減而得紐數今分母七既可以除其母二十八又可
以除其子二十一即紐數也又何事於對減之煩乎况用之
互乘還原尤為親切盖互乘之共母既以原母相乘而得即
無不可以原母除之而盡也
假如有整數一又九十之/七十二甲得六之/四乙得三之/一餘為丙數該若
干
答曰丙得五之四
[043-18b]
丙存 五 之四 九十 之七十二
法曰先以分母通整一為九十併分子七十二是為九十之/一百六十二 次以甲分母六除原母九十得十五以
甲分子四乘之得六十為甲數三又以乙分母三除原母九/十得三十以乙分子一乘之仍 十為乙數
合甲乙兩數得九十以減原數一百六十二仍餘七/十二為丙數以法約之為五之四 約分法詳後條
約分㨗法 置丙存數九十之/七十二為實以甲乙分母六/三相乘得
[043-19a]
數十/八為法除之得五之四為丙存數以十八除九十得五/十八除七十二得四
約分本法用子數七十二減母數九十得十八以轉減子數/得五十四再遞減之亦餘十八是為紐數乃用為法以除子
母數得約分五之四今改用甲乙兩母相乘亦得十八為法/何也以原數九十可以六除亦可以三除知其為三數維乘
而得者也故/於還原最切
論曰此有分母三宜用維乘然其數益繁故改用子
乘母除之法則三母齊同可用相減而法與數俱簡
矣
試先減乙丙數則所存者即甲數法同/上
[043-19b]
甲存 約/為六 之四 即九十 之六十
若先減甲丙數則所存者必乙數其法並同兹不悉具
按如此互求即知無誤可無假他法還原矣
假如有數五百○四之四百○一甲得八之/一乙得六之/一丙得七/之
一/丁得九之/一餘者為戊數該若干 答曰戊得四之一
[043-20a]
原數 五百○四 之四百○ 一
甲減 八 之一 六十三
乙減 六 之一 以各減母除原母得 八十四
丙減 七 之一 七十二
丁減 九 之一 五十六
共減 二百七十五
戊存 五百○四 之一百二十六
約為 四 之一以所存之數/除原母即得
[043-20b]
解曰此因分子俱係之一故即以除數為得數也
以上分母不同者為通分減法之又一類
大分𢃄小分減法
凡大小分母並同者謂原數之大小分母與減/數之大小分母也下倣此竟以對減不足減
者借整數以分母通為分小分不足減亦以小分之母通大分/為小分 其借上位皆作㸃誌之
若大分母本同而小分母不同者用互乘以同之餘如上法
若大小分母俱不同者用通分法盡通大分為小分而納小分
焉餘如上法
[043-21a]
假如西厯算得某月平朔三十日○一時一十六分其實距時
七時四十分為減號問實朔在某甲子某時刻
答曰壬辰日酉初二刻○六分以二十九日命為壬辰日以/十七時命為酉初其小餘三
十六分以三十分收為二刻尚餘六/分命為壬辰日酉初二刻○六分
日 時 分時為大分大分以二十四為母/時下為小分小分之母六十
平朔三□○□一□先減小分四十原數只十六不足減/作直號於大分位借一分通為小分
實距/時 七四□ 六十并原小分共七十六減四十餘/三十六 次減大分七原數一已借
實朔二□一□三□去亦借整一通為二十四減七餘十/七 原數三十因借減一餘二十九
[043-21b]
凡大小分母不同者謂大分之母與小/分之母不同也須作㸃以别之故借
整化零之㸃改為直號
右係大小分母並同故竟以對減
假如有整數一又九之/四又小分四十/之七甲得九之/四又小分五之/四餘
為乙數該若干
答曰乙得九之八又八之三
[043-22a]
乃重列之小分既同/即可相減
乙存 九 之八 二百之七十五 約為八之三
法曰先減小分減數大原數小不足減乃作直號於/大分位借一分通為小分納原數共二百三十
五減一百六十餘七十五為次減大分原數四因借/減一變三亦借整數一通 九共十二減四餘八
整數借/減盡
試先減乙用變分母法以代/互乘餘並同上
[043-22b]
原數一 九 之□又 四十 之七
減乙 九 之八又八 之三變四十 之一十五
存甲 九 之四又五 之四即四十 之三十二
解曰四十與八是五倍比例故以乙小分八之三母子各五/倍之即變為四十之一十五則兩母齊同可以對減矣
右係大分母同而小分母不同故用互乘以同之
假如甲丙兩坵田共四畝又六十分畝之四十三甲坵二畝又
四分畝之三又小分五之一餘為丙坵該若干
答曰一畝又十二分畝之十一即六十之五十五母子各/五約之為十二之十一
[043-23a]
法先以甲小分母五通大分四之三為二十之十五加入原
𢃄小分一共二十之十六乃列而減之如此則大分小分合/而為一與原數無小
分者/類矣
存丙一又 六十 之五十五
用變分母法以甲子母各加三倍變二十之十六為六十之
四十八以減原數四十三不及減乃作直號於整數位借一
[043-23b]
數通為六十分納原數共一百○三減甲數四十八餘五十
五次減整數整數四因借減一成三減甲二仍餘一是為整
數一又六十之五十五即丙存數也
右係大分母不同故通為小分而減之
以上大分𢃄小分法為通分減法之又一類
通分子母乘法
假如有田三十六畝六分毎畝徵銀三分錢之二問該銀若干
答曰二兩四錢四分
[043-24a]
法以分子之二乘田三十六畝六分得
七十三分二以分母三收之得二兩四
錢四分合問
何以知其為七十三分也曰原問毎畝
徴銀三分錢之二分故於右行實數内
尋毎畝之位為定位之根以横對左行
得數即命為分則上下俱定矣
假如有銀六十四兩毎兩買銅八斤十二兩該銅若干
[043-24b]
答曰五百六十斤
先以斤法十/六收十二兩為斤下之七分
五釐加八斤共八七五為法以乘銀六
十四兩得五六○○○即於右行實數
内尋毎兩位以横對左行得數命法尾
釐推而上之定為五百六十斤
假如有米五石又三分/石之二毎石價銀九分兩之八該銀若干
[043-25a]
答曰五兩又二十七分兩之一
法以分母三通五石為十五分納子二
共十七分以價之八乘之得一百三十
六又以兩分母三/九相乘得二十七收之
合問
通分子母除法
假如毎田一畝徴銀三分錢之二今完編銀二兩四錢四分該
田若干
[043-25b]
答曰三十六畝六分
法以分母三/通二兩四錢四分為七十
三分二為實以分子之二為法除之即
得三十六畝六分合問原所設三分之/二以錢為主故
四分所通/為小分
假如有米五石又三分石之二共價銀五兩又二十七分兩之
一問毎石該價若干
答曰九分兩之八
[043-26a]
法先以米分母三/通五石為十五分納子二共
十七分為法又以價分母卄/七通五兩為一百三
十五納子一共一百三十六分為實法除實得
八為毎石三分一之價以分母三乘之得二十
四分為毎石價命為二十七分兩之二十四約
為九之八
又㨗法以米分母三除銀分母二十七得九為毎/石價之母即以除出之數為子即九之八
假如有絲一斤又六分斤之四共價一兩又四十二分兩之二
[043-26b]
十問毎斤價若干 答曰七分兩之六又十之二
法先通絲一斤為六分納子四共一十為法又通銀一兩為
四十二分納子二十共六十二退一位即一十/除也命為單六又
小分二即毎斤六分一之絲價也於是以分母六乘之得三
十六又小分十二為毎斤價是為四十二分兩之三十六又
小分十二也子母並六約之為七分兩之六又小分十之二
㨗法以絲分母六除價分母四十二得七為毎斤/絲價之母即命為七分兩之六又十之七
通分子母三率法即異乘/同除
[043-27a]
假如西厯太陽毎日平行五十九分零/八秒二十微今有二刻半該行若干分
答曰一分三十二秒卄四微又九十六分/微之卄六
[043-27b]
法先通五十九分為三千五百四十秒加原帯八秒共三千/五百四十八秒又通為二十一萬二千八百八十微加原
𢃄二十微共二十一萬二千九百微在位以二刻半乘之得/五十三萬二千二百五十微為實以一日化九十六刻為法
除之得五千五百四十四微不盡除滿三千六百微收為一/分又一千九百二十微收為三十二秒仍餘二十四微 不
盡者以法命之是為一分三十二秒/二十四微又九十六分微之二十六
論曰此小數法也何則二十一萬二千九百者是每日九十
六刻之數今以二刻半乘之於刻下多一位故截去得數尾
一位命為百
假如以粟易布毎粟六分石之二易布五分疋之三今有粟一
[043-28a]
石又三分石之二該布若干 答曰三疋
一 粟六分石之二母子各/減一倍變為三之一
四 布五分疋之十/五 收為整三疋兩粟母同為三省不/用只以布分母收之
用變分母法變一率六之二為三之一則兩粟母相同可省
互乘而子變為之一又可省除只以三率一石用分母通為
三納子二共五以乘二率布分子之三得十五再以布分母
[043-28b]
五收之即得三疋合問
假如以銀換金毎銀二兩又三分兩之二換金九分兩之二今
有銀六分兩之四該金若干
答曰十八分兩之一
四 金十/八分兩之一
[043-29a]
法以一率分母三/互乘三率六之四為十八之十
二與二率之二相乘得二十四為實又用一率分
母三通二兩為六分納子二共八是為三之八復
以三率分母六/互乘之為十八之四十八以乘金母
九/得四百三十二為法法大實小以法命之為四
百三十二之二十四母子各二十四約之即十八
分兩之一合問
若用變分母法則如後式
[043-29b]
一 銀二兩又三/之二 通為三之八乘得七十/二為法以金母九/乘之八也
四 金七十/二分兩之四 約為十/八之一子母各/四約之
解曰十八分兩之一即五分五氂五五不盡
畸零𢃄分子母乘法
假如以八之五乗四之三該若干
答曰三十二之十五
[043-30a]
法以母乘母得三十二子乘子得十五即三
十二之十五為乗得數也
又法以除代乗則倒位互除之
法以五除四得八為母數以八除三得三七
五為子數是為八之三七五與乗得之數同
解曰四除三十二得八四除十五得三七五若四因八得
三十二四因三七五亦得十五
用法
[043-30b]
假如穀一石價二十七分兩之十六今有穀四分石之三價若
干
答曰九分兩之四
一 穀一石
四 價九分兩之四因首率是一故省除/即以九之四為得數
解曰二十七分兩之十六即五錢九分二氂六毫弱也穀四
[043-31a]
分石之三即七斗五升也價九分兩之四即四錢四分四四
不盡也
若用倒位除以代乘則徑得九之四
法用母四除十六得四為子用子三除二
十七得九為母是為九之四也
畸零𢃄分子母除法
假如以五之四除四之三該若干
答曰八之七五
[043-31b]
法以母除母得八子除子得七五是為八之
七半即除得數也
又法以乘代除則倒位互乗之
法以母五乘子三得十/五為子以子四乗母四
得十/六為母是十六之十五與除得之數同
解曰十六即八之倍數十五即七五之倍數故其數同
用法
假如以絹易縀絹五分丈之四換縀七分丈之四問絹毎丈該
[043-32a]
縀若干
答曰該換縀七分丈之五
一 絹五分丈之四 法以母除母得一四子除子得一○是
二 縀七分丈之四 為一十四之一十子母各半之為七分
三 絹一丈 之五三率是一省乘即/用縀七之四為實
四 縀七分丈之五
解曰五分丈之四者八尺也七分丈之四者五尺七寸一分
强也七分丈之五者七尺一寸四分强也
[043-32b]
若用倒位乘以代除所得亦同
法用子四乘母七得卄八為母用母互乘子
四得卄為子子母各取四之一即七之五也
論曰同文筭指有畸零乘除之法甚為簡妙然莫適所用今以
三率列之則實數可稽而用法亦明矣
畸零乘除定位
凡乘法得數必大於原問之數若畸零乗則其數反降凡除法
得數必降若畸零除則其數反陞盖即異乘同除之理諸家算
[043-33a]
術皆未經說破故定位多訛兹以三率明之如左
假如換珠每珠一兩值銀二十四兩今有珠三分五釐該若干
答曰八錢四分
此首率是單兩
而三率有分釐
是單下有三位
零也故截去得
數尾三位命法
[043-33b]
尾兩兩位空定所得為八錢四分
論曰此即以乘出之數為四率者以首率是單一兩故
省除耳試即以三率實尾位釐為單而定所得為八
百四十兩為實亦陞首率單兩為千釐為法除實即/以
實數降/三位亦仍得八錢四分合問此條已詳二巻乘法/中兹以三率列之於
定位之/理益明
又論曰乘除之難在於定位而畸零為尤難所以者
何凡定位以單數為根而畸零無單位可言故也前
[043-34a]
於乘法中立本數大數小數三法以尋每位可以御
畸零矣於除法猶未有以處也今皆歸之三率惟視
三率中所有之數即命為單數如金銀之類本以兩/為單今視三率中有
分即以分為單而兩則為其百數又如米穀之類本/以石為單今三率中有斗即以斗為單而石則為其
十數他/倣此則雖畸零皆可作整數筭無論乗除一以貫
之矣是為以零變整而乗除之後得數無異/此所以别於通分化整為零之法也
假如有珠三分五釐價銀八錢四分問每兩珠價若干
答曰二十四兩
[043-34b]
此一率首位是分即/以分為單數以二率
陞兩位作八十四兩/為實以法三分五釐
對實分位列之位命/除畢於法上一
為單分推而上之定/得數為二十四兩合
問/
解曰二率陞二位為實者即百分乘也分原在單兩下二位
今既陞為單則單兩亦陞二位成百分也
假如銀二錢四分買稻九十六斤毎兩該若干
[043-35a]
答曰四百斤
此以錢為單數則三率單/兩成十錢而二率亦陞一
位成九百六十○斤為實/於是以法二錢對實○位
列之以單錢對單斤也單/除畢於法上一位命為
斤即得數為四百斤合問/
假如以豆換油豆四斗八升換油十二斤今豆十石該油若干
答曰二百五十斤
[043-35b]
此以斗為單數則三/
率十石成百斗故二/率亦陞兩位作一千
二百斤為實以法四/斗對實○斤位列之
亦以單斗對單斤也/餘亦同
假如芝麻六斗四升四合換豆一石今芝麻四石八斗三升該
豆若干
答曰七石五斗
[043-36a]
若以斗為單則命實為四十八石三斗以二率十/斗乘之也而以法首
六斗對實三斗列之除畢於法上位定為斗亦得七石五斗
或以升為單以合為單得數亦無不同也以升為單法上即/命為升以合為單
[043-36b]
法上即/命為合
假如錢六百五十文價四錢八分七釐半每千該價若干
此問毎千錢價是以千/為單也今法首只有百
即以百為單而陞單千/為十百則二率亦陞一
位作四兩八錢七分五/釐為實四兩列之以單
百對單兩也除畢於法/上位命為單兩兩位空
定得數為七錢五分/
[043-37a]
[043-37b]
歴筭全書卷三十七
欽定四庫全書
厯算全書巻三十七
宣城梅文鼎撰
筆算巻四
通分法併減乘除並有子母通分之用故别自為/巻其畸零以十百千萬為等者不用此法
凡整數下有零分而不以十分成整當用通分其法以
一整數剖為若干分是為母數其所𢃄零分在母數中
得幾分之幾是為子數
[043-1b]
通分子母列位法
通分列位其法有三曰化整為零曰以整𢃄零曰收零
為整
假如有物一斤四兩則以一斤通為十六兩加入所𢃄
四兩共二十兩而列之
二○斤以十六兩為母其所𢃄四兩是子今/化斤為兩則可乘除謂之以母從子也
若欲通為銖則以毎兩二十四銖為母通二十兩為四
百八十銖
[043-2a]
四八○此以斤通為兩兩又通/為銖是兩次用通分也
若畸零累析有用通分三次四次以上者准此論之
如皇極經世一元有十二㑹一㑹有三十運兩次通之
則一元有三百六十運 一運有十二世一世有三十
年兩次通之則一運有三百六十年
若以元通為年則用四次元通為㑹㑹又通為運運又/通為世世又通為年是四次
用通/分也通得十二萬九千六百為一元年數
假如古歴十九年七閏謂之一章其月謂之章月
[043-2b]
二三五此以毎年十二月通十九得二百二十八月加/入閏七月共得二百三十五月為一章之月
右化整為零 古通分法曰通以分母納以分子盖
言以分母通其整數而以所𢃄零分加入也然亦有
不納子而但通其整之時既以分母通之則整數不
用全化為分故西學謂之化法
别有變零為整之法與此化整為零之法似同而實
不同所以為零乘之用盖化整則全化為零而不用
整變零則全變為整而不用零其數則同謂自一至/九之數
[043-3a]
其等則異謂如零陞為單/單陞為十之類詳見零除條
凡通分化整為零以便乘除不必更書其母若列位本法以整
𢃄零當以母數子數並而書之曰幾分之幾若分下𢃄有小分/則曰幾分之幾又
幾分分/之幾
假如有整數二十五𢃄有零分為整數十二分之七又仍𢃄零
秒為分數三十分之十四
此如歴算法一週十二宫一宫三十度今/算得星行二十五週又七宫十四度也
假如有整數十六又𢃄零數為整數七分之五
[043-3b]
此以一整數剖為七分而所𢃄零分/適得其五也七為分母五為分子
假如有零數為整數三十分之十四又𢃄有小分為分數六之
五
此原無整數但有分又有小分其分以三十/為母十四為子是一整數剖為三十而得其
十四也小分以六為母五為子是一大分又/剖為六而得其五也小分母古謂之秒母
右以整𢃄零
凡母數必大於子數其常也乗除之後有子數反多者法當以
母數收之為整而𢃄其零
[043-4a]
假如有零分十六其分母九此以子數反大當/以母數收為整
九之/十六 收得一九之/七 十六分内除九分收為整餘七/分是為整一又九分之七也
假如方田之法以方五尺為步其積二十五尺今有積七十尺
步法二十五尺而積有七/十尺子數反多法當收整
七十尺内除五十尺收為二步剩二十尺不/能成步是為整二步又二十五分步之二十
假如古厯法以十九年為一章四章為一蔀今距
元中積一百年問在第幾蔀第幾章
畣曰第二蔀第二章之第六年
[043-4b]
法先以章法十九收九十五年成五章剰五/年 次以蔀法四收四章成一蔀剩一章
通列之成一蔀一章零五年是為已過之/數今正在交第二蔀第二章之第六年也
右收零為整凡欲乗除必化整為零既乘除矣仍/必收零為整此二者相須為用也
此外仍有除零附整之法其法以分母為法分子為實實如
法而一得零數為整數十分之幾或百分千分萬分之幾所
謂退除為分秒也見除法命分
通分併子法
通分併子其類有三曰母同者曰母不同者曰大分又
[043-5a]
𢃄小分者而所以併之之法有七曰徑併法曰變分母
法曰互乗法曰連乘法曰維乘法曰截并法曰通母納
子法
徑併法
凡分母數同者徑并其子併滿母數收為整數在三宗以上而/母同者皆可徑并
其子或大分之下𢃄有小/分而分母同者並用此法
假如有絲五分斤之四又五分斤之三併之若干
畣曰整一斤又五分/斤之二
[043-5b]
此因兩母同為五故徑併其子且/子數七母數五是子滿母數而
有餘也當以母數收之得整一零/五之二
以上分母同者徑併其子為通分併法之一類
變分母法
凡分母不同而有比例可求者變而同之可省互乘
假如有數六之/三又加四之/一共若干
畣曰共四之三
[043-6a]
法以六之三母子各損三之一變為四/之二則兩母同為四而其子可併矣
所以然者四與六是倍半比/例故去三分之一即相同也
假如有金八分兩/之五又四分兩/之三併之若干
答曰一兩又八分兩之三
八與四為折半比例然不以八折半/者其子奇數不可半也故以四之三
加倍即母數齊/同可相併矣
[043-6b]
互乘法
凡分母不同而無比例可求者先互乘以同其母再以母互乘
其子而併之數在三宗以上而母/不同者皆可用此法
假如有物四分石/之三又七分石/之四共若干 答曰整一石又卄八分/石之九
先以右母四互乘左母七得卄八/又互乘子四得十六變七之四為
卄八之十六三次以左母七互乘/右母四及子 變四之二為卄八
之卄一之兩母既同遂併其子為/二十八 三十七
以滿共母二十八収為整一仍餘/九
[043-7a]
凡三母内有兩母相乘與餘一母同者祇用一互乘即可相併
假如有甲乙丙丁四數乙得甲七之/六丙得甲五之/四丁得甲卅五/之二
十/三若合乙丙丁三數得甲數若干 答曰得甲數二又三十五/之十一
法以乙丙兩母相乘三十五與丁/母同數即用乙母七互乘丙五之
四得三十五之卄八丙母五互乘/乙七之六得三十五之三十以併
丁三十五之二十三共得卅五之/八十一以滿母卅五成整數合問
歸/整得甲數二又卅五/之十一
連乘法
[043-7b]
凡數三宗以上者用母連乘為共母又以各母除之得數以乘
其子為子而併之併滿共母收為整
假如有數六之/四又加三之/一又加五之/四併之若干
答曰整一又九十之/七十二 法以六乘三得一十八又以五/乘之得九十為連乘之共母
即六除共母得數以/乘之四之數
即三乘共母得數以/乘之一之數
即五除共母得數以/乘之四之數
歸整得一又九十之/七十二
[043-8a]
觧曰此即互乘也試以五互乘六之四得三十之二十一又/以三互乗之即成九十之六十 以六互乗三之 得
十八之六又以五互乘之即成九十之三十九以六互乗五/之四得三十之二十四又以三互乗之即成 十之七十二
維乘法此古維乘法也與母除共/母以乘子之法所得同
假如錢糧一次完過九分/之一又完四分/之一又完六分/之一又完六分/之一又完
七分/之一問共完若干 答曰五百○四之四百零一約為十分/之八稍弱
[043-8b]
法以八乘六得四十八再以七乘之得三百卅六又以九乘/之得三千○卄四又以四乘之即得一萬二千○九十六
約為五百○四之四百○一卄四/約之
[043-9a]
解曰此即連乘法也但因分子皆為之一故即/以母除共母之數為子相併而省一乗
試用維乘所得亦同
[043-9b]
截併法
凡數件中有分母同者先取出併之然後與各件並列
則五件可作四件用六件以/上倣論而共母亦簡
如前圖有八之一四之一為加倍比例可先取併之用/變
分母/法
乃重列之原數五宗今作四/宗入算餘並同前
[043-10a]
解曰共母原/係一萬二千
○九十六今/只三千○二
十四簡四之/三故所得之
子皆於前式/為四之一
凡宗數繁多而分母又各不同者可分作幾次併之
假如有物四宗甲數五分斤/之三乙數六分斤/之一丙數三分斤/之二丁數七/分
斤之/四併之若干
[043-10b]
答曰整二斤又六百三十分斤之三
如上圖依法互乘以四宗併作兩宗乃重列之
以上分母不同者為通分併子之又一類
[043-11a]
大分𢃄小分併法
凡大分之下𢃄有小分而母相同者如法併之自小分起滿小
分之母進為大分滿大分之母進為整
若大分之母同而小分母不同者用互乘法使其同餘如/上法
若大分母不同者即通大分為小分再用互乘以同之
假如西厯以一日分二十四小時一時又析為六十分今算得
中㑹二十九日十七時三十六分實㑹該加七時四十分
依法併之得三十日零一時一十六分
[043-11b]
原二九 卄四之/一七 六十之/三六 時為大分大分之母二十四/時下為小分小分之母六十
加 丨丨卄四之/ ○□ 六十之/四十 先併小分得七十六以滿六/十進為一時仍餘十六分
併得三○日○一時十六分 次併大分得二十五時以滿/二十四進為一日仍餘一時
假如修築河堤新修七里○六十六歩一尺舊堤原存一十二
里二百九十三步四尺問堤長若干答曰長二十里
新修○七 ○六六 一 里法三百六十步法五先併/尺一四共五進一步次併步
原存□□ □□□ 四 共三百六十進一里次併里/二七及所進之一共十里併
共長二○里○○○步○尺 原十里是為堤長二十里合/問
[043-12a]
假如有硃砂八斤十兩○九銖又有三斤五兩十八銖共若干
答曰十二斤○三銖
八 一○ ○九 銖滿二十四進一兩/餘三兩滿十六進一
□ ○□ □八 斤斤共十二是為一/十二斤○三銖合問
共一二斤○○兩○三銖
右大小分母俱同故徑以子併
假如甲數九之/四又小分五之/四乙數九之/八又小分八之/三併之若干
答曰整一又九之四又小分四十之七
[043-12b]
先同其小分之母
先以小分母相乘得四十/為共母 又互乘其子變
五之四為四十之三十二/變八之三為四十之十五
小分母既同乃重列而併之餘同/上
併/之得九之十二又四十之四十七
歸整一又九之/四又小分四十之七 小分滿四卜收為大分/一大分滿九收為整一
[043-13a]
右係大分母同而小分之母不同故互乘之使其同
假如有田二坵甲坵二畝又四分/畝之三又小分五之/一丙坵一畝又三/分畝
之/二又小分四之/三併之若干
答曰整四畝又六十分畝/之四十三
先以甲小分母五通大分四之三為小分二十之十五加入
原𢃄小分一共二十之一十六為甲數
又以丙小分四通大分三之二為小分十二之八加入原𢃄
小分三共十二之十一為丙數
[043-13b]
解曰此即古通分納子之法也以大分盡通為小/分而納小分焉實則以小分陞為大分也
併/得三又 二百四十之四百一十二
歸整四又二百四十之/一百七十二約為六十之四十三
右係大分母不同故盡通為小分而併之
以上大分𢃄小分法為通分併子之又一類
凡通分併法以通分減法還原互見/後除
[043-14a]
通分子母減法
通分減法亦有三類曰母同者曰母不同者曰大分𢃄小分者
而其減之之法有五曰徑減法曰變分母法曰互乘法曰子乘
母除法曰通母納子法併之與減猶乘之與除可以互相還原/相反而適相成也故所用之法皆同
徑減法數在三宗以上而/母同者並用此法
凡分母同者徑以相減不足減者以分母通整數減之
假如有紵絲一疋零五分疋/之三用過五分疋之三問仍存若干
答曰五分疋之四
[043-14b]
原一 五之二 此以之三減之二則減數反/大於原數不足減以借法作
減 五之三 㸃於疋位借原數一疋通作/五分併之二共成五之七内
存○ 五之四 減去五之三仍存五之四合/問
以上分母同者徑以對減為通分減法之一類
變分母法
凡分母有可以比例言者以比例同之可省互乘
假如有數六之三又有數四之三其較若干
答曰四之一
[043-15a]
較 四 之一
假如有整數一零八之三減去四之三該存若干
答曰八之五
整數一 八 之/三 通/為八 之十/一
減數 四 之/三 變八 之六
存數 八 之五
[043-15b]
互乘法
凡分母不同者先互乘以同其母冄以母互乗其子而減之
假如有兩數甲五之三乙七之四不知誰多
法以兩分母五七相乘得/三十五為共母又互乘其
子變甲數為三十五之二/十一變乙數為三十五之
二十以相減則乙不及甲/者其較為三十五分之一
甲多 三十五之 一
凡分母同者視其子為大小子數大者即/大小者即小若子同而母不同者
[043-16a]
反是母數大者/子數反小亦以互乘見之如後圖
甲六之四/乙五之四互得三十之二十/之卄四 丙四之三/丁五之三互得二十之十五/十二
乙多 三十分之四 丙多 二十分之三
右二則以分相較而辨其多寡即古課分之法也
凡三母内有兩母相乘與餘一母同者只用一互乘即可相減
假如有甲數二又三十五/之十一乙得甲七之/六丙得甲五之/四餘為丁數
該若干
答曰丁得甲三十五之二十三
[043-16b]
先以分母通整數/為分而納入分子
次以減數分母相/乘為共母又互乘
其子而併之是為/三十五之五十八
丁存 三十五之卄三 以減甲數仍餘三/十五之卄三合問
子乘母除法
凡分母有可以相除者以分母除其分母得數轉以乘
子而減之其餘數仍以分母除之即得約分之數若原
係兩分母互乘而併者用此法可知原母數在三宗以/上而母不同
[043-17a]
者並用此法/可代維乘
假如有沉香一石零二十八分/石之九用去七分石之四該餘
若干
存 卄八 之 二十一 約為四之三
法以分母通共數一為二十八併子之九共三十七變共數/為二十八之三十七 又以減分母七除共數之分母二十
[043-17b]
八得存數原母四以乘減分子四得十六變減數為二十八/之十六兩相減得所存數為二十一於是仍以減分母七除
之得存數原子三/變存數為四之三
論曰此亦變分母法也其數與互乘所得無異但用互乘則/數益煩故用子乘母除之法變七之四為二十八之十六母
既相同即可以相減矣若互用異/乘同除則成三率之比例如後圖
一率分母/七 法以子之四乘所變分母二十八得一百
二率分子/四 十二為實分母七為法除之得所變分子
三率分母/卄八 為十六其比例為七與四若二十八與十
四率分子/十六 六也
[043-18a]
又論曰存數不用約分法而竟以分母七除何也曰約分之
法以對減而得紐數今分母七既可以除其母二十八又可
以除其子二十一即紐數也又何事於對減之煩乎况用之
互乘還原尤為親切盖互乘之共母既以原母相乘而得即
無不可以原母除之而盡也
假如有整數一又九十之/七十二甲得六之/四乙得三之/一餘為丙數該若
干
答曰丙得五之四
[043-18b]
丙存 五 之四 九十 之七十二
法曰先以分母通整一為九十併分子七十二是為九十之/一百六十二 次以甲分母六除原母九十得十五以
甲分子四乘之得六十為甲數三又以乙分母三除原母九/十得三十以乙分子一乘之仍 十為乙數
合甲乙兩數得九十以減原數一百六十二仍餘七/十二為丙數以法約之為五之四 約分法詳後條
約分㨗法 置丙存數九十之/七十二為實以甲乙分母六/三相乘得
[043-19a]
數十/八為法除之得五之四為丙存數以十八除九十得五/十八除七十二得四
約分本法用子數七十二減母數九十得十八以轉減子數/得五十四再遞減之亦餘十八是為紐數乃用為法以除子
母數得約分五之四今改用甲乙兩母相乘亦得十八為法/何也以原數九十可以六除亦可以三除知其為三數維乘
而得者也故/於還原最切
論曰此有分母三宜用維乘然其數益繁故改用子
乘母除之法則三母齊同可用相減而法與數俱簡
矣
試先減乙丙數則所存者即甲數法同/上
[043-19b]
甲存 約/為六 之四 即九十 之六十
若先減甲丙數則所存者必乙數其法並同兹不悉具
按如此互求即知無誤可無假他法還原矣
假如有數五百○四之四百○一甲得八之/一乙得六之/一丙得七/之
一/丁得九之/一餘者為戊數該若干 答曰戊得四之一
[043-20a]
原數 五百○四 之四百○ 一
甲減 八 之一 六十三
乙減 六 之一 以各減母除原母得 八十四
丙減 七 之一 七十二
丁減 九 之一 五十六
共減 二百七十五
戊存 五百○四 之一百二十六
約為 四 之一以所存之數/除原母即得
[043-20b]
解曰此因分子俱係之一故即以除數為得數也
以上分母不同者為通分減法之又一類
大分𢃄小分減法
凡大小分母並同者謂原數之大小分母與減/數之大小分母也下倣此竟以對減不足減
者借整數以分母通為分小分不足減亦以小分之母通大分/為小分 其借上位皆作㸃誌之
若大分母本同而小分母不同者用互乘以同之餘如上法
若大小分母俱不同者用通分法盡通大分為小分而納小分
焉餘如上法
[043-21a]
假如西厯算得某月平朔三十日○一時一十六分其實距時
七時四十分為減號問實朔在某甲子某時刻
答曰壬辰日酉初二刻○六分以二十九日命為壬辰日以/十七時命為酉初其小餘三
十六分以三十分收為二刻尚餘六/分命為壬辰日酉初二刻○六分
日 時 分時為大分大分以二十四為母/時下為小分小分之母六十
平朔三□○□一□先減小分四十原數只十六不足減/作直號於大分位借一分通為小分
實距/時 七四□ 六十并原小分共七十六減四十餘/三十六 次減大分七原數一已借
實朔二□一□三□去亦借整一通為二十四減七餘十/七 原數三十因借減一餘二十九
[043-21b]
凡大小分母不同者謂大分之母與小/分之母不同也須作㸃以别之故借
整化零之㸃改為直號
右係大小分母並同故竟以對減
假如有整數一又九之/四又小分四十/之七甲得九之/四又小分五之/四餘
為乙數該若干
答曰乙得九之八又八之三
[043-22a]
乃重列之小分既同/即可相減
乙存 九 之八 二百之七十五 約為八之三
法曰先減小分減數大原數小不足減乃作直號於/大分位借一分通為小分納原數共二百三十
五減一百六十餘七十五為次減大分原數四因借/減一變三亦借整數一通 九共十二減四餘八
整數借/減盡
試先減乙用變分母法以代/互乘餘並同上
[043-22b]
原數一 九 之□又 四十 之七
減乙 九 之八又八 之三變四十 之一十五
存甲 九 之四又五 之四即四十 之三十二
解曰四十與八是五倍比例故以乙小分八之三母子各五/倍之即變為四十之一十五則兩母齊同可以對減矣
右係大分母同而小分母不同故用互乘以同之
假如甲丙兩坵田共四畝又六十分畝之四十三甲坵二畝又
四分畝之三又小分五之一餘為丙坵該若干
答曰一畝又十二分畝之十一即六十之五十五母子各/五約之為十二之十一
[043-23a]
法先以甲小分母五通大分四之三為二十之十五加入原
𢃄小分一共二十之十六乃列而減之如此則大分小分合/而為一與原數無小
分者/類矣
存丙一又 六十 之五十五
用變分母法以甲子母各加三倍變二十之十六為六十之
四十八以減原數四十三不及減乃作直號於整數位借一
[043-23b]
數通為六十分納原數共一百○三減甲數四十八餘五十
五次減整數整數四因借減一成三減甲二仍餘一是為整
數一又六十之五十五即丙存數也
右係大分母不同故通為小分而減之
以上大分𢃄小分法為通分減法之又一類
通分子母乘法
假如有田三十六畝六分毎畝徵銀三分錢之二問該銀若干
答曰二兩四錢四分
[043-24a]
法以分子之二乘田三十六畝六分得
七十三分二以分母三收之得二兩四
錢四分合問
何以知其為七十三分也曰原問毎畝
徴銀三分錢之二分故於右行實數内
尋毎畝之位為定位之根以横對左行
得數即命為分則上下俱定矣
假如有銀六十四兩毎兩買銅八斤十二兩該銅若干
[043-24b]
答曰五百六十斤
先以斤法十/六收十二兩為斤下之七分
五釐加八斤共八七五為法以乘銀六
十四兩得五六○○○即於右行實數
内尋毎兩位以横對左行得數命法尾
釐推而上之定為五百六十斤
假如有米五石又三分/石之二毎石價銀九分兩之八該銀若干
[043-25a]
答曰五兩又二十七分兩之一
法以分母三通五石為十五分納子二
共十七分以價之八乘之得一百三十
六又以兩分母三/九相乘得二十七收之
合問
通分子母除法
假如毎田一畝徴銀三分錢之二今完編銀二兩四錢四分該
田若干
[043-25b]
答曰三十六畝六分
法以分母三/通二兩四錢四分為七十
三分二為實以分子之二為法除之即
得三十六畝六分合問原所設三分之/二以錢為主故
四分所通/為小分
假如有米五石又三分石之二共價銀五兩又二十七分兩之
一問毎石該價若干
答曰九分兩之八
[043-26a]
法先以米分母三/通五石為十五分納子二共
十七分為法又以價分母卄/七通五兩為一百三
十五納子一共一百三十六分為實法除實得
八為毎石三分一之價以分母三乘之得二十
四分為毎石價命為二十七分兩之二十四約
為九之八
又㨗法以米分母三除銀分母二十七得九為毎/石價之母即以除出之數為子即九之八
假如有絲一斤又六分斤之四共價一兩又四十二分兩之二
[043-26b]
十問毎斤價若干 答曰七分兩之六又十之二
法先通絲一斤為六分納子四共一十為法又通銀一兩為
四十二分納子二十共六十二退一位即一十/除也命為單六又
小分二即毎斤六分一之絲價也於是以分母六乘之得三
十六又小分十二為毎斤價是為四十二分兩之三十六又
小分十二也子母並六約之為七分兩之六又小分十之二
㨗法以絲分母六除價分母四十二得七為毎斤/絲價之母即命為七分兩之六又十之七
通分子母三率法即異乘/同除
[043-27a]
假如西厯太陽毎日平行五十九分零/八秒二十微今有二刻半該行若干分
答曰一分三十二秒卄四微又九十六分/微之卄六
[043-27b]
法先通五十九分為三千五百四十秒加原帯八秒共三千/五百四十八秒又通為二十一萬二千八百八十微加原
𢃄二十微共二十一萬二千九百微在位以二刻半乘之得/五十三萬二千二百五十微為實以一日化九十六刻為法
除之得五千五百四十四微不盡除滿三千六百微收為一/分又一千九百二十微收為三十二秒仍餘二十四微 不
盡者以法命之是為一分三十二秒/二十四微又九十六分微之二十六
論曰此小數法也何則二十一萬二千九百者是每日九十
六刻之數今以二刻半乘之於刻下多一位故截去得數尾
一位命為百
假如以粟易布毎粟六分石之二易布五分疋之三今有粟一
[043-28a]
石又三分石之二該布若干 答曰三疋
一 粟六分石之二母子各/減一倍變為三之一
四 布五分疋之十/五 收為整三疋兩粟母同為三省不/用只以布分母收之
用變分母法變一率六之二為三之一則兩粟母相同可省
互乘而子變為之一又可省除只以三率一石用分母通為
三納子二共五以乘二率布分子之三得十五再以布分母
[043-28b]
五收之即得三疋合問
假如以銀換金毎銀二兩又三分兩之二換金九分兩之二今
有銀六分兩之四該金若干
答曰十八分兩之一
四 金十/八分兩之一
[043-29a]
法以一率分母三/互乘三率六之四為十八之十
二與二率之二相乘得二十四為實又用一率分
母三通二兩為六分納子二共八是為三之八復
以三率分母六/互乘之為十八之四十八以乘金母
九/得四百三十二為法法大實小以法命之為四
百三十二之二十四母子各二十四約之即十八
分兩之一合問
若用變分母法則如後式
[043-29b]
一 銀二兩又三/之二 通為三之八乘得七十/二為法以金母九/乘之八也
四 金七十/二分兩之四 約為十/八之一子母各/四約之
解曰十八分兩之一即五分五氂五五不盡
畸零𢃄分子母乘法
假如以八之五乗四之三該若干
答曰三十二之十五
[043-30a]
法以母乘母得三十二子乘子得十五即三
十二之十五為乗得數也
又法以除代乗則倒位互除之
法以五除四得八為母數以八除三得三七
五為子數是為八之三七五與乗得之數同
解曰四除三十二得八四除十五得三七五若四因八得
三十二四因三七五亦得十五
用法
[043-30b]
假如穀一石價二十七分兩之十六今有穀四分石之三價若
干
答曰九分兩之四
一 穀一石
四 價九分兩之四因首率是一故省除/即以九之四為得數
解曰二十七分兩之十六即五錢九分二氂六毫弱也穀四
[043-31a]
分石之三即七斗五升也價九分兩之四即四錢四分四四
不盡也
若用倒位除以代乘則徑得九之四
法用母四除十六得四為子用子三除二
十七得九為母是為九之四也
畸零𢃄分子母除法
假如以五之四除四之三該若干
答曰八之七五
[043-31b]
法以母除母得八子除子得七五是為八之
七半即除得數也
又法以乘代除則倒位互乗之
法以母五乘子三得十/五為子以子四乗母四
得十/六為母是十六之十五與除得之數同
解曰十六即八之倍數十五即七五之倍數故其數同
用法
假如以絹易縀絹五分丈之四換縀七分丈之四問絹毎丈該
[043-32a]
縀若干
答曰該換縀七分丈之五
一 絹五分丈之四 法以母除母得一四子除子得一○是
二 縀七分丈之四 為一十四之一十子母各半之為七分
三 絹一丈 之五三率是一省乘即/用縀七之四為實
四 縀七分丈之五
解曰五分丈之四者八尺也七分丈之四者五尺七寸一分
强也七分丈之五者七尺一寸四分强也
[043-32b]
若用倒位乘以代除所得亦同
法用子四乘母七得卄八為母用母互乘子
四得卄為子子母各取四之一即七之五也
論曰同文筭指有畸零乘除之法甚為簡妙然莫適所用今以
三率列之則實數可稽而用法亦明矣
畸零乘除定位
凡乘法得數必大於原問之數若畸零乗則其數反降凡除法
得數必降若畸零除則其數反陞盖即異乘同除之理諸家算
[043-33a]
術皆未經說破故定位多訛兹以三率明之如左
假如換珠每珠一兩值銀二十四兩今有珠三分五釐該若干
答曰八錢四分
此首率是單兩
而三率有分釐
是單下有三位
零也故截去得
數尾三位命法
[043-33b]
尾兩兩位空定所得為八錢四分
論曰此即以乘出之數為四率者以首率是單一兩故
省除耳試即以三率實尾位釐為單而定所得為八
百四十兩為實亦陞首率單兩為千釐為法除實即/以
實數降/三位亦仍得八錢四分合問此條已詳二巻乘法/中兹以三率列之於
定位之/理益明
又論曰乘除之難在於定位而畸零為尤難所以者
何凡定位以單數為根而畸零無單位可言故也前
[043-34a]
於乘法中立本數大數小數三法以尋每位可以御
畸零矣於除法猶未有以處也今皆歸之三率惟視
三率中所有之數即命為單數如金銀之類本以兩/為單今視三率中有
分即以分為單而兩則為其百數又如米穀之類本/以石為單今三率中有斗即以斗為單而石則為其
十數他/倣此則雖畸零皆可作整數筭無論乗除一以貫
之矣是為以零變整而乗除之後得數無異/此所以别於通分化整為零之法也
假如有珠三分五釐價銀八錢四分問每兩珠價若干
答曰二十四兩
[043-34b]
此一率首位是分即/以分為單數以二率
陞兩位作八十四兩/為實以法三分五釐
對實分位列之位命/除畢於法上一
為單分推而上之定/得數為二十四兩合
問/
解曰二率陞二位為實者即百分乘也分原在單兩下二位
今既陞為單則單兩亦陞二位成百分也
假如銀二錢四分買稻九十六斤毎兩該若干
[043-35a]
答曰四百斤
此以錢為單數則三率單/兩成十錢而二率亦陞一
位成九百六十○斤為實/於是以法二錢對實○位
列之以單錢對單斤也單/除畢於法上一位命為
斤即得數為四百斤合問/
假如以豆換油豆四斗八升換油十二斤今豆十石該油若干
答曰二百五十斤
[043-35b]
此以斗為單數則三/
率十石成百斗故二/率亦陞兩位作一千
二百斤為實以法四/斗對實○斤位列之
亦以單斗對單斤也/餘亦同
假如芝麻六斗四升四合換豆一石今芝麻四石八斗三升該
豆若干
答曰七石五斗
[043-36a]
若以斗為單則命實為四十八石三斗以二率十/斗乘之也而以法首
六斗對實三斗列之除畢於法上位定為斗亦得七石五斗
或以升為單以合為單得數亦無不同也以升為單法上即/命為升以合為單
[043-36b]
法上即/命為合
假如錢六百五十文價四錢八分七釐半每千該價若干
此問毎千錢價是以千/為單也今法首只有百
即以百為單而陞單千/為十百則二率亦陞一
位作四兩八錢七分五/釐為實四兩列之以單
百對單兩也除畢於法/上位命為單兩兩位空
定得數為七錢五分/
[043-37a]
[043-37b]
歴筭全書卷三十七