[042-1a] 
欽定四庫全書
歴算全書卷三十六
宣城梅文鼎撰
筆算卷三
異乘同除法
以先有之數知今有之數兩兩相得是生比例莫善於
異乘同除乃古九章之樞要也先有者二今有者一是
已知者三而未知者一用三求一故西法謂之三率
[042-1b]
今先明同異名之説以著古法次詳三率之用以顯通
理
異者何也言異名也同者何也言同名也假如以粟易
布則粟與粟為同名布與粟為異名也
何以為異乗同除也主乎今有之物以為言也假如先
有粟若干易布若干今復有粟若干將以易布則當以
先所易之數例之是先易之布與今有之粟異名也則
用以乗是謂異乗若先有之粟與今有之粟同名也則
[042-2a]
用以除是謂同除皆用以乘除今粟故曰主乎今有以
為言也置今有粟以異名之布乘之為實再以同名之/粟為法除之是皆以今粟為主而以先有之二
件乘除/之也
[042-2b]
問何以不先除後乗曰以原總物除原物總價則得每
物之價以乗今有總物亦可得今有之總價然除有不
盡則不可以乗故變為先乗後除其理一也
假如原有豆一百○八石價銀三十六兩今有豆一百
三十五石問價若干
答曰四十五兩
[042-3a]
法曰置今豆一百三十五石以原豆價三十六兩乗之
得四千八百六十兩為實以原豆一百○八石為法除
之得四十五兩為今豆應有之價見以物求價也若/還原則以價求物
假如原有銀四十五兩買豆一百三十五石今有銀三十
六兩問豆若干
答曰一百○八石
法以豆一百三十五石乘價三十六兩得四千八百六十
石為實以價四十五兩為法除之得一百○八石合問
[042-3b]
西人三率法
其法以先有之二件為一率二率今有之二件為三率
四率則前兩率之比例與後兩率之比例等故其數可
以互求
今冇之二率先只有其一合前有之二率共為三率/以求之而得今有之餘一率是以三求一故曰三率
法實四/率也
假如一率是三二率是四三率是九則四率必為十二何也三
與四之比例若九與十二也故以四二/率九三/率相乘卅/六為實以三
[042-4a]
一/率為法除之必得十二四/率
若互用之以四率為一率則十二與九之比例若四與三故曰
可以互求此即還/原之理
解曰以三比四以九比十二並三分加一之比例以十二比/九以四比三並四分減一之比例凡言比例等者皆如是
此以上圖/之四率為
一率也故/其序皆倒
而所得四/率即上圖
之一/
[042-4b]
又更而互之
凡二三相乘與一四相乘等積此立法之根觀右圖可明四九/相乘
三十六而十二與三相乘亦三十六故以三除三十六得十/二以十二除三十六亦復得三此前兩圖互求之理若更一
四為二三其實同為三十六故以四除之得/九以九除之亦復得四此後兩圖互求之理
[042-5a]
又錯綜之
此又以前圖之二與三更之則前兩率之第二變為
後兩率之第一而其比例亦等凡一率二率為前兩/率乃先有之二件也
三率四率為後兩率乃今有之兩件也今以二率三/率相易則是先有之次率變為今有之首率也然以
[042-5b]
比例言之在前圖為三與四若九與十二/者在此圖則三與九亦若四與十二也
若以一率除二率得數以乗三率亦得四率如以一/率三除
二率九得三以乘三率四亦必得四率十二以一率/四除二率十二得三以乗三率三亦得四率九但先
除後乗多有不盡之分故異乗同除/為算家大法乃中西兩術所同也
試仍以古圖明之
原有小麥十二石 換食鹽九石 俱四分之三比/例若以上□左
今有小麥 四石 換食鹽三石 右更置即成三/率之前四圖
更之以縱為横/
[042-6a]
原有粱米 三石 換棉布九疋 俱三倍之比例/若以上下左右
今有粱米 四石 換棉布十/二疋 更置即成三率/之錯綜四圖
辨法實
凡三率之用皆以二率乘三率為實首率為法除之以
得所求為四率
然何以定其孰為一率孰為二率三率也曰此則古人
同異名之法不可易也訣曰凡今有之已知者常定為
三率其未知者待算而/知則常為四率視先有之物與三率之今有同
[042-6b]
名者定為首率其與今有異名必為二率矣
又訣曰凡三率之法以三件求一件其所求之一件未
知而三件則巳知也此已知之三件中必有兩件同名
如價與價物/與物之類就以此同名之兩件審其孰為先有定為
首率其今有者則為三率而其餘異名/之一件亦必先有也恒為二率
假如有句股形田長一百三十五步闊四十五步今截
相似形長一百○八步問闊若干
答曰截闊三十六步
[042-7a]
定法實訣
[042-7b]
以今截長一百○八步定為三率長與長同名以
原長一百三十五步定為首率濶與長異名以原
濶四十五步定為二率
又訣此巳知之三件是原長原闊截長内長與長同/名以原長是先有之數定為首率截長是今有
之數為三率原濶/與長異名為次率
按原長與原濶即大句大股截長截濶即小句小股
也四者皆可以遞互相求三率中更互錯綜之理尤
為易見
[042-8a]
以比例言之大股與大句若小股與小句也更之則
小股與小句亦若大股與大句也此為以股求句反
之而以句求股則大句與大股亦若小句與小股也
又更之則小句與小股亦若大句與大股也
[042-8b]
又錯綜之則大股與小股若大句與小句也而大句
與小句亦必若大股與小股矣又小句與大句若小
股與大股也而小股與大股亦必若小句與大句矣
是為三率之八變
[042-9a]
異乘同除定位法
三率定位與乗法除法無異乗法以實單位為根定所/對得數為法尾數除法以
法首上一位作識定所對得/數為所求單數並詳前巻但所用之實以二率三率
相乗而得握算者或疑其數之驟陞而不能守其定法
則定位必訛而其理益晦矣故復論之諸家算術往往/有定位不確者
皆由見乘後數多未免/驚怖而輙為酌改故也
假如六箇時辰馬行二百一十里今行五箇時辰當有
若干里
[042-9b]
答曰一百七十五里
論曰試以六時除馬行二百一/十里得每時行三十/五里以乘
五/時亦得一百七/十五里原無可疑今先乗後除故以一千/○五
十/里為實驟觀之似乎太多究竟除後適得其本數
[042-10a]
而已
假如銀三十/二兩換錢三萬六/千文今有銀二十/八兩問錢若干
答曰三萬一千五百文
[042-10b]
若以三十/二兩除三萬/六千得毎兩錢一千一百/二十五文以乗二十/八兩亦
得三萬一千五百文知得數之同則知一/百萬零八千之非誤
異乗同除約分法
三率内有兩率相凖可用約分者即改用所約之數易
繁為簡如法乘除所得無誤而用加㨗矣兩率者其一/首率其一次
率或三率也凡以法約之必兩率相準次率三率祗則/用其一皆取其與首率相凖也 或兩率並為偶數
俱折半或兩率並可均剖為四則折半兩次或兩率並/可均分為三則各取三之一或兩數互減而得等數則
以等數約之/並如約分法
[042-11a]
論其比例/為十八比 半之則/九與八 以三約之/則六與十 以九約之/則二與十 再約之/則為一
十六若九/十九與八 之比例/亦若九 六之比例/若三十三 六之比例/若十一與 與八若/十一與
十八也/ 十九與/八十八 與八十八/ 八十八/ 八十八/
假如賃房九箇月銀七十八兩問住二年該若干
[042-11b]
答曰二百零八兩法以二年成二十/四个月依式列之
四 二百零八八乗廿六/即得此數
假如八色金六十兩換銀二百八十八兩今有九色金
五十兩該若干
答曰二百七十兩此以金折成足色六十兩作四十/八兩五十兩作四十五兩算之
[042-12a]
四 二百七十十八乘十/五得此數
右皆約得一數為首率故不須除但/以二率乗三率即得所求為四率
重測法三率有疊用兩次者謂之/重測即兩箇異乘同除
假如有夏布四十五丈欲換棉布但云毎夏布三丈價二錢棉
布七丈價七錢五分問換棉布若干 答曰二十八丈
[042-12b]
一 夏布 三丈 先用為法
四 價 三兩 法除實得此數
重列
一 價七錢/五分 又用為法
[042-13a]
四 棉布 二十/八丈 法除實得此數
此因兩布各有其價故先用法求得第四率以夏布
變為銀就以此定為重列之第三率即今/價也而以棉布
價七錢/五分為首率以與今價/同名也棉布七/丈為次率以與今價/異名也
如法乘除得所換棉布為四率
併乗除法
以兩次乘除併而為一是合兩三率為一三率也即古法之同
乘同除古以併乘為異乗同乗以併除為異除同/除今乘除俱用併法故謂之同乘同除也
[042-13b]
假如今有芝麻五十四石欲換黄米但云芝麻三石換
緑豆五石換黄米三石問該換黄米若干
答曰六十七石五斗
本法 重列
一 麻 三石 豆 四石
二 豆 五石 米 三石
三 今麻 五十/四石 今豆九十石此重列之第三即先/得之第四乃本法也
四該豆 九十/石 米六十七石/五斗
[042-14a]
簡法即併法/
今以兩首率相/乘為首率
亦以兩次率相/乘為次率
以兩九十石對/去不用故三率
省乗是為併法/實簡法也
論曰本用兩次乘除今以豆四/石乘麻三/石得十二/石以除是
併兩次除為一次除也以米三/石乘豆五/石得十五/石以乗是
併兩次乘為一次乗也依法求之即得所換米六十七/石五斗
[042-14b]
與兩次求者數同又因一率二率可用約分/約之為四與五而法益簡
然則第三率何以獨異第三率徑用今麻不以豆九十/石乗之是與併兩首率為首率
併兩次率為/次率者逈别曰重列之第三即先得之第四故可以對
去不用不惟不用亦可不求重列之第三率既無乗併/之用則原列之第四率不
必更求/其數而乗除之用已偹今麻原係第三率今仍用為/第三是三率之用本無所缺
即所求之得數已清矣若第三率用豆九十石乗過之/則所得第四率亦必為豆九十
石乘過之米得數後必以九十石除之始能清出米數/反多曲折今對去豆九十石不用則所得四率即米數
直截/了當故為簡法
[042-15a]
又式
假如有戰兵七百名毎年額餉一萬二千六百兩内有
新着伍兵三百名已經應役七个月問該餉銀若干
答曰三千一百五十兩
[042-15b]
依重測併乘除法當以十二/月乘七百/名得八四/○○為法以七/箇
月/乗一萬二/千六百得八八二/○○又以三百/名乘之得二六四六/○○○○為實
法除實得三千一百五十兩為兵三百名七箇月之餉
今用約分以七/百與三/百約為七與三皆百/約之則首率次率各
有七/對去不用可省併乘
重列之時徑以十二/為首率餉銀一二六/○○為次率三/為三率依
法乘除而得四率 又以首率十二/三率三/約為四與一則
徑以餉一二六/○○為實以四為法除之得三千一/百五十合問
[042-16a]
變測法古謂之同乗異除在三率謂之/變測即幾何原本之互視法也
凡異乘同除皆以先有之一率為法即首/率以先有之又
一率乘今有之一率為實即二率三/率相乗
若同乘異除則反以今有之一率為法同文算指列於/第三今依法實
之序定/為首率以先有之兩率自相乘為實同文算指列於第/一第二今定為第
二第/三雖亦以法除實得今所求之又一率即四/率與諸三
率同而法實相反故曰變測
假如用秤稱物物重秤不能稱外加一錘稱得八十/四斤本
[042-16b]
錘一斤/五兩加錘一斤/三兩問其物實重若干
答曰一百六十斤
一 錘重二十一兩 為法
四 實重一百六十斤 法除實得數
法以錘一斤五兩作/二十一兩加錘一斤三兩/作十九兩共重四十/兩為先
有之一率稱重八十/四斤為先有之又一率相乘三三/六○為
[042-17a]
實以本錘重二十/一兩為今有之一率為法法除實得實
重一百六/十斤為所求今有之又一率合問
假如秤失去錘有所稱物重一百/六十斤今以他物代錘重四/十兩
稱得重八十/四斤問錘重若干 答曰一斤五兩
一 物重一百六十斤
二 稱得重八十四斤
三 他物/代錘重四十兩
四 錘重二十一兩
[042-17b]
假如布幔一具用布十六丈五尺布濶二尺今有布濶
一尺五寸如式作幔該用若干
答曰二十二丈
一 今濶一尺五寸
二 原濶二尺
三 原長十六丈五尺
四 今長二十二丈
假如儲粟方窖長一丈/二尺濶九/尺深一/丈今欲别穿一窖藏粟
[042-18a]
與之等長亦一丈/二尺但深加二尺/五寸該濶若干
答曰濶七尺二寸
一 今深十二尺五寸
二 原深十尺
三 原濶九尺
四 今濶七尺二寸
此原長不動而加深減濶也長今深今濶相乘得九/十尺與原深乘原濶等以乘 一十二尺得一千零
八十尺亦等/則其藏粟等
[042-18b]
又問若依原窖之濶九/尺但加長三/尺該深若干
答曰深八尺
一 今長十五尺
二 原長十二尺
三 原深十尺
四 今深八尺
此原濶不動而加長減深也今長乘今深得一百二/十尺與原長乘原深等以乘濶九尺並得一千零八
十/尺
[042-19a]
假如有方倉高一丈/八尺濶二/丈深二丈/一尺今更造一倉亦深二/丈
一/尺但高減三尺問闊若干
答曰濶加四尺共濶二十四尺所儲/米石即同原倉之容
一 今高十五尺
二 原高十八尺
三 原濶二十尺
四 今濶二十四尺
此原深不動而減高増濶也當與右二條/叅㸔倉之高即窖之深倉之深即窖之長
[042-19b]
今高乘今濶得三百六十尺與原高乗原濶等再以深/二丈一尺乘之得七千五百六十尺與原倉之容積
等/
假如原借八五色銀四十八兩今還九六色銀問該若干
答曰四十二兩五錢
一 今銀色九六 為法
四 今還四十二兩五/錢法除實得數
[042-20a]
解曰原銀八五色是毎兩實折八錢五分故以乘原銀得四/十兩零八錢乃折實紋銀之數也還銀九六色是毎九錢六
分成一兩故以除折實紋銀得四十二兩五錢為/應還之數凡零乘數反損零除數反增詳别巻
假如有田一區用三十二人耕治五日而畢今用四十
人問該幾日 答曰四日
一 今用四十人
二 原用三十二人
三 原耕五日
四 今耕四日
[042-20b]
假如決水修池水竇濶三尺十二日涸出今開濶八尺
問水涸幾日
答曰四日有半
一 今濶八尺
二 原濶三尺
三 原十二日
四 今四日半
假如額兵五千六百設有一年之餉今祗留兵三千三
[042-21a]
百六十名問其餉可支幾時
答曰一年零八箇月
一 今兵三千三百六十
二 原兵五千六百
三 原設餉十二箇月
四 今可支二十箇月
[042-21b]
歴算全書巻三十六
欽定四庫全書
歴算全書卷三十六
宣城梅文鼎撰
筆算卷三
異乘同除法
以先有之數知今有之數兩兩相得是生比例莫善於
異乘同除乃古九章之樞要也先有者二今有者一是
已知者三而未知者一用三求一故西法謂之三率
[042-1b]
今先明同異名之説以著古法次詳三率之用以顯通
理
異者何也言異名也同者何也言同名也假如以粟易
布則粟與粟為同名布與粟為異名也
何以為異乗同除也主乎今有之物以為言也假如先
有粟若干易布若干今復有粟若干將以易布則當以
先所易之數例之是先易之布與今有之粟異名也則
用以乗是謂異乗若先有之粟與今有之粟同名也則
[042-2a]
用以除是謂同除皆用以乘除今粟故曰主乎今有以
為言也置今有粟以異名之布乘之為實再以同名之/粟為法除之是皆以今粟為主而以先有之二
件乘除/之也
[042-2b]
問何以不先除後乗曰以原總物除原物總價則得每
物之價以乗今有總物亦可得今有之總價然除有不
盡則不可以乗故變為先乗後除其理一也
假如原有豆一百○八石價銀三十六兩今有豆一百
三十五石問價若干
答曰四十五兩
[042-3a]
法曰置今豆一百三十五石以原豆價三十六兩乗之
得四千八百六十兩為實以原豆一百○八石為法除
之得四十五兩為今豆應有之價見以物求價也若/還原則以價求物
假如原有銀四十五兩買豆一百三十五石今有銀三十
六兩問豆若干
答曰一百○八石
法以豆一百三十五石乘價三十六兩得四千八百六十
石為實以價四十五兩為法除之得一百○八石合問
[042-3b]
西人三率法
其法以先有之二件為一率二率今有之二件為三率
四率則前兩率之比例與後兩率之比例等故其數可
以互求
今冇之二率先只有其一合前有之二率共為三率/以求之而得今有之餘一率是以三求一故曰三率
法實四/率也
假如一率是三二率是四三率是九則四率必為十二何也三
與四之比例若九與十二也故以四二/率九三/率相乘卅/六為實以三
[042-4a]
一/率為法除之必得十二四/率
若互用之以四率為一率則十二與九之比例若四與三故曰
可以互求此即還/原之理
解曰以三比四以九比十二並三分加一之比例以十二比/九以四比三並四分減一之比例凡言比例等者皆如是
此以上圖/之四率為
一率也故/其序皆倒
而所得四/率即上圖
之一/
[042-4b]
又更而互之
凡二三相乘與一四相乘等積此立法之根觀右圖可明四九/相乘
三十六而十二與三相乘亦三十六故以三除三十六得十/二以十二除三十六亦復得三此前兩圖互求之理若更一
四為二三其實同為三十六故以四除之得/九以九除之亦復得四此後兩圖互求之理
[042-5a]
又錯綜之
此又以前圖之二與三更之則前兩率之第二變為
後兩率之第一而其比例亦等凡一率二率為前兩/率乃先有之二件也
三率四率為後兩率乃今有之兩件也今以二率三/率相易則是先有之次率變為今有之首率也然以
[042-5b]
比例言之在前圖為三與四若九與十二/者在此圖則三與九亦若四與十二也
若以一率除二率得數以乗三率亦得四率如以一/率三除
二率九得三以乘三率四亦必得四率十二以一率/四除二率十二得三以乗三率三亦得四率九但先
除後乗多有不盡之分故異乗同除/為算家大法乃中西兩術所同也
試仍以古圖明之
原有小麥十二石 換食鹽九石 俱四分之三比/例若以上□左
今有小麥 四石 換食鹽三石 右更置即成三/率之前四圖
更之以縱為横/
[042-6a]
原有粱米 三石 換棉布九疋 俱三倍之比例/若以上下左右
今有粱米 四石 換棉布十/二疋 更置即成三率/之錯綜四圖
辨法實
凡三率之用皆以二率乘三率為實首率為法除之以
得所求為四率
然何以定其孰為一率孰為二率三率也曰此則古人
同異名之法不可易也訣曰凡今有之已知者常定為
三率其未知者待算而/知則常為四率視先有之物與三率之今有同
[042-6b]
名者定為首率其與今有異名必為二率矣
又訣曰凡三率之法以三件求一件其所求之一件未
知而三件則巳知也此已知之三件中必有兩件同名
如價與價物/與物之類就以此同名之兩件審其孰為先有定為
首率其今有者則為三率而其餘異名/之一件亦必先有也恒為二率
假如有句股形田長一百三十五步闊四十五步今截
相似形長一百○八步問闊若干
答曰截闊三十六步
[042-7a]
定法實訣
[042-7b]
以今截長一百○八步定為三率長與長同名以
原長一百三十五步定為首率濶與長異名以原
濶四十五步定為二率
又訣此巳知之三件是原長原闊截長内長與長同/名以原長是先有之數定為首率截長是今有
之數為三率原濶/與長異名為次率
按原長與原濶即大句大股截長截濶即小句小股
也四者皆可以遞互相求三率中更互錯綜之理尤
為易見
[042-8a]
以比例言之大股與大句若小股與小句也更之則
小股與小句亦若大股與大句也此為以股求句反
之而以句求股則大句與大股亦若小句與小股也
又更之則小句與小股亦若大句與大股也
[042-8b]
又錯綜之則大股與小股若大句與小句也而大句
與小句亦必若大股與小股矣又小句與大句若小
股與大股也而小股與大股亦必若小句與大句矣
是為三率之八變
[042-9a]
異乘同除定位法
三率定位與乗法除法無異乗法以實單位為根定所/對得數為法尾數除法以
法首上一位作識定所對得/數為所求單數並詳前巻但所用之實以二率三率
相乗而得握算者或疑其數之驟陞而不能守其定法
則定位必訛而其理益晦矣故復論之諸家算術往往/有定位不確者
皆由見乘後數多未免/驚怖而輙為酌改故也
假如六箇時辰馬行二百一十里今行五箇時辰當有
若干里
[042-9b]
答曰一百七十五里
論曰試以六時除馬行二百一/十里得每時行三十/五里以乘
五/時亦得一百七/十五里原無可疑今先乗後除故以一千/○五
十/里為實驟觀之似乎太多究竟除後適得其本數
[042-10a]
而已
假如銀三十/二兩換錢三萬六/千文今有銀二十/八兩問錢若干
答曰三萬一千五百文
[042-10b]
若以三十/二兩除三萬/六千得毎兩錢一千一百/二十五文以乗二十/八兩亦
得三萬一千五百文知得數之同則知一/百萬零八千之非誤
異乗同除約分法
三率内有兩率相凖可用約分者即改用所約之數易
繁為簡如法乘除所得無誤而用加㨗矣兩率者其一/首率其一次
率或三率也凡以法約之必兩率相準次率三率祗則/用其一皆取其與首率相凖也 或兩率並為偶數
俱折半或兩率並可均剖為四則折半兩次或兩率並/可均分為三則各取三之一或兩數互減而得等數則
以等數約之/並如約分法
[042-11a]
論其比例/為十八比 半之則/九與八 以三約之/則六與十 以九約之/則二與十 再約之/則為一
十六若九/十九與八 之比例/亦若九 六之比例/若三十三 六之比例/若十一與 與八若/十一與
十八也/ 十九與/八十八 與八十八/ 八十八/ 八十八/
假如賃房九箇月銀七十八兩問住二年該若干
[042-11b]
答曰二百零八兩法以二年成二十/四个月依式列之
四 二百零八八乗廿六/即得此數
假如八色金六十兩換銀二百八十八兩今有九色金
五十兩該若干
答曰二百七十兩此以金折成足色六十兩作四十/八兩五十兩作四十五兩算之
[042-12a]
四 二百七十十八乘十/五得此數
右皆約得一數為首率故不須除但/以二率乗三率即得所求為四率
重測法三率有疊用兩次者謂之/重測即兩箇異乘同除
假如有夏布四十五丈欲換棉布但云毎夏布三丈價二錢棉
布七丈價七錢五分問換棉布若干 答曰二十八丈
[042-12b]
一 夏布 三丈 先用為法
四 價 三兩 法除實得此數
重列
一 價七錢/五分 又用為法
[042-13a]
四 棉布 二十/八丈 法除實得此數
此因兩布各有其價故先用法求得第四率以夏布
變為銀就以此定為重列之第三率即今/價也而以棉布
價七錢/五分為首率以與今價/同名也棉布七/丈為次率以與今價/異名也
如法乘除得所換棉布為四率
併乗除法
以兩次乘除併而為一是合兩三率為一三率也即古法之同
乘同除古以併乘為異乗同乗以併除為異除同/除今乘除俱用併法故謂之同乘同除也
[042-13b]
假如今有芝麻五十四石欲換黄米但云芝麻三石換
緑豆五石換黄米三石問該換黄米若干
答曰六十七石五斗
本法 重列
一 麻 三石 豆 四石
二 豆 五石 米 三石
三 今麻 五十/四石 今豆九十石此重列之第三即先/得之第四乃本法也
四該豆 九十/石 米六十七石/五斗
[042-14a]
簡法即併法/
今以兩首率相/乘為首率
亦以兩次率相/乘為次率
以兩九十石對/去不用故三率
省乗是為併法/實簡法也
論曰本用兩次乘除今以豆四/石乘麻三/石得十二/石以除是
併兩次除為一次除也以米三/石乘豆五/石得十五/石以乗是
併兩次乘為一次乗也依法求之即得所換米六十七/石五斗
[042-14b]
與兩次求者數同又因一率二率可用約分/約之為四與五而法益簡
然則第三率何以獨異第三率徑用今麻不以豆九十/石乗之是與併兩首率為首率
併兩次率為/次率者逈别曰重列之第三即先得之第四故可以對
去不用不惟不用亦可不求重列之第三率既無乗併/之用則原列之第四率不
必更求/其數而乗除之用已偹今麻原係第三率今仍用為/第三是三率之用本無所缺
即所求之得數已清矣若第三率用豆九十石乗過之/則所得第四率亦必為豆九十
石乘過之米得數後必以九十石除之始能清出米數/反多曲折今對去豆九十石不用則所得四率即米數
直截/了當故為簡法
[042-15a]
又式
假如有戰兵七百名毎年額餉一萬二千六百兩内有
新着伍兵三百名已經應役七个月問該餉銀若干
答曰三千一百五十兩
[042-15b]
依重測併乘除法當以十二/月乘七百/名得八四/○○為法以七/箇
月/乗一萬二/千六百得八八二/○○又以三百/名乘之得二六四六/○○○○為實
法除實得三千一百五十兩為兵三百名七箇月之餉
今用約分以七/百與三/百約為七與三皆百/約之則首率次率各
有七/對去不用可省併乘
重列之時徑以十二/為首率餉銀一二六/○○為次率三/為三率依
法乘除而得四率 又以首率十二/三率三/約為四與一則
徑以餉一二六/○○為實以四為法除之得三千一/百五十合問
[042-16a]
變測法古謂之同乗異除在三率謂之/變測即幾何原本之互視法也
凡異乘同除皆以先有之一率為法即首/率以先有之又
一率乘今有之一率為實即二率三/率相乗
若同乘異除則反以今有之一率為法同文算指列於/第三今依法實
之序定/為首率以先有之兩率自相乘為實同文算指列於第/一第二今定為第
二第/三雖亦以法除實得今所求之又一率即四/率與諸三
率同而法實相反故曰變測
假如用秤稱物物重秤不能稱外加一錘稱得八十/四斤本
[042-16b]
錘一斤/五兩加錘一斤/三兩問其物實重若干
答曰一百六十斤
一 錘重二十一兩 為法
四 實重一百六十斤 法除實得數
法以錘一斤五兩作/二十一兩加錘一斤三兩/作十九兩共重四十/兩為先
有之一率稱重八十/四斤為先有之又一率相乘三三/六○為
[042-17a]
實以本錘重二十/一兩為今有之一率為法法除實得實
重一百六/十斤為所求今有之又一率合問
假如秤失去錘有所稱物重一百/六十斤今以他物代錘重四/十兩
稱得重八十/四斤問錘重若干 答曰一斤五兩
一 物重一百六十斤
二 稱得重八十四斤
三 他物/代錘重四十兩
四 錘重二十一兩
[042-17b]
假如布幔一具用布十六丈五尺布濶二尺今有布濶
一尺五寸如式作幔該用若干
答曰二十二丈
一 今濶一尺五寸
二 原濶二尺
三 原長十六丈五尺
四 今長二十二丈
假如儲粟方窖長一丈/二尺濶九/尺深一/丈今欲别穿一窖藏粟
[042-18a]
與之等長亦一丈/二尺但深加二尺/五寸該濶若干
答曰濶七尺二寸
一 今深十二尺五寸
二 原深十尺
三 原濶九尺
四 今濶七尺二寸
此原長不動而加深減濶也長今深今濶相乘得九/十尺與原深乘原濶等以乘 一十二尺得一千零
八十尺亦等/則其藏粟等
[042-18b]
又問若依原窖之濶九/尺但加長三/尺該深若干
答曰深八尺
一 今長十五尺
二 原長十二尺
三 原深十尺
四 今深八尺
此原濶不動而加長減深也今長乘今深得一百二/十尺與原長乘原深等以乘濶九尺並得一千零八
十/尺
[042-19a]
假如有方倉高一丈/八尺濶二/丈深二丈/一尺今更造一倉亦深二/丈
一/尺但高減三尺問闊若干
答曰濶加四尺共濶二十四尺所儲/米石即同原倉之容
一 今高十五尺
二 原高十八尺
三 原濶二十尺
四 今濶二十四尺
此原深不動而減高増濶也當與右二條/叅㸔倉之高即窖之深倉之深即窖之長
[042-19b]
今高乘今濶得三百六十尺與原高乗原濶等再以深/二丈一尺乘之得七千五百六十尺與原倉之容積
等/
假如原借八五色銀四十八兩今還九六色銀問該若干
答曰四十二兩五錢
一 今銀色九六 為法
四 今還四十二兩五/錢法除實得數
[042-20a]
解曰原銀八五色是毎兩實折八錢五分故以乘原銀得四/十兩零八錢乃折實紋銀之數也還銀九六色是毎九錢六
分成一兩故以除折實紋銀得四十二兩五錢為/應還之數凡零乘數反損零除數反增詳别巻
假如有田一區用三十二人耕治五日而畢今用四十
人問該幾日 答曰四日
一 今用四十人
二 原用三十二人
三 原耕五日
四 今耕四日
[042-20b]
假如決水修池水竇濶三尺十二日涸出今開濶八尺
問水涸幾日
答曰四日有半
一 今濶八尺
二 原濶三尺
三 原十二日
四 今四日半
假如額兵五千六百設有一年之餉今祗留兵三千三
[042-21a]
百六十名問其餉可支幾時
答曰一年零八箇月
一 今兵三千三百六十
二 原兵五千六百
三 原設餉十二箇月
四 今可支二十箇月
[042-21b]
歴算全書巻三十六