[037-1a] 
欽定四庫全書
厯算全書卷三十三
宣城梅文鼎撰
籌算六之七
開方捷法
勿菴氏曰亷隅二形也故有二法今借開方大籌為隅
法列于亷法籌之下而合商之則亷隅合為一法而
用加捷矣存前法者所以著其理用捷法者所以善
[037-1b]
其事
平方
法曰如前列實從單位作㸃每隅位㸃之以求初商初/商
列位有常法/進法俱如前既得初商即倍根數為亷法亦同/前法以亷
法數用籌亷法幾位/用籌幾根列于平方籌之上為亷隅共法
或省曰/次商法合視亷隅共法籌某行内有次商之實同者
或略少者減實以得次商以本行内/方根命之
三商者合初商次商倍之以其數用籌列平方籌上
[037-2a]
為亷隅共法或省曰/三商法以除三商之實而得三商
四商以上倣此求之
解曰隅者小平方也故可以平方籌為法 亷之數每
大于隅一位今以平方籌為隅列于亷之下則隅之
進位與亷之本位兩半圓合成一數故亷隅可合為
一法
何以知亷大于隅一位也曰有次商則初商是十數/矣平方亷法是初商倍數其位同初商故大于隅一
位/
[037-2b]
凡初商減積盡最上一㸃故最上一㸃者初商之實也
次商減積盡第二㸃故第二㸃以上次商之實也三
商減積盡第三㸃故第三㸃以上三商之實也推之
第四㸃為四商之實第五㸃為五商之實以上/並同
審空位法曰若次商之實小于亷隅共法之第一行凡/籌
第一行最/小數也則知次商是空位也不能成一/數故空即作圈于
初商下以為次商 乃于亷法籌下平方籌上加一
空位籌為亷隅共法以求三商若空位多者另/有簡法見後
[037-3a]
三商實小有空位並同
假如有平方積二千四百九十九萬九千九百九十九
尺問每面若干
列位 作㸃
如圖㸃在次位以二千四百
萬為初商實
視平方籌有小于二四者是
一六其方四也商四千尺減積一千六百萬尺有四/㸃故
[037-3b]
初商是千/而有次商
次以初商四千尺倍之得八千尺為亷法用第八籌
列平方籌上為亷隅共法
[037-4a]
以第二㸃餘實八百九十九萬為次商實視籌第九
行合數八○一小于實次商九百尺減實八百○一
萬尺
此所減首位不/空故對位書之
次倍初商次商共四千九百尺得九千八百尺用第
九第八兩籌列平方籌上為廉隅共法 以第三㸃
上餘實九八九九為三商之實
合視籌第九行是八九○一小于實商九十尺減餘
[037-4b]
實八十九萬○一百
尺
首位不空故/亦對位書之
次倍三次商共四千九百九十尺得九千九百八十
尺用九九八三籌列平方籌上為廉隅共法
[037-5a]
以第四㸃上餘
積九九八九九
為四商之實
合視籌第九行
積八九九○一
小于實商九尺
減餘實八萬九
千九百○一尺
[037-5b]
不盡九千九百九十八尺
開方已得單尺而有不盡以法命之倍方根加一數
得九千九百九十九為命分
凡開得平方四千九百九十九尺又九千九百九十
九之九千九百九十八
右例可明四以上用常法之理葢積所少者不過
萬分之一不能成五數之方而其法迥異
加空籌式
[037-6a]
假如有平方積一千六百七十七萬七千二百一十六
問每面若干
列位 作㸃
如圖㸃在次位以一千六百萬
為初商實
視平方籌有一六與實同其方
四商四千尺減積一千六百萬尺凡餘實必在商數/下一位起倘空位
則作圈補/之後倣此 次以初商四千尺倍得八千尺為亷法
[037-6b]
用第八籌列平方籌上為亷隅共法籌見/前例
以第二㸃上餘實○七七為次商實
籌最小數是○八一第一/行數大于實
不及減是商數無百也
乃于初商四千下作一圈以為次
商減去實/中○位 次如上圖加一空位籌于次商亷法之
下平方籌之上為三商亷隅共法
以第三㸃上七七七二為三商實
[037-7a]
視籌第九行是七二八一小于實商九十尺減積七
十二萬八千一百
[037-7b]
次合初商次商三商共四○九倍之得八一八為廉
法
[037-8a]
去空位籌加一八兩籌列于平方籌之上為四商廉
隅共法
以第四㸃上四九一一六為四商之實
合視籌第六行數與實合商六尺減積四萬九千一
百一十六尺恰盡
凡開得平方四千○九十六尺
假如有平方積九億○○一十八萬○○○九步問每
面若干
[037-8b]
列位
作㸃
如後圖㸃在首位以○九億步為初商實
視平方籌有○九與實同商
三萬步五㸃故/初商萬減積九億步
次以初商三萬步倍之得六
萬步用第六籌加平方籌上為次商法即廉隅/共法 以
第二㸃上為次商之實視實三位俱空無減知商數
[037-9a]
有空位且不止一空位也如前法宜挨次商得一空
位則于原實内銷一圈凡續商之實必下于前商之/實一位故雖○位必減去之
以清出續/商之實而于共法籌内加一空位籌如此挨商頗
覺碎雜故改用又法
又法曰凡實有多空位者知商數亦有多空不必挨
商當于原實中審定可減之數在何位則此位之上
皆連作圈而徑求後商如此餘實有三圈皆無積可
減必至○一乃有可減而法是第六籌籌最小是○
[037-9b]
六大于○一仍不可減必至一八方可減而一是籌
之進位當以商數對之則知以上俱是空位乃皆作
圏合視之有三圈即次商三商四商也干原實内銷
去三圈如後圖
此即次商三商四
商合圖也
次加三空籌于平亷第六/籌之下平方之上為五商亷
[037-10a]
隅共法 徑以第五㸃上一八○○○九為五商實
視籌第三行數與餘實合商三尺
除積一八○○○九恰盡
凡開得平方三萬○○○三步
[037-10b]
又假如積二千五百○七萬○○四十九尺問方若干
列位 作㸃
如圖㸃在次位以二千五
百萬尺為初商實
視平方籌有二五與實同
其方五商五千尺減積二千五百萬尺
次倍初商五千尺得一萬○千尺用一籌空位籌為
廉法凡商得五數則/原帶有空位列平方籌上為次商法 實多
[037-11a]
空位以前除又法審之必至○七萬尺乃有可減而
○七之○與籌上首位之○對當以商數居之則知此
以上俱無商數也于是于初商五千下作兩圏如後圖
[037-11b]
此次商三商合圖也原實上減兩圏/商數下加兩圏
如上圖加兩空位籌于廉法一萬○千之下平方之
上為四商法
以○七○○四九為四商實次商三商之兩㸃已/銷故徑用第四㸃
視籌第七行相合商七尺減實
恰盡
凡開得平方五千○○七尺
又假如積五千六萬三千五百○○尺問方若干
[037-12a]
列位
作㸃 如圖㸃在次位以五十六萬為初商實
視平方第七行是四九小
于實商七百尺除實四十
九萬
次倍初商七百得一千四百用第一第四兩籌列平
方籌上為次商法 以第二㸃上○七三五為次商
實
[037-12b]
合視第五
行是○七
二五小于
實商五十
尺減去餘
積○七萬
二千五百
尺
[037-13a]
次合商數七百五十倍之得一千五百○尺應用第一
第五空位三籌加于平方籌上為三商法以第三㸃
上○一千○○尺為三商實而實小于法不能成一尺
乃于商數未作一圏以為三商其不盡之數以法命之
凡亷隅共法籌第一行數即命分
也葢能滿此數即成一單數矣
凡開得平方七百五十○尺又一
千五百○一之一千○○○約為
[037-13b]
三之二弱
立方
法曰如前列實隔兩位作㸃以求初商既得初商即以
初商數自乘而三之為平亷法即方/法以平亷法用籌
列于立方籌之上借立方籌/為隅法也為平亷小隅共法
别以初商數三之而進一位為長亷法即亷/法以長亷
法用籌列于立方籌之下法于長亷數下加一空/籌以合進一位之數
先以平隅共法即平亷小隅共/法或省曰共法為次商之法即截取
[037-14a]
初商下一位至第二㸃止為次商之實法除實得次
商視共法籌内有小于實者為平亷/亷小隅共積用其根數為次商次以次商之自
乘數即大籌立積下/所帶平方積數與長亷法相乘以平方數尋長/亷籌之行取其
行内積/數用之得數加入平隅共積為次商總積以此總積
減次商之實及減則已倘不及減轉改次商及減而
止因亷積或大/有不及減者
三商者合初商次商數自乘而三之為平亷法以其數
用籌列方籌上為平亷小隅共法
[037-14b]
别以初商次商數三而進位以其數用籌加一空位
籌列立方籌下為長亷法
截取次商下一位至第三㸃為三商之實共法為法除
之以得三商其積為/共積 次以三商自乘數與長亷法
相乘得數加入共積為三商總積 减實又一法長/亷法不必
加空位籌得于得數/下加一圏即進位也
四商以上倣此
解曰隅者小立方也故可以立方籌為法平亷之數每
[037-15a]
大于隅二位今以立方籌為隅列于平亷下則隅之
首位與平亷之末位兩半圓合成一數故平亷小隅
可合為一法 長亷之兩頭皆如次商自乘之數故
可以平方乘之又長亷之數每大于隅一位故于下
加一空籌以進其位便加積也
何以知平亷大于隅二位而長亷只大一位也曰平/亷者初商自乘之數也初商于次商為十數十乘十
則百數矣隅積者次商本位也故平亷與隅如百與/單相去二位也若長亷只是初商之三倍位同初商
初商與次商如十與單故長亷與/小隅亦如十與單相去一位也
[037-15b]
凡初商積盡于上一㸃故上一㸃為初商實次商積盡
于第二㸃故第二㸃以上為次商實推之三㸃為三
商實四㸃為四商實以上並同
審空位法曰若次商之實小于平亷小隅共法之第一
行或僅如共法之第一行而無長亷積則次商是空
位也即作圏于初商下以為次商乃于平亷籌下立
方籌上加兩空位籌為三商平亷小隅之共法以求
三商其長亷法下又加一空位籌并原有一空位/籌共兩空位籌為
[037-16a]
三商長亷法又法長亷不必加空籌/但于得數下加兩圏 若商數有兩
空位者平亷小隅籌下加四空位籌長亷積下加三
圏
解曰有空位則所求者三商也初商于三商如百與單
而平亷者初商之自乘百乘百成萬故平亷與三商
之隅如萬與單大四位也此加兩空籌之理也平亷/原大
二位加二空籌/則大四位矣初商與三商既如百與單則長亷與
隅亦如百與單大兩位也此又加一空籌之理也
[037-16b]
初商列位商一用常法二至五用進法六至九用超法
今各存一例于後
假如有立方積六百八十五萬九千尺問每面若干
列位 作㸃
如圖㸃在首位以○○六百
萬為初商實
視立方籌有小于○○六者
○○一也其立方一商一百尺三㸃故/初商百減積一百萬
[037-17a]
尺次截取第二㸃上五八五九為次商實
[037-17b]
以初商一百尺自乘得一萬尺而三因之得三萬
尺為平廉法用第三籌列立方籌上為平廉小隅
共法
别以初商一百尺三而進位得三百○十尺為長
廉法
列立方籌下視平隅共法籌第九行是三四二九
小于實商九十尺
次以第九行平方八一乘長廉三得二四三○以加
[037-18a]
共積得五百八十五萬九千為次商九十尺之積除
實盡
次商十宜有三商而除實已盡是方面無單數也
凡開得立方每面一百九十○尺
假如有立方積一千二百八十六億三千四百六十七
萬○五百九十二尺問方若干
列位
作㸃
[037-18b]
如圖㸃在第三位以一
千二百八十億為初商
實
視立方籌内有小于一二八是一二五其方五也商
五千尺四㸃故/初商千減積一千二百五十億
次截取第二㸃上○三六三四為次商實
以初商五千自乘得二千五百萬而三之得七千五
百萬為平廉法用七五兩籌列立方籌上為平廉小
[037-19a]
隅共法别以初商五千尺三而進位得一萬五千○
百尺為長亷法用籌列立方籌下
視共法籌第一行是○
七五○一大于實不及
減知次商百位空也于
初商下作一圏為次商原實上/減一圏
乃截第三㸃三六三四六七○為三商實
次于平亷籌下立方籌上加兩空位籌為平亷小隅
[037-19b]
共法
于長亷籌下又加一空位籌原有一空位/籌共二空位為長亷法
視共法籌第四行
是三○○○○六
四小于實用為共
[037-20a]
積商四十尺 以長廉法與四行之平方一六相乘
得二四○○○為長廉積加入共積得三○二四○
六四減積三十○億二千四百○六萬四千尺
次以商數五千○四十自乘得二千五百四十○萬
一千六百尺而三之得七千六百二十○萬四千八
百尺為平廉法列立方籌上為平隅共法别以商數
五千○四十尺三而進位得一萬五千一百二十○
尺為長廉法列立方籌下
[037-20b]
乃截第四㸃
六一○六○
六五九二為
四商之實
視共法籌第
八行六○九
六三八九
一二小于實
[037-21a]
商八尺以長亷法與第八行平方六四相乘得九六
七六八○為長亷積以加共積得六一○六○六五
九二除實盡
凡開得立方每面五千○四十八尺
右加兩空籌例
假如有立方積七千二百九十七億二千九百二十四
萬三千○二十七尺問每面若干
列位 作㸃
[037-21b]
如圖㸃在第三位以七
千二百九十億為初商
實 視立方籌方九之
積七二九與實同商九千尺減積七千二百九十億
四㸃故/初商千次截第二㸃○○○七二九為次商實
以初商九千尺自乘八千一百萬尺而三之得二億
四千三百萬尺為平亷法列立方籌上為平亷小隅
共法别以初商九千尺三而進位得二萬七千○百
[037-22a]
尺為長亷法列立方籌下 視共法籌第一行是○
二四三○一大于實不及減知次商百位空也于初
商九千尺下作一圏為次商原實上減/去一圏乃于平亷籌
下立方籌上加兩空籌為平廉小隅共法于長亷籌
下又加一空籌得二七○○為長亷法 截取第三
㸃○○七二九二四三為三商實 視共法籌第一
行是○二四三○○○一大于實仍不及減知三商十位
亦空也于商得九千○百下加一圏為三商原實上又/減去一圏
[037-22b]
又法實多空不必挨商但尋至不空之界如○七乃/與平亷相應即于○七之上初商之下作連圏為次
商三商而于原/實中銷兩圏
此次商三商合圖也
乃于平亷籌下立方籌
上又加兩空籌共四/空籌為
平亷小隅共法 其長亷籌下又加一空籌共三/空籌得
二七○○○為長亷法或不必加籌只于得/數下加三圏亦同
截取第四㸃○七二九二四三○二七為四商實
[037-23a]
[037-23b]
視共法籌第三行是○七二
九○○○○二七小于實商
三尺 以長亷法與第三行
平方○九相乘得二四三○
○○為長亷積以加共積得
○七二九二四三○二七除實盡
凡開得立方每面九千○○三尺
右加四空籌例
[037-24a]
開方分秒法籌算七/
勿菴氏曰命分古法也然但可以存其不盡之數而已
若還原則有不合故有分秒法以御之也雖亦終不
能盡然最小之分即無關于大數視命分之法不啻
加宻矣
平方
法曰凡開平方有餘實不能成一數不可開矣若必欲
開其分秒則于餘實下加二圏原實一化/為一百分如法開之
[037-24b]
所得根數是一十分内之幾分也或加四圏原實一/化為一
萬/分如法開之所得根數是一百分内之幾分也或加
六圏原實一化為/一百萬分如法開之所得根數是一千分内
之幾分也如此遞加兩圏則多開得一位乃至加十
圏原實一化/為百億分其根數則十萬分内之幾萬幾千幾百
幾十幾分也
假如平方積八步開得二步除實四步餘四步不盡分
秒幾何
[037-25a]
法于餘實下添兩圏則餘實四步
化為四百○○分為次商之實
依捷法以初商二步倍作四步為
亷法列平方籌上為亷隅共法簡
籌第八行積三八四小于餘實次商八分除實三百
八十四分開得平方每面二步八分不盡一十六分
再開之
又于餘實下加兩圏則餘實一十六分化為一千六
[037-25b]
百○○秒為三商之實
依捷法以初商次商共二步八分倍之得五步六分
為亷法列平方籌上為亷隅共法簡籌第二行積一
一二四小于餘實商作二秒除實一千一百二十四
秒共開得平方每面二步八分二秒不盡四百七十
六秒
此單下開兩位式也所不盡之數不過百分之四
若欲再開亦可得其忽㣲如後式
[037-26a]
還原以二步八二用籌為法又以二步八二列為實
而自相乘之得七萬九千五百二十四分加不盡之
分四百七十六共八萬乃以一萬分為一步之法除
之當退/四位仍得八步合原數
解曰此以一步化為百分故其積萬分何也自乘者
横一步直一步也今既以一步化為一百分則是横
一百分直一百分而其積一萬分為一步
[037-26b]
假如平方九十步開得九步除實八十一步餘實○九
步不盡小分/幾何
法于餘實九步下加八圏則餘實九步化為九億共
作五㸃而以第二㸃○九億○○分為次商之實
[037-27a]
依捷法以初商九步倍作一十八步為亷法列平方
籌上為亷隅共法簡籌第
四行○七三六略小于餘
實商四千分除實七億三
千六百萬分餘一億六千
四百○○萬分為第三商
之實第三/㸃也
又依捷法以初商次商九步又十之四倍之得一十
[037-27b]
八步八為亷法列平方籌上為亷隅共法簡籌第八
行一五一○四略小于餘實商八除實一億五千一
百○四萬餘一千二百九十六萬分○○為第四次
商之實第四/㸃也
又依捷法以三次所商共九步四八倍之得一十八
步九六為亷法列平方籌上為亷隅共法簡籌第六
行一一三七九六略小于實商六除實一千一百三
十七萬九千六百分餘一百五十八萬○四百○○
[037-28a]
分為第五次商之實第五/㸃也
又依捷法以所商九步四八六倍之得一十八步九
七二為亷法列平方籌上為亷隅共法簡籌第八行
一五一七八二四略小于實商八除實一百五十一
萬七千八百二十四分餘六萬二千五百七十六分
不盡凡開得平方每面九步四千八百六十八分亦/可
名為四分八/秒六忽八㣲不盡一○○○○○○○○之○○○
○六二五七六即一萬分之/六分有竒
[037-28b]
雖不盡不過萬分之一不足為損益可棄不用
還原以九步四八六八用籌為法又為實自乘得八
十九億九千九百九十三萬七千四百二十四分加
入不盡之分六萬二千五百七十六共九十億以一
億分為一步之法除之當退/八位仍得九十步合原數
解曰此以一步化為一萬分故其自乘之積一億何
也自乘者横一步直一步之積也今既以一萬分為
步則是横一萬分直一萬分而其積一億為一步
[037-29a]
若依命分法則還原不合
如前例 原實八步開得方二步除實四步不盡四
步法當倍每方二步作四步又加隅一步為命分命
[037-29b]
為二步又五分步之四意若曰若得五步則商三步
矣今只四步是五分内止得四分也然還原有不合
何也
以算明之
用通分法以命分五通二步得一十分又加得分四
共一十四分自乘得一百九十六為實以命分五自
乘得二十五分為法每步/通作
五分横一步直一步/則共得二十五分也除之
[037-30a]
得七步又二十五分之二十一以較原實少二十五之四
以圖明之
每步作五分其羃積二十五分方二
步積四步共一百分又五之四以乘
方二步得四十分倍之為亷積八十
分又五之四自乘得隅積一十六分
共九十六分以合原餘積四步該一百分少二十五
分之四
[037-30b]
以此觀之實數每縮虛數常盈故命分之法不可以
還原 其故何也曰隅差也何以謂之隅差曰平方
之有竒零其在兩亷者實其在隅者虛何也亷之虛
者一面而隅之虛者兩面也即如二步五之四謂五
分内虛一分故不能成一歩也然試觀于圖兩亷之
四步皆虛一分横四分直五分積二十分以二十五/分計之是為于五分之中虛一分
而隅之一步虛一分有零横四分直亦四分積一十/六分虛九分以二十五分
計之是為五分/之中虛二分弱則是邊數二步五之數者其積不及
[037-31a]
五之四也今餘積四步者實數也其邊數常盈于五
之四有竒也而命之曰五之四宜其不及矣然則古
何以設此法曰古率常寛以為所差者㣲故命之也
不但此也古率圓一圍三方五斜七今考之皆有㣲
差故曰寛也
愚常考定開平方隅差之法法曰如法以命分之毋
通其整而納其子即得/分為全數以全數自相乘得數
為通積另置分毋以分子減之餘數以乘分子而加
[037-31b]
之為實乃以分毋自乘為法除之即適還原數 如
上方二步五之四以分毋五通二步得十納子四共
十四自乘得方積一百九十六分另以分子四減分
毋五餘一以轉乘分子四得四即隅差也以隅差加
入方積共二百分為實乃以分毋五自乘得二十五
為法以除實得八步合原積
又如後例 原實九十步開得九步除實八十一步
不盡九步法當倍每方九步作十八步又加隅一共
[037-32a]
十九步為命分命為九步又十九分步之九意若曰
若得十九歩則加商一步成十步今只九步是十九
分内只得九分也然還原亦不合
以算明之
用通分法以命分十九通九步得一百七十一步又
加得分九共一百八十步自乘得三萬二千四百為
實以命分十九自乘得三百六十一為法每步十九/分横十九
分直十九分共得/三百六十一分也除之得八十九步又三百六十一
[037-32b]
分之二百七十一以較原實之九十步計少三百六
十一分之九十分
若依隅差之分以得分九減命分十九餘十轉乘得
分得九十分為隅差以加自乘通積三萬二千四百
[037-33a]
共得三萬二千四百九十為實乃以命分自乘三百
六十一為法除之恰得九十步合原積
以圖明之
甲戊丁庚形者方九步九分
之總形也通為一百八十分
積三萬二千四百分以三百
六十一為步除之較原實少
九十分
[037-33b]
内分甲丙乙巳形為初商方九步之形其積八千一歩
戊乙形庚乙形次商亷積之形也長九步通為一百/七十一分
濶九分積一千五百三十九分兩亷共計三千○七
十八分
丁乙者小隅者横直各九分以較亷積中每一步之
形如丑/乙欠一丁癸形即隅差也
以積考之亷九步每步濶九分長一步通為十/九分積一
百七十一分隅濶九分長亦九分積八十一分少九
[037-34a]
十分為隅差
立方
法曰凡立方有餘實不能成一數不可開矣若必欲知
[037-34b]
其分秒則于餘實下加三圏原實一化/為一千分如法開之所
得根數是一十分之幾分也若加六圏原實一化為/一百萬分
所得根數是一百分之幾分也若加九圏原實一化/為十億
則根數是一千分之幾分也若加十二圏原實一化/為萬億
則根數是一萬分之幾分也
解曰平方籌兩位故兩位作㸃而其化小分亦以兩位
為率葢積多兩位則根數可多一位也亷一位隅一/位故兩位
立方籌三位故三位作㸃而其化小分亦以三位為
[037-35a]
率葢積多三位則根數可多一位也平亷一位長亷/一位隅一位故
三/位
假如立方積一十七步開得立方二步除八步餘實九
步不盡法于餘實下
加十二圈則餘實九
步化為九萬億分増/
四㸃可加開四位/
依捷法截第二㸃○九○○○為次商之實 以初
[037-35b]
商二自乘四/而三之得一十二步為平亷法列立方
籌上為平隅共法 以初商二/三而進位得六○/為
長亷法列立方籌下 簡共法籌第五行積○六一/
二五/小于實商五分六行七行亦小于實因無長亷/
積故不用/
乃以第五行平方二五/與長亷法相乘得一五○○/
為長亷積以加共積共得○七六二五/是為次商五
分之積以除實餘一三七五以俟三商
[037-36a]
又截取第三㸃一三七五○○○為三商之實 以
初商次商共二步五分自乘得六二五/而三之得一/
八七五/為平亷法列立方籌上為平隅共法 以初
商次商二步五分/三而進位得七五○/為長亷法列
立方籌第七行一三一二八四三/共法八四三/小于
實商七秒 乃以第七行平方四九/與長亷法相乘
得三六七五○/為長亷積以加共積共得一三四九/
五九三/為三商七秒之積以除實餘○二五四○七
[037-36b]
以候續商
又截取第四㸃○二五四○七○○○為四商之實
以商數二五七/自乘得六六○四九/而三之得一九/
八一四七/為平亷法列立方籌上為平隅共法 以
商數二五七/進位而三之得七七一○/為長亷法列
立方籌下簡共法籌第一行○一九八一四七○一/
小于實商一忽
乃以第一行平方一/乘長亷得七七一○/為長亷積
[037-37a]
以加共積得一九八二二四一一/為商一忽之積以
除實餘○五五八四五八九以候末商
通第五㸃○五五八四五八九○○○為末商之實
以商數二五七一/自乘得六六一○○四一/而三
之得一九八三○一二三/為平亷法列立方籌上為
平隅共法 以商數二五七一/進位而三之得七七/
一三○/為長亷法列立方籌下簡共法籌第二行○/
三九六六○二四六○八/小于實商二㣲
[037-37b]
乃以第二行平方○四/乘長亷法得三○八五二○/
為長亷積以加共積得○三九六六三三三一二八/
為末商二㣲之積以減實餘一六一八二五五八七
二不盡
凡開得立方每面二步五分七秒一忽二㣲不盡之/數不能
成一㣲/棄不用
還原以二步五七一二用籌為法别以二步五七一
二列為實以法乘實得六六一一○六九四四
[037-38a]
再乘之得一十六萬九千九百八十三億八千一百
七十四萬四千一百二十八分
[037-39a]
乃以不盡之積一十六億一千八百二十五萬五千
八百七十二分加入再乘積共得一十七萬億以一
萬億為一步之法以一步為萬分横一萬直/一萬商一萬共一萬億除之得
一十七步合原數
若依命分法則還原不合
[037-39b]
如前所設立方積一十七步開得立方每面二步除
積九步餘九步法當以立方二步自乘得四步而三
之得十二步為平亷又以立方二步三之得六步為
長亷又加一步/為隅共一十九步/為命分命為立方
二步又十九分步之九意若曰餘積若滿十九步則
加商一步矣今只有九步是以十九分為一步而今
僅得九分也然還原則有不合
以算明之
[037-40a]
用通分法以命分十九通立方二步得三十八分/又
加得分九共四十七分/此即所云二步又十九分之
九乃立方一面之數也以此自乘得二千二百○九/
分/再乘得一十○萬三千八百二十三/乃立方二步
又十九分之九所容積數也為實别以命分十九自
乘得三百六十一/再乘得六千八百五十九/乃方一
步之積為法以除實得一十五步又六千八百五十/
九之九百三十八/較原實一十七步少一步又六千/
[037-40b]
八百五十九分之五千九百二十一/
其故何也曰長亷小隅之差也何以言之曰立方之
有竒零其在平亷者實其在長亷小隅者虛何也平
亷之虛者一面而長亷虛兩面小隅虛三面故也今
以十九分為一步其立方積六千八百五十九分/為
步法以十九分除之得每三百六十一/為分法平亷
每步横十九分直十九分髙九/分積三千二百四十九分法除之得九是為
十九分之九適合命分之數也
[037-41a]
若長亷横九分直十九分髙九分/積一千五百三十九分分法除之得四分
有竒而已以較平亷九分之積三千二百四十九/少
一千七百一十分/三長亷共六步/共少一萬○二百/
六十分/步法除之得一步又三千四百○一分為長
亷差
若小隅横直髙各九分積/七百二十九分分法除之得二分有竒而
已
以較平亷九分之積三千二百四十九/少二千五百
[037-41b]
二十分為隅差
合亷隅兩差計之共少一步又六千八百五十九分
之五千九百二十一
以圖明之
丑寅為立方一步之形每步通為十九分
横直髙各十九分積六千八百五十九分
是為步法
以十九分除步法得三百六十一分是為分法
[037-42a]
亷隅總圖見左/
甲乙丙三平亷也縱横各方二步通為三十八分厚
九分積一萬二千九百九十六分三亷共三萬八千
九百八十八分丁戊巳三長亷
也各長二步通為三十八分厚
濶各九分積三千○七十八分
三亷共九千二百三十四分
庚小隅也長濶髙皆九分積七
[037-42b]
百二十九分
三長廉三平廉一小隅共包一正方形在内
正方形縱横各二步通為三十八分 積五萬四千
八百七十二分
總形方二步九分通為四十七分髙如之 積
一十○萬三千八百二十三分 以步法除之
得一十五步有竒不滿原實一步又五千九百二
十一分
[037-43a]
平亷方二步其容四步即辛壬癸
子之分形也每步縱横皆一步通
為十九分厚皆九分積三千二百
四十九辛一形積如此/壬癸子者同 以分除之適得九分
長亷長二步如丑寅/合形通為三十八
分厚九分皆與平亷同所不同者
平亷濶十九分而長亷濶只九分
故長亷二步尚不及平亷一步之積以積計之每長
[037-43b]
亷一步如丑/形積一千五百三十九分較平亷每步之
積如丑夘/合形少一千七百一十分如丑之/虛分夘三長亷計六
步共少一萬○二百六十分是為長亷之差
小隅横直髙皆九分如未/形于平亷
一步之積不及四之一以積計之
小隅之積七百二十九較平亷一
步之積如未申/合形少二千五百二十分如未之/虛分申是為小
隅之差 合二差共一步五千九百二十一分
[037-44a]
今考定開立方亷隅差法法曰凡立方有命分者如
法以分母即命/分通其整而納以分子即得/分為立方全
數以全數自乘再乘得數為立方通積另置命分母/數
與得分子數/各自乘得數以相減用其餘數以乘得
分得數為隅差又置命分與得分相減用其餘數轉
與得分相乘以乘命分得數是為長亷每步虛數又
以長亷法乘之得數為長亷差合二差數以加通積
為實以命分自乘再乘得數為法除之即適還原數
[037-44b]
如所設立方積十七步開得立方二步又十九分
之九法以分母十九/通立方二步而以分子九分/納
之共四十七分/為立方全數以全數自乘再乘得一/
十○萬三千八百二十三/為通積另置命分十九/自
乘得三百六十一/内減分子九/自乘八十一/餘二百/
八十分/以分子九/乘之得二千五百二十分/為隅差
又置命分一十九/内減得分九/餘十分轉乘得分九/
得九十分/以乘命分十九/得一千七百一十分/為長
[037-45a]
亷每步虛數又以長亷法六步/乘之得一萬○二百/
六十分/為長亷差合二差共一萬二千七百八十分
以加通積共得一十一萬六千六百○三分為實以
命分一十九自乘再乘得六千八百五十九分為法
以除實得一十七步合原積
[037-45b]
厯算全書卷三十三
欽定四庫全書
厯算全書卷三十三
宣城梅文鼎撰
籌算六之七
開方捷法
勿菴氏曰亷隅二形也故有二法今借開方大籌為隅
法列于亷法籌之下而合商之則亷隅合為一法而
用加捷矣存前法者所以著其理用捷法者所以善
[037-1b]
其事
平方
法曰如前列實從單位作㸃每隅位㸃之以求初商初/商
列位有常法/進法俱如前既得初商即倍根數為亷法亦同/前法以亷
法數用籌亷法幾位/用籌幾根列于平方籌之上為亷隅共法
或省曰/次商法合視亷隅共法籌某行内有次商之實同者
或略少者減實以得次商以本行内/方根命之
三商者合初商次商倍之以其數用籌列平方籌上
[037-2a]
為亷隅共法或省曰/三商法以除三商之實而得三商
四商以上倣此求之
解曰隅者小平方也故可以平方籌為法 亷之數每
大于隅一位今以平方籌為隅列于亷之下則隅之
進位與亷之本位兩半圓合成一數故亷隅可合為
一法
何以知亷大于隅一位也曰有次商則初商是十數/矣平方亷法是初商倍數其位同初商故大于隅一
位/
[037-2b]
凡初商減積盡最上一㸃故最上一㸃者初商之實也
次商減積盡第二㸃故第二㸃以上次商之實也三
商減積盡第三㸃故第三㸃以上三商之實也推之
第四㸃為四商之實第五㸃為五商之實以上/並同
審空位法曰若次商之實小于亷隅共法之第一行凡/籌
第一行最/小數也則知次商是空位也不能成一/數故空即作圈于
初商下以為次商 乃于亷法籌下平方籌上加一
空位籌為亷隅共法以求三商若空位多者另/有簡法見後
[037-3a]
三商實小有空位並同
假如有平方積二千四百九十九萬九千九百九十九
尺問每面若干
列位 作㸃
如圖㸃在次位以二千四百
萬為初商實
視平方籌有小于二四者是
一六其方四也商四千尺減積一千六百萬尺有四/㸃故
[037-3b]
初商是千/而有次商
次以初商四千尺倍之得八千尺為亷法用第八籌
列平方籌上為亷隅共法
[037-4a]
以第二㸃餘實八百九十九萬為次商實視籌第九
行合數八○一小于實次商九百尺減實八百○一
萬尺
此所減首位不/空故對位書之
次倍初商次商共四千九百尺得九千八百尺用第
九第八兩籌列平方籌上為廉隅共法 以第三㸃
上餘實九八九九為三商之實
合視籌第九行是八九○一小于實商九十尺減餘
[037-4b]
實八十九萬○一百
尺
首位不空故/亦對位書之
次倍三次商共四千九百九十尺得九千九百八十
尺用九九八三籌列平方籌上為廉隅共法
[037-5a]
以第四㸃上餘
積九九八九九
為四商之實
合視籌第九行
積八九九○一
小于實商九尺
減餘實八萬九
千九百○一尺
[037-5b]
不盡九千九百九十八尺
開方已得單尺而有不盡以法命之倍方根加一數
得九千九百九十九為命分
凡開得平方四千九百九十九尺又九千九百九十
九之九千九百九十八
右例可明四以上用常法之理葢積所少者不過
萬分之一不能成五數之方而其法迥異
加空籌式
[037-6a]
假如有平方積一千六百七十七萬七千二百一十六
問每面若干
列位 作㸃
如圖㸃在次位以一千六百萬
為初商實
視平方籌有一六與實同其方
四商四千尺減積一千六百萬尺凡餘實必在商數/下一位起倘空位
則作圈補/之後倣此 次以初商四千尺倍得八千尺為亷法
[037-6b]
用第八籌列平方籌上為亷隅共法籌見/前例
以第二㸃上餘實○七七為次商實
籌最小數是○八一第一/行數大于實
不及減是商數無百也
乃于初商四千下作一圈以為次
商減去實/中○位 次如上圖加一空位籌于次商亷法之
下平方籌之上為三商亷隅共法
以第三㸃上七七七二為三商實
[037-7a]
視籌第九行是七二八一小于實商九十尺減積七
十二萬八千一百
[037-7b]
次合初商次商三商共四○九倍之得八一八為廉
法
[037-8a]
去空位籌加一八兩籌列于平方籌之上為四商廉
隅共法
以第四㸃上四九一一六為四商之實
合視籌第六行數與實合商六尺減積四萬九千一
百一十六尺恰盡
凡開得平方四千○九十六尺
假如有平方積九億○○一十八萬○○○九步問每
面若干
[037-8b]
列位
作㸃
如後圖㸃在首位以○九億步為初商實
視平方籌有○九與實同商
三萬步五㸃故/初商萬減積九億步
次以初商三萬步倍之得六
萬步用第六籌加平方籌上為次商法即廉隅/共法 以
第二㸃上為次商之實視實三位俱空無減知商數
[037-9a]
有空位且不止一空位也如前法宜挨次商得一空
位則于原實内銷一圈凡續商之實必下于前商之/實一位故雖○位必減去之
以清出續/商之實而于共法籌内加一空位籌如此挨商頗
覺碎雜故改用又法
又法曰凡實有多空位者知商數亦有多空不必挨
商當于原實中審定可減之數在何位則此位之上
皆連作圈而徑求後商如此餘實有三圈皆無積可
減必至○一乃有可減而法是第六籌籌最小是○
[037-9b]
六大于○一仍不可減必至一八方可減而一是籌
之進位當以商數對之則知以上俱是空位乃皆作
圏合視之有三圈即次商三商四商也干原實内銷
去三圈如後圖
此即次商三商四
商合圖也
次加三空籌于平亷第六/籌之下平方之上為五商亷
[037-10a]
隅共法 徑以第五㸃上一八○○○九為五商實
視籌第三行數與餘實合商三尺
除積一八○○○九恰盡
凡開得平方三萬○○○三步
[037-10b]
又假如積二千五百○七萬○○四十九尺問方若干
列位 作㸃
如圖㸃在次位以二千五
百萬尺為初商實
視平方籌有二五與實同
其方五商五千尺減積二千五百萬尺
次倍初商五千尺得一萬○千尺用一籌空位籌為
廉法凡商得五數則/原帶有空位列平方籌上為次商法 實多
[037-11a]
空位以前除又法審之必至○七萬尺乃有可減而
○七之○與籌上首位之○對當以商數居之則知此
以上俱無商數也于是于初商五千下作兩圏如後圖
[037-11b]
此次商三商合圖也原實上減兩圏/商數下加兩圏
如上圖加兩空位籌于廉法一萬○千之下平方之
上為四商法
以○七○○四九為四商實次商三商之兩㸃已/銷故徑用第四㸃
視籌第七行相合商七尺減實
恰盡
凡開得平方五千○○七尺
又假如積五千六萬三千五百○○尺問方若干
[037-12a]
列位
作㸃 如圖㸃在次位以五十六萬為初商實
視平方第七行是四九小
于實商七百尺除實四十
九萬
次倍初商七百得一千四百用第一第四兩籌列平
方籌上為次商法 以第二㸃上○七三五為次商
實
[037-12b]
合視第五
行是○七
二五小于
實商五十
尺減去餘
積○七萬
二千五百
尺
[037-13a]
次合商數七百五十倍之得一千五百○尺應用第一
第五空位三籌加于平方籌上為三商法以第三㸃
上○一千○○尺為三商實而實小于法不能成一尺
乃于商數未作一圏以為三商其不盡之數以法命之
凡亷隅共法籌第一行數即命分
也葢能滿此數即成一單數矣
凡開得平方七百五十○尺又一
千五百○一之一千○○○約為
[037-13b]
三之二弱
立方
法曰如前列實隔兩位作㸃以求初商既得初商即以
初商數自乘而三之為平亷法即方/法以平亷法用籌
列于立方籌之上借立方籌/為隅法也為平亷小隅共法
别以初商數三之而進一位為長亷法即亷/法以長亷
法用籌列于立方籌之下法于長亷數下加一空/籌以合進一位之數
先以平隅共法即平亷小隅共/法或省曰共法為次商之法即截取
[037-14a]
初商下一位至第二㸃止為次商之實法除實得次
商視共法籌内有小于實者為平亷/亷小隅共積用其根數為次商次以次商之自
乘數即大籌立積下/所帶平方積數與長亷法相乘以平方數尋長/亷籌之行取其
行内積/數用之得數加入平隅共積為次商總積以此總積
減次商之實及減則已倘不及減轉改次商及減而
止因亷積或大/有不及減者
三商者合初商次商數自乘而三之為平亷法以其數
用籌列方籌上為平亷小隅共法
[037-14b]
别以初商次商數三而進位以其數用籌加一空位
籌列立方籌下為長亷法
截取次商下一位至第三㸃為三商之實共法為法除
之以得三商其積為/共積 次以三商自乘數與長亷法
相乘得數加入共積為三商總積 减實又一法長/亷法不必
加空位籌得于得數/下加一圏即進位也
四商以上倣此
解曰隅者小立方也故可以立方籌為法平亷之數每
[037-15a]
大于隅二位今以立方籌為隅列于平亷下則隅之
首位與平亷之末位兩半圓合成一數故平亷小隅
可合為一法 長亷之兩頭皆如次商自乘之數故
可以平方乘之又長亷之數每大于隅一位故于下
加一空籌以進其位便加積也
何以知平亷大于隅二位而長亷只大一位也曰平/亷者初商自乘之數也初商于次商為十數十乘十
則百數矣隅積者次商本位也故平亷與隅如百與/單相去二位也若長亷只是初商之三倍位同初商
初商與次商如十與單故長亷與/小隅亦如十與單相去一位也
[037-15b]
凡初商積盡于上一㸃故上一㸃為初商實次商積盡
于第二㸃故第二㸃以上為次商實推之三㸃為三
商實四㸃為四商實以上並同
審空位法曰若次商之實小于平亷小隅共法之第一
行或僅如共法之第一行而無長亷積則次商是空
位也即作圏于初商下以為次商乃于平亷籌下立
方籌上加兩空位籌為三商平亷小隅之共法以求
三商其長亷法下又加一空位籌并原有一空位/籌共兩空位籌為
[037-16a]
三商長亷法又法長亷不必加空籌/但于得數下加兩圏 若商數有兩
空位者平亷小隅籌下加四空位籌長亷積下加三
圏
解曰有空位則所求者三商也初商于三商如百與單
而平亷者初商之自乘百乘百成萬故平亷與三商
之隅如萬與單大四位也此加兩空籌之理也平亷/原大
二位加二空籌/則大四位矣初商與三商既如百與單則長亷與
隅亦如百與單大兩位也此又加一空籌之理也
[037-16b]
初商列位商一用常法二至五用進法六至九用超法
今各存一例于後
假如有立方積六百八十五萬九千尺問每面若干
列位 作㸃
如圖㸃在首位以○○六百
萬為初商實
視立方籌有小于○○六者
○○一也其立方一商一百尺三㸃故/初商百減積一百萬
[037-17a]
尺次截取第二㸃上五八五九為次商實
[037-17b]
以初商一百尺自乘得一萬尺而三因之得三萬
尺為平廉法用第三籌列立方籌上為平廉小隅
共法
别以初商一百尺三而進位得三百○十尺為長
廉法
列立方籌下視平隅共法籌第九行是三四二九
小于實商九十尺
次以第九行平方八一乘長廉三得二四三○以加
[037-18a]
共積得五百八十五萬九千為次商九十尺之積除
實盡
次商十宜有三商而除實已盡是方面無單數也
凡開得立方每面一百九十○尺
假如有立方積一千二百八十六億三千四百六十七
萬○五百九十二尺問方若干
列位
作㸃
[037-18b]
如圖㸃在第三位以一
千二百八十億為初商
實
視立方籌内有小于一二八是一二五其方五也商
五千尺四㸃故/初商千減積一千二百五十億
次截取第二㸃上○三六三四為次商實
以初商五千自乘得二千五百萬而三之得七千五
百萬為平廉法用七五兩籌列立方籌上為平廉小
[037-19a]
隅共法别以初商五千尺三而進位得一萬五千○
百尺為長亷法用籌列立方籌下
視共法籌第一行是○
七五○一大于實不及
減知次商百位空也于
初商下作一圏為次商原實上/減一圏
乃截第三㸃三六三四六七○為三商實
次于平亷籌下立方籌上加兩空位籌為平亷小隅
[037-19b]
共法
于長亷籌下又加一空位籌原有一空位/籌共二空位為長亷法
視共法籌第四行
是三○○○○六
四小于實用為共
[037-20a]
積商四十尺 以長廉法與四行之平方一六相乘
得二四○○○為長廉積加入共積得三○二四○
六四減積三十○億二千四百○六萬四千尺
次以商數五千○四十自乘得二千五百四十○萬
一千六百尺而三之得七千六百二十○萬四千八
百尺為平廉法列立方籌上為平隅共法别以商數
五千○四十尺三而進位得一萬五千一百二十○
尺為長廉法列立方籌下
[037-20b]
乃截第四㸃
六一○六○
六五九二為
四商之實
視共法籌第
八行六○九
六三八九
一二小于實
[037-21a]
商八尺以長亷法與第八行平方六四相乘得九六
七六八○為長亷積以加共積得六一○六○六五
九二除實盡
凡開得立方每面五千○四十八尺
右加兩空籌例
假如有立方積七千二百九十七億二千九百二十四
萬三千○二十七尺問每面若干
列位 作㸃
[037-21b]
如圖㸃在第三位以七
千二百九十億為初商
實 視立方籌方九之
積七二九與實同商九千尺減積七千二百九十億
四㸃故/初商千次截第二㸃○○○七二九為次商實
以初商九千尺自乘八千一百萬尺而三之得二億
四千三百萬尺為平亷法列立方籌上為平亷小隅
共法别以初商九千尺三而進位得二萬七千○百
[037-22a]
尺為長亷法列立方籌下 視共法籌第一行是○
二四三○一大于實不及減知次商百位空也于初
商九千尺下作一圏為次商原實上減/去一圏乃于平亷籌
下立方籌上加兩空籌為平廉小隅共法于長亷籌
下又加一空籌得二七○○為長亷法 截取第三
㸃○○七二九二四三為三商實 視共法籌第一
行是○二四三○○○一大于實仍不及減知三商十位
亦空也于商得九千○百下加一圏為三商原實上又/減去一圏
[037-22b]
又法實多空不必挨商但尋至不空之界如○七乃/與平亷相應即于○七之上初商之下作連圏為次
商三商而于原/實中銷兩圏
此次商三商合圖也
乃于平亷籌下立方籌
上又加兩空籌共四/空籌為
平亷小隅共法 其長亷籌下又加一空籌共三/空籌得
二七○○○為長亷法或不必加籌只于得/數下加三圏亦同
截取第四㸃○七二九二四三○二七為四商實
[037-23a]
[037-23b]
視共法籌第三行是○七二
九○○○○二七小于實商
三尺 以長亷法與第三行
平方○九相乘得二四三○
○○為長亷積以加共積得
○七二九二四三○二七除實盡
凡開得立方每面九千○○三尺
右加四空籌例
[037-24a]
開方分秒法籌算七/
勿菴氏曰命分古法也然但可以存其不盡之數而已
若還原則有不合故有分秒法以御之也雖亦終不
能盡然最小之分即無關于大數視命分之法不啻
加宻矣
平方
法曰凡開平方有餘實不能成一數不可開矣若必欲
開其分秒則于餘實下加二圏原實一化/為一百分如法開之
[037-24b]
所得根數是一十分内之幾分也或加四圏原實一/化為一
萬/分如法開之所得根數是一百分内之幾分也或加
六圏原實一化為/一百萬分如法開之所得根數是一千分内
之幾分也如此遞加兩圏則多開得一位乃至加十
圏原實一化/為百億分其根數則十萬分内之幾萬幾千幾百
幾十幾分也
假如平方積八步開得二步除實四步餘四步不盡分
秒幾何
[037-25a]
法于餘實下添兩圏則餘實四步
化為四百○○分為次商之實
依捷法以初商二步倍作四步為
亷法列平方籌上為亷隅共法簡
籌第八行積三八四小于餘實次商八分除實三百
八十四分開得平方每面二步八分不盡一十六分
再開之
又于餘實下加兩圏則餘實一十六分化為一千六
[037-25b]
百○○秒為三商之實
依捷法以初商次商共二步八分倍之得五步六分
為亷法列平方籌上為亷隅共法簡籌第二行積一
一二四小于餘實商作二秒除實一千一百二十四
秒共開得平方每面二步八分二秒不盡四百七十
六秒
此單下開兩位式也所不盡之數不過百分之四
若欲再開亦可得其忽㣲如後式
[037-26a]
還原以二步八二用籌為法又以二步八二列為實
而自相乘之得七萬九千五百二十四分加不盡之
分四百七十六共八萬乃以一萬分為一步之法除
之當退/四位仍得八步合原數
解曰此以一步化為百分故其積萬分何也自乘者
横一步直一步也今既以一步化為一百分則是横
一百分直一百分而其積一萬分為一步
[037-26b]
假如平方九十步開得九步除實八十一步餘實○九
步不盡小分/幾何
法于餘實九步下加八圏則餘實九步化為九億共
作五㸃而以第二㸃○九億○○分為次商之實
[037-27a]
依捷法以初商九步倍作一十八步為亷法列平方
籌上為亷隅共法簡籌第
四行○七三六略小于餘
實商四千分除實七億三
千六百萬分餘一億六千
四百○○萬分為第三商
之實第三/㸃也
又依捷法以初商次商九步又十之四倍之得一十
[037-27b]
八步八為亷法列平方籌上為亷隅共法簡籌第八
行一五一○四略小于餘實商八除實一億五千一
百○四萬餘一千二百九十六萬分○○為第四次
商之實第四/㸃也
又依捷法以三次所商共九步四八倍之得一十八
步九六為亷法列平方籌上為亷隅共法簡籌第六
行一一三七九六略小于實商六除實一千一百三
十七萬九千六百分餘一百五十八萬○四百○○
[037-28a]
分為第五次商之實第五/㸃也
又依捷法以所商九步四八六倍之得一十八步九
七二為亷法列平方籌上為亷隅共法簡籌第八行
一五一七八二四略小于實商八除實一百五十一
萬七千八百二十四分餘六萬二千五百七十六分
不盡凡開得平方每面九步四千八百六十八分亦/可
名為四分八/秒六忽八㣲不盡一○○○○○○○○之○○○
○六二五七六即一萬分之/六分有竒
[037-28b]
雖不盡不過萬分之一不足為損益可棄不用
還原以九步四八六八用籌為法又為實自乘得八
十九億九千九百九十三萬七千四百二十四分加
入不盡之分六萬二千五百七十六共九十億以一
億分為一步之法除之當退/八位仍得九十步合原數
解曰此以一步化為一萬分故其自乘之積一億何
也自乘者横一步直一步之積也今既以一萬分為
步則是横一萬分直一萬分而其積一億為一步
[037-29a]
若依命分法則還原不合
如前例 原實八步開得方二步除實四步不盡四
步法當倍每方二步作四步又加隅一步為命分命
[037-29b]
為二步又五分步之四意若曰若得五步則商三步
矣今只四步是五分内止得四分也然還原有不合
何也
以算明之
用通分法以命分五通二步得一十分又加得分四
共一十四分自乘得一百九十六為實以命分五自
乘得二十五分為法每步/通作
五分横一步直一步/則共得二十五分也除之
[037-30a]
得七步又二十五分之二十一以較原實少二十五之四
以圖明之
每步作五分其羃積二十五分方二
步積四步共一百分又五之四以乘
方二步得四十分倍之為亷積八十
分又五之四自乘得隅積一十六分
共九十六分以合原餘積四步該一百分少二十五
分之四
[037-30b]
以此觀之實數每縮虛數常盈故命分之法不可以
還原 其故何也曰隅差也何以謂之隅差曰平方
之有竒零其在兩亷者實其在隅者虛何也亷之虛
者一面而隅之虛者兩面也即如二步五之四謂五
分内虛一分故不能成一歩也然試觀于圖兩亷之
四步皆虛一分横四分直五分積二十分以二十五/分計之是為于五分之中虛一分
而隅之一步虛一分有零横四分直亦四分積一十/六分虛九分以二十五分
計之是為五分/之中虛二分弱則是邊數二步五之數者其積不及
[037-31a]
五之四也今餘積四步者實數也其邊數常盈于五
之四有竒也而命之曰五之四宜其不及矣然則古
何以設此法曰古率常寛以為所差者㣲故命之也
不但此也古率圓一圍三方五斜七今考之皆有㣲
差故曰寛也
愚常考定開平方隅差之法法曰如法以命分之毋
通其整而納其子即得/分為全數以全數自相乘得數
為通積另置分毋以分子減之餘數以乘分子而加
[037-31b]
之為實乃以分毋自乘為法除之即適還原數 如
上方二步五之四以分毋五通二步得十納子四共
十四自乘得方積一百九十六分另以分子四減分
毋五餘一以轉乘分子四得四即隅差也以隅差加
入方積共二百分為實乃以分毋五自乘得二十五
為法以除實得八步合原積
又如後例 原實九十步開得九步除實八十一步
不盡九步法當倍每方九步作十八步又加隅一共
[037-32a]
十九步為命分命為九步又十九分步之九意若曰
若得十九歩則加商一步成十步今只九步是十九
分内只得九分也然還原亦不合
以算明之
用通分法以命分十九通九步得一百七十一步又
加得分九共一百八十步自乘得三萬二千四百為
實以命分十九自乘得三百六十一為法每步十九/分横十九
分直十九分共得/三百六十一分也除之得八十九步又三百六十一
[037-32b]
分之二百七十一以較原實之九十步計少三百六
十一分之九十分
若依隅差之分以得分九減命分十九餘十轉乘得
分得九十分為隅差以加自乘通積三萬二千四百
[037-33a]
共得三萬二千四百九十為實乃以命分自乘三百
六十一為法除之恰得九十步合原積
以圖明之
甲戊丁庚形者方九步九分
之總形也通為一百八十分
積三萬二千四百分以三百
六十一為步除之較原實少
九十分
[037-33b]
内分甲丙乙巳形為初商方九步之形其積八千一歩
戊乙形庚乙形次商亷積之形也長九步通為一百/七十一分
濶九分積一千五百三十九分兩亷共計三千○七
十八分
丁乙者小隅者横直各九分以較亷積中每一步之
形如丑/乙欠一丁癸形即隅差也
以積考之亷九步每步濶九分長一步通為十/九分積一
百七十一分隅濶九分長亦九分積八十一分少九
[037-34a]
十分為隅差
立方
法曰凡立方有餘實不能成一數不可開矣若必欲知
[037-34b]
其分秒則于餘實下加三圏原實一化/為一千分如法開之所
得根數是一十分之幾分也若加六圏原實一化為/一百萬分
所得根數是一百分之幾分也若加九圏原實一化/為十億
則根數是一千分之幾分也若加十二圏原實一化/為萬億
則根數是一萬分之幾分也
解曰平方籌兩位故兩位作㸃而其化小分亦以兩位
為率葢積多兩位則根數可多一位也亷一位隅一/位故兩位
立方籌三位故三位作㸃而其化小分亦以三位為
[037-35a]
率葢積多三位則根數可多一位也平亷一位長亷/一位隅一位故
三/位
假如立方積一十七步開得立方二步除八步餘實九
步不盡法于餘實下
加十二圈則餘實九
步化為九萬億分増/
四㸃可加開四位/
依捷法截第二㸃○九○○○為次商之實 以初
[037-35b]
商二自乘四/而三之得一十二步為平亷法列立方
籌上為平隅共法 以初商二/三而進位得六○/為
長亷法列立方籌下 簡共法籌第五行積○六一/
二五/小于實商五分六行七行亦小于實因無長亷/
積故不用/
乃以第五行平方二五/與長亷法相乘得一五○○/
為長亷積以加共積共得○七六二五/是為次商五
分之積以除實餘一三七五以俟三商
[037-36a]
又截取第三㸃一三七五○○○為三商之實 以
初商次商共二步五分自乘得六二五/而三之得一/
八七五/為平亷法列立方籌上為平隅共法 以初
商次商二步五分/三而進位得七五○/為長亷法列
立方籌第七行一三一二八四三/共法八四三/小于
實商七秒 乃以第七行平方四九/與長亷法相乘
得三六七五○/為長亷積以加共積共得一三四九/
五九三/為三商七秒之積以除實餘○二五四○七
[037-36b]
以候續商
又截取第四㸃○二五四○七○○○為四商之實
以商數二五七/自乘得六六○四九/而三之得一九/
八一四七/為平亷法列立方籌上為平隅共法 以
商數二五七/進位而三之得七七一○/為長亷法列
立方籌下簡共法籌第一行○一九八一四七○一/
小于實商一忽
乃以第一行平方一/乘長亷得七七一○/為長亷積
[037-37a]
以加共積得一九八二二四一一/為商一忽之積以
除實餘○五五八四五八九以候末商
通第五㸃○五五八四五八九○○○為末商之實
以商數二五七一/自乘得六六一○○四一/而三
之得一九八三○一二三/為平亷法列立方籌上為
平隅共法 以商數二五七一/進位而三之得七七/
一三○/為長亷法列立方籌下簡共法籌第二行○/
三九六六○二四六○八/小于實商二㣲
[037-37b]
乃以第二行平方○四/乘長亷法得三○八五二○/
為長亷積以加共積得○三九六六三三三一二八/
為末商二㣲之積以減實餘一六一八二五五八七
二不盡
凡開得立方每面二步五分七秒一忽二㣲不盡之/數不能
成一㣲/棄不用
還原以二步五七一二用籌為法别以二步五七一
二列為實以法乘實得六六一一○六九四四
[037-38a]
再乘之得一十六萬九千九百八十三億八千一百
七十四萬四千一百二十八分
[037-39a]
乃以不盡之積一十六億一千八百二十五萬五千
八百七十二分加入再乘積共得一十七萬億以一
萬億為一步之法以一步為萬分横一萬直/一萬商一萬共一萬億除之得
一十七步合原數
若依命分法則還原不合
[037-39b]
如前所設立方積一十七步開得立方每面二步除
積九步餘九步法當以立方二步自乘得四步而三
之得十二步為平亷又以立方二步三之得六步為
長亷又加一步/為隅共一十九步/為命分命為立方
二步又十九分步之九意若曰餘積若滿十九步則
加商一步矣今只有九步是以十九分為一步而今
僅得九分也然還原則有不合
以算明之
[037-40a]
用通分法以命分十九通立方二步得三十八分/又
加得分九共四十七分/此即所云二步又十九分之
九乃立方一面之數也以此自乘得二千二百○九/
分/再乘得一十○萬三千八百二十三/乃立方二步
又十九分之九所容積數也為實别以命分十九自
乘得三百六十一/再乘得六千八百五十九/乃方一
步之積為法以除實得一十五步又六千八百五十/
九之九百三十八/較原實一十七步少一步又六千/
[037-40b]
八百五十九分之五千九百二十一/
其故何也曰長亷小隅之差也何以言之曰立方之
有竒零其在平亷者實其在長亷小隅者虛何也平
亷之虛者一面而長亷虛兩面小隅虛三面故也今
以十九分為一步其立方積六千八百五十九分/為
步法以十九分除之得每三百六十一/為分法平亷
每步横十九分直十九分髙九/分積三千二百四十九分法除之得九是為
十九分之九適合命分之數也
[037-41a]
若長亷横九分直十九分髙九分/積一千五百三十九分分法除之得四分
有竒而已以較平亷九分之積三千二百四十九/少
一千七百一十分/三長亷共六步/共少一萬○二百/
六十分/步法除之得一步又三千四百○一分為長
亷差
若小隅横直髙各九分積/七百二十九分分法除之得二分有竒而
已
以較平亷九分之積三千二百四十九/少二千五百
[037-41b]
二十分為隅差
合亷隅兩差計之共少一步又六千八百五十九分
之五千九百二十一
以圖明之
丑寅為立方一步之形每步通為十九分
横直髙各十九分積六千八百五十九分
是為步法
以十九分除步法得三百六十一分是為分法
[037-42a]
亷隅總圖見左/
甲乙丙三平亷也縱横各方二步通為三十八分厚
九分積一萬二千九百九十六分三亷共三萬八千
九百八十八分丁戊巳三長亷
也各長二步通為三十八分厚
濶各九分積三千○七十八分
三亷共九千二百三十四分
庚小隅也長濶髙皆九分積七
[037-42b]
百二十九分
三長廉三平廉一小隅共包一正方形在内
正方形縱横各二步通為三十八分 積五萬四千
八百七十二分
總形方二步九分通為四十七分髙如之 積
一十○萬三千八百二十三分 以步法除之
得一十五步有竒不滿原實一步又五千九百二
十一分
[037-43a]
平亷方二步其容四步即辛壬癸
子之分形也每步縱横皆一步通
為十九分厚皆九分積三千二百
四十九辛一形積如此/壬癸子者同 以分除之適得九分
長亷長二步如丑寅/合形通為三十八
分厚九分皆與平亷同所不同者
平亷濶十九分而長亷濶只九分
故長亷二步尚不及平亷一步之積以積計之每長
[037-43b]
亷一步如丑/形積一千五百三十九分較平亷每步之
積如丑夘/合形少一千七百一十分如丑之/虛分夘三長亷計六
步共少一萬○二百六十分是為長亷之差
小隅横直髙皆九分如未/形于平亷
一步之積不及四之一以積計之
小隅之積七百二十九較平亷一
步之積如未申/合形少二千五百二十分如未之/虛分申是為小
隅之差 合二差共一步五千九百二十一分
[037-44a]
今考定開立方亷隅差法法曰凡立方有命分者如
法以分母即命/分通其整而納以分子即得/分為立方全
數以全數自乘再乘得數為立方通積另置命分母/數
與得分子數/各自乘得數以相減用其餘數以乘得
分得數為隅差又置命分與得分相減用其餘數轉
與得分相乘以乘命分得數是為長亷每步虛數又
以長亷法乘之得數為長亷差合二差數以加通積
為實以命分自乘再乘得數為法除之即適還原數
[037-44b]
如所設立方積十七步開得立方二步又十九分
之九法以分母十九/通立方二步而以分子九分/納
之共四十七分/為立方全數以全數自乘再乘得一/
十○萬三千八百二十三/為通積另置命分十九/自
乘得三百六十一/内減分子九/自乘八十一/餘二百/
八十分/以分子九/乘之得二千五百二十分/為隅差
又置命分一十九/内減得分九/餘十分轉乘得分九/
得九十分/以乘命分十九/得一千七百一十分/為長
[037-45a]
亷每步虛數又以長亷法六步/乘之得一萬○二百/
六十分/為長亷差合二差共一萬二千七百八十分
以加通積共得一十一萬六千六百○三分為實以
命分一十九自乘再乘得六千八百五十九分為法
以除實得一十七步合原積
[037-45b]
厯算全書卷三十三