[036-1a] 
欽定四庫全書
厯算全書巻三十二
宣城梅文鼎撰
籌算四之五
開帶縱平方法
勿菴氏曰算有九極于勾股勾股出于圓方故少廣旁
要相資為用也然開平方以御勾股而縱法以御和
較古有益積減積翻積諸術參伍錯綜盡神通變要
[036-1b]
之皆帶縱一法而已
平方者長濶相等如碁局也平方/帶縱者直田也長多于濶之數謂
之縱縱之濶如平方之數其長則/如縱之數縱與方相乘得縱積以
加方積成一/直田形積也
平方與方縱兩形初商之積也兩
亷一隅一亷縱者次商之積也亷
有二故倍之亷之縱只一故不倍
也
[036-2a]
如前圖除積不盡則有第三商如
此圖雖三商亦只倍亷而不倍縱
四商以上倣此詳之
用法曰先以積列位如法作㸃從單位起隔位㸃之視
㸃在首位獨商之㸃在次位合兩位商之皆命為實
次以帶縱數用籌與平方籌並列之各為法
視平方籌積數有小于實者用其方數為初商用其
[036-2b]
積數為方積初商自乘/之數也 即視縱籌與初商同行之
積數用之為縱積初商乘縱之數也如初/商一則用縱籌第一行兼方積縱
積兩數以減原實而定初商必原實中兼此兩積之/數則初商無悮矣故曰
定/ 若原實不及減改而商之如前求得兩積以減
之為初商定數 不及減又改商之及減而止
若應商十數因無縱積改商單九是初商空也則于
初商之位作○而紀其改商之數于○下若次商者
然初商應是百而改九十/應是千而改九百並同
[036-3a]
定位法曰既得初商視所作原實之㸃共有幾何以定
其得數之位以知其有次商與否如一㸃則得數是/單而無次商二㸃
則得數是十而有次商/之類皆如平方法取之
次商法曰依前定位知初商未是單數而減積又有未
盡是有次商也 次商之法倍初商加入縱為亷法
用籌除之 視亷法籌行内之積數有小于餘實者
用為亷積以減餘實用其行數為次商 就以次商
自乘為隅積以減餘實以定次商必餘實内有亷隅/兩積則次商無誤
[036-3b]
不及减者改商之及減而止皆如平方法
商三次以上並同次商
命分法曰若得數已是單而有不盡則以法命之 法
以所商數倍之加入縱為亷又加隅一為命分不盡
之數為得分
亦有得數非單而餘實少在亷法以下不能商作單
一者亦以法命之 法即以亷法加隅一為命分
列商數法曰依平方法視所作㸃而以最上一㸃為主
[036-4a]
若初商五以上不論單五或五十或/五千或五百並同皆用進法書其
其得數于㸃之上兩位則不論縱之多少也
若初商四以下亦不論單/十百千則以縱之多少而為之進
退法以縱折半加入初商單從單十從十/百千各以類加若滿五以上
者變從進法書于㸃之上兩位如初商四而縱有二/初商三而縱有四之
類/
若縱數少雖加之而仍不滿五數者仍用常法書其
得數于㸃之上一位如初商四而縱只有一初商/三而縱只有二只有二之類
[036-4b]
總而言之所商單數皆書于亷法之上一位故初商
得數有進退之法乃豫為亷法之地以居次商也
初商五以上倍之則十雖無縱加亷法已進位矣初
商雖四以下而以半縱加之滿五則其倍之加縱而
為亷法也亦滿十而進位矣亷法進位故初商必進
兩位書也若加半縱仍不滿五則其亷法無進位矣
故初商只進一位而書之葢豫算所商單數已在亷
法之上也
[036-5a]
又初商若得單數其亷法即為命分凡商得單數必
在命分之上一位以此考之庶無謬誤
假如有直田積六十三步但云濶不及長二步
列位依平方法/作㸃從單位起/
視㸃在次位合六十三步商之為實
次以平方籌與縱二籌平列之各為法
視平方籌積有四九/小于六三/其方七也商作單
七用進法書于㸃之上兩/位 一㸃知所商是單
[036-5b]
即視帶縱籌第七行積數一四/用為縱積
併方積四十九/縱積一十四/共六十三除實盡此亦/偶除
盡耳設不盡其命分必是十數故/前商七之數必進書之以存其位
定為濶七步 加縱二步得長九步
凡得數在五以上用進法書于㸃之上兩位此其例
也
假如有直田六百三十步但云長多濶二步
列位無單位補作圈/作㸃
[036-6a]
視㸃在首位獨商之以○六百步
為實
以平方帶縱二各用籌為法
視平方籌積數有○四/小于○六/
其方二商二十步二㸃故/初商十自乘得方積四百步/隨視
縱籌第二行是四/得縱積四十步/併兩積共四百四
十步以減原實餘一百九十步再商之初商十故/有次商也
商數二十以縱折半得單一加之共二十一/仍不滿五數故只用常法書于㸃之上一位
[036-6b]
次以初商二十步/倍之四十步/加縱二步/共四十二
步為亷法用第四第二兩籌/
合視兩籌第四行積數一六八/小于一九○/次商四/減
亷積一百六十八步餘二十二步所減首位不空/次商故書本位
次以次商四步/為隅法自乘得一十六步/為隅積用
減餘實不盡六步以法命之初商雖不進位所得次/商單數已在命分之上
一位矣列商數/法妙在于此倍所商二十四步/為四十八步/加縱
二步/又加隅一步/共五十一步為命分
[036-7a]
命為濶二十四步/又五十一分步之六/加縱二步/得
長二十六步/又五十一分歩之六/
凡得數在四以下以半縱加之仍不滿五則只用
常法書于㸃之上一位此其例也
假如有直田五畝但云長多濶八十八步
列位以畝法二百四十通之得一千/二百步十步單步空補作兩圈作㸃
視㸃在次位合商之以一千二
百步為實縱有兩位用兩籌與
[036-7b]
平方籌並列各為法
先視平方籌有○九/小于一二/
宜商三十二㸃/商十因有縱改商二
十其方積四百步縱積一千七
百六十步初商十與縱相乘故/縱單數皆成十數兼兩積共二千一百
六十步大于實不及減所商有誤抹去之
改商一十步/其方積一百步/其縱積八百八十步/併
兩積共除實九百八十步餘二百二十步再為實以
[036-8a]
求次商初商十故/有次商也
縱折半四十四步加初商一十/步共五十四步故變用進法
次以初商一十步/倍之二十步/加縱八十八步/共一
百○八步為亷法用第一空位第八三籌/
合視籌第二行積二一六/小于二二○/次商二步/于
初商一十步/之下減亷積一百一十六餘四步所减/首位
○故進書之初商/豫進正為此也
次以次商二步/自乘得四步為隅積除實盡
[036-8b]
定為濶一十二步加縱八十八步/得長一百步
假如有直田一十二畝半但云長多濶七十步
列位以畝法二百四十通之得/三千步百十單皆作圈作㸃
視㸃在次位以三千○百步為實
以平方帶縱七十各用籌為法
先視平方籌積有二五小于三○/宜
商五十/因縱改商四十步/其方積一
千六百步其縱積二千八百步共四
[036-9a]
千四百步大于實不及减抹去之
改商三十步/其方積九百步/其縱積二千一百步/共
三千步除實盡
縱七十折半三十五加初商三十共六十五/是五以上也故用進法書商三于㸃上兩位
假有餘實則當再商或命之以分今雖商盡當存/其位 命分者亷法加隅一也倍初商加縱共一
百三十是原實百者亷法之位也進一/位乃單位初商不進兩位何以容單數
凡開得平方三十步為田濶 加縱七十步共一百步為長
假如有直田七畝但云長多濶六十步
[036-9b]
列位以畝法二百四十通之得一/千六百八十步單位空作圈作㸃
視㸃在次位合商之以一千六百步
為實
以平方帶縱六十步用籌各為法
先視平方籌有一六與實同宜商四
十二㸃初/商是十因帶縱改商三十步其方
積九百步/縱積一千八百步/共二千
七百步大于實不及減抹去之
[036-10a]
改商二十步/其方積四百步/縱積一千二百步/共減
一千六百步餘八十步再商之
縱折半三十加初商/共五十故進書之
假餘實滿命分一百○一步即當商一步故初/商豫進以居次商今次商雖空當存○位故也
次以初商二十步/倍之四十步/加入縱六十步共一
百步為亷法 亷法大于餘實不及減次商作○其
餘實以法命之 法以亷法加隅一為命分
命為濶二十步/又一百○一分步之八十/加縱為長
[036-10b]
八十步/又一百○一分步之八十/
假如有直田四畝但云長多濶九十步
列位以畝法通之得/九百六十步作㸃
視㸃在首位獨商之以○九百為實
以平方帶縱九十步各用籌為法
先視平方籌積有○九/與實同宜
商三十步二㸃故/初商十因帶縱改商二
十步其方積四百步/縱積一千八/
[036-11a]
百步/不及減又改商一十歩其方積一百步/縱積九/
百步/共一千步仍不及減 此有二㸃宜商十步今
改商一十仍不及減是初商十位空也
縱九十折半四十五加初商十步滿/五十以上故商一進書㸃之上兩位
改商單九步其方積八十一步/縱積八百一十步/共
八百九十一步以減實餘六十九步不盡此宜商十/數者變商
單步故初商之位作○而以改商之九步書于○位/下如次商然也蓋必如此書之所商單數乃在命分
之上一/位也
[036-11b]
商數已得單步而有不盡以法命之以商九步倍之
加縱九十步共一百○八步更加隅一步共一百○
九步為命分
命為濶九步又一百○九分/步之六十九 加縱為長九十九步
又一百○九分/步之六十九
以上四則乃縱多進位之法也凡得數雖四以下
以半縱加之滿五即用進法書于㸃之上兩位此
其例也
[036-12a]
開帶縱立方法籌算五/
勿菴氏曰泰西家説勾股開方甚詳然未有帶縱之術
同文算指取中算補之其論帶縱平方有十一種而
于立方帶縱終缺然也程汝思統宗所載又皆兩縱
之相同者惟難題堆垜還原有二例祇一可用其一
强合而已非立術本意又不附少廣而雜見于均輸
雖有善學何從而辨之兹因籌算稍以鄙意完其缺
義取曉暢不厭煩複使得其意者可施之他率不窮
[036-12b]
云爾
凡立方帶縱有三
一只帶一縱
如云長多方若干或髙多方若干是也深即同髙/
一帶兩縱而縱數相同
如云長不及方若干髙不及方若干是也此方多數/為縱
一帶兩縱而縱數又不相同
[036-13a]
如云長多濶若干濶又多髙若干是也
大約帶一縱者只有縱數而已帶兩縱者有縱亷又
有縱方故其術不同
[036-13b]
帶一縱圖三
此長多于方 此髙多于方
也為横縱横 也為直縱直
縱之形濶與 縱之形長濶
髙等如其方 相等如其方
其厚也如其 其髙也如其
縱所設 縱所設
俱立方一縱形一合為長立方形
[036-14a]
如圖立方形方縱形合者初商
也平亷三内帶縱者二長亷三
内帶縱者一小隅一此七者次
商也
平亷所帶之縱長與立方等厚
與次商等其髙也則如縱所設
長亷所帶之縱兩頭横直等
皆如次商其髙也如縱所設
[036-14b]
用法曰以積列位乃作㸃從單位起隔兩位㸃之
㸃畢視積首位有㸃獨商之以首位為初商之實
首位無㸃以首位合有㸃之位商之 㸃在次位以
首兩位為初商之實 㸃在第三位以首三位為初
商之實 皆同立方法
先視立方籌積數有小于初商之實者用其方數為
初商定位法合計所作㸃共有若干一㸃者商單數/二㸃則商十數每一㸃進一位皆如立方用
其積數為初商立方積定位法視初商方數若初商/單數其積亦盡于單位若初
[036-15a]
商十數其積乃盡于千位每初商進一位/其積進三位亦可以㸃計之皆如立方
次以初商自乘以乘縱數為縱積
合計立方積縱積共數以減原積而定初商若初商/無誤者
原實中必/兼此兩積命初商為方數加縱數為髙數或長數皆/依先所設
不及減者改商之及減而止
次商法曰依前定位知初商是何等或單十/百千等若初商未
是單數而減積又有不盡是有次商也
法以初商自乘而三之又以縱與初商相乘而兩之
[036-15b]
共為平亷法 又法以初商三之縱倍之併其數與
初商相乘得數為平亷法 或以初商加縱而倍之
併初商數以乘初商為平亷法並同
又以初商三之加縱為長亷法
乃置餘實列位以平亷法除之得數為次商用籌為/法除而
得/之
依除法/定其位
于是以次商乘平亷法為三平亷積 又以次商自
[036-16a]
乘以乘長亷法為三長亷積 就以次商自乘再乘
為隅積 合計平亷長亷隅積共若干數以減原實
原實中兼此併積/知次商無誤矣乃併初商次商所得數為方數加
縱命為髙數或長數皆/如先所設合問 不及減者改商之及
減而止
商三次者以初商次商所得數加縱而倍之併商得數
為法仍與商得數相乘為平亷法
又以商得數三之加縱為長亷法 餘並同次商
[036-16b]
命分法曰己商至單數而有不盡則以法命之 其法
以所商得數加縱倍之加所商得數以乘所商得數
如平/亷又以所商得數三之加縱如長/亷併兩數又加單
一如/隅為命分不盡之數為得分
或商數尚未是單而餘實甚少在所用平亷長亷兩
法併數之下或僅同其數僅同者/無隅積是無可續商也亦
以法命之法即以所用平亷長亷兩法併之又加隅
一為命分
[036-17a]
列商數法曰依立方法以初商之實有㸃者為主即原/實内
最上之/一㸃凡初商得數必書于㸃之上一位乃常法也
惟初商一數者用常法
有以初商得數書于㸃之上兩位者進法也初商二
三四五者用進法
有以初商得數書于㸃之上三位者超進法也初商
六七八九者用超進之法
若縱數多亷法有進位則宜用常法者改用進法宜
[036-17b]
用進法者用超進之法宜超進者更超一位書之
其法于次商時酌而定之葢次商時有三平亷法三
長亷法再加隅一為命分法于原實尋命分之位為
主命分上一位單數位也從此單數逆尋而上自單
而十而百而千至初商位止有不合者改而進書之
若與初商恰合者不必强改此法甚妙平方帶縱亦
可用之
若宜商一十而改單九或宜商一百而改九十凡得
[036-18a]
數退改小一等數者皆不用最上一㸃而以第二㸃
論之此尤要訣或于初商位作圈而以所商小一等/數書于圈之下即可以上一㸃論也
細考其數則同此商數列/位立法之妙宜詳翫之
假如浚井計立方積七百五十四萬九千八百八十八
尺但云深多方八百尺 法以立方帶縱為法除之
列位 作㸃
視㸃在首位獨商之以○
○七百萬尺為初商之實
[036-18b]
以立方籌為法 視立方籌積有○○一小于○○
七商一百尺三㸃故初商百商一百故/用常法書于㸃之上一位得立方積一
百萬尺三㸃者方積盡百萬之位一初/商之方積皆盡于最上之 㸃
次以初商一百尺自乘一萬尺乘縱八百尺得八百
萬尺為縱積 併兩積九百萬積大于原實不及減
抹去之不用改商如後圖
視立方籌第九行積七二九改商九十尺得立方積
七十二萬九千尺百改十故亦改用第二㸃第二/㸃是十位故方積亦盡於千位次
[036-19a]
以初商九十尺自乘八千一
百尺乘縱八百尺得六百四
十八萬尺為縱積 併兩積
共七百二十萬○九千尺以減原實餘三十四萬○
八百八十八尺再商除之初商一百今改商九十故/上一㸃不用用第二㸃論
之商九者書于第二㸃/之上三位超進法也
次用次商又法以縱八百尺加初商九十尺而倍之
得一千七百八十尺併初商九十尺共一千八百七
[036-19b]
十尺用與初商九十尺相乘得一十六萬八千三百
尺為平亷法 又以初商九十尺三因之得二百七
十尺加縱八百尺共得一千○七十尺為長亷法
乃列餘實以平亷為法除之用第一第六第/八第三共四等
商九十用超進法書于第二㸃之上三位今以縱
多致亷法進為十萬故次商時應更為酌定又超
一位書之然後次商單數在亷法上一位矣改如
後圖亷法十萬上一位單數位也今/商九十不合在此位故改之
[036-20a]
合視籌第二行積○三三六六小于餘實次商二尺
于初商九十之下所減首位是○法宜進書也初/商不改而更超之何以居次商
就以次商二尺乘平亷法得三十三萬六千六百尺
為平亷積 又以次商二尺自乘四尺用乘長亷法
得四千二百八十尺為長亷積 又以次商二尺自
[036-20b]
乘再乘得八尺為隅積 併三積共三十四萬○八
百八十八尺除實盡
乃以商數命為井方 加縱為井深
計開
井方九十二尺深八百九十二尺
此超進法改而更超一位也
[036-21a]
帶兩縱縱數相同圖二
此髙不及方也方之横與直俱
多于髙是為兩縱兩縱者縱廉
二縱方一并立方而四
立方形長濶髙皆相等
縱亷形髙與濶相等如其方之
數其厚也如所設縱之數
縱方形兩頭等皆如縱數其髙也如立方之數
[036-21b]
兩縱亷輔立方兩面而縱方補其隅合為一短立方
形
不及之數有在立方旁者觀後圖可互見其意
[036-22a]
如圖初商有立方有縱廉二縱方一共四形今只
圖其二餘為平廉所掩意㑹之可也此横頭不及/方也即前圖
之眠/體
次商平廉三内帶一縱者二帶兩縱者一長廉三内
帶縱者二小隅一共七
平廉帶一縱者濶如初商加縱為長厚如次商其
帶兩縱者髙濶皆等皆如初商加縱之數厚如次
啇
[036-22b]
長廉帶縱者長如初商加縱之數其兩頭横直皆
等皆如次商
無縱長廉長如初商兩頭横直等如次商
小隅横直髙皆等皆如次商
用法曰先以縱倍之為縱廉兩縱/併也以縱自乘為縱方
兩縱/相乘
此因兩縱數同故其法如此也若兩縱不同徑用
乘法併法矣
[036-23a]
乃如法列位作㸃求初商之實
以立方籌為法求得初商方數及初商立方積皆如/立方
法皆依定/位法命之
次以初商乘縱方得數為縱方積 又以初商自乘
數乘縱亷得數為縱亷積
合計縱方縱亷立方之積共若干數以減原實而定
初商皆如一/縱法
命初商為髙數或深數皆/如所設加縱為方數不及減改商/之若初商未
[036-23b]
是單數則以/餘實求次商
次商法曰以初商加縱倍之以乘初商髙數得數 又
以初商加縱自乘得數 併之共為平亷法又法初/商三之
加縱以初商加縱乘之/得數為平亷法亦同
次以初商加縱倍之併初商數共為長亷法又法初/商三之
縱倍之併為/長亷法亦同
乃置餘實列位 以亷法位酌定初商列法而進退
之以平亷為法而除餘實得數為次商皆以所減首/位是○與否
[036-24a]
而為之/進若退 又法合平亷長亷兩法以求次商
于是以次商乘平亷法為平亷積 又以次商自乘
數乘長亷法為長亷積 又以次商自乘再乘為隅
積 合計平亷長亷隅積共若干數以減餘實而定
初商皆如一/縱法
又法以次商乘長亷法為長亷法又以次商自乘為/隅法併平亷長亷隅法以與次商相乘為次商亷隅
共積以減/餘實亦同
乃命所商數為髙或深之類/如所設加縱數命為方合問
[036-24b]
不盡者以方倍之乘髙又以方自乘如平/亷又以方倍之
併髙如長/亷又加單一如/隅為命分
假如有方臺積五百八十六萬六千一百八十一尺但
云髙不及方一百四十尺 以帶兩縱立方為法除
之方者長濶等每面各/多髙一百四十尺
先以縱一百四十尺倍之得二百八十尺為縱積
又縱自乘之得一萬九千六百尺為縱方
列位 加㸃
[036-25a]
視㸃在首位獨商之以○
○五百萬尺為初商之實
視立方積有○○一小于
○○五商一百尺三㸃故/商百尺得立方積一百萬尺商一/數宜
用常法書于㸃之上一位今因縱多致亷法昇為十/萬法上一位為單單上一位為十今初商是百尺故
改用進法書之/亷法之昇見後
就以初商一百尺乘縱方得一百九十六萬尺為縱
方積
[036-25b]
又以初商一百自乘一萬乘縱亷得二百八十萬尺
為縱亷積
合計立方縱方縱亷積共五百七十六萬尺以減原
實餘一十萬○六千一百八十一尺初商百尺/宜有續商
初商一百尺髙也 加縱共二百四十尺方也
次以方倍之四百八十尺用乘髙數得四萬八千尺
又以方自乘之得五萬七千六百尺併之得一十萬
○五千六百尺為平亷法
[036-26a]
又以方倍之併髙得五百八十尺為長亷法
乃列餘實 以亷法酌定初商改進一位書之
以平亷法用籌除餘實
視籌第一行○一○五六
小于餘實次商一尺于初
商一百尺之隔位所減是○一○五六首位○宜進/書然猶與初商隔位故知為單一
尺/ 就以次商一尺乘平亷法如故又以次商一尺
自乘以乘長亷法亦如故就命為平亷長亷積 又
[036-26b]
以次商自乘再乘仍得一尺如故 合計三積共一
十萬○六千一百八十一尺除實盡
乃以所商數命為臺髙 加縱為方
計開
臺髙一百○一尺 方二百四十一尺
此常法改用進法也
假如有方池積五十萬丈但云深不及方五十尺 先
以縱五/十尺倍之一百為縱亷 又縱自乘之得二千/五百
[036-27a]
尺為縱方
列位 加㸃
視㸃在第三位合商之以五十
萬○○尺為初商之實
視立方籌有三四三小于五○
○宜商七十尺二㸃商/十尺因縱改商六十尺得立方積
二十一萬六千尺 次以初商六十尺自乘三千六
百尺用乘縱亷一百尺得三十六萬尺已大于實不
[036-27b]
及減不必求縱方積矣 改商五十尺用籌求得立
方積一十二萬五千尺
就以初商五十尺乘縱方得縱方積亦一十二萬五
千尺 又以初商五十尺自乘二千五百尺用乘縱
亷得縱亷積二十五萬尺 併三積共五十萬尺除
實盡 以商數命為池深 加縱為方
計開 池深五十尺 方一百尺
此進法改為超進也假有次商則其平亷法二萬/尺矣假有命分則其命分二
[036-28a]
萬○二百/五十一矣 亦有髙與長同而濶不及數者準此
求之但以初商命為濶而加縱為髙與長
[036-28b]
帶兩縱縱數不相同圖二
此長多于濶而髙又多于
長也是為兩縱而又不相
同凡為大縱亷小縱亷各
一縱方一并立方形而四
立方形長濶髙相等
大縱亷横直等如其方而
髙如大縱 小縱亷髙濶
[036-29a]
等如其方而厚如小縱
縱方形之兩頭髙如大縱
厚如小縱其長也則如立
方 大縱小縱以輔立方
之兩面而縱方補其闕合
為一長立方形
如圖初商有立方有大縱
廉小縱廉縱方各一共四
[036-29b]
只圖其二餘為平廉所掩
也
次商平廉三内帶小縱者
一帶大縱者一在初商大/縱立方之
背/面帶兩縱者一
長廉三内帶小縱者一帶
大縱者一
小隅一共七
[036-30a]
帶小縱平亷濶如初商長如初商加小縱之數髙如
次商
帶大縱平亷濶如初商髙如初商加大縱之數厚如
次商
帶兩縱平亷濶如初商加小縱之數髙如初商加大
縱之數厚如次商
帶小縱長亷長如初商加小縱之數 帶大縱長亷
髙如初商加大縱之數 無縱長亷長如初商數
[036-30b]
其兩頭横直皆如次商之數
小隅横直髙皆如次商之數
用法曰以兩縱相併為縱亷 以兩縱相乘為縱方
列位作㸃求初商之實 以立方籌求得初商立方
積 以初商求得縱方縱亷兩積 皆如前法
乃以初商命為濶 各加縱命為長為髙
求次商者以初商長濶髙維乘得數而併之為平亷法
又以初商長濶髙併之為長亷法
[036-31a]
乃置餘實列位以平亷酌定/初商之位以平亷為法求次商及
平亷積長亷積隅積以減餘實乃命所商為濶各以
縱加之為髙為長如所/設皆如前法
不盡者以所商長濶髙維乘併之如平/亷又以長濶髙併
之如長/亷又加單一如/隅為命分
假如有長立方形積九十尺但云髙多濶三尺長多濶
二尺
先以兩縱相併五尺為縱亷 以兩縱相乘六尺為
[036-31b]
縱方
列位 作㸃
視㸃在第二位合商之以○九十
○尺為初商之實
乃視立方籌有○六四小于○九○宜商四八因有
縱改商三尺得二十七尺為立方積原實只一㸃故/初商是單商三
故書于㸃之上/兩位用進法也
次以初商三尺自乘九尺乘縱亷得四十五尺為縱
[036-32a]
亷積
又以初商三尺乘縱方得一十八尺為縱方積
併三積共九十尺除實盡
乃以初商命為濶 各加縱為髙為長
計開
濶三尺 長五尺 髙六尺
假如有立方積一千六百二十尺但云長多濶六尺髙
多濶三尺
[036-32b]
先以兩縱相併九尺為縱亷 以兩縱相乘一十八
尺為縱方
列位 作㸃
視㸃在首位獨商之以○○一千
尺為初商之實
乃視立方籌有○○一與實同商一十尺二㸃/商十得立
方積一千尺次以初商一十尺自乘一百尺乘縱亷
得九百尺為縱亷積又以初商一十尺乘縱方得一
[036-33a]
百八十尺為縱方積 合計之共二千○八十尺大
于實不及減商一十故用常法/書于㸃之上一位改商九尺得七百二
十九尺為立方積十變為單則上一㸃不用用第二/㸃故商九書于第二㸃之上兩位
用超進/法也
次以初商九尺自乘八十一乘縱亷亦得七百二十
九尺為縱亷積
次以初商九尺乘縱方得一百六十二尺為縱方積
併三積共一千六百二十尺除實盡
[036-33b]
乃以商數命為濶 各加縱為長為髙
計開
濶九尺 長一十五尺 髙一十二尺
假如有長立方積六萬四千尺但云長多濶五尺髙又
多長一尺
先以長多五尺髙多六尺併之得十/十為縱亷 又以
五尺六尺相乘三十為縱方
解曰長多濶五尺髙又多/長一尺是髙多濶六尺也
[036-34a]
列位 作㸃
視㸃在第二位合商之以○六
萬四千尺為初商之實
視立方籌有○六四與實同宜
商四十尺因有縱改商三十尺二㸃故/商十尺得二萬七千
尺為立方積商三十故書于㸃之/上兩位用進法也
次以初商三十尺自乘九百尺乘縱亷得九千九百
尺為縱亷積
[036-34b]
次以初商三十尺乘縱方得九百尺為縱方積
併三積共三萬七千八百尺以減原實餘二萬六千
二百尺再商之初商十宜/有次商
初商三十尺濶也 加縱五尺共三十五尺長也
又加一尺共三十六尺髙也
乃以初商長濶髙維乘之
濶乘長得一千○五十尺 髙乘濶得一千○八
十尺 長乘高得一千二百六十尺
[036-35a]
併三維乘數共三千三百九十尺為平亷法又法/併長
與髙乘濶又以髙/乘長併之亦同
次以初商長濶髙併之共一百○一尺為長亷法又/法
初商三之加/兩縱亦同
乃以平亷用籌為法以餘實列位除之
如後圖合視籌第六行是二○三四小于餘實次商
六尺所減首位不/空故書本位得二萬○三百四十尺為平亷積
次商乘平/亷法也
[036-35b]
次以次商六尺自乘三十六尺乘長亷
法得三千六百三十六尺為長亷積
又以次商六尺自乘再乘得二百一十
六尺為隅積
併三積共二萬四千一百九十二尺以減餘實餘二
千○○八不盡以法命之
法以初商濶髙長各加次商為濶髙長而維乘之
濶乘長得一千四百七十六尺 髙乘濶得一千
[036-36a]
五百一十二尺 長乘髙得一千七百二十二尺
併得四千七百一十尺如平/亷又併濶髙長得一百一
十九尺如長/亷又加一尺如/隅共得四千八百三十尺為
命分不盡之數為得分
命為四千八百三十分尺之二千○○八即竒數也
計開
濶三十六尺有竒音基/ 長四十一尺有竒
髙四十二尺有竒
[036-36b]
假如有長立方形積一十萬○一千尺但云長多濶五
尺髙多濶六尺
先以兩縱併得一十一尺為縱亷
以兩縱乘得三十尺為縱方
列位 作㸃
視㸃在第三位合三位商之以
一十萬○一千為初商之實
乃視立方籌有○六四小于一
[036-37a]
○一商四十尺二㸃/商十得六萬四千尺為立方積商四/十故
書于㸃之上/兩位進法也
次以初商自乘一千六百尺乘縱亷得一萬七千六
百尺為縱亷積
次以初商乘縱方得一千二百尺為縱方積
併三積共八萬二千八百尺以減原實餘一萬八千
二百尺再商之
初商四十尺濶也 加縱五尺得四十五尺長也
[036-37b]
加縱六尺得四十六尺髙也
乃以初商濶長髙而維乘之
長乘濶得一千八百尺 濶乘髙得一千八百四
十尺又法併髙與長九十一尺以濶四十尺乘之/共三千六百四十尺省兩維乘其數亦同
髙乘長得二千○七十尺
併維乘數共五千七百一十尺為平亷法
又以濶長髙併之共一百三十一尺為長亷法
乃列餘實以平亷用籌為法除之
[036-38a]
合視籌第三行是一七一三小于
餘實次商三尺所減首位不空/故本位書之就
以次商三尺乘平亷法得一萬七
千一百三十尺為平亷積 又以
次商三尺自乘九尺乘長亷法得一千一百七十九
尺為長亷積 又以次商三尺自乘再乘得二十七
尺為隅積 併之得一萬八千三百三十六尺大于
餘實不及減
[036-38b]
改商二尺
就以次商二尺乘平亷法得一萬一千四百二十尺
為平亷積即用籌第/二行取之
次以次商自乘四尺乘長亷法得五百二十四尺為
長亷積 又以次商自乘再乘得八尺為隅積
併之共一萬一千九百五十二尺以減餘實仍餘六
千二百四十八不盡以法命之
法以濶長髙各加次商二尺為濶長髙而維乘之
[036-39a]
併髙四十八尺長四十七尺共九十五尺以濶四十
二尺乘之得三千九百九十尺代兩/維乘又以長乘髙得
二千二百五十六尺併得六千二百四十六尺 又
以長濶髙併之得一百三十七尺 又加一尺 共
六千三百八十四為命分
命為六千三百八十四之六千二百四十八即竒數
計開
濶四十二尺有竒
[036-39b]
長四十七尺有竒
髙四十八尺有竒
厯算全書卷三十二
欽定四庫全書
厯算全書巻三十二
宣城梅文鼎撰
籌算四之五
開帶縱平方法
勿菴氏曰算有九極于勾股勾股出于圓方故少廣旁
要相資為用也然開平方以御勾股而縱法以御和
較古有益積減積翻積諸術參伍錯綜盡神通變要
[036-1b]
之皆帶縱一法而已
平方者長濶相等如碁局也平方/帶縱者直田也長多于濶之數謂
之縱縱之濶如平方之數其長則/如縱之數縱與方相乘得縱積以
加方積成一/直田形積也
平方與方縱兩形初商之積也兩
亷一隅一亷縱者次商之積也亷
有二故倍之亷之縱只一故不倍
也
[036-2a]
如前圖除積不盡則有第三商如
此圖雖三商亦只倍亷而不倍縱
四商以上倣此詳之
用法曰先以積列位如法作㸃從單位起隔位㸃之視
㸃在首位獨商之㸃在次位合兩位商之皆命為實
次以帶縱數用籌與平方籌並列之各為法
視平方籌積數有小于實者用其方數為初商用其
[036-2b]
積數為方積初商自乘/之數也 即視縱籌與初商同行之
積數用之為縱積初商乘縱之數也如初/商一則用縱籌第一行兼方積縱
積兩數以減原實而定初商必原實中兼此兩積之/數則初商無悮矣故曰
定/ 若原實不及減改而商之如前求得兩積以減
之為初商定數 不及減又改商之及減而止
若應商十數因無縱積改商單九是初商空也則于
初商之位作○而紀其改商之數于○下若次商者
然初商應是百而改九十/應是千而改九百並同
[036-3a]
定位法曰既得初商視所作原實之㸃共有幾何以定
其得數之位以知其有次商與否如一㸃則得數是/單而無次商二㸃
則得數是十而有次商/之類皆如平方法取之
次商法曰依前定位知初商未是單數而減積又有未
盡是有次商也 次商之法倍初商加入縱為亷法
用籌除之 視亷法籌行内之積數有小于餘實者
用為亷積以減餘實用其行數為次商 就以次商
自乘為隅積以減餘實以定次商必餘實内有亷隅/兩積則次商無誤
[036-3b]
不及减者改商之及減而止皆如平方法
商三次以上並同次商
命分法曰若得數已是單而有不盡則以法命之 法
以所商數倍之加入縱為亷又加隅一為命分不盡
之數為得分
亦有得數非單而餘實少在亷法以下不能商作單
一者亦以法命之 法即以亷法加隅一為命分
列商數法曰依平方法視所作㸃而以最上一㸃為主
[036-4a]
若初商五以上不論單五或五十或/五千或五百並同皆用進法書其
其得數于㸃之上兩位則不論縱之多少也
若初商四以下亦不論單/十百千則以縱之多少而為之進
退法以縱折半加入初商單從單十從十/百千各以類加若滿五以上
者變從進法書于㸃之上兩位如初商四而縱有二/初商三而縱有四之
類/
若縱數少雖加之而仍不滿五數者仍用常法書其
得數于㸃之上一位如初商四而縱只有一初商/三而縱只有二只有二之類
[036-4b]
總而言之所商單數皆書于亷法之上一位故初商
得數有進退之法乃豫為亷法之地以居次商也
初商五以上倍之則十雖無縱加亷法已進位矣初
商雖四以下而以半縱加之滿五則其倍之加縱而
為亷法也亦滿十而進位矣亷法進位故初商必進
兩位書也若加半縱仍不滿五則其亷法無進位矣
故初商只進一位而書之葢豫算所商單數已在亷
法之上也
[036-5a]
又初商若得單數其亷法即為命分凡商得單數必
在命分之上一位以此考之庶無謬誤
假如有直田積六十三步但云濶不及長二步
列位依平方法/作㸃從單位起/
視㸃在次位合六十三步商之為實
次以平方籌與縱二籌平列之各為法
視平方籌積有四九/小于六三/其方七也商作單
七用進法書于㸃之上兩/位 一㸃知所商是單
[036-5b]
即視帶縱籌第七行積數一四/用為縱積
併方積四十九/縱積一十四/共六十三除實盡此亦/偶除
盡耳設不盡其命分必是十數故/前商七之數必進書之以存其位
定為濶七步 加縱二步得長九步
凡得數在五以上用進法書于㸃之上兩位此其例
也
假如有直田六百三十步但云長多濶二步
列位無單位補作圈/作㸃
[036-6a]
視㸃在首位獨商之以○六百步
為實
以平方帶縱二各用籌為法
視平方籌積數有○四/小于○六/
其方二商二十步二㸃故/初商十自乘得方積四百步/隨視
縱籌第二行是四/得縱積四十步/併兩積共四百四
十步以減原實餘一百九十步再商之初商十故/有次商也
商數二十以縱折半得單一加之共二十一/仍不滿五數故只用常法書于㸃之上一位
[036-6b]
次以初商二十步/倍之四十步/加縱二步/共四十二
步為亷法用第四第二兩籌/
合視兩籌第四行積數一六八/小于一九○/次商四/減
亷積一百六十八步餘二十二步所減首位不空/次商故書本位
次以次商四步/為隅法自乘得一十六步/為隅積用
減餘實不盡六步以法命之初商雖不進位所得次/商單數已在命分之上
一位矣列商數/法妙在于此倍所商二十四步/為四十八步/加縱
二步/又加隅一步/共五十一步為命分
[036-7a]
命為濶二十四步/又五十一分步之六/加縱二步/得
長二十六步/又五十一分歩之六/
凡得數在四以下以半縱加之仍不滿五則只用
常法書于㸃之上一位此其例也
假如有直田五畝但云長多濶八十八步
列位以畝法二百四十通之得一千/二百步十步單步空補作兩圈作㸃
視㸃在次位合商之以一千二
百步為實縱有兩位用兩籌與
[036-7b]
平方籌並列各為法
先視平方籌有○九/小于一二/
宜商三十二㸃/商十因有縱改商二
十其方積四百步縱積一千七
百六十步初商十與縱相乘故/縱單數皆成十數兼兩積共二千一百
六十步大于實不及減所商有誤抹去之
改商一十步/其方積一百步/其縱積八百八十步/併
兩積共除實九百八十步餘二百二十步再為實以
[036-8a]
求次商初商十故/有次商也
縱折半四十四步加初商一十/步共五十四步故變用進法
次以初商一十步/倍之二十步/加縱八十八步/共一
百○八步為亷法用第一空位第八三籌/
合視籌第二行積二一六/小于二二○/次商二步/于
初商一十步/之下減亷積一百一十六餘四步所减/首位
○故進書之初商/豫進正為此也
次以次商二步/自乘得四步為隅積除實盡
[036-8b]
定為濶一十二步加縱八十八步/得長一百步
假如有直田一十二畝半但云長多濶七十步
列位以畝法二百四十通之得/三千步百十單皆作圈作㸃
視㸃在次位以三千○百步為實
以平方帶縱七十各用籌為法
先視平方籌積有二五小于三○/宜
商五十/因縱改商四十步/其方積一
千六百步其縱積二千八百步共四
[036-9a]
千四百步大于實不及减抹去之
改商三十步/其方積九百步/其縱積二千一百步/共
三千步除實盡
縱七十折半三十五加初商三十共六十五/是五以上也故用進法書商三于㸃上兩位
假有餘實則當再商或命之以分今雖商盡當存/其位 命分者亷法加隅一也倍初商加縱共一
百三十是原實百者亷法之位也進一/位乃單位初商不進兩位何以容單數
凡開得平方三十步為田濶 加縱七十步共一百步為長
假如有直田七畝但云長多濶六十步
[036-9b]
列位以畝法二百四十通之得一/千六百八十步單位空作圈作㸃
視㸃在次位合商之以一千六百步
為實
以平方帶縱六十步用籌各為法
先視平方籌有一六與實同宜商四
十二㸃初/商是十因帶縱改商三十步其方
積九百步/縱積一千八百步/共二千
七百步大于實不及減抹去之
[036-10a]
改商二十步/其方積四百步/縱積一千二百步/共減
一千六百步餘八十步再商之
縱折半三十加初商/共五十故進書之
假餘實滿命分一百○一步即當商一步故初/商豫進以居次商今次商雖空當存○位故也
次以初商二十步/倍之四十步/加入縱六十步共一
百步為亷法 亷法大于餘實不及減次商作○其
餘實以法命之 法以亷法加隅一為命分
命為濶二十步/又一百○一分步之八十/加縱為長
[036-10b]
八十步/又一百○一分步之八十/
假如有直田四畝但云長多濶九十步
列位以畝法通之得/九百六十步作㸃
視㸃在首位獨商之以○九百為實
以平方帶縱九十步各用籌為法
先視平方籌積有○九/與實同宜
商三十步二㸃故/初商十因帶縱改商二
十步其方積四百步/縱積一千八/
[036-11a]
百步/不及減又改商一十歩其方積一百步/縱積九/
百步/共一千步仍不及減 此有二㸃宜商十步今
改商一十仍不及減是初商十位空也
縱九十折半四十五加初商十步滿/五十以上故商一進書㸃之上兩位
改商單九步其方積八十一步/縱積八百一十步/共
八百九十一步以減實餘六十九步不盡此宜商十/數者變商
單步故初商之位作○而以改商之九步書于○位/下如次商然也蓋必如此書之所商單數乃在命分
之上一/位也
[036-11b]
商數已得單步而有不盡以法命之以商九步倍之
加縱九十步共一百○八步更加隅一步共一百○
九步為命分
命為濶九步又一百○九分/步之六十九 加縱為長九十九步
又一百○九分/步之六十九
以上四則乃縱多進位之法也凡得數雖四以下
以半縱加之滿五即用進法書于㸃之上兩位此
其例也
[036-12a]
開帶縱立方法籌算五/
勿菴氏曰泰西家説勾股開方甚詳然未有帶縱之術
同文算指取中算補之其論帶縱平方有十一種而
于立方帶縱終缺然也程汝思統宗所載又皆兩縱
之相同者惟難題堆垜還原有二例祇一可用其一
强合而已非立術本意又不附少廣而雜見于均輸
雖有善學何從而辨之兹因籌算稍以鄙意完其缺
義取曉暢不厭煩複使得其意者可施之他率不窮
[036-12b]
云爾
凡立方帶縱有三
一只帶一縱
如云長多方若干或髙多方若干是也深即同髙/
一帶兩縱而縱數相同
如云長不及方若干髙不及方若干是也此方多數/為縱
一帶兩縱而縱數又不相同
[036-13a]
如云長多濶若干濶又多髙若干是也
大約帶一縱者只有縱數而已帶兩縱者有縱亷又
有縱方故其術不同
[036-13b]
帶一縱圖三
此長多于方 此髙多于方
也為横縱横 也為直縱直
縱之形濶與 縱之形長濶
髙等如其方 相等如其方
其厚也如其 其髙也如其
縱所設 縱所設
俱立方一縱形一合為長立方形
[036-14a]
如圖立方形方縱形合者初商
也平亷三内帶縱者二長亷三
内帶縱者一小隅一此七者次
商也
平亷所帶之縱長與立方等厚
與次商等其髙也則如縱所設
長亷所帶之縱兩頭横直等
皆如次商其髙也如縱所設
[036-14b]
用法曰以積列位乃作㸃從單位起隔兩位㸃之
㸃畢視積首位有㸃獨商之以首位為初商之實
首位無㸃以首位合有㸃之位商之 㸃在次位以
首兩位為初商之實 㸃在第三位以首三位為初
商之實 皆同立方法
先視立方籌積數有小于初商之實者用其方數為
初商定位法合計所作㸃共有若干一㸃者商單數/二㸃則商十數每一㸃進一位皆如立方用
其積數為初商立方積定位法視初商方數若初商/單數其積亦盡于單位若初
[036-15a]
商十數其積乃盡于千位每初商進一位/其積進三位亦可以㸃計之皆如立方
次以初商自乘以乘縱數為縱積
合計立方積縱積共數以減原積而定初商若初商/無誤者
原實中必/兼此兩積命初商為方數加縱數為髙數或長數皆/依先所設
不及減者改商之及減而止
次商法曰依前定位知初商是何等或單十/百千等若初商未
是單數而減積又有不盡是有次商也
法以初商自乘而三之又以縱與初商相乘而兩之
[036-15b]
共為平亷法 又法以初商三之縱倍之併其數與
初商相乘得數為平亷法 或以初商加縱而倍之
併初商數以乘初商為平亷法並同
又以初商三之加縱為長亷法
乃置餘實列位以平亷法除之得數為次商用籌為/法除而
得/之
依除法/定其位
于是以次商乘平亷法為三平亷積 又以次商自
[036-16a]
乘以乘長亷法為三長亷積 就以次商自乘再乘
為隅積 合計平亷長亷隅積共若干數以減原實
原實中兼此併積/知次商無誤矣乃併初商次商所得數為方數加
縱命為髙數或長數皆/如先所設合問 不及減者改商之及
減而止
商三次者以初商次商所得數加縱而倍之併商得數
為法仍與商得數相乘為平亷法
又以商得數三之加縱為長亷法 餘並同次商
[036-16b]
命分法曰己商至單數而有不盡則以法命之 其法
以所商得數加縱倍之加所商得數以乘所商得數
如平/亷又以所商得數三之加縱如長/亷併兩數又加單
一如/隅為命分不盡之數為得分
或商數尚未是單而餘實甚少在所用平亷長亷兩
法併數之下或僅同其數僅同者/無隅積是無可續商也亦
以法命之法即以所用平亷長亷兩法併之又加隅
一為命分
[036-17a]
列商數法曰依立方法以初商之實有㸃者為主即原/實内
最上之/一㸃凡初商得數必書于㸃之上一位乃常法也
惟初商一數者用常法
有以初商得數書于㸃之上兩位者進法也初商二
三四五者用進法
有以初商得數書于㸃之上三位者超進法也初商
六七八九者用超進之法
若縱數多亷法有進位則宜用常法者改用進法宜
[036-17b]
用進法者用超進之法宜超進者更超一位書之
其法于次商時酌而定之葢次商時有三平亷法三
長亷法再加隅一為命分法于原實尋命分之位為
主命分上一位單數位也從此單數逆尋而上自單
而十而百而千至初商位止有不合者改而進書之
若與初商恰合者不必强改此法甚妙平方帶縱亦
可用之
若宜商一十而改單九或宜商一百而改九十凡得
[036-18a]
數退改小一等數者皆不用最上一㸃而以第二㸃
論之此尤要訣或于初商位作圈而以所商小一等/數書于圈之下即可以上一㸃論也
細考其數則同此商數列/位立法之妙宜詳翫之
假如浚井計立方積七百五十四萬九千八百八十八
尺但云深多方八百尺 法以立方帶縱為法除之
列位 作㸃
視㸃在首位獨商之以○
○七百萬尺為初商之實
[036-18b]
以立方籌為法 視立方籌積有○○一小于○○
七商一百尺三㸃故初商百商一百故/用常法書于㸃之上一位得立方積一
百萬尺三㸃者方積盡百萬之位一初/商之方積皆盡于最上之 㸃
次以初商一百尺自乘一萬尺乘縱八百尺得八百
萬尺為縱積 併兩積九百萬積大于原實不及減
抹去之不用改商如後圖
視立方籌第九行積七二九改商九十尺得立方積
七十二萬九千尺百改十故亦改用第二㸃第二/㸃是十位故方積亦盡於千位次
[036-19a]
以初商九十尺自乘八千一
百尺乘縱八百尺得六百四
十八萬尺為縱積 併兩積
共七百二十萬○九千尺以減原實餘三十四萬○
八百八十八尺再商除之初商一百今改商九十故/上一㸃不用用第二㸃論
之商九者書于第二㸃/之上三位超進法也
次用次商又法以縱八百尺加初商九十尺而倍之
得一千七百八十尺併初商九十尺共一千八百七
[036-19b]
十尺用與初商九十尺相乘得一十六萬八千三百
尺為平亷法 又以初商九十尺三因之得二百七
十尺加縱八百尺共得一千○七十尺為長亷法
乃列餘實以平亷為法除之用第一第六第/八第三共四等
商九十用超進法書于第二㸃之上三位今以縱
多致亷法進為十萬故次商時應更為酌定又超
一位書之然後次商單數在亷法上一位矣改如
後圖亷法十萬上一位單數位也今/商九十不合在此位故改之
[036-20a]
合視籌第二行積○三三六六小于餘實次商二尺
于初商九十之下所減首位是○法宜進書也初/商不改而更超之何以居次商
就以次商二尺乘平亷法得三十三萬六千六百尺
為平亷積 又以次商二尺自乘四尺用乘長亷法
得四千二百八十尺為長亷積 又以次商二尺自
[036-20b]
乘再乘得八尺為隅積 併三積共三十四萬○八
百八十八尺除實盡
乃以商數命為井方 加縱為井深
計開
井方九十二尺深八百九十二尺
此超進法改而更超一位也
[036-21a]
帶兩縱縱數相同圖二
此髙不及方也方之横與直俱
多于髙是為兩縱兩縱者縱廉
二縱方一并立方而四
立方形長濶髙皆相等
縱亷形髙與濶相等如其方之
數其厚也如所設縱之數
縱方形兩頭等皆如縱數其髙也如立方之數
[036-21b]
兩縱亷輔立方兩面而縱方補其隅合為一短立方
形
不及之數有在立方旁者觀後圖可互見其意
[036-22a]
如圖初商有立方有縱廉二縱方一共四形今只
圖其二餘為平廉所掩意㑹之可也此横頭不及/方也即前圖
之眠/體
次商平廉三内帶一縱者二帶兩縱者一長廉三内
帶縱者二小隅一共七
平廉帶一縱者濶如初商加縱為長厚如次商其
帶兩縱者髙濶皆等皆如初商加縱之數厚如次
啇
[036-22b]
長廉帶縱者長如初商加縱之數其兩頭横直皆
等皆如次商
無縱長廉長如初商兩頭横直等如次商
小隅横直髙皆等皆如次商
用法曰先以縱倍之為縱廉兩縱/併也以縱自乘為縱方
兩縱/相乘
此因兩縱數同故其法如此也若兩縱不同徑用
乘法併法矣
[036-23a]
乃如法列位作㸃求初商之實
以立方籌為法求得初商方數及初商立方積皆如/立方
法皆依定/位法命之
次以初商乘縱方得數為縱方積 又以初商自乘
數乘縱亷得數為縱亷積
合計縱方縱亷立方之積共若干數以減原實而定
初商皆如一/縱法
命初商為髙數或深數皆/如所設加縱為方數不及減改商/之若初商未
[036-23b]
是單數則以/餘實求次商
次商法曰以初商加縱倍之以乘初商髙數得數 又
以初商加縱自乘得數 併之共為平亷法又法初/商三之
加縱以初商加縱乘之/得數為平亷法亦同
次以初商加縱倍之併初商數共為長亷法又法初/商三之
縱倍之併為/長亷法亦同
乃置餘實列位 以亷法位酌定初商列法而進退
之以平亷為法而除餘實得數為次商皆以所減首/位是○與否
[036-24a]
而為之/進若退 又法合平亷長亷兩法以求次商
于是以次商乘平亷法為平亷積 又以次商自乘
數乘長亷法為長亷積 又以次商自乘再乘為隅
積 合計平亷長亷隅積共若干數以減餘實而定
初商皆如一/縱法
又法以次商乘長亷法為長亷法又以次商自乘為/隅法併平亷長亷隅法以與次商相乘為次商亷隅
共積以減/餘實亦同
乃命所商數為髙或深之類/如所設加縱數命為方合問
[036-24b]
不盡者以方倍之乘髙又以方自乘如平/亷又以方倍之
併髙如長/亷又加單一如/隅為命分
假如有方臺積五百八十六萬六千一百八十一尺但
云髙不及方一百四十尺 以帶兩縱立方為法除
之方者長濶等每面各/多髙一百四十尺
先以縱一百四十尺倍之得二百八十尺為縱積
又縱自乘之得一萬九千六百尺為縱方
列位 加㸃
[036-25a]
視㸃在首位獨商之以○
○五百萬尺為初商之實
視立方積有○○一小于
○○五商一百尺三㸃故/商百尺得立方積一百萬尺商一/數宜
用常法書于㸃之上一位今因縱多致亷法昇為十/萬法上一位為單單上一位為十今初商是百尺故
改用進法書之/亷法之昇見後
就以初商一百尺乘縱方得一百九十六萬尺為縱
方積
[036-25b]
又以初商一百自乘一萬乘縱亷得二百八十萬尺
為縱亷積
合計立方縱方縱亷積共五百七十六萬尺以減原
實餘一十萬○六千一百八十一尺初商百尺/宜有續商
初商一百尺髙也 加縱共二百四十尺方也
次以方倍之四百八十尺用乘髙數得四萬八千尺
又以方自乘之得五萬七千六百尺併之得一十萬
○五千六百尺為平亷法
[036-26a]
又以方倍之併髙得五百八十尺為長亷法
乃列餘實 以亷法酌定初商改進一位書之
以平亷法用籌除餘實
視籌第一行○一○五六
小于餘實次商一尺于初
商一百尺之隔位所減是○一○五六首位○宜進/書然猶與初商隔位故知為單一
尺/ 就以次商一尺乘平亷法如故又以次商一尺
自乘以乘長亷法亦如故就命為平亷長亷積 又
[036-26b]
以次商自乘再乘仍得一尺如故 合計三積共一
十萬○六千一百八十一尺除實盡
乃以所商數命為臺髙 加縱為方
計開
臺髙一百○一尺 方二百四十一尺
此常法改用進法也
假如有方池積五十萬丈但云深不及方五十尺 先
以縱五/十尺倍之一百為縱亷 又縱自乘之得二千/五百
[036-27a]
尺為縱方
列位 加㸃
視㸃在第三位合商之以五十
萬○○尺為初商之實
視立方籌有三四三小于五○
○宜商七十尺二㸃商/十尺因縱改商六十尺得立方積
二十一萬六千尺 次以初商六十尺自乘三千六
百尺用乘縱亷一百尺得三十六萬尺已大于實不
[036-27b]
及減不必求縱方積矣 改商五十尺用籌求得立
方積一十二萬五千尺
就以初商五十尺乘縱方得縱方積亦一十二萬五
千尺 又以初商五十尺自乘二千五百尺用乘縱
亷得縱亷積二十五萬尺 併三積共五十萬尺除
實盡 以商數命為池深 加縱為方
計開 池深五十尺 方一百尺
此進法改為超進也假有次商則其平亷法二萬/尺矣假有命分則其命分二
[036-28a]
萬○二百/五十一矣 亦有髙與長同而濶不及數者準此
求之但以初商命為濶而加縱為髙與長
[036-28b]
帶兩縱縱數不相同圖二
此長多于濶而髙又多于
長也是為兩縱而又不相
同凡為大縱亷小縱亷各
一縱方一并立方形而四
立方形長濶髙相等
大縱亷横直等如其方而
髙如大縱 小縱亷髙濶
[036-29a]
等如其方而厚如小縱
縱方形之兩頭髙如大縱
厚如小縱其長也則如立
方 大縱小縱以輔立方
之兩面而縱方補其闕合
為一長立方形
如圖初商有立方有大縱
廉小縱廉縱方各一共四
[036-29b]
只圖其二餘為平廉所掩
也
次商平廉三内帶小縱者
一帶大縱者一在初商大/縱立方之
背/面帶兩縱者一
長廉三内帶小縱者一帶
大縱者一
小隅一共七
[036-30a]
帶小縱平亷濶如初商長如初商加小縱之數髙如
次商
帶大縱平亷濶如初商髙如初商加大縱之數厚如
次商
帶兩縱平亷濶如初商加小縱之數髙如初商加大
縱之數厚如次商
帶小縱長亷長如初商加小縱之數 帶大縱長亷
髙如初商加大縱之數 無縱長亷長如初商數
[036-30b]
其兩頭横直皆如次商之數
小隅横直髙皆如次商之數
用法曰以兩縱相併為縱亷 以兩縱相乘為縱方
列位作㸃求初商之實 以立方籌求得初商立方
積 以初商求得縱方縱亷兩積 皆如前法
乃以初商命為濶 各加縱命為長為髙
求次商者以初商長濶髙維乘得數而併之為平亷法
又以初商長濶髙併之為長亷法
[036-31a]
乃置餘實列位以平亷酌定/初商之位以平亷為法求次商及
平亷積長亷積隅積以減餘實乃命所商為濶各以
縱加之為髙為長如所/設皆如前法
不盡者以所商長濶髙維乘併之如平/亷又以長濶髙併
之如長/亷又加單一如/隅為命分
假如有長立方形積九十尺但云髙多濶三尺長多濶
二尺
先以兩縱相併五尺為縱亷 以兩縱相乘六尺為
[036-31b]
縱方
列位 作㸃
視㸃在第二位合商之以○九十
○尺為初商之實
乃視立方籌有○六四小于○九○宜商四八因有
縱改商三尺得二十七尺為立方積原實只一㸃故/初商是單商三
故書于㸃之上/兩位用進法也
次以初商三尺自乘九尺乘縱亷得四十五尺為縱
[036-32a]
亷積
又以初商三尺乘縱方得一十八尺為縱方積
併三積共九十尺除實盡
乃以初商命為濶 各加縱為髙為長
計開
濶三尺 長五尺 髙六尺
假如有立方積一千六百二十尺但云長多濶六尺髙
多濶三尺
[036-32b]
先以兩縱相併九尺為縱亷 以兩縱相乘一十八
尺為縱方
列位 作㸃
視㸃在首位獨商之以○○一千
尺為初商之實
乃視立方籌有○○一與實同商一十尺二㸃/商十得立
方積一千尺次以初商一十尺自乘一百尺乘縱亷
得九百尺為縱亷積又以初商一十尺乘縱方得一
[036-33a]
百八十尺為縱方積 合計之共二千○八十尺大
于實不及減商一十故用常法/書于㸃之上一位改商九尺得七百二
十九尺為立方積十變為單則上一㸃不用用第二/㸃故商九書于第二㸃之上兩位
用超進/法也
次以初商九尺自乘八十一乘縱亷亦得七百二十
九尺為縱亷積
次以初商九尺乘縱方得一百六十二尺為縱方積
併三積共一千六百二十尺除實盡
[036-33b]
乃以商數命為濶 各加縱為長為髙
計開
濶九尺 長一十五尺 髙一十二尺
假如有長立方積六萬四千尺但云長多濶五尺髙又
多長一尺
先以長多五尺髙多六尺併之得十/十為縱亷 又以
五尺六尺相乘三十為縱方
解曰長多濶五尺髙又多/長一尺是髙多濶六尺也
[036-34a]
列位 作㸃
視㸃在第二位合商之以○六
萬四千尺為初商之實
視立方籌有○六四與實同宜
商四十尺因有縱改商三十尺二㸃故/商十尺得二萬七千
尺為立方積商三十故書于㸃之/上兩位用進法也
次以初商三十尺自乘九百尺乘縱亷得九千九百
尺為縱亷積
[036-34b]
次以初商三十尺乘縱方得九百尺為縱方積
併三積共三萬七千八百尺以減原實餘二萬六千
二百尺再商之初商十宜/有次商
初商三十尺濶也 加縱五尺共三十五尺長也
又加一尺共三十六尺髙也
乃以初商長濶髙維乘之
濶乘長得一千○五十尺 髙乘濶得一千○八
十尺 長乘高得一千二百六十尺
[036-35a]
併三維乘數共三千三百九十尺為平亷法又法/併長
與髙乘濶又以髙/乘長併之亦同
次以初商長濶髙併之共一百○一尺為長亷法又/法
初商三之加/兩縱亦同
乃以平亷用籌為法以餘實列位除之
如後圖合視籌第六行是二○三四小于餘實次商
六尺所減首位不/空故書本位得二萬○三百四十尺為平亷積
次商乘平/亷法也
[036-35b]
次以次商六尺自乘三十六尺乘長亷
法得三千六百三十六尺為長亷積
又以次商六尺自乘再乘得二百一十
六尺為隅積
併三積共二萬四千一百九十二尺以減餘實餘二
千○○八不盡以法命之
法以初商濶髙長各加次商為濶髙長而維乘之
濶乘長得一千四百七十六尺 髙乘濶得一千
[036-36a]
五百一十二尺 長乘髙得一千七百二十二尺
併得四千七百一十尺如平/亷又併濶髙長得一百一
十九尺如長/亷又加一尺如/隅共得四千八百三十尺為
命分不盡之數為得分
命為四千八百三十分尺之二千○○八即竒數也
計開
濶三十六尺有竒音基/ 長四十一尺有竒
髙四十二尺有竒
[036-36b]
假如有長立方形積一十萬○一千尺但云長多濶五
尺髙多濶六尺
先以兩縱併得一十一尺為縱亷
以兩縱乘得三十尺為縱方
列位 作㸃
視㸃在第三位合三位商之以
一十萬○一千為初商之實
乃視立方籌有○六四小于一
[036-37a]
○一商四十尺二㸃/商十得六萬四千尺為立方積商四/十故
書于㸃之上/兩位進法也
次以初商自乘一千六百尺乘縱亷得一萬七千六
百尺為縱亷積
次以初商乘縱方得一千二百尺為縱方積
併三積共八萬二千八百尺以減原實餘一萬八千
二百尺再商之
初商四十尺濶也 加縱五尺得四十五尺長也
[036-37b]
加縱六尺得四十六尺髙也
乃以初商濶長髙而維乘之
長乘濶得一千八百尺 濶乘髙得一千八百四
十尺又法併髙與長九十一尺以濶四十尺乘之/共三千六百四十尺省兩維乘其數亦同
髙乘長得二千○七十尺
併維乘數共五千七百一十尺為平亷法
又以濶長髙併之共一百三十一尺為長亷法
乃列餘實以平亷用籌為法除之
[036-38a]
合視籌第三行是一七一三小于
餘實次商三尺所減首位不空/故本位書之就
以次商三尺乘平亷法得一萬七
千一百三十尺為平亷積 又以
次商三尺自乘九尺乘長亷法得一千一百七十九
尺為長亷積 又以次商三尺自乘再乘得二十七
尺為隅積 併之得一萬八千三百三十六尺大于
餘實不及減
[036-38b]
改商二尺
就以次商二尺乘平亷法得一萬一千四百二十尺
為平亷積即用籌第/二行取之
次以次商自乘四尺乘長亷法得五百二十四尺為
長亷積 又以次商自乘再乘得八尺為隅積
併之共一萬一千九百五十二尺以減餘實仍餘六
千二百四十八不盡以法命之
法以濶長髙各加次商二尺為濶長髙而維乘之
[036-39a]
併髙四十八尺長四十七尺共九十五尺以濶四十
二尺乘之得三千九百九十尺代兩/維乘又以長乘髙得
二千二百五十六尺併得六千二百四十六尺 又
以長濶髙併之得一百三十七尺 又加一尺 共
六千三百八十四為命分
命為六千三百八十四之六千二百四十八即竒數
計開
濶四十二尺有竒
[036-39b]
長四十七尺有竒
髙四十八尺有竒
厯算全書卷三十二