[013-1a] 
自序
授時厯於日躔盈縮月離遲疾並云以算術垜積招差
立算而今所傳九章諸書無此術也豈古有而今逸耶
載攷厯草並以盈縮日數離為六段各以段日除其叚
之積度得數乃相減為一差一差乂相減為二差則其
數齊同乃緣此以生定差及平差立差定差者盈縮初
日最大之差也於是以平差立差減之則為毎日之定
差矣若其布立成法則直以立差六者因之以為毎日
[013-1b]
平立合差之差此兩法者若不相蒙而其術巧㑹從未
有能言其故者余因李世徳孝廉之疑而試為思之其
中原委亦自曉然爰命孫瑴成/衍為垜積之圖得書一
卷
[013-2a]
幾何補編自序
天學初函内有幾何原本六卷止於測面其七卷以後
未經譯出葢利氏既歾徐李云亡遂無有任此者耳然
厯書中往往有雜引之處讀者或未之詳也壬申春月
偶見館童屈篾為燈詫其為有法之形其製以六圈成/一燈每圈勻為
六折並周天六十度之通弦故知其為有法之/形而可以求其比例然測量諸書皆未言及乃覆取
測量全義量體諸率實攷其作法根源法皆自楞剖至/心即皆成錐體
以求其分積/則總積可知以補原書之未備而原書二十等面體之
[013-2b]
算嚮固疑其有誤者今乃徴其實數測量全義設二十/等面體之邊一百
則其容積五十二萬三八○九今以法求之/得容積二百一十八萬一八二八相差四倍又幾何原
本理分中末線亦得其用法幾何原本理分中末線但/有求作之法而莫知所用
今依法求得十二等面及二十等面之體積因得其各/體中稜線及輳心對角諸線之比例乂兩體互相容及
兩體與立方立圓諸體相容各比例並以/理分中末線為法乃知此線原非徒設則西人之術
固了不異人意也爰命之曰幾何補編
[013-3a]
欽定四庫全書
厯算全書卷十三
宣城梅文鼎撰
授時平立定三差詳説
太陽行天有盈有縮立成以八十八日九十一刻就整
為限者據盈厯/言之此由測驗而得之也葢自定氣冬至至
定氣春分太陽行天一象限依古法以九十一/度三一竒為象限該歴九
十一日三十一刻有竒而今則不然毎於冬至後八十
[013-3b]
八日九十一刻而太陽已到春分宿度故盈厯以此為
限也
夫八十八日九十一刻而行天一象限則於平行之外
多行二度四十分竒也是為盈厯之大積差若縮厯即
其不及之數必行至九十三日竒而後滿一象限也故
縮厯之限多於盈厯日數其積差極數亦與盈厯同
但此盈縮之差絶非平派或自多而漸少或由少而漸
多何以能得其毎日參差之數郭太史立為平立定三
[013-4a]
差法以齊其不齊可得毎日細差及積差其理則出於
垜積招差之法也
定差者何曰所測盈縮初日最大之差也凡盈縮末日
即同平行其盈縮之最多必在初日今欲求逐日之差
必先求初日最大之差以為之凖則故曰定差也
既有此最大之差即可以求逐日之差而逐日之差皆
以漸而少法當用減故又有平差立差皆減法也
然何以謂之平差曰平者平方也其差之増有類平方
[013-4b]
故以名之也差何以能若平方曰初日以後其盈縮漸
減以至於平以常法論之數宜平派即用差分法足矣
而合之測驗所得則又非平派也其近初日也所減甚
少其近末日也所減驟多假如一日減平差一則二日
宜減二而今則二日之平差増為四又初日平差一二
日平差四則三日宜為七四日宜為十而今則三日之
平差増為九四日増為十六故非平方垜積之加法不
足以列其衰序也
[013-5a]
然則又何以為立差曰立者立方也差何以又若立方
曰以平差合之測驗猶為未足故復設此以益之假如
初日減平差一又帶減立差一至二日則平差四而所
帶之立差非四也乃八也三限平差九而立差非九也
乃二十七也葢必如此而後與所測之盈縮相應
其分為六段何也曰此求差之法也一二日間雖各有
盈縮之差然差少則難辨積至半次其差始多而可見
矣故各就其盈縮之日匀分之一年二十四定氣分四
[013-5b]
象限各有六氣故其分亦以六也
既匀分六段矣又以後段連前段何也曰此所謂招差
也雖匀分六段其差積仍難細分故惟於初段用本數
以其盈縮多而易見也如盈厯初段積盈七千/分是最多而易見也若末段
必帶前段以其盈縮少而難真也如盈厯末段積差與/第五段相減則其本
段中只共盈七百四十九分/數少難分故連前段論之借彼易見之差以顯難真
之數此立法之意也以太陽盈差/為例他倣此
然則各段平差不幾混乎曰無慮也凡前多後少之積
[013-6a]
差合總數而匀分之即得最中之率如第六段之平差
即第四十四日之盈加分以八十八日九二折半得四/十四日四六即最中之處其
本段平差二百七十餘/分與之相應下倣此第五段之平差即第三十七日
之盈加分第四段之平差即二十九日之盈加分第三
段之平差即第二十二日之盈加分第二段之平差即
第十四日八二之盈加分第一段之平差即第七日四
一之盈加分其數各有歸著雖連前段原無牽混也
然則又何以有一差二差曰一差者差之較也二差者
[013-6b]
較之較也曷言乎差之較曰各段平差是盈縮於平行
之數也其數初段多而末段少各段一差是相鄰兩限
盈縮之較也其數初段少而末段反多然則二者若是
其相反歟曰非相反也乃相成也葢惟其盈縮於平行
之數既以漸而減則其盈縮自相差之數必以漸而増
其法於前限平差内減次限平差即知前限之盈縮多
於後限若干矣而此一差之數原非平派故初限次限
之較最少而次限三限之較漸多三限四限之較又多
[013-7a]
四限五限更多至五限六限則多之極矣其多之極者
何也盈縮之數近末限則驟減也此一差之前少後多
正所以為盈縮之前多後少也
然則二差又何以有齊數曰不齊者物之情也而不齊
之中有所以不齊焉得其所以不齊斯可以齊其不齊
矣今各限之一差不齊而前後兩一差相減則仍有齊
數為二差是其不齊者差之較而其無不齊者較之較
也較之較既為齊數則較數之不齊皆有倫而有脊矣
[013-7b]
故遂可據之以求定差也
泛平積即用第一段平差何也曰今推定差初日之數
也前所推第一段平差則第七日之數也故總第一段
言之可曰平差而自初日言之但成泛積泛者對定之
辭言必再有加減而後為定率也
[013-8a]
二差折半何也曰以分平差立差之實也葢泛平積差
既為初日盈加分多於七日之較則皆此七日中平差
立差所積而成之者也而平差之數大立差之數小泛
[013-8b]
平積之大數皆平差所成而其中有六十九秒即半/二差則
立差所成故分出此數以便各求其數也
平差除一次立差除兩次何也曰此平立之分也除一
次者段日本數為法也除兩次者段日自乘為法也於
是再以段日乘之則本數者如平方之自乘自乘者如
立方之再乘矣
平立合差何也曰次限少於初限之差也内有兩平差
六立差之共數故謂之合差如盈厯以二分四十六秒/為平差三十一微為立差
[013-9a]
今倍平差得四分九十二秒加入加分立差一秒八十/六微共得四分九十三秒八十六微為平立合差是有
兩平差六立差之數葢加/分立差原是六個立差也
定差内又減一平差一立差為初日加分何也曰此初
日加分之積少於定差之數也既以定差為初日加分
矣而積又減此何也曰以定差為初日加分者乃初日
最初之率也積滿一日則平差立差各有所減而特其減甚
微故各祗一數如平方立方之起數以一也是故此一
平差一立差者即初日平立合差也
[013-9b]
初日之平立合差何獨少耶曰准於平方立方之加法
正相應也葢平方幂積以自乘之積為等其數一四九/十六二十五
三十六四九/六四八一也立方體積以再乘之積為等其數一八二/十七六四百
二十五二一六三/四三五一二也而平立合差之數亦如之
是故初日之盈縮積是於定差内減一平差一立差
如平方立方之根一者積亦一也
次日之盈縮積是於二定差内減四平差八立差 如
方根二者平積必四立積必八也
[013-10a]
三日之盈縮積是於三定差内減九平差二十七立差
如方根三者平積必九立積二十七也
四日之盈縮積是於四定差内減十六平差六十四立
差如方根四者平積必十六立積必六十四也
向後各限並同此推合而言之即皆逐日之平立合差
也然則以一平差一立差較次日之四平差八立差固
為小矣而以四平差八立差較三日之九平差二十七
立差不更小乎何况以三較四則為九平差二十七立
[013-10b]
差與十六平差六十四立差其相差不更懸絶乎
問次日之平立合差只兩平差六立差而今又云四平
差八立差三日以後之平立合差只遞増六立差逐日/遞増
加分立差一秒八十六/微是六個立差之數而今所云者三日有平差九立
差二十七其説之不同如此必有一誤矣曰差之積類
於平方立方者是總計其所減之數而毎加加分立差
者是分論其逐日所減之數也欲明此理仍當求諸少
廣少廣者開/方法也
[013-11a]
今夫平方以一四九十六二十五等為序者其幂積也
若分而言之以一三五七九為序者其廉隅也以相挨/兩平幂
相減即得廉隅如一與四相減得三四與九相減得五/九與十六相減得七十六與二十五相減得九是也
廉隅即較也而遞増以二數者較之較也一三五七九/皆遞増以二
今夫立方以一八二七六四一二五為序者其體積也
若分而言之以七十九三七六一為序者其廉隅也亦/以
相挨兩體積相減得之如一減八得七八減廿七得十/九廿七減六十四得三十七六十四減一百二十五得
六十一/是也廉隅即較也而遞増以六者較之較也一増六/得七七
[013-11b]
増二六得十九十九増三六得/三十七三十七増四六得六一是故平立差之總積是
初日以來所積之差也亦如平立方之幂積體積也平
立差之加法是逐日遞増之較也亦如平立方之廉隅
也
合初日以來之加分即盈縮/積度與定差較則其差如平立
方之幂積體積也平差之序一四九十六二十五十立/差之序一八二十七六四一二 五
若以本日之加分與定差較則其差如平立方之廉隅
也平差之序一三五七九十立差/之序七十九三十七六 一
[013-12a]
若以本日之平立合差與初日較如平立方之廉積平/差
之増二四六八立差之/増六十八三十六六十若以相近兩日之平立合差自
相較如平立方之廉積相較平差之遞増皆二立差之/遞増以六而再増十二為
二六再増十八為三六/再増二十四為四六也於定差内減平差立差各一為
初日加分
又於初日加分内減去二平差六立差是共減平差四
本日實減三合初/日所減之一則四立差八本日實減七合初/日所減之一則八而為次日
加分也
[013-12b]
又於次日平立合差内加入六立差為平立合差共二/平差
十二/立差以減次日加分是共減去平差九本日實減平差/五合前兩日所
減四/共九立差二十七本日實減立差十九合前/日所減之八則二十七而為三日
加分也
又於三日之平立合差内加六立差為平立合差共二/平差
十八/立差以減三日加分是共減去平差十六本日實減平/差七合前三
日所減之/九則十六立差六十四本日實減立差三十七合前三/日所減之二十七則六十四
而為四日加分也
[013-13a]
故曰合初日以來之加分與定差較其差如平立方之
幂積體積而以本日之加分即本日/實減數與定差較則如廉
隅也
若論布立成法則不言定差但以初日加分為根
以平立合差減初日加分為次日加分是於初日加分
内減二平差六立差也
又以六立差倂入平立合差以減次日加分為三日加
分是於次日加分内又減二平差十二立差於初日加
[013-13b]
分則為減四平差十八立差也
又如上法再増六立差以減三日加分為四日加分是
於三日加分内又減二平差十八立差於初日加分内
則為減六平差三十六立差也
故曰以平立合差與初日較若平立方之廉積而以相
近兩日自相較如平立方之廉積相較也
平方二廉故相加以二立方六廉故相加以六此倍平
差六因立差為平立合差之理也平方之相加以二者
[013-14a]
始終不變立方之相加以六者毎限遞増此向後立差
遞増六數之理也
[013-15a]
[013-15b]
盈縮招差圖説
盈縮招差本為各一象限之法如盈厯則以八十八日/九十一刻為象限縮厯
則以九十三日七/十一刻為象限今只作九限者舉此為例也其空格
九行定差本數為實也其斜線以上平差立差之數為
法也斜線以下空格之定差乃餘實也
假如定差為一萬平差為一百立差為單一今求九限
法以九限乘平差得九百又以九限乘立差二次得八
十一並兩數九百八十一為法定差一萬為實法減實
[013-16a]
餘實九千○一十九即九限末位所書之定差也於是
再以九限為法乘餘實得八萬一千一百七十一為九
限積數
本法以九限乗定差得九萬為實另置平差以九限乘
二次得八千一百置立差以九限乗三次得七百二十
九並兩數得八千八百二十九為法以減實九萬得八
萬一千一百七十一為九限積與前所得同
本法是先乘後減用法是先減後乘其理一也
[013-17a]
[013-17b]
初日減平差一庚也次日又減平差二甲也實減三並
甲庚也合廉隅矣並計初日共減四合平方幂矣
第三日又多減平差二乙也實減五並二甲二乙一庚
也合廉隅矣並計前兩日共減九合平方幂矣第四日
以後倣此推之
[013-18a]
[013-19a]
[013-19b]
中心甲一為初限所減立差即垜積形之頂
加外圍六乙共七為次限所減立差平廉長廉各三隅
一也並上層甲共八成根二之體積是為垜積形之第
二層
又加外圍丙十二共十九為三限所減立差三平廉共
十二三長廉共六隅一也並上兩層共二十七合根三
之體積是為垜積形之第三層
又加外圍丁十八共三十七為四限所減立差三平廉
[013-20a]
共二十七三長廉共九隅一也並上三層共六十四合
根四體積是為垜積形之第四層
又加外圍戊二十四共六十一為五限所減立差三平
廉共四十八三長廉十二隅一也並上三層共一百二
十五合根五之體積是為垜積之第五層
又加巳三十共九十一為六限立差其七十五為三平
廉其十五為三長廉其一隅也並上層共二百一十六成
體積是為垜積之第六層
[013-20b]
又加庚三十六共一百二十七為七限立差其百○八
為三平廉其十八為三長廉其一隅也並上層成體積
三百四十三是為垜積之第七層
又加辛四十二共一百六十九為八限立差其百四十
七為三平廉其二十一為三長廉其一隅也並上層共
五百一十二如體積是為垜積之第八層
此姑以八層為式向後倣此推之 因從甲頂平視故
類六角平面其實如六角錐也立方廉隅而圖以錐形
[013-21a]
六角者以表其垜積招差之理也 甲恒為隅朱書者
長廉餘則平廉立方之平廉長廉各三離居三方則成
六角 六觚形以六抱一毎層増六與立方加法同所
異者六觚平面而立方必并其積故以堆垜象之 若
算六角堆垜但取其底之一面自乘再乘見積與立方
同
[013-22a]
[013-22b]
以斜立面觀之最上甲一次乙二次丙三丁四戊五己
六庚七辛八其底之數各如其層之數如堆只三層則/以三丙為底四
層則四丁為底毎多一層其各面之底必/多一數若辛下再加一層為壬必九數也
實計其毎面六觚之數則甲一乙七丙十九丁三十七
戊六十一己九十一庚一百二十七辛一百六十九前/平
視之圖乙為甲掩故但見外圍之六丙為乙掩故但見/外圍十二餘皆若是也觀者當置身於髙處從甲頂俯
視即得/其理皆以外圍之數為下層多於上層之數
合計其堆垜之積則甲一乙八丙二十七丁六十四戊
[013-23a]
一百二十五己二百一十六庚三百四十三辛五百一
十二乙七並甲一成八丙十九並乙/七甲一成二十七餘皆若是其堆垜之積皆如
其層數之立方以底之一面餘乗/又以層數乗之也
問平差之根是以段日除積差而得則毎日適得一平
差今所減平差甚多殆非實數曰泛平積差是初日多
於第七日之數亦據盈/厯言之而平差之數既如段日則於日
數為加倍盈厯段日十四日竒以此分積差為毎日平/差則平差共數亦十四竒於七日為加倍
今倍減平差正合積差原數豈患其多
[013-23b]
曰若然又何以能合平方曰以本日實減之數與定差
較但取其銷盡積差已足如第七日實減十三平差第/八日實減十五平差七日有
竒在其中半積/差必當減盡故其法若平方之廉隅若合計初日以
來減過平差與初日以來定差相較則所減之積皆如
平方自乘觀圖自明如七日共數得四十九八/日共數得六十四之類
又如立差以段日自乘除泛立積差而得故其數亦略
如段日之自乗而毎日實減亦如立方之廉隅聊足以
銷去積差本日尚有餘秒/後一日竒減盡若合計初日以來共數則亦
[013-24a]
如立方再乗之積矣
[013-25a]
[013-26a]
[013-27a]
[013-28a]
右圖以九限為例九限以/後倣論定差設十萬平差設一千立
差設單一如法以本日加法并之為平立合差如圖平/差立差
各有加法/故當並用以平立合差減先日加分得本日加分合計
從前加分為本日盈縮積或以本日加分加先日盈/縮積得本日盈縮積亦同
又簡法
置定差内減平差立差各一為初日加分又即為第一/日盈縮積
别置平差倍之加入六立差為初日平立合差以後毎
於平立合差内加入六立差為次日平立合差餘同/上
[013-28b]
用定差法
以日數乘立差得數加入平差再以日數乘之得數乃
置定差以得數減之用其餘為實復以日數乘之得本
日盈縮積
置相近兩盈縮積相減得加分又置相近兩加分相減
得平立合差亦同
定差本法
置定差以日數乘之得數為實又以日數自乘用乘平
[013-29a]
差得數以日數再自乘用乘立差得數平立兩得數并
之為法法減實得盈縮積餘同/上
[013-29b]
厯算全書卷十三
自序
授時厯於日躔盈縮月離遲疾並云以算術垜積招差
立算而今所傳九章諸書無此術也豈古有而今逸耶
載攷厯草並以盈縮日數離為六段各以段日除其叚
之積度得數乃相減為一差一差乂相減為二差則其
數齊同乃緣此以生定差及平差立差定差者盈縮初
日最大之差也於是以平差立差減之則為毎日之定
差矣若其布立成法則直以立差六者因之以為毎日
[013-1b]
平立合差之差此兩法者若不相蒙而其術巧㑹從未
有能言其故者余因李世徳孝廉之疑而試為思之其
中原委亦自曉然爰命孫瑴成/衍為垜積之圖得書一
卷
[013-2a]
幾何補編自序
天學初函内有幾何原本六卷止於測面其七卷以後
未經譯出葢利氏既歾徐李云亡遂無有任此者耳然
厯書中往往有雜引之處讀者或未之詳也壬申春月
偶見館童屈篾為燈詫其為有法之形其製以六圈成/一燈每圈勻為
六折並周天六十度之通弦故知其為有法之/形而可以求其比例然測量諸書皆未言及乃覆取
測量全義量體諸率實攷其作法根源法皆自楞剖至/心即皆成錐體
以求其分積/則總積可知以補原書之未備而原書二十等面體之
[013-2b]
算嚮固疑其有誤者今乃徴其實數測量全義設二十/等面體之邊一百
則其容積五十二萬三八○九今以法求之/得容積二百一十八萬一八二八相差四倍又幾何原
本理分中末線亦得其用法幾何原本理分中末線但/有求作之法而莫知所用
今依法求得十二等面及二十等面之體積因得其各/體中稜線及輳心對角諸線之比例乂兩體互相容及
兩體與立方立圓諸體相容各比例並以/理分中末線為法乃知此線原非徒設則西人之術
固了不異人意也爰命之曰幾何補編
[013-3a]
欽定四庫全書
厯算全書卷十三
宣城梅文鼎撰
授時平立定三差詳説
太陽行天有盈有縮立成以八十八日九十一刻就整
為限者據盈厯/言之此由測驗而得之也葢自定氣冬至至
定氣春分太陽行天一象限依古法以九十一/度三一竒為象限該歴九
十一日三十一刻有竒而今則不然毎於冬至後八十
[013-3b]
八日九十一刻而太陽已到春分宿度故盈厯以此為
限也
夫八十八日九十一刻而行天一象限則於平行之外
多行二度四十分竒也是為盈厯之大積差若縮厯即
其不及之數必行至九十三日竒而後滿一象限也故
縮厯之限多於盈厯日數其積差極數亦與盈厯同
但此盈縮之差絶非平派或自多而漸少或由少而漸
多何以能得其毎日參差之數郭太史立為平立定三
[013-4a]
差法以齊其不齊可得毎日細差及積差其理則出於
垜積招差之法也
定差者何曰所測盈縮初日最大之差也凡盈縮末日
即同平行其盈縮之最多必在初日今欲求逐日之差
必先求初日最大之差以為之凖則故曰定差也
既有此最大之差即可以求逐日之差而逐日之差皆
以漸而少法當用減故又有平差立差皆減法也
然何以謂之平差曰平者平方也其差之増有類平方
[013-4b]
故以名之也差何以能若平方曰初日以後其盈縮漸
減以至於平以常法論之數宜平派即用差分法足矣
而合之測驗所得則又非平派也其近初日也所減甚
少其近末日也所減驟多假如一日減平差一則二日
宜減二而今則二日之平差増為四又初日平差一二
日平差四則三日宜為七四日宜為十而今則三日之
平差増為九四日増為十六故非平方垜積之加法不
足以列其衰序也
[013-5a]
然則又何以為立差曰立者立方也差何以又若立方
曰以平差合之測驗猶為未足故復設此以益之假如
初日減平差一又帶減立差一至二日則平差四而所
帶之立差非四也乃八也三限平差九而立差非九也
乃二十七也葢必如此而後與所測之盈縮相應
其分為六段何也曰此求差之法也一二日間雖各有
盈縮之差然差少則難辨積至半次其差始多而可見
矣故各就其盈縮之日匀分之一年二十四定氣分四
[013-5b]
象限各有六氣故其分亦以六也
既匀分六段矣又以後段連前段何也曰此所謂招差
也雖匀分六段其差積仍難細分故惟於初段用本數
以其盈縮多而易見也如盈厯初段積盈七千/分是最多而易見也若末段
必帶前段以其盈縮少而難真也如盈厯末段積差與/第五段相減則其本
段中只共盈七百四十九分/數少難分故連前段論之借彼易見之差以顯難真
之數此立法之意也以太陽盈差/為例他倣此
然則各段平差不幾混乎曰無慮也凡前多後少之積
[013-6a]
差合總數而匀分之即得最中之率如第六段之平差
即第四十四日之盈加分以八十八日九二折半得四/十四日四六即最中之處其
本段平差二百七十餘/分與之相應下倣此第五段之平差即第三十七日
之盈加分第四段之平差即二十九日之盈加分第三
段之平差即第二十二日之盈加分第二段之平差即
第十四日八二之盈加分第一段之平差即第七日四
一之盈加分其數各有歸著雖連前段原無牽混也
然則又何以有一差二差曰一差者差之較也二差者
[013-6b]
較之較也曷言乎差之較曰各段平差是盈縮於平行
之數也其數初段多而末段少各段一差是相鄰兩限
盈縮之較也其數初段少而末段反多然則二者若是
其相反歟曰非相反也乃相成也葢惟其盈縮於平行
之數既以漸而減則其盈縮自相差之數必以漸而増
其法於前限平差内減次限平差即知前限之盈縮多
於後限若干矣而此一差之數原非平派故初限次限
之較最少而次限三限之較漸多三限四限之較又多
[013-7a]
四限五限更多至五限六限則多之極矣其多之極者
何也盈縮之數近末限則驟減也此一差之前少後多
正所以為盈縮之前多後少也
然則二差又何以有齊數曰不齊者物之情也而不齊
之中有所以不齊焉得其所以不齊斯可以齊其不齊
矣今各限之一差不齊而前後兩一差相減則仍有齊
數為二差是其不齊者差之較而其無不齊者較之較
也較之較既為齊數則較數之不齊皆有倫而有脊矣
[013-7b]
故遂可據之以求定差也
泛平積即用第一段平差何也曰今推定差初日之數
也前所推第一段平差則第七日之數也故總第一段
言之可曰平差而自初日言之但成泛積泛者對定之
辭言必再有加減而後為定率也
[013-8a]
二差折半何也曰以分平差立差之實也葢泛平積差
既為初日盈加分多於七日之較則皆此七日中平差
立差所積而成之者也而平差之數大立差之數小泛
[013-8b]
平積之大數皆平差所成而其中有六十九秒即半/二差則
立差所成故分出此數以便各求其數也
平差除一次立差除兩次何也曰此平立之分也除一
次者段日本數為法也除兩次者段日自乘為法也於
是再以段日乘之則本數者如平方之自乘自乘者如
立方之再乘矣
平立合差何也曰次限少於初限之差也内有兩平差
六立差之共數故謂之合差如盈厯以二分四十六秒/為平差三十一微為立差
[013-9a]
今倍平差得四分九十二秒加入加分立差一秒八十/六微共得四分九十三秒八十六微為平立合差是有
兩平差六立差之數葢加/分立差原是六個立差也
定差内又減一平差一立差為初日加分何也曰此初
日加分之積少於定差之數也既以定差為初日加分
矣而積又減此何也曰以定差為初日加分者乃初日
最初之率也積滿一日則平差立差各有所減而特其減甚
微故各祗一數如平方立方之起數以一也是故此一
平差一立差者即初日平立合差也
[013-9b]
初日之平立合差何獨少耶曰准於平方立方之加法
正相應也葢平方幂積以自乘之積為等其數一四九/十六二十五
三十六四九/六四八一也立方體積以再乘之積為等其數一八二/十七六四百
二十五二一六三/四三五一二也而平立合差之數亦如之
是故初日之盈縮積是於定差内減一平差一立差
如平方立方之根一者積亦一也
次日之盈縮積是於二定差内減四平差八立差 如
方根二者平積必四立積必八也
[013-10a]
三日之盈縮積是於三定差内減九平差二十七立差
如方根三者平積必九立積二十七也
四日之盈縮積是於四定差内減十六平差六十四立
差如方根四者平積必十六立積必六十四也
向後各限並同此推合而言之即皆逐日之平立合差
也然則以一平差一立差較次日之四平差八立差固
為小矣而以四平差八立差較三日之九平差二十七
立差不更小乎何况以三較四則為九平差二十七立
[013-10b]
差與十六平差六十四立差其相差不更懸絶乎
問次日之平立合差只兩平差六立差而今又云四平
差八立差三日以後之平立合差只遞増六立差逐日/遞増
加分立差一秒八十六/微是六個立差之數而今所云者三日有平差九立
差二十七其説之不同如此必有一誤矣曰差之積類
於平方立方者是總計其所減之數而毎加加分立差
者是分論其逐日所減之數也欲明此理仍當求諸少
廣少廣者開/方法也
[013-11a]
今夫平方以一四九十六二十五等為序者其幂積也
若分而言之以一三五七九為序者其廉隅也以相挨/兩平幂
相減即得廉隅如一與四相減得三四與九相減得五/九與十六相減得七十六與二十五相減得九是也
廉隅即較也而遞増以二數者較之較也一三五七九/皆遞増以二
今夫立方以一八二七六四一二五為序者其體積也
若分而言之以七十九三七六一為序者其廉隅也亦/以
相挨兩體積相減得之如一減八得七八減廿七得十/九廿七減六十四得三十七六十四減一百二十五得
六十一/是也廉隅即較也而遞増以六者較之較也一増六/得七七
[013-11b]
増二六得十九十九増三六得/三十七三十七増四六得六一是故平立差之總積是
初日以來所積之差也亦如平立方之幂積體積也平
立差之加法是逐日遞増之較也亦如平立方之廉隅
也
合初日以來之加分即盈縮/積度與定差較則其差如平立
方之幂積體積也平差之序一四九十六二十五十立/差之序一八二十七六四一二 五
若以本日之加分與定差較則其差如平立方之廉隅
也平差之序一三五七九十立差/之序七十九三十七六 一
[013-12a]
若以本日之平立合差與初日較如平立方之廉積平/差
之増二四六八立差之/増六十八三十六六十若以相近兩日之平立合差自
相較如平立方之廉積相較平差之遞増皆二立差之/遞増以六而再増十二為
二六再増十八為三六/再増二十四為四六也於定差内減平差立差各一為
初日加分
又於初日加分内減去二平差六立差是共減平差四
本日實減三合初/日所減之一則四立差八本日實減七合初/日所減之一則八而為次日
加分也
[013-12b]
又於次日平立合差内加入六立差為平立合差共二/平差
十二/立差以減次日加分是共減去平差九本日實減平差/五合前兩日所
減四/共九立差二十七本日實減立差十九合前/日所減之八則二十七而為三日
加分也
又於三日之平立合差内加六立差為平立合差共二/平差
十八/立差以減三日加分是共減去平差十六本日實減平/差七合前三
日所減之/九則十六立差六十四本日實減立差三十七合前三/日所減之二十七則六十四
而為四日加分也
[013-13a]
故曰合初日以來之加分與定差較其差如平立方之
幂積體積而以本日之加分即本日/實減數與定差較則如廉
隅也
若論布立成法則不言定差但以初日加分為根
以平立合差減初日加分為次日加分是於初日加分
内減二平差六立差也
又以六立差倂入平立合差以減次日加分為三日加
分是於次日加分内又減二平差十二立差於初日加
[013-13b]
分則為減四平差十八立差也
又如上法再増六立差以減三日加分為四日加分是
於三日加分内又減二平差十八立差於初日加分内
則為減六平差三十六立差也
故曰以平立合差與初日較若平立方之廉積而以相
近兩日自相較如平立方之廉積相較也
平方二廉故相加以二立方六廉故相加以六此倍平
差六因立差為平立合差之理也平方之相加以二者
[013-14a]
始終不變立方之相加以六者毎限遞増此向後立差
遞増六數之理也
[013-15a]
[013-15b]
盈縮招差圖説
盈縮招差本為各一象限之法如盈厯則以八十八日/九十一刻為象限縮厯
則以九十三日七/十一刻為象限今只作九限者舉此為例也其空格
九行定差本數為實也其斜線以上平差立差之數為
法也斜線以下空格之定差乃餘實也
假如定差為一萬平差為一百立差為單一今求九限
法以九限乘平差得九百又以九限乘立差二次得八
十一並兩數九百八十一為法定差一萬為實法減實
[013-16a]
餘實九千○一十九即九限末位所書之定差也於是
再以九限為法乘餘實得八萬一千一百七十一為九
限積數
本法以九限乗定差得九萬為實另置平差以九限乘
二次得八千一百置立差以九限乗三次得七百二十
九並兩數得八千八百二十九為法以減實九萬得八
萬一千一百七十一為九限積與前所得同
本法是先乘後減用法是先減後乘其理一也
[013-17a]
[013-17b]
初日減平差一庚也次日又減平差二甲也實減三並
甲庚也合廉隅矣並計初日共減四合平方幂矣
第三日又多減平差二乙也實減五並二甲二乙一庚
也合廉隅矣並計前兩日共減九合平方幂矣第四日
以後倣此推之
[013-18a]
[013-19a]
[013-19b]
中心甲一為初限所減立差即垜積形之頂
加外圍六乙共七為次限所減立差平廉長廉各三隅
一也並上層甲共八成根二之體積是為垜積形之第
二層
又加外圍丙十二共十九為三限所減立差三平廉共
十二三長廉共六隅一也並上兩層共二十七合根三
之體積是為垜積形之第三層
又加外圍丁十八共三十七為四限所減立差三平廉
[013-20a]
共二十七三長廉共九隅一也並上三層共六十四合
根四體積是為垜積形之第四層
又加外圍戊二十四共六十一為五限所減立差三平
廉共四十八三長廉十二隅一也並上三層共一百二
十五合根五之體積是為垜積之第五層
又加巳三十共九十一為六限立差其七十五為三平
廉其十五為三長廉其一隅也並上層共二百一十六成
體積是為垜積之第六層
[013-20b]
又加庚三十六共一百二十七為七限立差其百○八
為三平廉其十八為三長廉其一隅也並上層成體積
三百四十三是為垜積之第七層
又加辛四十二共一百六十九為八限立差其百四十
七為三平廉其二十一為三長廉其一隅也並上層共
五百一十二如體積是為垜積之第八層
此姑以八層為式向後倣此推之 因從甲頂平視故
類六角平面其實如六角錐也立方廉隅而圖以錐形
[013-21a]
六角者以表其垜積招差之理也 甲恒為隅朱書者
長廉餘則平廉立方之平廉長廉各三離居三方則成
六角 六觚形以六抱一毎層増六與立方加法同所
異者六觚平面而立方必并其積故以堆垜象之 若
算六角堆垜但取其底之一面自乘再乘見積與立方
同
[013-22a]
[013-22b]
以斜立面觀之最上甲一次乙二次丙三丁四戊五己
六庚七辛八其底之數各如其層之數如堆只三層則/以三丙為底四
層則四丁為底毎多一層其各面之底必/多一數若辛下再加一層為壬必九數也
實計其毎面六觚之數則甲一乙七丙十九丁三十七
戊六十一己九十一庚一百二十七辛一百六十九前/平
視之圖乙為甲掩故但見外圍之六丙為乙掩故但見/外圍十二餘皆若是也觀者當置身於髙處從甲頂俯
視即得/其理皆以外圍之數為下層多於上層之數
合計其堆垜之積則甲一乙八丙二十七丁六十四戊
[013-23a]
一百二十五己二百一十六庚三百四十三辛五百一
十二乙七並甲一成八丙十九並乙/七甲一成二十七餘皆若是其堆垜之積皆如
其層數之立方以底之一面餘乗/又以層數乗之也
問平差之根是以段日除積差而得則毎日適得一平
差今所減平差甚多殆非實數曰泛平積差是初日多
於第七日之數亦據盈/厯言之而平差之數既如段日則於日
數為加倍盈厯段日十四日竒以此分積差為毎日平/差則平差共數亦十四竒於七日為加倍
今倍減平差正合積差原數豈患其多
[013-23b]
曰若然又何以能合平方曰以本日實減之數與定差
較但取其銷盡積差已足如第七日實減十三平差第/八日實減十五平差七日有
竒在其中半積/差必當減盡故其法若平方之廉隅若合計初日以
來減過平差與初日以來定差相較則所減之積皆如
平方自乘觀圖自明如七日共數得四十九八/日共數得六十四之類
又如立差以段日自乘除泛立積差而得故其數亦略
如段日之自乗而毎日實減亦如立方之廉隅聊足以
銷去積差本日尚有餘秒/後一日竒減盡若合計初日以來共數則亦
[013-24a]
如立方再乗之積矣
[013-25a]
[013-26a]
[013-27a]
[013-28a]
右圖以九限為例九限以/後倣論定差設十萬平差設一千立
差設單一如法以本日加法并之為平立合差如圖平/差立差
各有加法/故當並用以平立合差減先日加分得本日加分合計
從前加分為本日盈縮積或以本日加分加先日盈/縮積得本日盈縮積亦同
又簡法
置定差内減平差立差各一為初日加分又即為第一/日盈縮積
别置平差倍之加入六立差為初日平立合差以後毎
於平立合差内加入六立差為次日平立合差餘同/上
[013-28b]
用定差法
以日數乘立差得數加入平差再以日數乘之得數乃
置定差以得數減之用其餘為實復以日數乘之得本
日盈縮積
置相近兩盈縮積相減得加分又置相近兩加分相減
得平立合差亦同
定差本法
置定差以日數乘之得數為實又以日數自乘用乘平
[013-29a]
差得數以日數再自乘用乘立差得數平立兩得數并
之為法法減實得盈縮積餘同/上
[013-29b]
厯算全書卷十三