[010-1a] 
欽定四庫全書
厯算全書卷十
宣城梅文鼎撰
環中黍尺卷三之四
初數次數法加減代乗除之法從初/數次數而生故先論之
上卷之法用角旁兩正弦相乗今則兼用兩餘弦故/别之為初數次數其法有二其一次數與對弧餘弦
相加其一相減也相加又有二一鋭角一鈍角也相/減有四或餘弦内減次數或次數内減餘弦而又各
分銳角/鈍角也
[010-1b]
約法 三邊求角
角求對邊
[010-2a]
餘弦次數相加例銳角法鈍/角法各一
丁乙丙形 有三邊求乙銳角 角旁大弧丁巳正弦辛戊/餘弦巳戊
[010-2b]
小弧丙乙正弦丙癸/餘弦巳癸兩正弦相乗全數除之成初得
數戊庚又以兩餘弦相乗全數除之成次得數戊丑
即卯/巳乃以次得數卯巳加對弧之餘弦已戌成卯戌即申/戊
一 初得數 戊庚
二 次得數與對/弧餘弦相并申戊
三 半徑 亥已
四 角之餘弦 已乾
以餘弦檢表得/乙銳角之度
[010-3a]
若先有角求對邊則反之
一 半徑 亥巳
二 角之餘弦 巳乾
三 初得數 戊庚
四 次得數與對/弧餘弦相并申戊以次得數戊丑減之得/對弧餘弦丑申即巳戌
論曰辛戊正弦與亥巳半徑同為乙丁弧所分則辛戊
全與丁戊分若亥巳全與乾巳分也而辛戊弦與丁戊
小弦又若戊庚句與申戊小句也故戊庚與申戊必若
[010-3b]
亥巳與乾巳
若用丁甲丙形其算並同何以明之甲丁者乙丁半周
之餘甲丙者乙丙半周之餘其所用正弦並同又同用
丁丙為對角之弧甲角又同乙角皆以乾已為餘弦故
也
右係對邊小于象限角旁弧異類故其法用加而為
銳角
仍用前圖取丁甲寅三角形 有三邊求甲鈍角 角
[010-4a]
兩旁弧同類 對角邊大為寅丁其正弦酉戌餘弦戌
已 旁弧丁甲其正弦辛戊餘弦已戊 又旁弧寅甲
其正弦寅壬餘弦壬已 初得數戊庚半徑除兩/正弦矩 次
得數卯巳半徑除兩/餘弦矩
所用三率與前銳角形並同亦以卯已加已戌成申戊
為三率所得四率乾已亦為甲角之餘弦末以餘弦檢/表得度以減
半周餘為甲/鈍角之度
若先有甲鈍角求對邊丁寅則反用其率一半徑亥已二
[010-4b]
甲角餘弦乾已三初數戊庚四申庚末以次數戊丑去
減得數甲戊餘丑申為對弧餘弦
論曰對弧寅丁係過弧與銳角形對弧丁丙相與為半
周之正餘度同用酉戌為正弦戌已為餘弦角旁弧丁
甲即乙丁半周之餘度同用辛戊為正弦戊已為餘弦
甲寅弧又與乙丙弧等度其正弦壬寅同癸丙餘弦壬
巳同癸巳故加減數並同所異者對弧大而兩旁弧又
同類故為鈍角
[010-5a]
若用寅乙丁形其算並同以同用丁寅對弧而兩弧在
角旁者寅乙為寅甲半周之餘丁乙為丁甲半周之餘
所用之正弦餘弦並同故也甲角同乙角皆以乾已餘
弦度轉減半周為其度
右係對邊大于象限而角旁兩弧同類故其法用加
而為鈍角
正餘交變例
若角旁兩邊以象限相加減而用其餘弧則正弦餘弦
[010-5b]
之名互易而所得初數次數不變三率之用亦不變
解曰弧小以減象限得餘弧弧大以象限減之而用其
餘亦餘弧也其故何也凡過弧與其減半周之餘度同
用一正弦故過弧内減象限之餘即反為過弧之餘弧
亦曰剰弧而此剰弧之正弦即過弧之餘弦也
若兩弧内一用餘度則其初數次數皆為正弦乘餘弦
半徑除之之數然其數不變何也一弧既用餘度則本
弧之正弦變為餘弧之餘弦而其又一弧仍係本度則
[010-6a]
正弦不變然則先所用兩正弦相乗為初數者今不變
而為餘乘正乎次數倣此
試仍以前圖明之丁乙丙形任以乙角旁之乙丁弧即/辛
乙/内減去亥乙象弧其剰弧亥辛之正弦戊已即乙辛
過弧之餘弦也又亥辛之餘弦辛戊即過弧乙辛之正
弦也然則先以辛戊正弦乗丙癸正弦者今不變為辛
戊餘弦乘丙癸正弦乎然但變其名為餘乘正而辛戊
之數不變則其所得之初數戊庚亦不變也次數倣論
[010-6b]
按此法即測星/時第二法所用
若角旁兩弧俱改用餘弧則初數變為兩餘弦相乘次
數變為兩正弦相乗盖以正變餘餘變正而所得之初
數次數不變
試仍以前圖明之丁乙丙形乙角旁兩弧乙丁改用辛
亥義見/前乙丙改用丙亥皆餘弧也則丙癸辛戊兩正弦
皆變餘弦丙癸為丙亥弧餘弦/辛戊為辛亥弧餘弦癸已戊已兩餘弦皆變
正弦癸已為丙亥弧正弦/戊巳為辛亥弧正弦然則先以兩正相乘者今為
[010-7a]
兩餘然雖變兩餘而其為丙癸與辛戊者不變故其所
得之初數戊庚亦不變也次數倣論
總例
凡弧度與半周相減之餘則所用之正弦同餘弦亦
同
凡弧度與象限相減之餘則所用之正弦變餘餘弦變
正
餘弦内減次數例鈍角法銳/角法各一
[010-7b]
丁乙丙弧三角形有三邊
求乙鈍角 丙乙小弧其
正弦丙辰餘弦辰巳 丁
乙大弧其正弦癸甲餘弦
甲已 是為角旁之兩弧
不同類 癸乾初得數兩/正
弦乗半徑/除之數 午已次得數兩餘弦乗半/徑除之數 丁丙對邊大
其正弦壬卯餘弦卯已 對邊大于象限而角旁弧不
[010-8a]
同類宜相減 對弧餘弦大于次數法當于餘弦卯巳
内減去次得數午已餘午卯即艮/丁為二率
一 初得數 癸乾
二 次得數/減餘弦 艮丁
三 半徑 辛已
四 角餘弦 寅已
對邊大角旁弧異類而次數小減對弧餘弦其角為鈍
宜以四率寅已撿餘弦表得度以減半周度其餘即為
[010-8b]
乙鈍角之度即寅酉大/矢之度
若先有乙鈍角求對弧則反用其率
一 半徑 辛巳
二 角餘弦 寅已
三 初得數 癸乾
四 次得數/減餘弦 艮丁
既得艮丁乃以次數加之成卯已餘弦檢表得度以減
半周得丁丙對邊之度
[010-9a]
凡過弧與其減半周之餘度同用一餘弦故以餘弦檢
表得度以減半周即得過弧
仍用前圖取銳角
丁戊庚三角形係銳角○此/形有三銳角有三邊求戊角 戊庚小
邊其正弦庚丑餘弦丑巳 丁戊次小邊其正弦癸甲
餘弦甲巳 是為角旁弧同類 初得數癸乾半徑除/兩正弦
矩/ 次得數午已半徑除兩/餘弦矩 丁庚對邊小其正弦壬
卯餘弦卯巳 對邊小于象限而角旁弧同類宜相減
[010-9b]
次數午已小于對弧餘弦卯已以午已去減卯已餘
卯午即艮/丁
一 初得數 癸乾
二 次得數/減餘弦 艮丁
三 半徑 辛已
四 角餘弦 寅已
對邊小角旁弧同類而次數小去減餘弦其角為銳宜
以四率寅已檢餘弦表得戊銳角之度
[010-10a]
若先有戊銳角度求對邊丁度則反用其度
一 半徑 辛巳
二 角餘弦 寅已
三 初得數 癸乾
四 次得數/減餘弦 艮丁
以所得艮丁加次數午已檢餘弦表得丁庚對邊之度
因銳角角旁弧同類次數小于餘弦得數後宜加次數
為對邊餘弦
[010-10b]
論曰丁戊庚形與丁乙丙形為相易之形故丁戊為丁
乙減半周之餘戊庚等乙丙此兩弧所用之正弦餘弦
並同則初數次數亦同矣而丁庚對弧亦丁丙對弧減
半周之餘則所用餘邊又同加減安得不同
次數内轉減餘弦例銳角法鈍/角法各一
丁乙丙形三邊求乙角係銳/角 丙乙小邊正弦辰丙餘
弦辰已 丁乙大邊正弦癸甲餘弦甲已 是為角旁
之兩邊不同類 初得數甲乾半徑除兩/正弦矩 次得數午
[010-11a]
已半徑除兩/餘弦矩 丁丙對邊
大正弦壬卯餘弦卯已
對邊大而角旁弧不同類
宜相減 次數午已大于
對弧餘弦卯已法當于午
己内減卯巳餘午卯即甲/艮
為二率
一 初得數 甲乾
[010-11b]
二 餘弦減次/數之餘 甲艮
三 半徑 辛巳
四 角餘弦 寅已
對邊大角旁弧異類而次數大受對弧餘弦之減其角
為銳宜以四率寅已檢餘弦表得乙鋭角之度即寅辛/矢度
若先有乙角而求對邊丁丙則反用其率
一 半徑 辛巳
二 角餘弦 寅己
[010-12a]
三 初得數 甲乾
四 餘弦減次/數之餘 甲艮
末以所得甲艮轉減次數午已得對弧餘弦卯巳檢表
得度以減半周為對弧丁丙度
前圖取鈍角
丁戊庚形三邊求戊角係銳/角 戊庚小邊正弦丑庚餘
弦丑巳 丁戊次小邊正弦癸甲餘弦甲巳 是為角
旁兩弧同類 初數甲乾半徑除兩/正弦矩 次數午已半徑/除兩
[010-12b]
餘弦/矩 丁庚對邊小正弦壬卯餘弦卯巳 對邊小而
角旁兩弧同類宜相減 次數午巳大於對邊餘弦
卯巳當于午巳内減卯已餘午卯即甲/艮
一 初得數 甲乾
二 餘弦減次/數之餘 甲艮
三 半徑 辛巳
四 角餘弦 寅已
對邊小角旁弧同類而次數大内減去餘弦其角為鈍
[010-13a]
宜以四率寅巳檢餘弦表得度以減半周得戊鈍角之
度
若先有戊鈍角而求對邊丁庚則反用其率
一 半徑 辛已
二 角餘弦 寅巳
三 初得數 甲乾
四 餘弦減次/數之餘 甲艮
末以所得甲艮轉減次數午巳得對弧餘弦卯已檢表
[010-13b]
得對弧丁庚之度
一係 半渾員面所成斜三角形左右皆相對如左銳
角者右必鈍也對邊左小者右必大也角旁之邊左為
同類者右必異類也角旁兩弧一居員周一居圓面此/員面弧線左右所同用也而員周
之弧左右有大小故/同于左者不同于右
加減法以代/乗除
初數次數並以乘除而得今以總弧存弧之餘弦相加
減而半之即與乗除之所得脗合法簡而妙而甲數乙
[010-14a]
數之用亦從此生矣
總法曰凡兩弧相并為總弧相減為存弧存弧一/曰較弧
總弧存弧各取其餘弦以相加減成初數次數 法曰
視總弧過弧限則總存兩餘弦相加總弧不過象限則
相減皆折半為初數即原設兩弧之正弦/相乗半徑除之之數以初數轉減
存弧餘弦即為次數即原設兩弧之餘弦/相乗半徑除之之數又法總弧過/象限兩
餘弦相減不過象限則/相加並折半為次數又法初數以相加成者以總弧/餘弦減初數以相減成者
以總弧餘弦加並加/減初數為次數亦同
[010-14b]
又取總弧存弧之正弦相加減成甲數乙數 法曰以
總存兩正弦相加折半為甲數即原設大弧正弦乗小/弧餘弦半徑除之之數
總存兩正弦相減折半為乙數即原設小弧正弦乘大/弧餘弦半徑除之之數
又法以存弧正弦減甲數/其餘為乙數亦同又法以甲數減總弧/正弦即得乙數
總弧在象限内兩餘弦相減
大弧丙寅 小弧辰丙即丑/丙 二弧相加為總弧辰寅
相減得存弧丑寅 丑寅存弧之餘弦丑癸亦即/丁乙
辰寅總弧之餘弦卯辰即癸子亦/即乙午 兩餘弦相減丑癸/内減
[010-15a]
子癸存丑子或乙丁/内減乙午存午丁其餘
半之丑子半之于壬/成壬丑即亥丁為丙/寅
辰/丙二弧兩正弦相乗半徑
除之之數即初得數也
以初得數轉減存弧之餘
弦以壬丑減丑癸其/餘癸壬亦即亥乙其餘
為大小二弧兩餘弦相乗半徑除之之數即次得數也
論曰丙辛大弧之正弦也丑戊小弦之正弦也以句股
[010-15b]
形相似之故乙丙半徑弦/與丙辛正弦股/若丑戊正弦
小弦/與丑壬初得數也小股/其半而得者何也曰辰戊
同丑戊則戊巳亦同丑壬而壬子即已戊則子丑者初
得數壬/丑之倍數故半之即得 辛乙大弧之餘弦也戊
乙小弧之餘弦也乙丙半徑弦/與辛乙餘弦句/若戊乙
餘弦小弦/與亥乙次得數也小句/又以存弧餘弦内兼
有初得次得兩數故減初得次也丑癸餘弦内有丑壬/初數癸壬次數故減
丑壬即得癸壬也或于乙/丁内減亥丁得亥乙並同
[010-16a]
以上用總存兩餘弦加減
又丑寅存弧之正弦丑丁即午子/或癸乙辰寅總弧之正弦辰
午即卯/乙兩正弦相加半之為大弧正弦乗小弧餘弦半
徑除之之數即甲數也 以甲數轉減總弧之正弦以/午
已減辰午其餘/巳辰亦即卯未是為大弧餘弦乗小弧正弦半徑除之
之數即乙數也
論曰乙辛大弧之餘弦也辰戊小弧之正弦也以兩句
股形同比例之故丙乙半徑弦/與乙辛餘弦句/若辰戊
[010-16b]
正弦小弦/與辰已乙數也小句/
又丙辛大弧之正弦也戊乙小弧之餘弦也而丙乙半
徑弦/與丙辛正弦股/若戊乙餘弦小/弦與戊亥甲數小/句也
又以總弧正弦内兼有甲乙兩數故減乙得甲減甲亦
得乙矣辰午正弦内有辰巳乙數巳午甲數故/減辰巳得巳午若減巳午亦必得辰巳
以上用總存兩正弦加減
若以酉丙為大弧丙丑為小弧則其總弧酉丑正弦丑/丁餘弦
丑/癸其存弧辰酉正弦辰午/餘弦卯辰但互易存總之名其他並同
[010-17a]
論曰凡過象限之弧與其減半周之餘弧同用一正弦如丙
酉過弧以減半周得丙寅所用正弦丙/辛餘弦辛/乙皆丙酉弧與
丙寅弧之所同也故但易總存之名而正餘加減之用不變
又法 凡過象限之弧即截去象限用其餘度如法加減但以
總弧為存弧存弧為總弧而總存之餘弦為正弦正弦為餘弦
如酉丙過弧截去酉甲象限只用丙甲為大弧與丙丑小
弧相加減則丑甲為總弧其正弦丑癸餘弦丑丁而辰甲
為存弧其正弦卯辰餘弦辰午是總存正餘名皆互易也
[010-17b]
法以總存兩正弦相減而其餘折半為甲數丑癸内減/卯辰餘丑
子半之得丑/壬為甲數仍以甲數轉減總弧正弦甲數丑壬轉減/丑癸其餘癸壬
即乙/數是其名雖易而其實不易也但横易為直
論曰去過弧之象限而用之則過弧之正弦為餘餘弦
為正矣故加減而得之數皆兩弧之正弦乘餘餘弦乘正
之數而非復正乗正餘乘餘之數也何也過弧之正餘
互易而小弧之正餘如故也
如丙酉過弧去象限為丙甲則其正弦丙庚即過弧之
[010-18a]
餘弦也丙庚即/辛乙故其餘弦庚乙即過弧之正弦也庚乙即/丙辛故
而小弧丙丑之正弦丑戊餘弦戊乙皆如舊故先得之
丑壬為大弧餘弦丙辛乘小弧正弦丑戊而丙乙半徑
除之也非兩正弦相乘也乙數轉減正弦而得之亥乙
即癸壬亦/即戊未為大弧正弦辛乙乘小弧餘弦戊乙而半徑
除之也非兩餘弦相乘也
又論曰又法即測夜時篇中測星距午之第二法也加
減代乗除只此一例而絶不與七卷八卷之乘除求初
[010-18b]
數次數者相蒙雖有學者何從悟入乎愚故為之詳説
以發其覆
又論曰元法依圖直看直者正弦横者餘弦又法正餘
互易則圖當横看變立體為眠體本以總存兩餘弦加
減者變為兩正弦加減然其數並同
又論曰又法是用大弦之餘度而小弧則用元度何以
言之測星條用星之赤緯即去極之餘度也其用赤道
髙則極去天頂之元度也然而赤緯在南者則是于星
[010-19a]
去極度截去象限之數也何以亦為餘度曰過弧既與
其減半周之餘度同一正弦則此減半周之餘度亦即
正弧也然則此截去象限而餘者非即正弧之餘度乎
大弧過象限若干度與不及象限若干度其正弦並同
故加減可通為一法此又測星條/用法之意
約法
兩弧俱用本度或俱用餘度相加減以取總存二弧是
兩正或兩餘也則用總存兩餘弦加減法取初得數惟
[010-19b]
視總存二弧俱在一象限則相減或分跨兩象限則相
加皆以初數減存弧之餘弦為次得數
若兩弧内有一過弧則總弧之正弦小于存弧而餘弦
反大當以初數減總弧之餘弦為次數
若一弧用本度一弧用餘度相加減以取總存之弧是
一正一餘也則用總存兩正弦加減法其加減皆眎兩
正弦原法或加或減取甲數即以甲數減總弧正弦餘
為乙數
[010-20a]
若過弧節去象限而用其剰度與餘度同法凡餘度是/以本度減
象限而得名今反以象/限減過弧故别之曰剰
若兩俱剰弧與兩餘弧同法
若只一剰弧與一正一餘同法
論曰過弧用剰度為餘弧其法甚簡快凡過弧皆當用
之可不用本度矣算普天星經/緯歲差宜此
又按凡存弧之餘弦内兼有兩正弦相乗兩餘弦相乗
兩數即初次兩得數也凡總弧之正弦内兼有此正弦
[010-20b]
乗彼餘弦彼正弦乗此餘弦之數即甲乙兩數也故易
其名以别之也
大弧寅丙正弦丙辛餘弦
辛乙 小弧辰丙即丑/丙正
弦辰戊即丑/戊餘弦戊乙
二弧相加為總弧辰寅正
弦辰午餘弦午乙 相減
為存弧丑寅正弦丑丁餘
[010-21a]
弦丁乙 存總兩餘弦午乙/丁乙相并成午丁半之于亥成
亥丁即初得數大小二弧兩正弦丙辛/辰戊相乗半徑除之
之數也 以初得數亥丁轉減存弧之餘弦丁乙餘亥
乙即次得數大小二弧兩餘弦辛乙/戊乙相乗半徑除之之
數也
論曰以句股形相似之故丙乙半徑與丙辛正弦若戊
丑正弦與初數丑壬即亥/丁也皆弦比股也
又丙乙半徑與辛乙餘弦若戊乙餘弦與次數亥乙也
[010-21b]
皆弦比句也
以上用總存兩餘弦加減因總弧跨過象限故相加
又存弧正弦丑丁與總弧正弦辰午相加成辰乾以午/乾等
丁艮亦即/丑丁也折半得巳午即戊亥為辰子折半為巳子子/乾折半 午子合之成巳午
為甲數大弧正弦丙辛乗小弧餘弦戊乙半徑丙乙除
之也
以甲數已午轉減總弧正弦辰午餘辰巳為乙數大弧
餘弦辛乙乗小弧正弦辰戊半徑丙乙除之也
[010-22a]
以上用總存兩正弦加減
若用酉丙過弧為大弧丙丑為小弧則其總弧酉丑存
弧酉辰但互易存總之名其它並同以過弧酉丙所用
之正弦丙辛餘弦辛乙即丙寅弧所同用故也
又法
于酉丙過弧内截去象限酉甲只用其剰弧甲丙則甲
丙反為小弧丙丑反為大弧説見/前條
圖式三
[010-22b]
總弧在象限内兩餘弦相
減 乙丙小弧其正弦丙
辰餘弦辰已 丁乙稍大
弧其正弦丁甲餘弦甲巳
戊壬初得數兩正弦相/乗半徑除
也即庚甲/或戊卯 午戊次得數
兩餘弦相乗半/徑除也即巳癸 今改用加減以省乗除 以二弧相
加成總弧丁丙其正弦子丁餘弦子巳 又二弧相較
[010-23a]
成存弧壬丙其正弦壬辛卽午/巳餘弦辛巳卽壬/午
于存弧之餘弦辛巳内減去總弦之餘弦巳子存子
辛半之于癸得子癸及辛癸皆初得數也亦卽戊
壬也或于壬午丙減午卯半之于戊得/卯戊及戊壬亦同亦即庚甲也 又于存弧餘
弦辛已内仍減去初得數辛癸存癸已即次得數也壬/午
内減戊壬存/午戊亦同
此因總弧在象限内故以總弧餘弦減存弧餘弦求初
數是初數小于次數
[010-23b]
解曰以句股形相似之故己丙半徑弦/與丙辰正弦句/
若丁甲正弦弦/與甲庚初數也又壬甲等甲丁故庚甲
亦等戊壬而戊卯即庚甲故可以半而得之也
又已丙半徑弦/與辰已餘弦股/若甲已餘弦弦/與巳癸
次數股/也
右係總存兩餘弦用法
又丁庚為甲數丁甲大弧正弦乗辰巳小弧餘弦/半徑除之也亦即庚卯即甲戊 子
庚為乙數辰丙小弧正弦乗甲巳大弧/餘弦半徑除之也即癸甲
[010-24a]
今改用加減法以存弧正弦子卯即辛/壬加總弧正弦子
丁成卯丁而半之于庚得丁庚為甲數亦即庚卯/即戊甲 仍
于總弧正弦丁子内減去甲數丁庚存子庚即癸/甲為乙
數
此亦總弧在象限内亦總存兩正弦相加求甲數是甲
數大于乙數
解曰以句股形相似之故已丙半徑與辰巳小弧餘弦
若丁甲大弧正弦與甲數丁庚皆弦與股之比例也又
[010-24b]
丁甲等壬甲故戊甲亦等丁庚而戊甲即庚卯故可以
半而得之也
又巳丙半徑與丙辰小弧正弦若甲已大弧餘弦與乙
數甲癸即子/庚皆弦與句之比例也
右係總存兩正弦用法
一係 凡兩弧内無過弧則存弧之餘弦大故其中有
初次兩數而總弧則正弦大故其中有甲乙兩數雖兩
數相加能令總弧跨過象限此理不變餘弦仍係存弧
[010-25a]
大正弦仍係總弧大
總弧過象限兩餘弦相加
乙丙小弧正弦辰丙餘
弦辰已 乙丁過弧正弦
丁甲餘弦甲已 初得數
戊丁半徑除兩正弦矩即/子癸亦即癸辛亦即
庚/甲 次得數癸巳半徑除兩/餘弦矩
今用加減代乗除以二弧相加成總弧丁丙正弦丁子餘弦子
[010-25b]
已 又二弧相較成存弧壬丙正弦壬辛餘弦辛巳 乃以
總存兩餘弦相加成子辛子巳加/辛巳而半之于癸得子癸
及癸辛亦即丁戊/即庚甲初得數也 又以初數子癸轉減總
弧之餘弦子已餘癸巳次得數也此因總弧跨過象限/故兩餘弦相加求初
數是初數/大于次數
解曰以句股形相似故半徑已丙與正弦丙辰若正弦
丁甲與初數丁戊皆弦與股之比例也 又半徑丙已
與餘弦辰已若餘弦甲巳與次數癸已皆弦與句之比
[010-26a]
例也 又壬甲等丁甲則庚甲亦等戊丁而辛癸亦等
子癸故半而得
右用總存兩餘弦加減
又甲數丑甲小弧餘弦辰已乗過弧正弦丁甲半徑除
之也 乙數癸甲小弧正弦辰丙乗過弧餘弦甲巳半
徑除之也
今用加減搃存兩正弦相加成丑戊癸戊與正弦丁子/等丑癸與正弦辛
壬等故以相/加即成丑戊半之于甲得丑甲亦即/甲戊為甲數 仍以甲
[010-26b]
數丑甲轉減存弧正弦丑癸餘癸甲為乙數或以總弧/正弦癸戊
減甲數甲戊亦/即得乙數癸甲
此亦總弧跨象限外仍係總存兩正弦相加求甲數甲/數
仍大于/乙數
解曰半徑丙已與小弧餘弦辰已若大弧正弦丁甲與
甲數丑甲皆以弦比句也 又半徑丙已與小弧正弦
辰丙若大弧餘弦甲巳與乙數癸甲皆以弦比股也
又壬甲等丁甲則甲戊亦等壬庚而壬庚即丑甲故半
[010-27a]
之而得
右用總存兩正弦加減
一係 凡兩弧内有過弧者總弧之餘弦反大故初次
兩數皆在總弧餘弦内而總弧之正弦反小故甲乙兩
數皆在存弧正弦内也此必原有一過弧始用此例/非謂總弧過象限也觀圖自
明/
甲數乙數用法黄赤道經/緯相求
黄赤二道經緯相求用斜弧三角形以星距黄極為一
[010-27b]
邊星距北極為一邊并兩極之距為三邊此本法也今
不用距極度而用其餘度距極度本為緯度之餘今用/三角形以距極度為邊故緯
度皆為/餘度徑取黄緯為一邊此先有黄緯而求赤緯也若/先有赤道而求黄道即用赤
緯為/邊二至之黄赤大距為一邊黄赤大距原與/兩極之距等而取二
邊之總存兩正弦為用以加減省乘除故在本法為初
數次數者别之為甲乙數焉甲數乙數不止為求黄赤
而舉此為式其理特著故命之曰甲數乙數用法實黄
赤相求簡法矣
[010-28a]
第一圖 黄緯小于黄赤大距甲數大乙數小
甲丙亢危大圈為過
兩極之經圈即二至/經圈
心乙亢軸即黄道
二分經綫 丙乙室
為黄道 心為黄極
寅乙危為赤道
甲為北極 辰胃婁
[010-28b]
為黄道北緯即丙辰/之度 丑尾奎為黄道南緯即丙丑/之度
星在箕 箕心為星距黄極緯度 箕女為星距黄道
緯即丙辰/之度 甲心箕銳角為黄道經度其餘弦女乙
甲心為兩極相距二十三度三/十一分半 寅丙為夏至距緯同/甲
心之/度
今求甲箕為星距北極緯度 其餘弧箕翌為星距赤
道緯即氐危/之度
用甲心箕三角形有心角黄道/經有心箕弧星距黄/極緯有甲
[010-29a]
心弧為兩極/之距而求對角弧甲箕星赤道/北極緯
依加減代乗除改用寅丙夏至距即心/甲辰丙黄道緯即/心
箕之餘箕女/又即丙丑度 寅丙辰丙相加為總弧辰寅其正弦辰
午 又相減為較弧丑寅其正弦丑丁亦即丁井亦即/午昴亦即子午
以丑丁正弦即午/昴加辰午正弦成辰昴折半得巳午
甲數巳子為辰子之半子午為/子昴之半合之成巳午甲數巳/午轉減正弦辰/午餘
巳/辰為乙數
或以丑丁正弦即子/午減辰午正弦餘辰子折半得辰巳
[010-29b]
為乙數以乙數轉減總弧正弦辰午得已午為甲數亦
同
法為黄道半徑丙/乙與心角之餘弦女/乙若甲數巳/午與四率
斗/未也
一 黄道半徑 丙乙
二 心角餘弦 女乙
三 甲數 巳午即戊酉/
四 減過乙數之/赤緯正弦斗未即虚栁/
[010-30a]
論曰丙乙半徑與女乙餘弦原若辰胃與箕胃辰胃者/箕心黄
緯之正弦即距等圏半徑因箕心角線過箕至女分辰/胃正弦于箕亦分丙乙半徑于女故丙乙與女乙若辰
胃與箕胃皆/全與分比例而辰胃同戊乙箕胃同斗乙皆弦也戊酉/乙大
句股以戊乙為弦戊酉為句斗未/乙小句股以斗乙為弦斗未為句戊酉同巳/午斗未皆句
也則其比例等故丙乙與女乙能若戊乙與斗乙亦即
若已午與斗未
以乙數辰巳即/箕虚加四率斗未即/虚栁成箕栁即所求赤道緯
度正弦檢表得赤緯在北即箕翌亦/即氐危
[010-30b]
若先有赤緯黄緯而求黄經則互用其率以三四為一二
法為甲數戊/酉與赤緯正弦内減乙數之斗未若黄道半
徑丙/乙與心角黄經度之餘弦女/乙也
一 甲數 戊酉即午巳/
二 乙數箕虚減/赤緯正弦半未即虚栁/
三 黄道半徑 丙乙
四 心角餘弦 女乙 檢餘弦表得心角之度
假如前圖星在尾為黄道南緯則所用之甲數乙數並
[010-31a]
同所得之四率亦無不同而赤緯逈異
何以言之曰心不在箕而在尾則心
甲弧兩極/距度心角黄道/經度皆不變唯尾心
弧大于箕心故甲心箕三角形變為
甲心尾三角而所求對角之甲尾弧
亦大于甲箕故赤緯異也
然則所用之甲數乙數又同何也曰尾心為過弧則用
在女尾尾心内減去/女心象限女尾為黄道南緯與箕女北緯同
[010-31b]
度亦即同正弦則相加為總弧相減為較弧亦同而甲
乙數不得不同矣而三率算法亦必同矣但所得四率
在北緯則用加在南緯則用減緯度迥異理勢自然也
一 黄道半徑 丙乙
二 心角餘弦 女乙 以乙數辰/巳減四率斗未減盡
三 甲數 已午 無餘為星在赤道無緯度
四 加過乙數之/赤緯正弦斗未
論曰此因乙數與四率同大故減盡也減盡則甲尾正
[010-32a]
九十度而星在赤道無緯也
亦有四率小于乙數者則當以四率轉減乙數用其餘
為緯度正弦在赤道南
又論曰星在箕為黄道北在尾為黄道南然所得赤緯
皆在北者以箕尾經度皆在夏至前後兩象限中也故
所得四率在赤道北而加乙數則北緯大減乙數則北
緯小皆北緯也惟四率轉減乙數則變為南緯此亦惟/黄南緯
星又近二分則雖在夏至/前後象限中而有南緯
[010-32b]
亦有無四率者心角必九十度其星必在黄道二分經
度無角度餘弦為次率故亦無第四率可求但以乙數
為用視星在南北即以乙數命為南北緯度之正弦
假如前圖中有星在胃是在北也即以乙數胃張即辰/巳
命為赤道北緯之正弦若星在房是在南也即以乙數
乙癸亦即/辰巳命為赤道南緯之正弦
又有所得四率北反用減南反用加者心角必為鈍角
其星必在冬至前後兩象限其角度餘弦必為大矢内
[010-33a]
減儀象限之餘則所得第四率在赤道之外外即/南也而加減後
所得皆赤道之南緯也故加減皆反求北緯以加而南緯必/減者星在北也求北緯
以減而南緯必加者星在南也盖所得第四率原係在北/在南兩星緯度之中數 星在北在南皆主黄道言
假如前圖中有星在兑為黄道北而甲心兑三角形心
為鈍角其餘弦艮乙為艮丙大矢内
減象限之餘故所得第四率未斗在
赤道之外為赤道南緯此南緯是黄/道軸距赤道
軸/而兌星在黄道之北則其南緯正
[010-33b]
弦小于未斗故必以乙數牛斗即辰己亦/即奎巳減之其餘牛
未同兌/庚即兌星赤道南緯之正弦
若星在巽亦同用心鈍角為甲心巽三角形艮乙餘弦
四率未斗在赤道外並同但巽星又在黄道之南則其
南緯大于未斗四率故必以乙數虚巽即辰巳亦/即牛斗加之
成巽栁即巽星南緯之正弦
亦有四率小于乙數者則以四率轉減乙數用其餘為
緯度在赤道北
[010-34a]
又論曰星在兌為黄道北在巽為黄道南然所得赤緯
皆在南者以兌巽經度皆在冬至前後兩象限中也故
所得四率在赤道南而以乙數減則南緯小以乙數加
則南緯大皆南緯也惟四率轉減乙數者則變為北緯
此亦必黄北緯星又近二分故雖在冬至前後象限中/而仍有北緯 凡以乙數及四率相加減成緯度者並
主緯度之正弦/而言後倣此
總論曰凡乙數皆南北兩赤緯度相減折半之數甲數
則兩緯度之中數也如箕女與女尾兩黄緯同度而不能/以女庚為兩赤緯弦之中數者弧
[010-34b]
度有斜/正故也而所得四率即所求星南北兩緯正弦中數故
與甲數為比例
凡所得四率星在夏至前後兩象限四率在赤道北星
在冬至前後兩象限四率在赤道南
凡總弧正弦内兼有甲數乙數不論黄南黄/北並同一法但視黄緯
之大小若黄緯小于黄赤大距則以總存兩正弦相併
而半之為甲數若黄緯大于黄赤大距則以總存兩正
弦相減而半之為甲數並以甲數轉減總弧正弦為乙數
[010-35a]
又法
黄緯小于黄赤大距以總存兩正弦相減而半之則先
得乙數黄緯大于黄赤大距以總存兩正弦相併而半
之亦先得乙數並以乙數轉減總弧正弦為甲數
求赤緯約法
凡星有黄緯之南北有黄經之南北黄經南北即南六/宫北六宫 星在
夏至前後先得之黄經為鋭角是經在北也也星/在冬至前後先得之黄經為鈍角是經在南
若星之黄緯南北與黄經同者其赤緯南北亦與黄緯
[010-35b]
同法用四率乙數相加為緯度正弦加惟一法
星在黄道北又係夏至前後兩象限先得黄經鋭角是
經緯同在北則赤緯亦在北 星在黄道南又係冬至
前後兩象限先得黄經鈍角是經緯同在南則赤緯亦
在南
若星之黄緯南北與黄經異者赤緯有同有異皆四率
乙數相減為赤緯正弦減有二法
但視乙數大受四率轉減者赤緯之南北與黄緯同
[010-36a]
如星在黄道北而在冬至前後兩象限黄經角鈍是緯
北而經南也而乙數大受四率轉減則赤緯仍在北
星在黄道南而在夏至前後兩象限黄經角鋭是緯南
而經北也而乙數大受四率轉減則赤緯仍在南
若乙數小去減四率者赤緯之南北與黄緯異 如星
在黄道北而在冬至前後黄經角鈍為緯北經南而乙
數又小去減四率則赤緯變而南 星在黄道南而在
夏至前後黄經角鋭為緯南經北而乙數又小去減四
[010-36b]
率則赤緯變而北
若星在黄道軸線是正當二分經度也其角必九十度
無餘弦亦無四率但以乙數為用 星在北即以乙數
命為赤道北緯之正弦 星在南即以乙數命為南緯
之正弦
若遇乙數四率相減至盡者其星正當赤道無緯度
第二圖 黄緯大于黄赤大距甲數小乙數反大
有黃道經/緯求赤緯
[010-37a]
甲北極 心黄極
甲心為兩極之距
丙室黄道 寅危赤
道 寅丙為夏至大
距同甲/心 乙為二分
以上並與前圖無
二 所異者黄緯丙
丑即丙/辰大于寅丙故
[010-37b]
乙數亦大于甲數 寅丙之正弦丙辛餘弦辛乙 丙
丑之正弦辰戊或戊/丑餘弦戊乙
甲數戊酉乃寅丙正弦乗丙丑餘弦半徑除之也法為
丙乙半徑與正弦丙辛若戊乙餘弦與甲數戊酉
乙數辰巳或巳子/或戊壬乃辛乙餘弦乗辰戊正弦半徑除之
也法為丙乙半徑與餘弦辛乙若辰戊正弦與乙數辰
巳
假如星在箕為在黄道北箕心為距黄極之度其餘箕
[010-38a]
女黄道北緯也有箕心甲心兩極/距二邊有心銳角黄/經用
甲心箕三銳角弧形求赤緯甲箕為對角之弧
依加減代乗除改用寅丙辰丙二弧相加為總弧辰寅
其正弦辰午 又相減成較弧寅丑其正弦丑丁即午/子
以丑丁正弦加辰午正弦成辰子折半于巳為乙數辰/巳
及巳/子 乙數辰已轉減總弧正弦辰午得已午為甲數
即戊/酉
本法以丑丁減辰午折半得已午為甲數 甲數巳午
[010-38b]
轉減辰午得辰巳為乙數
法為黄道半徑丙乙與餘弦女乙若甲數戊酉與四率
斗未也理見前/式論見
一 黄道半徑 丙乙 既得斗未以乙數箕
二 心角餘弦 女乙 虚加之成箕栁為赤
三 甲數 戊酉 緯正弦查表得箕翌
四 以乙數減/赤緯正弦 斗未即虚栁/ 赤緯度在赤道北
右係黄緯在北而心為銳角黄經亦在北故法用
[010-39a]
加而赤緯仍在北
若先有黄赤緯度而求黄經則互用其率亦同前式
一 甲數 戊酉
二 乙數減赤/緯正弦 斗未
三 黄道半徑 丙乙
四 心角餘弦 女乙 查餘弦表得心角之度
假如前圖星在尾為在黄道南則所用之甲數乙數及
所得之四率並同惟赤緯異
[010-39b]
論曰星不在箕而在尾則甲心箕三
銳角形變為甲心尾三角形而心尾
弧大于心箕故所求對角之甲尾弧
亦大于甲箕而赤緯大異
心尾大于心箕而甲數乙數悉同者因用餘弧則女尾
南緯與女箕北緯同度故也
一 黄道半徑 丙乙 既得斗未以轉減乙數斗
二 心角餘弦 女乙 牛得餘未牛即尾/申為赤緯
[010-40a]
三 甲數 戊酉 正弦查表得尾卯緯度在
四 乙數内減/赤緯正弦 斗未 赤道南
論曰此係乙數跨赤道故乙數内兼有赤緯及四率之
數而減赤緯得四率以四率轉減亦得赤緯
右係黄緯在南而心為銳角是緯南而經北法當
用減而乙數大受四率反減故赤緯仍在南
假如前圖星在巽則所用之甲數乙數亦同惟四率異
因巽艮黄緯即室奎之度與丙丑同故甲數酉/戊與戊酉同大而乙數斗牛兊乾並同辰巳
[010-40b]
又巽星在黄道南而心為鈍角星在
秋分後春分前黄經亦在南則赤緯
亦在南法當用加
一 黄道半徑 丙乙即室/乙
二 鈍角餘弦即大/矢减半徑之餘 艮乙艮丙為心鈍角大矢/内减丙乙得艮乙
三 甲數 酉戊
四 赤緯正弦/内減乙數 未斗
[010-41a]
既得未斗以乙數斗牛即辰/巳加之成未牛為赤緯正
弦即栁/巽查表得震巽緯度在赤道南
假如前圖星在兌為黄道北所用之
甲數乙數四率並同惟赤緯異兌艮/北緯
與巽艮南緯並同丙丑之度故甲數/乙數同甲心巽與甲心兊兩鈍角形
同用心鈍角故四率亦同惟心兊弧/小于心巽故所求對角弧甲兊亦小
于甲巽而/赤緯異
一 黄道半徑 丙乙 既得未斗以轉減乙數
[010-41b]
二 鈍角餘弦 艮乙 兊乾得餘兊離為赤緯
三 甲數 酉戊 正弦查表得兊坎緯度
四 乙數内減/赤緯正弦 未斗即離/乾 在赤道北
右係黄緯在北而心為鈍角是秋分後春分前為
緯北而經南法當用減而乙數大受四率轉減故
赤緯仍在北
第三圖 赤緯大于二極距甲數小乙數大
心甲箕三鋭角形 星在箕 有黄極緯心箕有北極
[010-42a]
赤緯甲箕有黄赤極
距心甲即室/危求甲角
為赤經 辰危赤緯
大于危室大距即心/甲
與前圖略同故乙數
亦大於甲數 所異
者此求赤經故諸數
皆生于赤緯謂總弧
[010-42b]
較弧皆用赤緯也而加減正弦反在黄道矣
室危兩極距之正弦室辛餘弦辛乙
辰危赤緯即箕女為甲箕/距比極之餘之正弦辰酉餘弦酉乙
甲數戊酉法為半徑室乙與辛室正弦若酉乙餘弦與
甲數戊酉也
乙數辰已法為半徑室乙與辛乙餘弦若辰酉正弦與
乙數辰已或婁酉正弦/與乙數酉壬也
依加減代乗除改用辰危室危相加為總弧辰室其正
[010-43a]
弦辰午又相減為較弧婁室其正弦婁丁即午/昴
又以較弧正弦午昴減總弧正弦辰午餘數半之得已
午為甲數即戊酉也法于辰午内截減辰坤如/午昴其餘坤午半之于已即得已午
甲數已午轉減辰午正弦餘辰巳為乙數或以甲數已/午加較弦午
昴成巳昴/乙數亦同箕虚及未牛並同皆乙/數也
又以箕翼黄緯之正弦箕柳與乙數箕虚相減得虚柳
即未/斗以為次率因箕栁黄緯大乙數箕虚小故/于黄緯正弦内減乙數得未斗
法為甲數戊酉與未斗若酉乙與未乙亦即若危乙半
[010-43b]
徑與甲角之餘弦女乙也
一 甲數 戊酉
二 黄緯正弦内/減去乙數 未斗
三 赤道半徑 危乙
四 甲角餘弦 女乙
論曰赤道經度春分至秋分北六/宫為鈍角秋分至春分
南六/宫為銳角其角與黄經正相反此條星在箕是赤緯
在北也而黄緯亦北兩緯同向宜相減成次率而乙數
[010-44a]
小于黄緯必以乙數減黄緯而得未斗乙數減黄緯而
緯在北赤經必南六宫為銳角查表得度為甲角度即
赤經也在秋分後以所得減三象限在冬至後以所得
加三象限皆命為其星距春分赤道經度
若星在尾用甲心尾三角形則以黄
緯正弦反減乙數為次率未牛乙數/大于黄緯
斗牛故以斗牛反/減未牛得未斗餘率並同
[010-44b]
論曰此條星在尾是赤緯在南也而黄緯亦並在南兩
緯同向宜相減而成次率而乙數大于黄緯宜于乙數
内轉減去黄緯成未斗也乙數大受黄緯轉減而緯在
南赤經必亦在南六宫為銳角
一 甲數 戊酉
二 乙數内/減黄緯 未斗
三 赤道半徑 危乙
四 甲角餘弦 女乙
[010-45a]
假如前圖星在兊用心甲兊三角形
有心兌邊星距/黄極有甲兌邊星距/北極有心
甲邊兩極/距求甲鈍角為赤道經度
因赤緯同故甲數乙數同
星在兊赤緯在北黄緯亦在北緯同向北宜相減而成
次率而乙數大以黄緯減之得斗未乙數兊乾内減去/黄緯兊離餘離乾
即斗/未
乙數大受黄緯轉減而赤緯在北必赤經亦在北六宫
[010-45b]
為鈍角
一 甲數 酉戊
二 乙數内減/去黄緯 斗未
三 赤道半徑 寅乙
四 甲角餘弦 艮乙
以艮乙查餘弦表得度用減半周為甲鈍角即赤經也
在春分後以象限減鈍角度在夏至後以鈍角度與三
象限相減皆命為星距春分赤道經度
[010-46a]
假如星在巽用心甲巽三角形有心巽邊距黄/極有甲巽
邊距北/極有甲心邊兩極/距求甲鈍角為赤經
甲數乙數並同
惟心在巽是赤緯南也黄緯亦南也兩緯並南宜相減
成次率 乙數小黄緯大故以乙數
減黄緯得斗未斗牛黄緯即栁巽也/内減乙數未牛餘即
斗未/矣 乙數小去減黄緯而赤緯在
南赤經必在北六宫為鈍角
[010-46b]
一 甲數 酉戊
二 黄緯内/減乙數 斗未
三 赤道半徑 寅乙
四 甲角餘弦 艮乙
以艮乙餘弦查度春分後用餘弦度減象限夏至後加
象限皆命為距春分赤經
[010-47a]
第四圖 赤緯小于二極距甲數大乙數小
假如星在箕用心甲
箕鈍角形有心箕過
距黄極對角邊也/其餘箕翼即黄緯有
甲箕邊距北極即/辰危之餘有
心甲邊兩極距寅丙/及危室並同
求甲鈍角赤道經
兩極距危室之正弦
[010-47b]
危辛餘弦辛乙 赤緯危辰之正弦辰戊餘弦戊乙
甲數戊酉為半徑危乙與二極距之正弦危辛/若赤緯餘弦戊乙與甲數戊酉也
乙數辰巳或戊壬赤為半徑危乙與二極距之餘弦/辛乙若 緯正弦辰戊與乙數辰巳也
依加減代乗除以辰危危室兩弧相加為總弧辰室其
正弦辰午
又相減為較弧婁室其正弦婁丁或丁井/即午昴
以總弧正弦辰午加較弧正弦午昴成辰昴而半之為
甲數巳午巳坤為辰坤之半坤午為/坤昴之半合之為巳午即戊酉
[010-48a]
又以甲數己午轉減正弦辰午得辰巳為乙數亦即/戊壬
星在箕為赤緯北而黄緯亦在北兩緯同向宜相減而
成次率而乙數大當以黄緯轉減之成斗未牛未乙數/内減牛斗
黄緯餘/斗未
乙數大受黄緯反減而緯在北赤經在北六宫為鈍角
一 甲數 酉戊 以艮乙餘弦查度春分後
二 乙數内減/黄緯正弦 斗未 用減象限夏至後加象限
三 赤道半徑 寅乙 命為距春分經度
[010-48b]
四 甲角餘弦 艮乙
若星在尾用心甲尾三角形則為南緯而黄緯亦南兩
緯同向宜相減成次率而乙數小于
黄緯故以乙數減黄緯成斗未虚尾/黄緯
内減乙數氐尾/餘虚氐即斗未 其甲數乙數等算
並同 乙數小去減黄緯而緯在南
赤經必在北六宫為鈍角
一 甲數 酉戊
[010-49a]
二 黄緯正弦/内減乙數 斗未
三 赤道半徑 寅乙
四 甲角餘弦 艮乙
若星在兑用心甲兑三角形兑為北緯而黄緯亦北兩
緯同向宜相減成次率而乙數小于
黄緯故以乙數減黄緯成未斗兊乾/黄緯
内減乙數兊離餘/餘離乾即未斗甲數乙數並同
乙數小去減黄緯而緯在北赤經反
[010-49b]
在南六宫為銳角
一 甲數 戊酉 以女乙餘弦度秋分後減
二 黄緯正弦/内減乙數 未斗 三象限冬至後加三象限
三 赤道半徑 危乙 命為距春分赤經下/同
四 甲角餘弦 女乙
若星在巽用心甲巽三角形赤緯南黄緯亦南兩緯同
向宜相減成次率而乙數大以黄緯轉減之成未斗未/牛
乙數内減黄緯斗牛/即栁巽其餘即未斗
[010-50a]
乙數大受黄緯轉減而緯在南赤經
即在南六宫為銳角
一 甲數 戊酉
二 乙數内減/黄緯正弦 未斗
三 赤道半徑 危乙
四 甲角餘弦 女乙
[010-50b]
第五圖 赤緯小于二極距甲數大乙數小
黄緯乙數相加成次
率黄緯在南角鋭鈍/黄緯在北角
星在巽用心甲巽三
角形有心甲邊二極/距
有巽甲邊距北極度/為過弧其
赤緯女/巽在南有巽心邊距/黄
極度其餘巽/為黄緯在北 求對
[010-51a]
巽心弧之甲角 心甲兩極距即危室或寅/丙其正弦危
辛餘弦辛乙 女巽赤緯即危婁或辰危/即丑寅其正弦辰戊
餘弦戊乙
甲數戊酉兩極距正弦危辛乗赤緯餘弦戊乙半徑危乙/除之之數也法為危乙與危辛若戊乙與戊酉
乙數辰巳兩極距餘弦辛乙乗赤緯正弦辰戊半徑危乙/除之之數也法為危乙與辛乙若辰戊與辰巳
依加減代乗除改用辰危危室相加為總弧辰室其正
弦辰午又相減為較弧婁室其正弦婁丁即午昴/及丁井
以總較兩正弦相加成辰昴折半得巳午為甲數即戊
[010-51b]
酉巳坤為辰坤之半坤午為/坤昴之半合之成己午
甲數巳午轉減總弧正弦辰午得辰巳為乙數即戊壬
黄緯巽氐在北赤緯女巽在南兩緯異向宜以乙數與
黄緯正弦相加成次率以同黄緯正弦巽栁之牛斗加/同乙數戊壬之未牛成未斗
乙數黄緯正弦相加而黄緯在北其赤經必在南六宫
為銳角法為甲數戊酉與未斗若戊乙與未乙亦即若
危乙與女乙
一 甲數 戊酉 以女乙查餘弦表得度
[010-52a]
二 乙數加黄/緯正弦 未斗 秋分後減冬至後加皆與
三 赤道半徑 危乙 三象限相加減命為其星
四 甲角餘弦 女乙 距春分赤道經度
又如星在箕用心甲箕三角形有心甲邊二極/距有箕甲
邊距北極度其餘/箕艮赤緯在北有箕心邊距黄極度為過弧/其黄緯翼箕在南求對箕
心弧之甲角
甲數乙數同上
惟黄緯翼箕在南赤緯箕艮在北兩緯異向宜以乙數
[010-52b]
與黄緯正弦相加成次率以黄緯正/弦箕張相
同之牛斗加乙數辰巳/相同之牛未成斗未
乙數與黄緯弦相加而黄緯在南其
赤經必在北六宫為鈍角法為甲數
酉戊與斗未若戊乙與未乙亦即若寅乙與艮乙
一 甲數 戊酉 以艮乙查餘弦表得度春
二 乙數加黄/緯正弦 斗未 分後減夏至後加皆加減
三 赤道半徑 寅乙 象限命為其星距春分赤
[010-53a]
四 甲角餘弦 艮乙 赤道經度
求赤道經度約法
用三邊求角兩極距為一邊距北極為一邊此二邊為/角兩旁之弧距黄極為一邊此為對角之
弧/以求到鈍角赤道經度在北六宫銳角赤道經度在
南六宫
法為甲數與次率若赤道半徑與所求角之餘弦其樞
紐在次率也
凡黄緯南北與赤緯同向者並以乙數與黄緯相減而
[010-53b]
成次率減有二法
凡黄緯南北與赤緯異向者並以乙數與黄緯相加而
成次率
加惟一法
[010-54a]
[010-54b]
厯算全書卷十
欽定四庫全書
厯算全書卷十
宣城梅文鼎撰
環中黍尺卷三之四
初數次數法加減代乗除之法從初/數次數而生故先論之
上卷之法用角旁兩正弦相乗今則兼用兩餘弦故/别之為初數次數其法有二其一次數與對弧餘弦
相加其一相減也相加又有二一鋭角一鈍角也相/減有四或餘弦内減次數或次數内減餘弦而又各
分銳角/鈍角也
[010-1b]
約法 三邊求角
角求對邊
[010-2a]
餘弦次數相加例銳角法鈍/角法各一
丁乙丙形 有三邊求乙銳角 角旁大弧丁巳正弦辛戊/餘弦巳戊
[010-2b]
小弧丙乙正弦丙癸/餘弦巳癸兩正弦相乗全數除之成初得
數戊庚又以兩餘弦相乗全數除之成次得數戊丑
即卯/巳乃以次得數卯巳加對弧之餘弦已戌成卯戌即申/戊
一 初得數 戊庚
二 次得數與對/弧餘弦相并申戊
三 半徑 亥已
四 角之餘弦 已乾
以餘弦檢表得/乙銳角之度
[010-3a]
若先有角求對邊則反之
一 半徑 亥巳
二 角之餘弦 巳乾
三 初得數 戊庚
四 次得數與對/弧餘弦相并申戊以次得數戊丑減之得/對弧餘弦丑申即巳戌
論曰辛戊正弦與亥巳半徑同為乙丁弧所分則辛戊
全與丁戊分若亥巳全與乾巳分也而辛戊弦與丁戊
小弦又若戊庚句與申戊小句也故戊庚與申戊必若
[010-3b]
亥巳與乾巳
若用丁甲丙形其算並同何以明之甲丁者乙丁半周
之餘甲丙者乙丙半周之餘其所用正弦並同又同用
丁丙為對角之弧甲角又同乙角皆以乾已為餘弦故
也
右係對邊小于象限角旁弧異類故其法用加而為
銳角
仍用前圖取丁甲寅三角形 有三邊求甲鈍角 角
[010-4a]
兩旁弧同類 對角邊大為寅丁其正弦酉戌餘弦戌
已 旁弧丁甲其正弦辛戊餘弦已戊 又旁弧寅甲
其正弦寅壬餘弦壬已 初得數戊庚半徑除兩/正弦矩 次
得數卯巳半徑除兩/餘弦矩
所用三率與前銳角形並同亦以卯已加已戌成申戊
為三率所得四率乾已亦為甲角之餘弦末以餘弦檢/表得度以減
半周餘為甲/鈍角之度
若先有甲鈍角求對邊丁寅則反用其率一半徑亥已二
[010-4b]
甲角餘弦乾已三初數戊庚四申庚末以次數戊丑去
減得數甲戊餘丑申為對弧餘弦
論曰對弧寅丁係過弧與銳角形對弧丁丙相與為半
周之正餘度同用酉戌為正弦戌已為餘弦角旁弧丁
甲即乙丁半周之餘度同用辛戊為正弦戊已為餘弦
甲寅弧又與乙丙弧等度其正弦壬寅同癸丙餘弦壬
巳同癸巳故加減數並同所異者對弧大而兩旁弧又
同類故為鈍角
[010-5a]
若用寅乙丁形其算並同以同用丁寅對弧而兩弧在
角旁者寅乙為寅甲半周之餘丁乙為丁甲半周之餘
所用之正弦餘弦並同故也甲角同乙角皆以乾已餘
弦度轉減半周為其度
右係對邊大于象限而角旁兩弧同類故其法用加
而為鈍角
正餘交變例
若角旁兩邊以象限相加減而用其餘弧則正弦餘弦
[010-5b]
之名互易而所得初數次數不變三率之用亦不變
解曰弧小以減象限得餘弧弧大以象限減之而用其
餘亦餘弧也其故何也凡過弧與其減半周之餘度同
用一正弦故過弧内減象限之餘即反為過弧之餘弧
亦曰剰弧而此剰弧之正弦即過弧之餘弦也
若兩弧内一用餘度則其初數次數皆為正弦乘餘弦
半徑除之之數然其數不變何也一弧既用餘度則本
弧之正弦變為餘弧之餘弦而其又一弧仍係本度則
[010-6a]
正弦不變然則先所用兩正弦相乗為初數者今不變
而為餘乘正乎次數倣此
試仍以前圖明之丁乙丙形任以乙角旁之乙丁弧即/辛
乙/内減去亥乙象弧其剰弧亥辛之正弦戊已即乙辛
過弧之餘弦也又亥辛之餘弦辛戊即過弧乙辛之正
弦也然則先以辛戊正弦乗丙癸正弦者今不變為辛
戊餘弦乘丙癸正弦乎然但變其名為餘乘正而辛戊
之數不變則其所得之初數戊庚亦不變也次數倣論
[010-6b]
按此法即測星/時第二法所用
若角旁兩弧俱改用餘弧則初數變為兩餘弦相乘次
數變為兩正弦相乗盖以正變餘餘變正而所得之初
數次數不變
試仍以前圖明之丁乙丙形乙角旁兩弧乙丁改用辛
亥義見/前乙丙改用丙亥皆餘弧也則丙癸辛戊兩正弦
皆變餘弦丙癸為丙亥弧餘弦/辛戊為辛亥弧餘弦癸已戊已兩餘弦皆變
正弦癸已為丙亥弧正弦/戊巳為辛亥弧正弦然則先以兩正相乘者今為
[010-7a]
兩餘然雖變兩餘而其為丙癸與辛戊者不變故其所
得之初數戊庚亦不變也次數倣論
總例
凡弧度與半周相減之餘則所用之正弦同餘弦亦
同
凡弧度與象限相減之餘則所用之正弦變餘餘弦變
正
餘弦内減次數例鈍角法銳/角法各一
[010-7b]
丁乙丙弧三角形有三邊
求乙鈍角 丙乙小弧其
正弦丙辰餘弦辰巳 丁
乙大弧其正弦癸甲餘弦
甲已 是為角旁之兩弧
不同類 癸乾初得數兩/正
弦乗半徑/除之數 午已次得數兩餘弦乗半/徑除之數 丁丙對邊大
其正弦壬卯餘弦卯已 對邊大于象限而角旁弧不
[010-8a]
同類宜相減 對弧餘弦大于次數法當于餘弦卯巳
内減去次得數午已餘午卯即艮/丁為二率
一 初得數 癸乾
二 次得數/減餘弦 艮丁
三 半徑 辛已
四 角餘弦 寅已
對邊大角旁弧異類而次數小減對弧餘弦其角為鈍
宜以四率寅已撿餘弦表得度以減半周度其餘即為
[010-8b]
乙鈍角之度即寅酉大/矢之度
若先有乙鈍角求對弧則反用其率
一 半徑 辛巳
二 角餘弦 寅已
三 初得數 癸乾
四 次得數/減餘弦 艮丁
既得艮丁乃以次數加之成卯已餘弦檢表得度以減
半周得丁丙對邊之度
[010-9a]
凡過弧與其減半周之餘度同用一餘弦故以餘弦檢
表得度以減半周即得過弧
仍用前圖取銳角
丁戊庚三角形係銳角○此/形有三銳角有三邊求戊角 戊庚小
邊其正弦庚丑餘弦丑巳 丁戊次小邊其正弦癸甲
餘弦甲巳 是為角旁弧同類 初得數癸乾半徑除/兩正弦
矩/ 次得數午已半徑除兩/餘弦矩 丁庚對邊小其正弦壬
卯餘弦卯巳 對邊小于象限而角旁弧同類宜相減
[010-9b]
次數午已小于對弧餘弦卯已以午已去減卯已餘
卯午即艮/丁
一 初得數 癸乾
二 次得數/減餘弦 艮丁
三 半徑 辛已
四 角餘弦 寅已
對邊小角旁弧同類而次數小去減餘弦其角為銳宜
以四率寅已檢餘弦表得戊銳角之度
[010-10a]
若先有戊銳角度求對邊丁度則反用其度
一 半徑 辛巳
二 角餘弦 寅已
三 初得數 癸乾
四 次得數/減餘弦 艮丁
以所得艮丁加次數午已檢餘弦表得丁庚對邊之度
因銳角角旁弧同類次數小于餘弦得數後宜加次數
為對邊餘弦
[010-10b]
論曰丁戊庚形與丁乙丙形為相易之形故丁戊為丁
乙減半周之餘戊庚等乙丙此兩弧所用之正弦餘弦
並同則初數次數亦同矣而丁庚對弧亦丁丙對弧減
半周之餘則所用餘邊又同加減安得不同
次數内轉減餘弦例銳角法鈍/角法各一
丁乙丙形三邊求乙角係銳/角 丙乙小邊正弦辰丙餘
弦辰已 丁乙大邊正弦癸甲餘弦甲已 是為角旁
之兩邊不同類 初得數甲乾半徑除兩/正弦矩 次得數午
[010-11a]
已半徑除兩/餘弦矩 丁丙對邊
大正弦壬卯餘弦卯已
對邊大而角旁弧不同類
宜相減 次數午已大于
對弧餘弦卯已法當于午
己内減卯巳餘午卯即甲/艮
為二率
一 初得數 甲乾
[010-11b]
二 餘弦減次/數之餘 甲艮
三 半徑 辛巳
四 角餘弦 寅已
對邊大角旁弧異類而次數大受對弧餘弦之減其角
為銳宜以四率寅已檢餘弦表得乙鋭角之度即寅辛/矢度
若先有乙角而求對邊丁丙則反用其率
一 半徑 辛巳
二 角餘弦 寅己
[010-12a]
三 初得數 甲乾
四 餘弦減次/數之餘 甲艮
末以所得甲艮轉減次數午已得對弧餘弦卯巳檢表
得度以減半周為對弧丁丙度
前圖取鈍角
丁戊庚形三邊求戊角係銳/角 戊庚小邊正弦丑庚餘
弦丑巳 丁戊次小邊正弦癸甲餘弦甲巳 是為角
旁兩弧同類 初數甲乾半徑除兩/正弦矩 次數午已半徑/除兩
[010-12b]
餘弦/矩 丁庚對邊小正弦壬卯餘弦卯巳 對邊小而
角旁兩弧同類宜相減 次數午巳大於對邊餘弦
卯巳當于午巳内減卯已餘午卯即甲/艮
一 初得數 甲乾
二 餘弦減次/數之餘 甲艮
三 半徑 辛巳
四 角餘弦 寅已
對邊小角旁弧同類而次數大内減去餘弦其角為鈍
[010-13a]
宜以四率寅巳檢餘弦表得度以減半周得戊鈍角之
度
若先有戊鈍角而求對邊丁庚則反用其率
一 半徑 辛已
二 角餘弦 寅巳
三 初得數 甲乾
四 餘弦減次/數之餘 甲艮
末以所得甲艮轉減次數午巳得對弧餘弦卯已檢表
[010-13b]
得對弧丁庚之度
一係 半渾員面所成斜三角形左右皆相對如左銳
角者右必鈍也對邊左小者右必大也角旁之邊左為
同類者右必異類也角旁兩弧一居員周一居圓面此/員面弧線左右所同用也而員周
之弧左右有大小故/同于左者不同于右
加減法以代/乗除
初數次數並以乘除而得今以總弧存弧之餘弦相加
減而半之即與乗除之所得脗合法簡而妙而甲數乙
[010-14a]
數之用亦從此生矣
總法曰凡兩弧相并為總弧相減為存弧存弧一/曰較弧
總弧存弧各取其餘弦以相加減成初數次數 法曰
視總弧過弧限則總存兩餘弦相加總弧不過象限則
相減皆折半為初數即原設兩弧之正弦/相乗半徑除之之數以初數轉減
存弧餘弦即為次數即原設兩弧之餘弦/相乗半徑除之之數又法總弧過/象限兩
餘弦相減不過象限則/相加並折半為次數又法初數以相加成者以總弧/餘弦減初數以相減成者
以總弧餘弦加並加/減初數為次數亦同
[010-14b]
又取總弧存弧之正弦相加減成甲數乙數 法曰以
總存兩正弦相加折半為甲數即原設大弧正弦乗小/弧餘弦半徑除之之數
總存兩正弦相減折半為乙數即原設小弧正弦乘大/弧餘弦半徑除之之數
又法以存弧正弦減甲數/其餘為乙數亦同又法以甲數減總弧/正弦即得乙數
總弧在象限内兩餘弦相減
大弧丙寅 小弧辰丙即丑/丙 二弧相加為總弧辰寅
相減得存弧丑寅 丑寅存弧之餘弦丑癸亦即/丁乙
辰寅總弧之餘弦卯辰即癸子亦/即乙午 兩餘弦相減丑癸/内減
[010-15a]
子癸存丑子或乙丁/内減乙午存午丁其餘
半之丑子半之于壬/成壬丑即亥丁為丙/寅
辰/丙二弧兩正弦相乗半徑
除之之數即初得數也
以初得數轉減存弧之餘
弦以壬丑減丑癸其/餘癸壬亦即亥乙其餘
為大小二弧兩餘弦相乗半徑除之之數即次得數也
論曰丙辛大弧之正弦也丑戊小弦之正弦也以句股
[010-15b]
形相似之故乙丙半徑弦/與丙辛正弦股/若丑戊正弦
小弦/與丑壬初得數也小股/其半而得者何也曰辰戊
同丑戊則戊巳亦同丑壬而壬子即已戊則子丑者初
得數壬/丑之倍數故半之即得 辛乙大弧之餘弦也戊
乙小弧之餘弦也乙丙半徑弦/與辛乙餘弦句/若戊乙
餘弦小弦/與亥乙次得數也小句/又以存弧餘弦内兼
有初得次得兩數故減初得次也丑癸餘弦内有丑壬/初數癸壬次數故減
丑壬即得癸壬也或于乙/丁内減亥丁得亥乙並同
[010-16a]
以上用總存兩餘弦加減
又丑寅存弧之正弦丑丁即午子/或癸乙辰寅總弧之正弦辰
午即卯/乙兩正弦相加半之為大弧正弦乗小弧餘弦半
徑除之之數即甲數也 以甲數轉減總弧之正弦以/午
已減辰午其餘/巳辰亦即卯未是為大弧餘弦乗小弧正弦半徑除之
之數即乙數也
論曰乙辛大弧之餘弦也辰戊小弧之正弦也以兩句
股形同比例之故丙乙半徑弦/與乙辛餘弦句/若辰戊
[010-16b]
正弦小弦/與辰已乙數也小句/
又丙辛大弧之正弦也戊乙小弧之餘弦也而丙乙半
徑弦/與丙辛正弦股/若戊乙餘弦小/弦與戊亥甲數小/句也
又以總弧正弦内兼有甲乙兩數故減乙得甲減甲亦
得乙矣辰午正弦内有辰巳乙數巳午甲數故/減辰巳得巳午若減巳午亦必得辰巳
以上用總存兩正弦加減
若以酉丙為大弧丙丑為小弧則其總弧酉丑正弦丑/丁餘弦
丑/癸其存弧辰酉正弦辰午/餘弦卯辰但互易存總之名其他並同
[010-17a]
論曰凡過象限之弧與其減半周之餘弧同用一正弦如丙
酉過弧以減半周得丙寅所用正弦丙/辛餘弦辛/乙皆丙酉弧與
丙寅弧之所同也故但易總存之名而正餘加減之用不變
又法 凡過象限之弧即截去象限用其餘度如法加減但以
總弧為存弧存弧為總弧而總存之餘弦為正弦正弦為餘弦
如酉丙過弧截去酉甲象限只用丙甲為大弧與丙丑小
弧相加減則丑甲為總弧其正弦丑癸餘弦丑丁而辰甲
為存弧其正弦卯辰餘弦辰午是總存正餘名皆互易也
[010-17b]
法以總存兩正弦相減而其餘折半為甲數丑癸内減/卯辰餘丑
子半之得丑/壬為甲數仍以甲數轉減總弧正弦甲數丑壬轉減/丑癸其餘癸壬
即乙/數是其名雖易而其實不易也但横易為直
論曰去過弧之象限而用之則過弧之正弦為餘餘弦
為正矣故加減而得之數皆兩弧之正弦乘餘餘弦乘正
之數而非復正乗正餘乘餘之數也何也過弧之正餘
互易而小弧之正餘如故也
如丙酉過弧去象限為丙甲則其正弦丙庚即過弧之
[010-18a]
餘弦也丙庚即/辛乙故其餘弦庚乙即過弧之正弦也庚乙即/丙辛故
而小弧丙丑之正弦丑戊餘弦戊乙皆如舊故先得之
丑壬為大弧餘弦丙辛乘小弧正弦丑戊而丙乙半徑
除之也非兩正弦相乘也乙數轉減正弦而得之亥乙
即癸壬亦/即戊未為大弧正弦辛乙乘小弧餘弦戊乙而半徑
除之也非兩餘弦相乘也
又論曰又法即測夜時篇中測星距午之第二法也加
減代乗除只此一例而絶不與七卷八卷之乘除求初
[010-18b]
數次數者相蒙雖有學者何從悟入乎愚故為之詳説
以發其覆
又論曰元法依圖直看直者正弦横者餘弦又法正餘
互易則圖當横看變立體為眠體本以總存兩餘弦加
減者變為兩正弦加減然其數並同
又論曰又法是用大弦之餘度而小弧則用元度何以
言之測星條用星之赤緯即去極之餘度也其用赤道
髙則極去天頂之元度也然而赤緯在南者則是于星
[010-19a]
去極度截去象限之數也何以亦為餘度曰過弧既與
其減半周之餘度同一正弦則此減半周之餘度亦即
正弧也然則此截去象限而餘者非即正弧之餘度乎
大弧過象限若干度與不及象限若干度其正弦並同
故加減可通為一法此又測星條/用法之意
約法
兩弧俱用本度或俱用餘度相加減以取總存二弧是
兩正或兩餘也則用總存兩餘弦加減法取初得數惟
[010-19b]
視總存二弧俱在一象限則相減或分跨兩象限則相
加皆以初數減存弧之餘弦為次得數
若兩弧内有一過弧則總弧之正弦小于存弧而餘弦
反大當以初數減總弧之餘弦為次數
若一弧用本度一弧用餘度相加減以取總存之弧是
一正一餘也則用總存兩正弦加減法其加減皆眎兩
正弦原法或加或減取甲數即以甲數減總弧正弦餘
為乙數
[010-20a]
若過弧節去象限而用其剰度與餘度同法凡餘度是/以本度減
象限而得名今反以象/限減過弧故别之曰剰
若兩俱剰弧與兩餘弧同法
若只一剰弧與一正一餘同法
論曰過弧用剰度為餘弧其法甚簡快凡過弧皆當用
之可不用本度矣算普天星經/緯歲差宜此
又按凡存弧之餘弦内兼有兩正弦相乗兩餘弦相乗
兩數即初次兩得數也凡總弧之正弦内兼有此正弦
[010-20b]
乗彼餘弦彼正弦乗此餘弦之數即甲乙兩數也故易
其名以别之也
大弧寅丙正弦丙辛餘弦
辛乙 小弧辰丙即丑/丙正
弦辰戊即丑/戊餘弦戊乙
二弧相加為總弧辰寅正
弦辰午餘弦午乙 相減
為存弧丑寅正弦丑丁餘
[010-21a]
弦丁乙 存總兩餘弦午乙/丁乙相并成午丁半之于亥成
亥丁即初得數大小二弧兩正弦丙辛/辰戊相乗半徑除之
之數也 以初得數亥丁轉減存弧之餘弦丁乙餘亥
乙即次得數大小二弧兩餘弦辛乙/戊乙相乗半徑除之之
數也
論曰以句股形相似之故丙乙半徑與丙辛正弦若戊
丑正弦與初數丑壬即亥/丁也皆弦比股也
又丙乙半徑與辛乙餘弦若戊乙餘弦與次數亥乙也
[010-21b]
皆弦比句也
以上用總存兩餘弦加減因總弧跨過象限故相加
又存弧正弦丑丁與總弧正弦辰午相加成辰乾以午/乾等
丁艮亦即/丑丁也折半得巳午即戊亥為辰子折半為巳子子/乾折半 午子合之成巳午
為甲數大弧正弦丙辛乗小弧餘弦戊乙半徑丙乙除
之也
以甲數已午轉減總弧正弦辰午餘辰巳為乙數大弧
餘弦辛乙乗小弧正弦辰戊半徑丙乙除之也
[010-22a]
以上用總存兩正弦加減
若用酉丙過弧為大弧丙丑為小弧則其總弧酉丑存
弧酉辰但互易存總之名其它並同以過弧酉丙所用
之正弦丙辛餘弦辛乙即丙寅弧所同用故也
又法
于酉丙過弧内截去象限酉甲只用其剰弧甲丙則甲
丙反為小弧丙丑反為大弧説見/前條
圖式三
[010-22b]
總弧在象限内兩餘弦相
減 乙丙小弧其正弦丙
辰餘弦辰已 丁乙稍大
弧其正弦丁甲餘弦甲巳
戊壬初得數兩正弦相/乗半徑除
也即庚甲/或戊卯 午戊次得數
兩餘弦相乗半/徑除也即巳癸 今改用加減以省乗除 以二弧相
加成總弧丁丙其正弦子丁餘弦子巳 又二弧相較
[010-23a]
成存弧壬丙其正弦壬辛卽午/巳餘弦辛巳卽壬/午
于存弧之餘弦辛巳内減去總弦之餘弦巳子存子
辛半之于癸得子癸及辛癸皆初得數也亦卽戊
壬也或于壬午丙減午卯半之于戊得/卯戊及戊壬亦同亦即庚甲也 又于存弧餘
弦辛已内仍減去初得數辛癸存癸已即次得數也壬/午
内減戊壬存/午戊亦同
此因總弧在象限内故以總弧餘弦減存弧餘弦求初
數是初數小于次數
[010-23b]
解曰以句股形相似之故己丙半徑弦/與丙辰正弦句/
若丁甲正弦弦/與甲庚初數也又壬甲等甲丁故庚甲
亦等戊壬而戊卯即庚甲故可以半而得之也
又已丙半徑弦/與辰已餘弦股/若甲已餘弦弦/與巳癸
次數股/也
右係總存兩餘弦用法
又丁庚為甲數丁甲大弧正弦乗辰巳小弧餘弦/半徑除之也亦即庚卯即甲戊 子
庚為乙數辰丙小弧正弦乗甲巳大弧/餘弦半徑除之也即癸甲
[010-24a]
今改用加減法以存弧正弦子卯即辛/壬加總弧正弦子
丁成卯丁而半之于庚得丁庚為甲數亦即庚卯/即戊甲 仍
于總弧正弦丁子内減去甲數丁庚存子庚即癸/甲為乙
數
此亦總弧在象限内亦總存兩正弦相加求甲數是甲
數大于乙數
解曰以句股形相似之故已丙半徑與辰巳小弧餘弦
若丁甲大弧正弦與甲數丁庚皆弦與股之比例也又
[010-24b]
丁甲等壬甲故戊甲亦等丁庚而戊甲即庚卯故可以
半而得之也
又巳丙半徑與丙辰小弧正弦若甲已大弧餘弦與乙
數甲癸即子/庚皆弦與句之比例也
右係總存兩正弦用法
一係 凡兩弧内無過弧則存弧之餘弦大故其中有
初次兩數而總弧則正弦大故其中有甲乙兩數雖兩
數相加能令總弧跨過象限此理不變餘弦仍係存弧
[010-25a]
大正弦仍係總弧大
總弧過象限兩餘弦相加
乙丙小弧正弦辰丙餘
弦辰已 乙丁過弧正弦
丁甲餘弦甲已 初得數
戊丁半徑除兩正弦矩即/子癸亦即癸辛亦即
庚/甲 次得數癸巳半徑除兩/餘弦矩
今用加減代乗除以二弧相加成總弧丁丙正弦丁子餘弦子
[010-25b]
已 又二弧相較成存弧壬丙正弦壬辛餘弦辛巳 乃以
總存兩餘弦相加成子辛子巳加/辛巳而半之于癸得子癸
及癸辛亦即丁戊/即庚甲初得數也 又以初數子癸轉減總
弧之餘弦子已餘癸巳次得數也此因總弧跨過象限/故兩餘弦相加求初
數是初數/大于次數
解曰以句股形相似故半徑已丙與正弦丙辰若正弦
丁甲與初數丁戊皆弦與股之比例也 又半徑丙已
與餘弦辰已若餘弦甲巳與次數癸已皆弦與句之比
[010-26a]
例也 又壬甲等丁甲則庚甲亦等戊丁而辛癸亦等
子癸故半而得
右用總存兩餘弦加減
又甲數丑甲小弧餘弦辰已乗過弧正弦丁甲半徑除
之也 乙數癸甲小弧正弦辰丙乗過弧餘弦甲巳半
徑除之也
今用加減搃存兩正弦相加成丑戊癸戊與正弦丁子/等丑癸與正弦辛
壬等故以相/加即成丑戊半之于甲得丑甲亦即/甲戊為甲數 仍以甲
[010-26b]
數丑甲轉減存弧正弦丑癸餘癸甲為乙數或以總弧/正弦癸戊
減甲數甲戊亦/即得乙數癸甲
此亦總弧跨象限外仍係總存兩正弦相加求甲數甲/數
仍大于/乙數
解曰半徑丙已與小弧餘弦辰已若大弧正弦丁甲與
甲數丑甲皆以弦比句也 又半徑丙已與小弧正弦
辰丙若大弧餘弦甲巳與乙數癸甲皆以弦比股也
又壬甲等丁甲則甲戊亦等壬庚而壬庚即丑甲故半
[010-27a]
之而得
右用總存兩正弦加減
一係 凡兩弧内有過弧者總弧之餘弦反大故初次
兩數皆在總弧餘弦内而總弧之正弦反小故甲乙兩
數皆在存弧正弦内也此必原有一過弧始用此例/非謂總弧過象限也觀圖自
明/
甲數乙數用法黄赤道經/緯相求
黄赤二道經緯相求用斜弧三角形以星距黄極為一
[010-27b]
邊星距北極為一邊并兩極之距為三邊此本法也今
不用距極度而用其餘度距極度本為緯度之餘今用/三角形以距極度為邊故緯
度皆為/餘度徑取黄緯為一邊此先有黄緯而求赤緯也若/先有赤道而求黄道即用赤
緯為/邊二至之黄赤大距為一邊黄赤大距原與/兩極之距等而取二
邊之總存兩正弦為用以加減省乘除故在本法為初
數次數者别之為甲乙數焉甲數乙數不止為求黄赤
而舉此為式其理特著故命之曰甲數乙數用法實黄
赤相求簡法矣
[010-28a]
第一圖 黄緯小于黄赤大距甲數大乙數小
甲丙亢危大圈為過
兩極之經圈即二至/經圈
心乙亢軸即黄道
二分經綫 丙乙室
為黄道 心為黄極
寅乙危為赤道
甲為北極 辰胃婁
[010-28b]
為黄道北緯即丙辰/之度 丑尾奎為黄道南緯即丙丑/之度
星在箕 箕心為星距黄極緯度 箕女為星距黄道
緯即丙辰/之度 甲心箕銳角為黄道經度其餘弦女乙
甲心為兩極相距二十三度三/十一分半 寅丙為夏至距緯同/甲
心之/度
今求甲箕為星距北極緯度 其餘弧箕翌為星距赤
道緯即氐危/之度
用甲心箕三角形有心角黄道/經有心箕弧星距黄/極緯有甲
[010-29a]
心弧為兩極/之距而求對角弧甲箕星赤道/北極緯
依加減代乗除改用寅丙夏至距即心/甲辰丙黄道緯即/心
箕之餘箕女/又即丙丑度 寅丙辰丙相加為總弧辰寅其正弦辰
午 又相減為較弧丑寅其正弦丑丁亦即丁井亦即/午昴亦即子午
以丑丁正弦即午/昴加辰午正弦成辰昴折半得巳午
甲數巳子為辰子之半子午為/子昴之半合之成巳午甲數巳/午轉減正弦辰/午餘
巳/辰為乙數
或以丑丁正弦即子/午減辰午正弦餘辰子折半得辰巳
[010-29b]
為乙數以乙數轉減總弧正弦辰午得已午為甲數亦
同
法為黄道半徑丙/乙與心角之餘弦女/乙若甲數巳/午與四率
斗/未也
一 黄道半徑 丙乙
二 心角餘弦 女乙
三 甲數 巳午即戊酉/
四 減過乙數之/赤緯正弦斗未即虚栁/
[010-30a]
論曰丙乙半徑與女乙餘弦原若辰胃與箕胃辰胃者/箕心黄
緯之正弦即距等圏半徑因箕心角線過箕至女分辰/胃正弦于箕亦分丙乙半徑于女故丙乙與女乙若辰
胃與箕胃皆/全與分比例而辰胃同戊乙箕胃同斗乙皆弦也戊酉/乙大
句股以戊乙為弦戊酉為句斗未/乙小句股以斗乙為弦斗未為句戊酉同巳/午斗未皆句
也則其比例等故丙乙與女乙能若戊乙與斗乙亦即
若已午與斗未
以乙數辰巳即/箕虚加四率斗未即/虚栁成箕栁即所求赤道緯
度正弦檢表得赤緯在北即箕翌亦/即氐危
[010-30b]
若先有赤緯黄緯而求黄經則互用其率以三四為一二
法為甲數戊/酉與赤緯正弦内減乙數之斗未若黄道半
徑丙/乙與心角黄經度之餘弦女/乙也
一 甲數 戊酉即午巳/
二 乙數箕虚減/赤緯正弦半未即虚栁/
三 黄道半徑 丙乙
四 心角餘弦 女乙 檢餘弦表得心角之度
假如前圖星在尾為黄道南緯則所用之甲數乙數並
[010-31a]
同所得之四率亦無不同而赤緯逈異
何以言之曰心不在箕而在尾則心
甲弧兩極/距度心角黄道/經度皆不變唯尾心
弧大于箕心故甲心箕三角形變為
甲心尾三角而所求對角之甲尾弧
亦大于甲箕故赤緯異也
然則所用之甲數乙數又同何也曰尾心為過弧則用
在女尾尾心内減去/女心象限女尾為黄道南緯與箕女北緯同
[010-31b]
度亦即同正弦則相加為總弧相減為較弧亦同而甲
乙數不得不同矣而三率算法亦必同矣但所得四率
在北緯則用加在南緯則用減緯度迥異理勢自然也
一 黄道半徑 丙乙
二 心角餘弦 女乙 以乙數辰/巳減四率斗未減盡
三 甲數 已午 無餘為星在赤道無緯度
四 加過乙數之/赤緯正弦斗未
論曰此因乙數與四率同大故減盡也減盡則甲尾正
[010-32a]
九十度而星在赤道無緯也
亦有四率小于乙數者則當以四率轉減乙數用其餘
為緯度正弦在赤道南
又論曰星在箕為黄道北在尾為黄道南然所得赤緯
皆在北者以箕尾經度皆在夏至前後兩象限中也故
所得四率在赤道北而加乙數則北緯大減乙數則北
緯小皆北緯也惟四率轉減乙數則變為南緯此亦惟/黄南緯
星又近二分則雖在夏至/前後象限中而有南緯
[010-32b]
亦有無四率者心角必九十度其星必在黄道二分經
度無角度餘弦為次率故亦無第四率可求但以乙數
為用視星在南北即以乙數命為南北緯度之正弦
假如前圖中有星在胃是在北也即以乙數胃張即辰/巳
命為赤道北緯之正弦若星在房是在南也即以乙數
乙癸亦即/辰巳命為赤道南緯之正弦
又有所得四率北反用減南反用加者心角必為鈍角
其星必在冬至前後兩象限其角度餘弦必為大矢内
[010-33a]
減儀象限之餘則所得第四率在赤道之外外即/南也而加減後
所得皆赤道之南緯也故加減皆反求北緯以加而南緯必/減者星在北也求北緯
以減而南緯必加者星在南也盖所得第四率原係在北/在南兩星緯度之中數 星在北在南皆主黄道言
假如前圖中有星在兑為黄道北而甲心兑三角形心
為鈍角其餘弦艮乙為艮丙大矢内
減象限之餘故所得第四率未斗在
赤道之外為赤道南緯此南緯是黄/道軸距赤道
軸/而兌星在黄道之北則其南緯正
[010-33b]
弦小于未斗故必以乙數牛斗即辰己亦/即奎巳減之其餘牛
未同兌/庚即兌星赤道南緯之正弦
若星在巽亦同用心鈍角為甲心巽三角形艮乙餘弦
四率未斗在赤道外並同但巽星又在黄道之南則其
南緯大于未斗四率故必以乙數虚巽即辰巳亦/即牛斗加之
成巽栁即巽星南緯之正弦
亦有四率小于乙數者則以四率轉減乙數用其餘為
緯度在赤道北
[010-34a]
又論曰星在兌為黄道北在巽為黄道南然所得赤緯
皆在南者以兌巽經度皆在冬至前後兩象限中也故
所得四率在赤道南而以乙數減則南緯小以乙數加
則南緯大皆南緯也惟四率轉減乙數者則變為北緯
此亦必黄北緯星又近二分故雖在冬至前後象限中/而仍有北緯 凡以乙數及四率相加減成緯度者並
主緯度之正弦/而言後倣此
總論曰凡乙數皆南北兩赤緯度相減折半之數甲數
則兩緯度之中數也如箕女與女尾兩黄緯同度而不能/以女庚為兩赤緯弦之中數者弧
[010-34b]
度有斜/正故也而所得四率即所求星南北兩緯正弦中數故
與甲數為比例
凡所得四率星在夏至前後兩象限四率在赤道北星
在冬至前後兩象限四率在赤道南
凡總弧正弦内兼有甲數乙數不論黄南黄/北並同一法但視黄緯
之大小若黄緯小于黄赤大距則以總存兩正弦相併
而半之為甲數若黄緯大于黄赤大距則以總存兩正
弦相減而半之為甲數並以甲數轉減總弧正弦為乙數
[010-35a]
又法
黄緯小于黄赤大距以總存兩正弦相減而半之則先
得乙數黄緯大于黄赤大距以總存兩正弦相併而半
之亦先得乙數並以乙數轉減總弧正弦為甲數
求赤緯約法
凡星有黄緯之南北有黄經之南北黄經南北即南六/宫北六宫 星在
夏至前後先得之黄經為鋭角是經在北也也星/在冬至前後先得之黄經為鈍角是經在南
若星之黄緯南北與黄經同者其赤緯南北亦與黄緯
[010-35b]
同法用四率乙數相加為緯度正弦加惟一法
星在黄道北又係夏至前後兩象限先得黄經鋭角是
經緯同在北則赤緯亦在北 星在黄道南又係冬至
前後兩象限先得黄經鈍角是經緯同在南則赤緯亦
在南
若星之黄緯南北與黄經異者赤緯有同有異皆四率
乙數相減為赤緯正弦減有二法
但視乙數大受四率轉減者赤緯之南北與黄緯同
[010-36a]
如星在黄道北而在冬至前後兩象限黄經角鈍是緯
北而經南也而乙數大受四率轉減則赤緯仍在北
星在黄道南而在夏至前後兩象限黄經角鋭是緯南
而經北也而乙數大受四率轉減則赤緯仍在南
若乙數小去減四率者赤緯之南北與黄緯異 如星
在黄道北而在冬至前後黄經角鈍為緯北經南而乙
數又小去減四率則赤緯變而南 星在黄道南而在
夏至前後黄經角鋭為緯南經北而乙數又小去減四
[010-36b]
率則赤緯變而北
若星在黄道軸線是正當二分經度也其角必九十度
無餘弦亦無四率但以乙數為用 星在北即以乙數
命為赤道北緯之正弦 星在南即以乙數命為南緯
之正弦
若遇乙數四率相減至盡者其星正當赤道無緯度
第二圖 黄緯大于黄赤大距甲數小乙數反大
有黃道經/緯求赤緯
[010-37a]
甲北極 心黄極
甲心為兩極之距
丙室黄道 寅危赤
道 寅丙為夏至大
距同甲/心 乙為二分
以上並與前圖無
二 所異者黄緯丙
丑即丙/辰大于寅丙故
[010-37b]
乙數亦大于甲數 寅丙之正弦丙辛餘弦辛乙 丙
丑之正弦辰戊或戊/丑餘弦戊乙
甲數戊酉乃寅丙正弦乗丙丑餘弦半徑除之也法為
丙乙半徑與正弦丙辛若戊乙餘弦與甲數戊酉
乙數辰巳或巳子/或戊壬乃辛乙餘弦乗辰戊正弦半徑除之
也法為丙乙半徑與餘弦辛乙若辰戊正弦與乙數辰
巳
假如星在箕為在黄道北箕心為距黄極之度其餘箕
[010-38a]
女黄道北緯也有箕心甲心兩極/距二邊有心銳角黄/經用
甲心箕三銳角弧形求赤緯甲箕為對角之弧
依加減代乗除改用寅丙辰丙二弧相加為總弧辰寅
其正弦辰午 又相減成較弧寅丑其正弦丑丁即午/子
以丑丁正弦加辰午正弦成辰子折半于巳為乙數辰/巳
及巳/子 乙數辰已轉減總弧正弦辰午得已午為甲數
即戊/酉
本法以丑丁減辰午折半得已午為甲數 甲數巳午
[010-38b]
轉減辰午得辰巳為乙數
法為黄道半徑丙乙與餘弦女乙若甲數戊酉與四率
斗未也理見前/式論見
一 黄道半徑 丙乙 既得斗未以乙數箕
二 心角餘弦 女乙 虚加之成箕栁為赤
三 甲數 戊酉 緯正弦查表得箕翌
四 以乙數減/赤緯正弦 斗未即虚栁/ 赤緯度在赤道北
右係黄緯在北而心為銳角黄經亦在北故法用
[010-39a]
加而赤緯仍在北
若先有黄赤緯度而求黄經則互用其率亦同前式
一 甲數 戊酉
二 乙數減赤/緯正弦 斗未
三 黄道半徑 丙乙
四 心角餘弦 女乙 查餘弦表得心角之度
假如前圖星在尾為在黄道南則所用之甲數乙數及
所得之四率並同惟赤緯異
[010-39b]
論曰星不在箕而在尾則甲心箕三
銳角形變為甲心尾三角形而心尾
弧大于心箕故所求對角之甲尾弧
亦大于甲箕而赤緯大異
心尾大于心箕而甲數乙數悉同者因用餘弧則女尾
南緯與女箕北緯同度故也
一 黄道半徑 丙乙 既得斗未以轉減乙數斗
二 心角餘弦 女乙 牛得餘未牛即尾/申為赤緯
[010-40a]
三 甲數 戊酉 正弦查表得尾卯緯度在
四 乙數内減/赤緯正弦 斗未 赤道南
論曰此係乙數跨赤道故乙數内兼有赤緯及四率之
數而減赤緯得四率以四率轉減亦得赤緯
右係黄緯在南而心為銳角是緯南而經北法當
用減而乙數大受四率反減故赤緯仍在南
假如前圖星在巽則所用之甲數乙數亦同惟四率異
因巽艮黄緯即室奎之度與丙丑同故甲數酉/戊與戊酉同大而乙數斗牛兊乾並同辰巳
[010-40b]
又巽星在黄道南而心為鈍角星在
秋分後春分前黄經亦在南則赤緯
亦在南法當用加
一 黄道半徑 丙乙即室/乙
二 鈍角餘弦即大/矢减半徑之餘 艮乙艮丙為心鈍角大矢/内减丙乙得艮乙
三 甲數 酉戊
四 赤緯正弦/内減乙數 未斗
[010-41a]
既得未斗以乙數斗牛即辰/巳加之成未牛為赤緯正
弦即栁/巽查表得震巽緯度在赤道南
假如前圖星在兌為黄道北所用之
甲數乙數四率並同惟赤緯異兌艮/北緯
與巽艮南緯並同丙丑之度故甲數/乙數同甲心巽與甲心兊兩鈍角形
同用心鈍角故四率亦同惟心兊弧/小于心巽故所求對角弧甲兊亦小
于甲巽而/赤緯異
一 黄道半徑 丙乙 既得未斗以轉減乙數
[010-41b]
二 鈍角餘弦 艮乙 兊乾得餘兊離為赤緯
三 甲數 酉戊 正弦查表得兊坎緯度
四 乙數内減/赤緯正弦 未斗即離/乾 在赤道北
右係黄緯在北而心為鈍角是秋分後春分前為
緯北而經南法當用減而乙數大受四率轉減故
赤緯仍在北
第三圖 赤緯大于二極距甲數小乙數大
心甲箕三鋭角形 星在箕 有黄極緯心箕有北極
[010-42a]
赤緯甲箕有黄赤極
距心甲即室/危求甲角
為赤經 辰危赤緯
大于危室大距即心/甲
與前圖略同故乙數
亦大於甲數 所異
者此求赤經故諸數
皆生于赤緯謂總弧
[010-42b]
較弧皆用赤緯也而加減正弦反在黄道矣
室危兩極距之正弦室辛餘弦辛乙
辰危赤緯即箕女為甲箕/距比極之餘之正弦辰酉餘弦酉乙
甲數戊酉法為半徑室乙與辛室正弦若酉乙餘弦與
甲數戊酉也
乙數辰已法為半徑室乙與辛乙餘弦若辰酉正弦與
乙數辰已或婁酉正弦/與乙數酉壬也
依加減代乗除改用辰危室危相加為總弧辰室其正
[010-43a]
弦辰午又相減為較弧婁室其正弦婁丁即午/昴
又以較弧正弦午昴減總弧正弦辰午餘數半之得已
午為甲數即戊酉也法于辰午内截減辰坤如/午昴其餘坤午半之于已即得已午
甲數已午轉減辰午正弦餘辰巳為乙數或以甲數已/午加較弦午
昴成巳昴/乙數亦同箕虚及未牛並同皆乙/數也
又以箕翼黄緯之正弦箕柳與乙數箕虚相減得虚柳
即未/斗以為次率因箕栁黄緯大乙數箕虚小故/于黄緯正弦内減乙數得未斗
法為甲數戊酉與未斗若酉乙與未乙亦即若危乙半
[010-43b]
徑與甲角之餘弦女乙也
一 甲數 戊酉
二 黄緯正弦内/減去乙數 未斗
三 赤道半徑 危乙
四 甲角餘弦 女乙
論曰赤道經度春分至秋分北六/宫為鈍角秋分至春分
南六/宫為銳角其角與黄經正相反此條星在箕是赤緯
在北也而黄緯亦北兩緯同向宜相減成次率而乙數
[010-44a]
小于黄緯必以乙數減黄緯而得未斗乙數減黄緯而
緯在北赤經必南六宫為銳角查表得度為甲角度即
赤經也在秋分後以所得減三象限在冬至後以所得
加三象限皆命為其星距春分赤道經度
若星在尾用甲心尾三角形則以黄
緯正弦反減乙數為次率未牛乙數/大于黄緯
斗牛故以斗牛反/減未牛得未斗餘率並同
[010-44b]
論曰此條星在尾是赤緯在南也而黄緯亦並在南兩
緯同向宜相減而成次率而乙數大于黄緯宜于乙數
内轉減去黄緯成未斗也乙數大受黄緯轉減而緯在
南赤經必亦在南六宫為銳角
一 甲數 戊酉
二 乙數内/減黄緯 未斗
三 赤道半徑 危乙
四 甲角餘弦 女乙
[010-45a]
假如前圖星在兊用心甲兊三角形
有心兌邊星距/黄極有甲兌邊星距/北極有心
甲邊兩極/距求甲鈍角為赤道經度
因赤緯同故甲數乙數同
星在兊赤緯在北黄緯亦在北緯同向北宜相減而成
次率而乙數大以黄緯減之得斗未乙數兊乾内減去/黄緯兊離餘離乾
即斗/未
乙數大受黄緯轉減而赤緯在北必赤經亦在北六宫
[010-45b]
為鈍角
一 甲數 酉戊
二 乙數内減/去黄緯 斗未
三 赤道半徑 寅乙
四 甲角餘弦 艮乙
以艮乙查餘弦表得度用減半周為甲鈍角即赤經也
在春分後以象限減鈍角度在夏至後以鈍角度與三
象限相減皆命為星距春分赤道經度
[010-46a]
假如星在巽用心甲巽三角形有心巽邊距黄/極有甲巽
邊距北/極有甲心邊兩極/距求甲鈍角為赤經
甲數乙數並同
惟心在巽是赤緯南也黄緯亦南也兩緯並南宜相減
成次率 乙數小黄緯大故以乙數
減黄緯得斗未斗牛黄緯即栁巽也/内減乙數未牛餘即
斗未/矣 乙數小去減黄緯而赤緯在
南赤經必在北六宫為鈍角
[010-46b]
一 甲數 酉戊
二 黄緯内/減乙數 斗未
三 赤道半徑 寅乙
四 甲角餘弦 艮乙
以艮乙餘弦查度春分後用餘弦度減象限夏至後加
象限皆命為距春分赤經
[010-47a]
第四圖 赤緯小于二極距甲數大乙數小
假如星在箕用心甲
箕鈍角形有心箕過
距黄極對角邊也/其餘箕翼即黄緯有
甲箕邊距北極即/辰危之餘有
心甲邊兩極距寅丙/及危室並同
求甲鈍角赤道經
兩極距危室之正弦
[010-47b]
危辛餘弦辛乙 赤緯危辰之正弦辰戊餘弦戊乙
甲數戊酉為半徑危乙與二極距之正弦危辛/若赤緯餘弦戊乙與甲數戊酉也
乙數辰巳或戊壬赤為半徑危乙與二極距之餘弦/辛乙若 緯正弦辰戊與乙數辰巳也
依加減代乗除以辰危危室兩弧相加為總弧辰室其
正弦辰午
又相減為較弧婁室其正弦婁丁或丁井/即午昴
以總弧正弦辰午加較弧正弦午昴成辰昴而半之為
甲數巳午巳坤為辰坤之半坤午為/坤昴之半合之為巳午即戊酉
[010-48a]
又以甲數己午轉減正弦辰午得辰巳為乙數亦即/戊壬
星在箕為赤緯北而黄緯亦在北兩緯同向宜相減而
成次率而乙數大當以黄緯轉減之成斗未牛未乙數/内減牛斗
黄緯餘/斗未
乙數大受黄緯反減而緯在北赤經在北六宫為鈍角
一 甲數 酉戊 以艮乙餘弦查度春分後
二 乙數内減/黄緯正弦 斗未 用減象限夏至後加象限
三 赤道半徑 寅乙 命為距春分經度
[010-48b]
四 甲角餘弦 艮乙
若星在尾用心甲尾三角形則為南緯而黄緯亦南兩
緯同向宜相減成次率而乙數小于
黄緯故以乙數減黄緯成斗未虚尾/黄緯
内減乙數氐尾/餘虚氐即斗未 其甲數乙數等算
並同 乙數小去減黄緯而緯在南
赤經必在北六宫為鈍角
一 甲數 酉戊
[010-49a]
二 黄緯正弦/内減乙數 斗未
三 赤道半徑 寅乙
四 甲角餘弦 艮乙
若星在兑用心甲兑三角形兑為北緯而黄緯亦北兩
緯同向宜相減成次率而乙數小于
黄緯故以乙數減黄緯成未斗兊乾/黄緯
内減乙數兊離餘/餘離乾即未斗甲數乙數並同
乙數小去減黄緯而緯在北赤經反
[010-49b]
在南六宫為銳角
一 甲數 戊酉 以女乙餘弦度秋分後減
二 黄緯正弦/内減乙數 未斗 三象限冬至後加三象限
三 赤道半徑 危乙 命為距春分赤經下/同
四 甲角餘弦 女乙
若星在巽用心甲巽三角形赤緯南黄緯亦南兩緯同
向宜相減成次率而乙數大以黄緯轉減之成未斗未/牛
乙數内減黄緯斗牛/即栁巽其餘即未斗
[010-50a]
乙數大受黄緯轉減而緯在南赤經
即在南六宫為銳角
一 甲數 戊酉
二 乙數内減/黄緯正弦 未斗
三 赤道半徑 危乙
四 甲角餘弦 女乙
[010-50b]
第五圖 赤緯小于二極距甲數大乙數小
黄緯乙數相加成次
率黄緯在南角鋭鈍/黄緯在北角
星在巽用心甲巽三
角形有心甲邊二極/距
有巽甲邊距北極度/為過弧其
赤緯女/巽在南有巽心邊距/黄
極度其餘巽/為黄緯在北 求對
[010-51a]
巽心弧之甲角 心甲兩極距即危室或寅/丙其正弦危
辛餘弦辛乙 女巽赤緯即危婁或辰危/即丑寅其正弦辰戊
餘弦戊乙
甲數戊酉兩極距正弦危辛乗赤緯餘弦戊乙半徑危乙/除之之數也法為危乙與危辛若戊乙與戊酉
乙數辰巳兩極距餘弦辛乙乗赤緯正弦辰戊半徑危乙/除之之數也法為危乙與辛乙若辰戊與辰巳
依加減代乗除改用辰危危室相加為總弧辰室其正
弦辰午又相減為較弧婁室其正弦婁丁即午昴/及丁井
以總較兩正弦相加成辰昴折半得巳午為甲數即戊
[010-51b]
酉巳坤為辰坤之半坤午為/坤昴之半合之成己午
甲數巳午轉減總弧正弦辰午得辰巳為乙數即戊壬
黄緯巽氐在北赤緯女巽在南兩緯異向宜以乙數與
黄緯正弦相加成次率以同黄緯正弦巽栁之牛斗加/同乙數戊壬之未牛成未斗
乙數黄緯正弦相加而黄緯在北其赤經必在南六宫
為銳角法為甲數戊酉與未斗若戊乙與未乙亦即若
危乙與女乙
一 甲數 戊酉 以女乙查餘弦表得度
[010-52a]
二 乙數加黄/緯正弦 未斗 秋分後減冬至後加皆與
三 赤道半徑 危乙 三象限相加減命為其星
四 甲角餘弦 女乙 距春分赤道經度
又如星在箕用心甲箕三角形有心甲邊二極/距有箕甲
邊距北極度其餘/箕艮赤緯在北有箕心邊距黄極度為過弧/其黄緯翼箕在南求對箕
心弧之甲角
甲數乙數同上
惟黄緯翼箕在南赤緯箕艮在北兩緯異向宜以乙數
[010-52b]
與黄緯正弦相加成次率以黄緯正/弦箕張相
同之牛斗加乙數辰巳/相同之牛未成斗未
乙數與黄緯弦相加而黄緯在南其
赤經必在北六宫為鈍角法為甲數
酉戊與斗未若戊乙與未乙亦即若寅乙與艮乙
一 甲數 戊酉 以艮乙查餘弦表得度春
二 乙數加黄/緯正弦 斗未 分後減夏至後加皆加減
三 赤道半徑 寅乙 象限命為其星距春分赤
[010-53a]
四 甲角餘弦 艮乙 赤道經度
求赤道經度約法
用三邊求角兩極距為一邊距北極為一邊此二邊為/角兩旁之弧距黄極為一邊此為對角之
弧/以求到鈍角赤道經度在北六宫銳角赤道經度在
南六宫
法為甲數與次率若赤道半徑與所求角之餘弦其樞
紐在次率也
凡黄緯南北與赤緯同向者並以乙數與黄緯相減而
[010-53b]
成次率減有二法
凡黄緯南北與赤緯異向者並以乙數與黄緯相加而
成次率
加惟一法
[010-54a]
[010-54b]
厯算全書卷十